线性代数(经管类)自学考试大纲(课程代码：04184)
自考04184线性代数(经管类)讲义
高数线性代数第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；）定义：符号叫二阶行列所以二阶行列式的值等于两个例如）符号叫三阶行列式，它也例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9 =0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。
4月自学考试04184线性代数(经管类)试卷(重点)及答案教育文稿
2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出地四个备选项中只有一个选项为符合题目要求地， 地括号内；错选、多选或未选均无分； 请将其代码填写在题后a 1 a 2b 1b 2a 1 a 2 2b 1 2b 2 3a 13a 2， D 2 =，则 D 2=1、设行列式 【 】D 1=A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 11 2 0 1 x 12 4 0 2 2 y， B =，且 2A=B ，则 【 】2、若 A=A.x=1 ， y=2 C.x=1 ， y=1B.x=2 ， y=1 D.x=2 ， y=2A 等价地为3、已知 A 为 3 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与【】1 A. 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 00 1 C. 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 0 01B. D. 4、设 2 阶实对称矩阵 A 地全部特征值味 1， -1， -1，则齐次线性方程组（ E+A ）x=0 地基础解系所含解向量地个数为 【】A.0B.1C.2D.33 11 3有一个特征值为【】5、矩阵A.-3二、填空题（本大题共B.-2 10 小题，每小题C.12 分，共 D.220 分）请在每小题地空格中填上正确答案；错填、不填均无分； 1A 为 3 阶矩阵，且A =3，则 3A =6、设 .2 3 1 5A * =，则7、设 A=.1 2 0 11 1 1 1， B=，若矩阵 X 满足 AX =B ，则 X= .8、已知 A=1 2T ，T线性相关，则数 k=.9、若向量组(1， 2， 1) (k-1 ， 4， 2) 12x 12x 1 3x 12 x 2 x 2 x 2ax 3 x 3 x 30 0a = 有非零解，则数 .10、若齐次线性方程组T ，T，则内积（1,11、设向量(1， -2， 2) (2， 0， -1) 2 ）= .12 V ={x=(x 1，x 2， 0)T|x 1， x 2 R } 地维数为12、向量空间 13、与向量（1 .1， 0，1） T 与（1， 1， 0） T 均正交地一个单位向量为 .2 3地两个特征值之积为 .14、矩阵2 22 2 2x1ax2a x32 x 1 x 2 正定，则数 a 地取值范围为15、若实二次型 f(x1 ， x 2，x3)= .7 小题，每小题 三、计算题（本大题共9 分，共 63 分）2 1 1 1 13 1 1 1 14 1 11 1 5地值 .16、计算行列式 D=1 21*A( 2A)2A 地值 .17、设 2 阶矩阵 A 地行列式，求行列式0 1 111111251，B= ，矩阵X 满足X =AX +B，求0X.18、设矩阵 A =3T T T T(1,2,1) , (2,5,1) , (1,3, 6) , (3, 1,10)19、求向量组地秩与一个极1234大线性无关组，并将向量组中地其余向量由该极大线性无关组线性表出.22x 1 x 1 x 1 ax 2bx 2cx 2 a x 3 b x 3c x 33a 223b ，其中 a, b, c 两两互不相同 . 20、利用克拉默法则解线性方程组2 23c1 a 1 a 3 1 11 10 0 0 0 1 0 00 b相似，求数 a, b 地值. 21、已知矩阵 AB 与 f ( x 1 , x 2 ) 5x 1 5x 2 4 x 1x 2 为标准型， 22、用正交变换化二次型并写出所作地正交变换 .四、证明题（本题 7 分）23、设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A=B+E ，B 2=B ，证明 A 可逆 .2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3.D 2 分类，共 10 分）4.C1.C2.A 5.B二、填空题（本大题共 小题，每小题 2 分，共 20 分）10 5 31 26. 97.1 1 1 31 08.9. 3 10. -2 11. 0 1 31 3TT或1,1,1 1,1,112. 213.15. a ＞ 163 分）1 1 0 414. -1三、计算题（本大题共7 小题，每小题 9 分，共 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 11 1 5 1 0 0 03 5 2 21 1 3 016.解 （ 5 分）D=5= 221 3 01 0 474（ 9 分）12*1AA 可逆，于为 AA A17.解 由于 ，所以 （ 3 分）1 21*11(2 A ) 2 AA2 A A故 （6 分）21 23 23 29 21111AAAA（ 9 分）=由 X AX B ，化为 E A XB ，18.解 （ 4 分）11 11 0 01 20 3 02 2 1 1 1 11 31而 E AE A可逆，且 （ 7 分）0 3 02 21 1 1 1 1 251 0 3 32 1 1 0 11 3故 X（ 9 分）12 1 11 5 53 7 71 0 0 0 1 011 5 017 7 0由于1,2,3,0 019.解 （ 5 分） 41,所以向量组地秩为 2， 2 为一个极大线性无关组，并且有115 2 ,177（9 分）31412注：极大线性无关组不唯一；方程组地系数行列式20. 解 a21 D= 1 1 ab c 2b cb ac a c b2D 0 ，故方程有唯一解；因为 a,b,c 两两互不相同，所以（4 分）3a 2a 23a2 a 2a b c 1 1 1 2 222 又 D 13b 3cb 0 ， D 23b3cb c0 ，2222c2 1 1 1 a b c 3a 3b 2D 33D（ 7 分）3c2由克拉默法则得到方程组地解D D D 3 D D3 1 2 x 0, x 0, x 3（9 分）123DDD21.解 因为矩阵 A 与 B 相似，故trA trB 且 AB ,（6 分）1 3 a 1 10 21 0b即所以 （9 分）a=1,b=4. 5 2 2 5A22. 解 二次型地矩阵3,7，所以 A 地特征值由于 （ 4 分）E A37 123 ，由方程组 3E A x 0 得到 3 地一个单位对于特征值A 属于特征值11112 2特征向量17, 由方程组 对于特征值7 E A x 0 得到 7 地一个单位特征向量A 属于特征值22112 2 .21 1 112 2得正交矩阵Q1,，作正交变换 x Qy ，22 23 7 .二次型化为标准形 fy 1y 2（ 9 分）四、证明题（本题 7 分） 2因为 AB E ,所以 A EB ,又 BB ,23.证 2A EA E , 故 (3 分）1 2 2A3 A2E, 于为 AA 3EE ,故 化简得 可逆；（ 7 分）A。
自考《线性代数》(经管类)教学大纲
自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。
该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。
本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。
内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。
通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。
通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。
另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。
二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。
三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。
重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。
教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。
2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。
3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。
4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。
第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
04184线性代数(经管类)
1【单选题】与矩阵合同的矩阵是（）。
A、B、C、D、您的答案：B参考答案：B纠错查看解析2【单选题】设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1-α3，α1-α2，α2+α3-2α1C、α1-α2，α2-α3，α3-α1D、α1，α2，α1-α2您的答案：A参考答案：A纠错查看解析3【单选题】设行列式，则A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析4【单选题】已知是三阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的是（）。
A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：D纠错查看解析5【单选题】设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A、-8B、-2C、2D、8您的答案：未作答参考答案：A纠错查看解析6【单选题】已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A、若矩阵A中所有三阶子式都为0，则秩（A）=2B、若A中存在二阶子式不为0，则秩（A）=2C、若秩（A）=2，则A中所有三阶子式都为0D、若秩（A）=2，则A中所有二阶子式都不为0您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析7【单选题】设则的特征值为1，2，3，则A、-2B、2C、3D、4您的答案：未作答参考答案：D纠错查看解析8【单选题】二次型的正惯性指数为（）A、0B、1C、2D、3您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析9【单选题】设为3阶矩阵，将的第三行乘以得到单位矩阵，则A、-2B、C、D、2您的答案：未作答参考答案：A纠错查看解析10【单选题】矩阵有一个特征值为（）。
A、-3B、-2C、1D、2您的答案：未作答参考答案：B纠错查看解析11【单选题】设为3阶矩阵，且，将按列分块为，若矩阵，则A、0B、C、D、您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析12【单选题】n维向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性相关充要条件A、α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例B、α1，α2，…，αs中至少有一个是零向量C、α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以由其余向量线性表出D、α1，α2，…，αs中第一个向量都可以由其余向量线性表出您的答案：未作答参考答案：C纠错查看解析13【单选题】若矩阵中有一个阶子式等于零，且所有阶子式都不为零，则必有（）.A、B、C、D、您的答案：未作答参考答案：B纠错查看解析14【单选题】设三阶实对称矩阵的全部特征值为1,-1,-1，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（）。
自考线性代数(04184)经管类复习提纲内含经典例题分类讲解
线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
【讲义】04184线性代数
学习本课程，要求考生具备高中数学的基础知识.本课程是经济管理类（本科）各专业 的公共基础课程，学习本课程又为经济管理类的各专业的后继课程（如经济学等）奠定必要 的数学基础.
四、课程的重点和难点
本课程的重点和难点内容如下： （1）行列式的性质，计算行列式； （2）矩阵的各种运算； （3）判定向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系； （4）线性方程组解的结构和求解方法； （5）实方阵的特征值和特征向量，方阵对角化的条件，方阵对角化的计算方法； （6）实二次型的概念和正定二次型的判别方法.
第五章 特征值与特征向量 ------------------------------------------------------------------------------ 50 第一节 特征值与特征向量 ------------------------------------------------------------------------ 51 第二节 方阵的相似变换 --------------------------------------------------------------------------- 53 第三节 向量内积与正交矩阵 --------------------------------------------------------------------- 57 第四节 实对称矩阵的相似标准形 --------------------------------------------------------------- 58
第二章 矩阵------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 第一节 线性方程组与矩阵的定义 --------------------------------------------------------------- 10 第二节 矩阵运算------------------------------------------------------------------------------------ 11 第四节 分块矩阵------------------------------------------------------------------------------------ 18 第五节 矩阵的初等变换与初等方阵------------------------------------------------------------- 21 第六节 矩阵的秩------------------------------------------------------------------------------------ 25 第七节 矩阵与线性方程组 ------------------------------------------------------------------------ 27
04184线性代数
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a 21 a 22 a 23 = a11 A11 + a 21 A21 + a31 A31 a31 a32 a33
我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 =
∑a
i =1
3
i1
Ai1 =∑ ( −1) i +1 ai1 M i1
= a11a22 L ann
对角行列式
L L L L ann
= a11a22 L ann
（二）行列式的性质
性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 D = D
T
性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数. ，行列式的值改变符号. 性质 3 互换行列式的任意两行（列） 推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元 素上去，所得的行列式仍为 D.
2 1 4 1
例 1 计算行列式 D4 =
3 −1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一 列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2 1 4 1 D4 = 3 −1 2பைடு நூலகம்1
2 1 4 1 2行 + 1×1行 5 0 6 2
第一章 行列式
（一）行列式的定义
04184 线性代数(经管类)
13、已知
A
相似与
=
-1 0
0 2 ，则 A-E =-2
11 1 14、 3 5 6 =6。
9 25 36
15、设 A 为正交阵，则 A 1
16、 ( AB)T BT AT
17、设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=2，则|2A|= 16
18、设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解， 则|A|= 0。
解： 设 A 和 A 分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵．对 A 施以初等行变换： 1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1
A 2 2 2 2 2 1 0 0 4 2 0 1 5 5 9 8 4 5 0 0 6 2 1 0
1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 2 0 1 1 ． 0 0 2 0 1 1 0 0 0 2 2 3
2
7、设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为 AT 8、向量空间V {(x, y, 0)T R3, x, y R} 的维数等于 2。 9、向量空间V 的一组基就是向量组V 的一个极大线性无关组 10、二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 +6x22 +4x32 是正定二次型 11、设1 ， 2 ，…， n 为 n 阶矩阵 A 的行（列）向量组，则向量组1 ， 2 ，…， n 线 性相关的充分必要条件是 A 0 12、若行列式 D 中有两行（列）元素对应相等，则 D 的值为 0
1 1 23
0 1 3
22、设 A 0 1
0 2
2
，B
0
6
1
1 23
1
041841410 线性代数(经管类)
2014年10月高等教育自学考试《线性代数（经管类）》试题课程代码：04184一、单项选择题1．设3阶行列式2111232221131211=a a a a a a ，若元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,=j i ），则=++333231A A A （ D ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 2．设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ，则=A （ A ） A ．-2 B ．21-C ．21 D ．23．设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中（ C ） A ．必有一个零向量B ．任意两个向量都线性无关C ．存在一个向量可由其余向量线性表出D. 每个向量可由其余向量线性表出4．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=466353331A ，则下列向量中是A 的属于特征值-2的特征向量为（ B ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2115．二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题6．设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 5 。
7．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ，则=A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0210。
8．设A 为3阶矩阵，21-=A ，则行列式=-1)2(A 41-。
9．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ，若矩阵A 满足B PA =，则=A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22/321。
10．设向量T )4,1(1-=α，T )2,1(2=α，T )2,4(3=α，则3α由1α，2α线性表出的表示式为2133ααα+-=。
11．设向量组T )1,1,3(1=α，T )0,1,4(2=α，T k ),0,1(3=α线性相关，则数=k -1 。
12．3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003232x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为 1 。
自考04184线性代数(经管类)-自考核心考点笔记-自考重点资料
《线性代数（经管类）》刘吉佑、徐诚浩主编,武汉大学出版社新版第一章行列式1.1 行列式的定义1。
2 行列式行(列）展开1。
3 行列式的性质与计算1。
3 克拉默法则第二章矩阵2。
1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算2.3 分阵的逆矩阵2。
4 分块矩阵2.5 矩阵的初等变换与初等方阵2.6 矩阵的秩2.7 矩阵与线性方程组第三章向量空间3.1 n 维向量概念及其线性运算3。
2 线性相关与线性无关3。
3 向量组的秩3.4 向量空间第四章线性方程组4。
1 齐次线性方程组4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量5。
2 方阵的相似变换5。
3 向量内积和正交矩阵5。
4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型6.1 实二次型及其标准形6。
2 正这二次型和正定矩阵… … （中间部分略）完整版15页请——QQ ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。
从考试大纲来看。
虽然只占13％左右。
但在其他章.的试题中都有必须用到行列式计算的内容.故这部分试题在试卷中所占比例远大于13％.1.1 行列式的定义1。
1。
1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解.解：应用消元法得当时。
得同理得定义称为二阶行列式。
称为二阶行列式的值.记为.于是由此可知。
若.则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数.我们称它为该二阶行列式的值.二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。
使得当后将消去。
得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。
在(6），（7)的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组.定义1。
1。
1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为；类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。
例3 计算例4 （1)(2)例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n 元一次方程组。
《线性代数(经管类)-04184》
参考答案：B您的答案：B
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
15[单选题]
参考答案：C您的答案：C
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
16[单选题]
参考答案：D您的答案：D
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
17[单选题]
参考答案：C您的答案：C
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
18[单选题]
1[单选题]
参考答案：C您的答案：C
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
2[单选题]
参考答案：C您的答案：C
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：3[单ຫໍສະໝຸດ 题]参考答案：D您的答案：D
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
4[单选题]
参考答案：B您的答案：B
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
5[单选题]
参考答案：B您的答案：B
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
6[单选题]
参考答案：B您的答案：B
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
7[单选题]
参考答案：D您的答案：D
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
8[单选题]
参考答案：B您的答案：B
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
9[单选题]
参考答案：A您的答案：A
o收起解析
o试题难度：
31[单选题]
参考答案：D您的答案：D
o收起解析
o试题难度：
o参考解析：
32[单选题]
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
自考04184线性代数(经管类)讲义
自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积和和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积和次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
高等教育自学考试04184线性代数（经管类）-公式必记
高等教育自学考试04184线性代数（经管类）-公式必记1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -? -；③、上、下三角行列式（= ◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -? -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解；④、利用秩，证明()r A n <；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：0A ≠（是非奇异矩阵）；()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ?? ?= ? ??，则：Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----?? ?= ? ? ??；②、111A O A O O B O B ---??=；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ---??= ? ?；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B OB -----??-??=；（拉普拉斯）⑤、11111A O A O C B B CAB -----??= ? ?-；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO= ；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ??Λ= ? ??λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-???? ? ?= ? ? ? ?????；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k-=≠ ? ? ? ???；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --???? ? ?=≠ ? ? ? ?????；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A rB ≤；（※）⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ?? ?的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ??==-??<-?；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ? =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a xb +++= ??+++= +++=?；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?=?= ??? ? ??? ???????（向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ?矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??= ? ? ???；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关?0α=；②、,αβ线性相关?,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关?,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ?=有解；()(,)r A r A B ?=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ?与l n B ?：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C =，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?可由向量组12:,,,n s s A a a a ?线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）1212(,,,)0s s x xx ααα?? ? ?= ? ???有非零解，即0Ax =有非零解；12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=?==?≠?；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a 11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()?=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ?=T C AC B ，其中可逆；T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似1-?=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =?A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ?的正惯性指数为n ；A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ?的所有特征值均为正数； A ?的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ?>>；(必要条件)。
2019年四川小自考《线性代数(经管类)》(课程代码04184)
复习资料《线性代数(经管类)》(课程代码04184) 第一大题：单项选择题1、• A.2• B.-5• C.10• D.-102、• A.19• B.-19• C.16• D.-163、设A是n阶方阵，B是对换A中两列所得到的方阵，若|A|≠|B| ，则下列结论不成立的是（）• A.|A|=0• B.|A|≠0• C.|A+B|=0• D.|A-B|=04、• A.• B.• C.• D.5、向量空间的维数等于（）• A.0• B.1• C.2• D.36、• A.一定线性无关• B.不一定线性无关• C.一定线性相关• D.以上都不对7、已知向量组线性无关，并可由向量组线性表示，且r=s，则• A.向量组(II)必线性相关• B.向量组(II)不一定线性相关• C.向量组(II)必线性无关• D.以上都不对8、• A.• B.• C.• D.以上都不对9、向量分别是属于三阶方阵A的特征值-1,3,4的特征向量，则• A.线性相关• B.线性无关• C.两两正交• D.其和仍是特征向量10、矩阵A与B秩相等，则下述错误的是（）• A.矩阵A与B等价• B.矩阵A与B最高阶非零子式阶数相等• C.矩阵A与B行向量组的极大无关组所含向量个数相等• D.矩阵A与B列向量组的极大无关组所含向量个数相等11、三阶实对称阵A有特征值-1,1,3，则矩阵• A.必正定• B.不一定正定• C.必负定• D.以上都不对12、• A.• B.• C.• D.13、A为任意矩阵，则下列运算无意义的是（）• A.3A• B.• C.• D.14、设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）• A.• B.• C.• D.15、设A为n阶方阵，n≥2，则|-5A| =（）• A.• B.-5|A|• C.5|A|• D.16、向量组,(S>2)线性无关的充分必要条件是( )• A.均不为零向量• B.中任意两个向量不成比例• C.中任意s-1个向量线性无关• D.中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示17、设A为四阶矩阵，且|A|=2 则（）• A.2• B.4• C.8• D.1218、设可由向量 =（1，0，0）=（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是( )• A.（2，1，1）• B.（—3，0，2）• C.（1，1，0）• D.（0, —1,0）19、向量组的秩不为S（）的充分必要条件是（）• A.全是非零向量• B.全是零向量• C.中至少有一个向量可以由其它向量线性表出• D.中至少有一个零向量20、设矩阵A= 正定，则( )• A.k>0• B.K0• C.k>1• D.K 121、下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（）• A.• B.• C.• D.22、3 阶行列式 =中元素的代数余子式 =（ C ）• A.-2• B.-1• C.1• D.223、• A.• B.• C.• D.24、• A.• B.• C.• D.25、设3阶矩阵A=，则的秩为（）• A.0• B.1• C.2• D.326、设A为矩阵，方程=0仅有零解的充分必要条件是（）• A.A的行向量组线性无关• B.A的行向量组线性相关• C.A的列向量组线性无关• D.A的列向量组线性相关27、设行列式D= =3，D1=，则D1的值为（）• A.—15• B.—6• C.6• D.1528、设矩阵 = ，则（）• A.a=3,b= -1,c=1,d=3• B.a= -1,b=3,c=1,d=3• C.a=3,b= -1,c=0,d=3• D.a= -1,b=3,c=0,d=329、设，是=b的解，η是对应齐次方程=0的解，则（）• A.• B.• C.• D.30、设,,,是一个4维向量组，若已知可以表为,,的线性组合，且表示法惟一，则向量组,,,的秩为（）• A.1• B.2• C.3• D.431、设向量组线性相关，则向量组中（）• A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合• B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合• C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合• D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合32、设是齐次线性方程组=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）• A.• B.• C.• D.33、设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是( )• A.• B.• C.• D.34、已知=3，那么 =( )• A.-24• B.-12• C.-6• D.1235、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是( )• A.• B.• C.• D.36、• A.• B.• C.• D.37、• A.• B.• C.• D.38、若四阶方阵的秩为3，则( )• A.A为可逆阵• B.齐次方程组Ax=0有非零解• C.齐次方程组Ax=0只有零解• D.非齐次方程组Ax=b必有解39、设A为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程=0存在非零解的充要条件是( )• A.A的行向量组线性相关• B.A的列向量组线性相关• C.A的行向量组线性无关• D.A的列向量组线性无关40、二次型• A.A可逆• B.|A|>0• C.A的特征值之和大于0• D.A的特征值全部大于041、设行列式=1 , =2, 则= ( )• A.—3• B.—1• C.1• D.342、设矩阵A，B，C为同阶方阵，则=____• A.• B.• C.• D.43、设A为2阶可逆矩阵，且已知= ，则A=（）• A.• B.• C.• D.44、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是（）• A.A的列向量组线性无关• B.A的列向量组线性相关• C.A的行向量组线性无关• D.A的行向量组线性相关45、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为（）• A.• B.• C.• D.46、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3 则||= ( )• A.• B.• C.7• D.1247、设有二次型则（）• A.正定• B.负定• C.不定• D.半正定48、• A.• B.• C.• D.49、设3 阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）• A.E-A• B.-E-A• C.2E-A• D.-2E-A50、设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有一个特征值等于（）• A.• B.• C.2• D.451、二次型的秩为（）• A.1• B.2• C.3• D.452、设3 阶方阵A=[ ,,]，其中（=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[+, ,]|=（）• A.-2• B.0• C.2• D.653、若方程组有非零解，则k=（）• A.-1• B.0• C.1• D.254、设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（）• A.• B.1• C.2• D.455、已知向量组A：中线性相关，那么（）• A.线性无关• B.线性相关• C.可由线性表示• D.线性无关56、向量组的秩为r，且r<s，则（）• A.线性无关• B.中任意r个向量线性无关• C.中任意r+1个向量线性相关• D.中任意r-1个向量线性无关57、若A与B相似，则（）• A.A，B都和同一对角矩阵相似• B.A，B有相同的特征向量• C.A-λE=B-λE• D.|A|=|B|58、设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（）• A.AB=BA• B.• C.• D.59、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（）• A.—1• B.• C.• D.160、• A.• B.• C.• D.61、若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（）• A.0• B.1• C.2• D.362、若2 阶矩阵A 相似于矩阵B= ，E为2 阶单位矩阵，则与矩阵E-A 相似的矩阵是• A.• B.• C.• D.63、下列矩阵是正交矩阵的是( )• A.• B.• C.• D.64、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（）• A.• B.• C.• D.65、二次型的矩阵为（）• A.• B.• C.• D.66、与矩阵A= 相似的是（）• A.• B.• C.• D.67、设A为三阶方阵且|A|=-2,则（）• A.—108• B.—12• C.12• D.10868、如果方程组有非零解,则k=（）• A.—2• B.—1• C.1• D.2 69、• A.• B.• C.• D.70、下列说确的是（）• A.• B.• C.• D.71、• A.• B.• C.• D.72、• A.• B.• C.• D.73、下列向量组一定线性相关的是（）• A.• B.• C.• D.74、• A.• B.• C.• D.75、下列说确的是（）• A.• B.• C.• D.76、• A.s=t• B.两个向量组等价• C.• D.77、• A.• B.• C.• D.78、下列矩阵不能相似对角化的是（）• A.• B.• C.• D.79、A是3阶非零矩，=0，下列说确的是（）• A.A的特征值都是0• B.A不能相似对角化• C.A+E可逆• D.A只有1个线性无关的特征向量80、下列矩阵是正定矩阵的是（）• A.• B.• C.• D.81、下列矩阵可能不是正交矩阵的是（）• A.• B.• C.• D.82、A与B合同的充要条件为（）• A.A与B有相同的特征值• B.A与B有相同的秩• C.A与B有相同的行列式• D.83、• A.• B.• C.• D.84、• A.• B.• C.• D.85、• A.• B.• C.• D.86、• A.0,0,-1• B.0,-1,-1• C.0,0,0• D.-1,-1,-187、下列矩阵不能相似对角化的是（）• A.• B.• C.• D.88、• A.其负惯性指数为0• B.• C.A的特征值全大于0• D.89、• A.• B.• C.• D.90、• A.• B.• C.• D.第二大题：填空题1、42、-143、-1/264、15、-106、11767、28、设实二次型的矩阵A有特征值-3,-1,3，则其正惯性指数为（ 1）9、010、111、设A为5阶方阵，且r(A)=2，则线性空间W={x|Ax=0}的维数为（）312、-2413、设向量α=(1,-3,6)与向量β=(a,6,-12)线性相关，则α=（-2）14、已知A为3阶方阵，|A|=18，且A有两个特征值-2,3，则另一个特征值为（ -3 ）15、116、设A为m×n 矩阵，C是n 阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为___r______.17、二次型的秩为_______2__18、已知3元齐次线性方程组有非零解,则=___2__19、设向量,,,则由线性表出的表示为______ β=α1-α320、设A为n 阶可逆矩阵,已知A 有一特征值为2,则必有一个特征值为__1/4____21、已知=0 为矩阵A= 的2重特征值，则A的另一特征值为_____4___22、已知二次型正定，则数k 的取值围为______k>2_23、设A为三阶方阵且|A|=3 则|2A| = ___24__24、设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程=0的基础解系所含向量的个数是___3_25、设有向量=(1，0，—2），=(3，0，7），=(2，0，6），则，，的秩是___2___26、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E| = __24__27、设与的积（，）=2 ，‖‖=2 ，则积（2 +，—）= ___-8___28、已知3阶行列式 =6 ， = ____1/6_29、设3阶行列式的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则=___-4__30、设向量组=(,1,1), =(1,—2,1) , =(1,1,—2)线性相关，则数=___-2__31、设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为,,则数K =___-1__32、已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=__-4__33、若_____-1__34、已知A有一个特征值-2,则B= + 2E 必有一个特征值____6___35、设A为矩阵,且方程组=0 的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ___1_36、向量组=(1,0,0) =(1,1,0) = (-5,2,0) 的秩是___2____37、设矩阵A= , 若齐次线性方程组=0 有非零解，则数t= ___2_____38、已知向量组=,=,=的秩为2，则数t=__-2____39、已知向量=, 与的积为2，则数K=____2/3____40、设向量为单位向量，则数b=___0___41、设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1 , 且B与A相似,则|2B | =_____-16____42、向量组___2_43、向量正交，则t=___1/5__44、若矩阵A= 与矩阵B= 相似，则x = __2___45、行列式= _____0______46、若则K = ___1/2______47、20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为__0.9___.48、49、50、51、52、53、54、55、56、57、58、59、。