第三章系统分析-状态方程的解

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信号与线性系统分析第三章

系统描述分析方法
连续系统微分方程卷积积分变换域（傅氏、s）系统函数
离散系统差分方程卷积和变换域（离散傅氏、z）系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应解：零状态响应yzs(k) 满足

第三章线性系统状态方程的解

第三章系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x= 初始条件：00x x t ==２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。

其解为)0()(x e t x At ⋅=。

其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。

若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。

但它一般不能写成指数形式。

（１）幂级数法——直接求解设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)(式中，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。

则当0=t 时， 000b x x t ===为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x = ，得：+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=k k t b t b t b b A上式对于所有的t 都成立，故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K且有：00x b =故以上系数完全确定，所以有：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21)0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义（矩阵指数或矩阵函数）：∑∞==+++++=022!1!1!21K kk k k AttA k t A k t A At I e则)0()(x e t x At⋅=。

现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学

现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.下列语句中，不正确的是（）。

A:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。

B:现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统；C:20世纪50年代中期，空间技术的迅速发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题；D:在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法；答案:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。

2.通过测量输出量，产生一个与输出信号存在函数关系的信号的元件称为（）。

A:给定元件B:放大元件C:反馈元件D:比较元件答案:比较元件3.闭环控制系统的控制方式为（）。

A:按扰动信号控制B:按输入信号控制C:按偏差信号控制D:按反馈信号控制答案:按偏差信号控制4.经典控制理论描述系统的数学模型是由高阶线性常微分方程演变来的传递函数，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:单输入单输出系统C:线性定常系统D:多输入多输出系统答案:单输入单输出系统;线性定常系统5.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:线性时变系统C:多输入多输出系统D:线性定常系统答案:非线性系统;线性时变系统;多输入多输出系统;线性定常系统第一章测试1.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的（）A:对 B:错答案:对2.多输入-多输出系统的U-Y 间的传递函数为（）A:错 B:对答案:对3.由一个状态空间模型可以确定多个传递函数。

信号与线性系统分析--第三章

信号与线性系统分析
第三章离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域时间函数微分方程卷积积分离散时间域离散序列差分方程卷积求和
求解方法
迭代法经典法卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k

可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)

单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数

线性系统理论-郑大钟(3-4章)

1

2 n
n 1 n
t e n
1

0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：

t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)

现代控制理论(8-11讲：第3章知识点)

f () I - A n an1 n1 a1 a0
f (A) An an1An1 a1A a0I 0
f () I - A 2 5 7 0
用A代替λ ，则
f (A) A 5A 7I 0
1 2 2 t 0 0 1t 2! 1 1 1 .. .. 0 nt 1 0
1 2 2 1 k k P (I + At + A t + ... + A t + ...)P 2! k!
11
习题: 2.4 (2) (3) 2.5 (1):1, 2
12
（2）系统矩阵A具有n重特征值: 则
Φ(t ) e
At
i t e Q
te e
i t
i t
0
1 ( n 1) i t ... t e (n 1)! 1 ... ... Q .. tei t i t e
2
15
例2：设矩阵为:
0 0 A 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
试用Cayly-Hamilton定理，求A7-A3+2I。解：
0 1 0 0 1 0 4 1 0 I A 0 0 1 1 0 0
At
e 0 (t )I 1 (t )A an1 (t )A
At
n1
证： A 即
n
an1A
n1
a1A a0I 0
An an1An1 a1A a0I
an1 (an1An1 a1A a0I) an2 A n1 ... a0 A

《控制工程基础》电子教案

《控制工程基础》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解控制工程的概念、内容和研究方法理解控制工程在工程实践中的应用和重要性1.2 控制系统的基本概念定义系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统1.3 控制工程的目标掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性学习控制系统的设计方法和步骤第二章：数学基础2.1 线性代数基础掌握向量、矩阵和行列式的基本运算学习线性方程组和特征值、特征向量的求解方法2.2 微积分基础复习极限、连续性和微分、积分的基本概念和方法应用微积分解决实际问题2.3 复数基础了解复数的概念、代数表示法和几何表示法学习复数的运算规则和复数函数的性质第三章：控制系统分析3.1 传递函数定义传递函数的概念和性质学习传递函数的绘制和解析方法3.2 频率响应分析理解频率响应的概念和特点应用频率响应分析方法评估系统的性能3.3 根轨迹分析掌握根轨迹的概念和绘制方法分析根轨迹对系统稳定性的影响第四章：控制系统设计4.1 控制器设计方法学习PID控制器的设计原理和方法了解模糊控制器和神经网络控制器的设计方法4.2 控制器参数调整掌握控制器参数调整的目标和方法应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整4.3 系统校正和优化理解系统校正的概念和目的学习常用校正方法和优化技术第五章：现代控制理论5.1 状态空间描述了解状态空间的概念和表示方法学习状态空间方程的求解和状态反馈控制5.2 状态估计和最优控制掌握状态估计的概念和方法学习最优控制的目标和求解方法5.3 鲁棒控制和自适应控制理解鲁棒控制的概念和特点了解自适应控制的设计方法和应用场景第六章：线性系统的稳定性分析6.1 稳定性的定义和性质理解系统稳定性的概念和重要性学习稳定性分析的基本方法6.2 劳斯-赫尔维茨准则掌握劳斯-赫尔维茨准则的原理和应用应用劳斯-赫尔维茨准则判断系统的稳定性6.3 李雅普诺夫方法了解李雅普诺夫方法的原理和分类学习李雅普诺夫第一和第二方法判断系统的稳定性第七章：线性系统的控制器设计7.1 控制器设计概述理解控制器设计的目标和重要性学习控制器设计的基本方法7.2 PID控制器设计掌握PID控制器的设计原理和方法应用PID控制器进行系统控制7.3 状态反馈控制器设计了解状态反馈控制器的设计原理和方法学习状态反馈控制器的设计和应用第八章：非线性控制系统分析8.1 非线性系统概述理解非线性系统的概念和特点学习非线性系统分析的基本方法8.2 非线性系统的描述方法学习非线性系统的数学模型和描述方法应用非线性系统分析方法研究系统的性质8.3 非线性控制系统的应用了解非线性控制系统在工程实践中的应用学习非线性控制系统的设计和优化方法第九章：鲁棒控制理论9.1 鲁棒控制概述理解鲁棒控制的概念和重要性学习鲁棒控制的基本方法9.2 鲁棒控制设计方法掌握鲁棒控制设计的原则和方法应用鲁棒控制设计方法设计控制器9.3 鲁棒控制在控制系统中的应用了解鲁棒控制在实际控制系统中的应用学习鲁棒控制在控制系统中的设计和优化方法第十章：控制系统仿真与实验10.1 控制系统仿真概述理解控制系统仿真的概念和重要性学习控制系统仿真的基本方法10.2 MATLAB控制系统仿真掌握MATLAB控制系统仿真工具的使用应用MATLAB进行控制系统仿真和分析10.3 控制系统实验了解控制系统实验的目的和重要性学习控制系统实验的方法和技巧重点和难点解析重点环节1：控制系统的基本概念和特性控制系统的基本概念，包括系统、输入、输出和反馈区分开环系统和闭环系统掌握稳定性、线性、非线性和时变性等控制系统的特性重点环节2：传递函数和频率响应分析传递函数的概念和性质，传递函数的绘制和解析方法频率响应的概念和特点，频率响应分析方法分析根轨迹对系统稳定性的影响重点环节3：控制器设计方法和参数调整控制器设计方法，包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器的设计原理和方法控制器参数调整的目标和方法，应用Ziegler-Nichols方法和频域方法进行参数调整重点环节4：状态空间描述和最优控制状态空间的概念和表示方法，状态空间方程的求解和状态反馈控制状态估计和最优控制的目标和求解方法重点环节5：非线性控制系统分析和鲁棒控制理论非线性系统的概念和特点，非线性系统分析的基本方法鲁棒控制的概念和重要性，鲁棒控制的基本方法重点环节6：控制系统仿真与实验控制系统仿真的概念和重要性，控制系统仿真的基本方法MATLAB控制系统仿真工具的使用，应用MATLAB进行控制系统仿真和分析控制系统实验的目的和重要性，控制系统实验的方法和技巧全文总结和概括：本教案涵盖了控制工程基础的十个章节，主要包括控制系统的基本概念和特性、传递函数和频率响应分析、控制器设计方法和参数调整、状态空间描述和最优控制、非线性控制系统分析和鲁棒控制理论以及控制系统仿真与实验。

基本动态系统分析

图3-1 弹簧的非线性
0
θ1
图3-2 齿轮副空程
用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线性简单。但如果非线性影响较大或者我们必须要考虑它对系统的影响，就不能再用线性关系近似了。
举例介绍微分方程的线性化：
如图3-3所示的单摆系统，Ti (t) 为输入力矩、0 (t)为输出摆角、
m为小球质量、L为摆长。
时间（t） 0
输出量（ V / Vf 1 et / T）
0
T
0.632
2T
0.865
3T
0.950
4T
0.982
5T
0.993
67
0.998
可见，尽管输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个时间常数的时间就十分接近稳态值。
（2）对于正弦输入的稳态响应
周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。
m Ti
mg
图3-3 单摆系统
第二节建立系统方程
这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本概念和解决问题的思路。
一、两个理想元件的连接
电阻和电容有两种接法，如图3-4a的并联，两个元件具有
C
i
1R
ic
i
iR 2
1
R2C 3
iR
ic
相同的电压；如图34b的串联，两个元件
a
b
图3-4 电阻和电容的并联和串联
这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时的元件特性作一总结：
（1）惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。

3.3 线性时变连续系统状态方程的解

Ch.3 线性系统的时域分析
目录(1/1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目录
� � � � � � � � 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题本章小结
状态转移矩阵的性质 (4/8)
4) 对角线矩阵的状态转移矩阵。如果时变的系统矩阵A(t) 如下表示的对角线矩阵。 A(t)=diag{a11(t) a22(t) … ann(t)} 式中,aii(t)(i=1,2,…,n)为标量函数,则A(t)的状态转移矩阵Φ (t,t0)为如下对角线矩阵。 Φ(t,t0)=diag{ϕ11(t,t0) ϕ22(t,t0) … ϕnn(t,t0)} 式中 , ϕii(t,t0)(i=1,2,…,n) 为满足如下标量微分方程的状态转移函数
Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ1 )Φ (τ1 , t0 )dτ1
t0 t
状态转移矩阵的求解(2/7)
Φ(t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) Φ(τ 1 , t 0 )dτ 1
t0 t
� 如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有
Φ(τ1 , t0 ) = I + ∫ A(τ 2 )Φ(τ 2 , t0 )dτ 2
̇ ( t , t ) = A ( t ) Φ (t , t ) ⎧Φ i 0 i i 0 ⎨ ⎩ Φ i (t 0 , t 0 ) = I
i = 1, 2,..., l
—例 3-9 6/8)— 状态转移矩阵的性质(6/8)
9 求如下时变系统的状态转移矩阵Φ(t,t0)。 � 例33-9

第三章系统分析-状态方程的解

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1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0

t
t0 0

x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1

0 0
0 1

0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!

线性系统理论第三章

为约旦标准型
J1 0
A
P 1AP
0
J2
0 A PAP 1
0
0
0
J
n
i 1
Ji
0
i
0
0
0
1
i nini
, eJit
如何计算矩阵指数函数 eAt ？
§3.2 矩阵指数函数的计算
Linear system theory
1. 拉普拉斯变换方法：
eAt I
At
1
A2t 2
2!
两边取拉普拉斯变换，有
1 Ak t k
k0 k !
L
e At
L
I
At
1 2!
A2t
2
1 s
I
1 s2
A
1 s3
A2
另外一方面，有
exp[(M 1AM )t] M 1eAt M = exp[(M 1AM )t]
(M 1AM )k t k
M 1 Ak M t k
M 1(
Ak t k )M = M 1eAt M
k 0
k ! k0
k!
k0 k !
§3.1 状态方程的解
Linear system theory
3. 强迫运动：当 u(t) 0，给定
t2 )
A2
(
t12 2!
t1t2
t22 ) 2!
A3 (t13 3!
t12t2 2!
t1t22 2!
t23 ) 3!
Ak ( t1k
t1k 1t2
t1k
t2 2 2
k ! (k 1)! (k 2)!
t12t2k2 t1t2k2 t2k ) = e A(t1t2 ) 2!(k 2)! (k 1)! k !

3.5线性时变系统状态方程的解

x( k +1 T =I +T ( kT) x( kT) +T ( kT) u( kT) , B ) A
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中：其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化考虑系统：考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为：其状态方程的解为：
第三章状态方程的解第一项是由初始状态引起的响应；第一项是由初始状态引起的响应；第二项是由控制输入引起的响应。第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,

计算机控制系统---第三章

的z变换。
解：
另一种由F(s) 求取F(z) 的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论
利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分分式展开
已知
，通过部分分式展开法求F(z) 。
MATLAB程序：
F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)； %传递函数F(s)进行符号定义
即得到
3.4.4 干扰作用时闭环系统的输出
根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。
G(z)
Z
1
esT s
G1(s)G2 (s)
R(s)单独作用时的系统输出[N(s)=0]
干扰单独作用时的系统输出[R(s)=0]
共同作用时的系统输出
图3-13 有干扰时的计算机控制系统
图3-10采样控制系统典型结构
一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：
C(z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
3.4.3 计算机控制系统的闭环脉冲传递函数
1. 数字部分的脉冲传递函数
控制算法，通常有以下两种形式：
差分方程
脉冲传递函数D(z)
(z变换法)
连续传递函数
2. 由脉冲传递函数求差分方程
z反变换
z反变换
3.4.1 环节串联连接的等效变换
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
3.4.1 环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：

第3章有限元分析的数学求解原理-三大步骤

U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi

0 X
y
¼ 1-9 Í

ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j

x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移最小势能原理：中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中

U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是的转置矩阵。
T

*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法

求状态方程的时域解

求状态方程的时域解状态方程（State Equation）是描述动态系统的数学模型，它能够描述系统的状态如何随时间变化。

在控制论中，求解状态方程的时域解在设计和分析控制系统中具有重要意义。

本文将介绍状态方程的定义、求解方法以及时域解的计算过程。

状态方程的定义状态方程是用微分方程的形式表示的动态系统。

一般形式的状态方程可以表示为：dx(t)/dt = A(t) * x(t) + B(t) * u(t)其中，x(t)是状态向量，表示系统在时间t的状态，u(t)是输入向量，表示在时间t的输入，A(t)和B(t)是矩阵，它们表示系统的动态特性。

该方程描述了系统状态的变化率以及输入对状态的影响。

解法求解状态方程的时域解需要通过求解微分方程来获取。

具体的解法主要有两种：利用拉普拉斯变换求解和利用差分方程求解。

1. 利用拉普拉斯变换求解在连续时间域中，可以利用拉普拉斯变换来求解状态方程的时域解。

具体步骤如下：1.将状态方程中的微分方程用拉普拉斯变换转换为代数方程。

2.根据已知的初始条件，建立方程的初始条件。

3.根据所求解的变量进行移项整理，求解出未知变量的表达式。

4.对拉普拉斯域变换的结果进行逆变换，得到时域解。

2. 利用差分方程求解在离散时间域中，可以利用差分方程来求解状态方程的时域解。

具体步骤如下：1.将状态方程中的微分方程用差分方程转换为代数方程。

2.根据已知的初始条件，建立方程的初始条件。

3.根据差分方程的表达形式，利用递推关系计算出未知变量的取值。

4.得到差分方程的解，并将其转换为时域解。

时域解的计算过程下面将以连续时间域为例，介绍求解状态方程的时域解的计算过程。

1. 利用拉普拉斯变换求解假设我们有一个一阶线性连续时间不变系统，状态方程为：dx(t)/dt = A * x(t) + B * u(t)其中x(t)是一个列向量，u(t)是输入的标量，A和B是常数矩阵。

首先，我们将方程两边进行拉普拉斯变换，得到：sX(s) - x(0) = A * X(s) + B * U(s)其中X(s)和U(s)是x(t)和u(t)的拉普拉斯变换，s是拉普拉斯变换的复变量。

自动控制原理状态方程知识点总结

自动控制原理状态方程知识点总结自动控制原理中的状态方程是描述系统动态行为的一种数学模型。

通过分析系统的输入和输出，可以利用状态方程来预测系统的响应和稳定性。

本文将对状态方程的基本概念、求解方法以及应用进行总结。

一、状态方程的基本概念状态方程（State Equation）是指用代表系统参数和输入的变量来描述控制系统中元件状态随时间变化的关系表达式。

一般形式如下所示：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)表示状态向量，代表系统的状态变量；u(t)为输入向量，指系统的输入信号；y(t)为输出向量，代表系统的输出信号；A、B、C、D为系统的参数矩阵。

二、状态方程的求解方法1. 直接求法：通过系统的关系方程，将所有元件的微分方程组合在一起，得到状态方程。

这种方法适用于简单且线性的系统。

2. 简化求法：对于线性定常系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，然后通过代数求解的方法得到状态方程。

3. 传递函数转换法：对于已知系统的传递函数，可以通过传递函数转换为状态方程的形式。

通过分子多项式的展开和分母多项式的因式分解，得到状态方程的形式。

三、状态方程的应用1. 系统分析：通过状态方程可以推导系统的稳定性、响应特性等。

可以通过分析系统的状态转移矩阵，判断系统的稳定性和控制性能。

2. 系统设计：利用状态方程可以进行系统的控制器设计。

可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵，使系统满足不同的控制要求。

3. 系统仿真：借助计算机仿真工具，可以利用状态方程对系统进行仿真分析，模拟不同输入下系统的响应和稳定性，从而指导实际系统的控制设计。

总结：状态方程是自动控制原理中的重要概念，能够用数学模型描述系统的动态行为。

掌握状态方程的基本概念、求解方法和应用，对于理解和设计控制系统具有重要意义。

通过本文的介绍，相信读者已经对状态方程有了更深入的理解和认识。

让我们在自动控制原理的学习中更加游刃有余，应用自如。

线性连续系统的离散化

0 H 0.001
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采样周期T下,将连续系统的状态方程
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1 - e 2T ) / 2 G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dtB
0 T T 0
1 (1 - e 2t ) / 2 0 1 2T - (1 - e 2T ) dt 2t 2T 1 4 e 0 2(1 - e )
由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。
近似离散化方法(3/6)—例3-12
由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜太小。例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:
x(k 1) Φ[(k 1)T , kT ]x(k )
( k 1)T kT

《状态方程的解》课件

解的误差分析
误差来源
主要来源于初始值选取、迭代过程和数值方法的近似误差。
误差传播
误差在迭代过程中会不断累积和放大，影响最终求解精度。
误差控制
通过收敛性分析和敏感性分析，控制误差在可接受范围内。
THANKS
感谢您的观看
03
状态方程的解的性质
解的存在性
01
存在性定理
对于给定的状态方程，存在至少一个解。
证明方法
02
03
应用场景
使用反证法，假设不存在解，然后推导出矛盾，从而证明解的存在性。
在控制工程、物理、化学等领域，经常需要求解状态方程，因此解的存在性非常重要。
解的唯一性
1 2
唯一性定理
对于给定的初始条件和状态方程，解是唯一的。
《状态方程的解》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 状态方程的基本概念 • 状态方程的解法 • 状态方程的解的性质 • 状态方程的解的实例 • 状态方程解的进一步研究
01
状态方程的基本概念
定义与性质
定义
状态方程是描述系统状态随时间变化的数学模型，通常表示为微分方程或差分方程。
性质
状态方程具有非线性、时变性和不确定性等特点，描述了系统内部状态与外部输入之间的动态关系。
证明方法
通过数学推导和证明，证明解的唯一性。
3
应用场景
在很多实际问题中，我们需要找到唯一的解来解决问题，因此解的唯一性非常重要。
解的稳定性
稳定性定义
如果一个解在微小扰动下仍然保持其性质，则称该解是稳定的。
稳定性分类
根据不同的标准，可以将稳定性分为多种类型，如局部稳定性和全局稳定性、渐进稳定性和非渐进稳定性等。

第三章系统分析-状态方程的解

2!
i!
(2) 利用Laplace变换计算 eAt L1 (sI A)1
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算（利用状态转移矩阵的性质计算）
• 求特征值和特征向量
• 由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
• 求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
• 求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
Laplace变换法
L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
系统的状态与输出的形式取决与系统结构初始条件和输入信号的形式，所以在系统为典型输入信号作用时的状态解和输出解的形式可以依据上述通式导出。
返回
2．典型输入下非齐次方程的解
（1）脉冲 u(t) K (t) 输入下的解为：
2et
2et 2et
2et
2et
e2t
（2）
et
0
0
0
(1 2t)et
4te 2t
0
tet
(1
2t)e2t
0
0
为约旦阵，则
1
1 (t) e At e t 0 0
t
1 0
1 t2 2!
t 1
1
3! 1
t t
3 2
2!
t
0 0 0 1
书上p58~60页
（4）T-1AT=
0
0
0
1 0 0
0 0
1 t
1
0
为约旦阵，则 (t )
e At
e tT 0
1
1
0
0 0 0 0
1 t2 2!
[举例2]：若
1 1 0
A
0

控制系统工程导论课后习题问题详解

第一章概论习题及及解答1-1 试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统实例，并说明它们的工作原理。

略1-2. 图1-17是液面自动控制系统的两种原理示意图。

在运行中，希望液面高度0H 维持不变。

1．试说明各系统的工作原理。

2．画出各系统的方框图，并说明被控对象、给定值、被控量和干扰信号是什么?()a 工作原理：出水量2θ与进水量一致，系统处于平衡状态，液位高度保持在0H 。

当出水量大于进水量，液位降低，浮子下沉，通过连杆使阀门1L 开大，使得进水量增大，液位逐渐回升；当出水量小于进水量，液位升高，浮子上升，通过连杆使阀门1关小，液位逐渐降低。

其中被控对象是水槽，给定值是液面高度希望值0H 。

被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。

()b 工作原理：出水量与进水量一致系统处于平衡状态，电位器滑动头位于中间位置，液面为给定高度0H 。

当出水量大于（小于）进水量，浮子下沉（上浮）带动电位器滑动头向上（下）移动，电位器输出一正（负）电压，使电动机正（反）转，通过减速器开大（关小）阀门1L ，使进水量增大（减小），液面高度升高（降低），当液面高度为0H 时，电位器滑动头处于中间位置，输出电压为零，电动机不转，系统又处于平衡状态。

其中被控对象是水槽，给定值为液面高度希望值0H ，被控量是液面实际高度，干扰量是出水量2θ。

()a ，()b 系统结构图如下图1-3 什么是负反馈控制?在图1-17(b)系统中是怎样实现负反馈控制的?在什么情况下反馈极性会误接为正，此时对系统工作有何影响?解：负反馈控制就是将输出量反馈到输入端与输入量进行比较产生偏差信号，利用偏差信号对系统进行调节，达到减小或消除偏差的目的。

图1-17()b系统的输出量液面实际高度通过浮子测量反馈到输入端与输入信号（给定液面高度）进行比较，如果二者不一致就会在电位器输出一电压值——偏差信号，偏差信号带动电机转动，通过减速器使阀门1开大或关小，从而进入量改变，当输出量——液面实际高度与给定高度一致偏差信号为0，电机，减速器不动，系统又处于平衡状态。

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