第三章 系统分析-状态方程的解

注：计算结果为封闭的解析形式。
k 1
x(k ) G k x(0) G k j1Hu ( j) j0
返回
2. 引入状态转移矩阵，简化离散系统状态方 程的求解
k 1
x(k ) G k x(0) G k j1Hu ( j) j0
x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1Hu(z)]
为对角阵，则
e 1t
A
2
n
(t) eAt
e2t
e
n
t
（2）若 T-1AT=
1
2
为对角阵，则
n
e 1t (t) eAt T
e2t
T 1
e
nt
（3）A=
0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0
为约旦阵，则
1
1 (t) e At e t 0 0
0
由输出方程可以求出系统的输出解。
• Laplae变换求解
状态方程两边同时求拉氏变换得：
X (s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)
x(t) L1[(sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)]
L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
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1. 一阶齐次微分方程组解的定义
一阶齐次微分方程： x(t) ax(t) 推导
解为：
x(t)
eat
x(0)
(1
at
来自百度文库
1 2!
a2t
2
1 3!
a3t 3
) x0
一阶齐次微分方程组： x(t) Ax(t) ，
解为：
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
(k) Gk
0
1 k k
0
kk 1
k
G可化对角型（变换阵为P）
(k)
Gk
k
P
1
0
0
k 2
0 0
G可化约旦型（变换阵为P）
(k)
Gk
k
P 0
0
0
P
1
3
k
kk k
1
P
1
（3）状态转移矩阵的性质
(k 1) Gk1 (k)G
(0) G0 I 返回
五. 连续系统的离散化
1. 连续系统离散化的意义 意义 2. 连续系统离散化的假设条件
（1）状态转移矩阵的定义及计算：
(k) Gk Z 1[(zI G)1 z]
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu ( j) j0
（2）G 阵为典型结构形式的状态转移矩阵的计算
G为对角型时
1 0
(k)
Gk
0
2
0 0
k
1k
0
0
2 k
0
0
0 0 3
0
0
3k
G为约旦型
X s (sI A)1 x(0)
x(t) L1[(sI A)1]x(0)
返回
(t) eAt L1[(sI A)1]
三.线性定常非齐次状态方程的解
1、非齐次方程解的通式
• 直接求解
• Laplace变换求解
2、典型输入下非齐次方程解 • 脉冲输入 • 阶跃输入 • 斜坡输入
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1.非齐次方程解的通式
t
1 0
1 t2 2!
t 1
1
3! 1
t t
3 2
2!
t
0 0 0 1
书上p58~60页
（4）T-1AT=
0
0
0
1 0 0
0 0
1 t
1
0
为约旦阵，则 (t )
e At
e tT 0
1
1
0
0 0 0 0
1 t2 2!
t 1 0
1
3! 1
t t
3 2
T
1
2!
t
1
（5）若
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）
• 求特征值和特征向量
• 由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
• 求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
• 求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
Laplace变换法
x(t) Ax(t)
sX s x(0) AX (s)
(sI A)X s x(0)
(1) 离散化按等采样周期处理； (2) 采样脉冲为理想脉冲信号； (3) 输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变； (4) 采样周期的选择满足香农定理。
3. 线性定常系统状态方程的离散化方法
(1) 化连续状态方程为离散状态方程
连续系统状态方程： x(t) Ax(t) Bu(t)
x(t ) eAt1 x(0) 1
获得。并可以在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间
里绘制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。
返回
3. 状态转移矩阵的引出 系统由初始条件引起的运动的规律及特性主
要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系
统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小
形式有关与系统的结构及eAt的形式也密切相关，
系统的状态与输出的形式取决与系统结构 初始条件和输入信号的形式，所以在系统为 典型输入信号作用时的状态解和输出解的形 式可以依据上述通式导出。
返回
2． 典型输入下非齐次方程的解
（1） 脉冲 u(t) K (t) 输入下的解为：
x(t) eAt x(0) eAt BK
（2） 阶跃 u(t) K 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
A
，则
(t)
e At
et
cost sin t
sin t cos t
1 1 0 0
[举例1]： 若
A
0 0
0
1 0 0
0 3 0
0
0
4
e te 1t
1t
0
0
则
e At
0
0
e 1t
0
0 e3t
0
0
0
0
0
e
4t
[举例2]： 若
1 1 0
A
0
1
1
0 0
0
0
0
e 1t
返回
单元练习
• 1.已知系统状态方程为，
• 当x(0) 12时，
e2t
x(t)
e 2t
•
当
x(0)
2 1
时，
2et
x(t)
e t
• 试求系统矩阵A和状态转移矩阵。其中:
2、检验下列矩阵是否为系统的状态转移矩阵。若是，求对应 的矩阵A。
（1） e2t
2et
2et
0
2et
2et
Gk x(0) Gk1Hu(0) GHu(k 2) Hu(k 1)
k 1
Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
k 1
得系统状态的迭代计算式为：x(k ) Gk x(0) Gk j1Hu ( j) j0 注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
2
1
1
0
2
0
(7) (t)k (kt)
e e e (8) 若 A B B A ，则有 ( AB)t
nn nn
nn nn
At Bt
注：上述性质由定义导出。
返回
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
2!
i!
2. 几个典型形式的状态转移矩阵
（1）若 1
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k) Hu(k) zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) (zI G)x(z) zx(0) Hu(z) x(z) [(zI G)1 z]x(0) (zI G)1 Hu(z) x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1 Hu(z)]
2!
i!
返回
1阶齐次微分方程的解
返回
x(t) ax(t)
sX s x(0) aX (s)
(s a)X s x(0)
X s 1 x(0)
(s a)
x(t) eat x(0)
2. 齐次方程解的物理意义
由初始条件引起的运动规律为齐次方程的解
x(t) eAt x(0)
确定的，状态向量在任意时刻t1的取值可由
2et
2et 2et
2et
2et
e2t
（2）
et
0
0
0
(1 2t)et
4te 2t
0
tet
(1
2t)e2t
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1. 状态转移矩阵的性质
(1) (0) I
(2) (t) A(t) AeAt
(3) (0) A(0) A
(t) [eAt ] nn
(4) (t t ) (t )(t )
1
2
1
2
(5) 1 (t) (t) 状态转移矩阵的逆为时间的逆转。
(6)
(t t )(t t ) (t t )
e At
0
则
0
te 1t e 1t 0
1 t e2 1t 2 te 1t
e 1t
0
0
0
1
0
0
0
4
0 0
0
e4t
返回
3.一般状态转移矩阵的求法
(1) 利用定义计算
eAt (I At 1 A2t 2 1 Aiti )
2!
i!
(2) 利用Laplace变换计算 eAt L1 (sI A)1
2、引入状态转移矩阵，简化离散系 统状态方程的求解
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1. 差分方程组的求解方法（1）
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
（1） 迭代法
k 0, x(1) Gx(0) Hu(0) k 1, x(2) Gx(1) Hu(1)
G2 x(0) GHu(0) Hu(1) k k 1, x(k) Gx(k 1) Hu(k 1)
x(t) eAt x(0) A1 (eAt I )BK
（3）斜坡 u(t) K t 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
x(t) eAt x(0) [A2 (eAt I ) A1t]BK
注意：线性系统的输出输入特性。
返回
四.离散系统状态方程的解
1、差分方程组的求解方法
• 迭代法 • Z变换法
第三章 状态空间表达式的解
一种分析系统状态和输出特性的直接法
一.线性定常齐次状态方程的解 二.状态转移矩阵 三.线性定常非齐次状态方程的解 四.线性时变系统状态方程的解 五.离散系统状态方程的解 六.连续系统的离散化
一.线性定常齐次状态方程的解
1、线性齐次状态方程解的定义 2、线性齐次状态方程解的物理意义 3、状态转移矩阵的引出
已知系统状态空间表达式为：
x Ax Bu y Cx Du
• 直接法积分求解
t
x(t) (t t0 )x(t0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0 x(t) (t)x(0) (t )Bu( )d
0
初始状态引起的解： x(t) (t)x(0)
输入作用引起的解：
t
x(t) (t )Bu( )d
理论推导可得：取
G(T ) e AT ,
T
H (T ) e At Bdt
为采样周期，
0
时，T
则离散化以后的状态空间表达式为：
x[(k 1)T ] G(T )x(kT) H (T )u(kT)
y[kT] Cx(kT) Du (kT)
例题
连续系统的离散化的意义
线性连续系统的状态方程为1阶微分方程组。可 采用解析法求解。也可以采用数值解法求解， 此时对微分方程做近似解，给出离散采样时刻 的状态方程解的近似值。利用计算机对线性定 常连续系统求数值解是现代科学技术研究中常 用的一种方法，不但方便而且精确。由于实际 工业生产中线性定常连续系统的被控对象需要 在线控制等，必须将连续系统的状态方程化为 离散系统的状态方程，即对矩阵微分方程化成 差分方程，这就是连续系统的离散化。
定义 (t) [eAt ] 为系统状态转移矩阵。显然， nn
状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态 转移矩阵。 x(t) Ax(t) x(t) eAt x(0)
返回
二. 状态转移矩阵
(t) [eAt ] nn
1、状态转移矩阵的性质 2、几个典型形式的状态转移矩阵 3、 一般状态转移矩阵的求法