概率论与数理统计第三章第三节(概率统计)
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1 1 21 2
21 2 1 2
, 从而ρ = 0.
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综上所述, 得到以下的重要结论:
定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与
Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0. 讲评: 随机变量的独立性往往由实际问题确定. 在
独立的情况下, 边缘分布唯一确定联合分布, 这
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因此, 如果ρ = 0, 则对于所有的
实数x和y, 有 f (x, y)=fX(x)fY(y), 即
X和Y相互独立.
反之, 如果X和Y相互独立,由于f (x,y),
fX(x), fY(y)都是连续函数, 故对于所有的x和y
有
f (x,y)=fX(x)fY(y). 特别地, 令x =μ1, y =μ2, 由上述等式得到
上页 下页 返回
具体地, 对离散型与连续型随机变量的 独立性,可分别用分布律与概率密度描述. 定理1 (1)离散型随机变量X与Y相互独立 的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值(xi, yj), 有 P{X= xi,Y= yj}= P{X= xi}P{Y= yj}, (3.3.1) (2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要 条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y)
上页 下页
其中i j=1,2,…. (3.3.2)
返回
几乎处处成立.
例3.3.1 设随机变量(X, Y)的分布律及边缘
分布律如下表：
Y 1 X 0
1 6
1
1 3
1 3
2 3
p.j
1 2
问X与Y是否相互独立？
2 pi.
1 6 1 3
1 2
1
解 因为 P{X=0, Y=1}=
P{X=0, Y=2}=
1 6
2 2 1 x , 1≤x≤1, f X ( x) π 0, 其它. 可见, 得到以下的关系:
fX (x) fY (y)≠f(x,y). 因此, X与Y不相互独立. 讲评 此题是连续型随机变量的独立性
问题. 在第四章的不相关问题中还要用此题 上页 下页 返回 .
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= f ( x1 , x2 , xn )dx1dx2 dxn , (3.3.4) 则称f (x1, x2,…, xn)为连续型随机变量(X1, X2,…, Xn)的概率密度. 设(X1, X2,…, Xn)的分布函数F(x1, x2,…, xn) 为已知, 则(X1, X2,…, Xn)的k(1≤k≤n)维边缘 分布函数就随之确定. 例如(X1, X2,…, Xn)关于X1和关于(X1, X2) 的边缘分布函数分别为
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3.3.1 提出问题
(1) 联合分布函数和边缘分布函数 在X与Y独立的情况下关系如何？一般情况下 关系如何? (2) 离散型随机变量与连续型随机变量独 立的充要条件是什么？
3.3.2 预备知识
1.事件的独立性,联合分布律与联合概率 密度,边缘分布律与边缘概律密度；
2.充分必要条件, n重积分及其反常积分 表示. 上页 下页 返回
3.3.3 建立理论与方法应用
随机变量的独立性是概率论与数理统计
中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相
互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B
是相互独立的,当且仅当它们满足
P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性
.
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设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},
试证X与Y相互独立的充要条件是ρ = 0. 证 由例3.1.6知道,边缘概率密度fX(x)和 fY(y)的乘积为
1 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 f X ( x ) fY ( y ) exp . 2 2 2 1 2 2 2 1 1
样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变
量的问题. 所以独立性是非常值得重视的概念
之一.
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2. n维随机变量的相关理论
关于多个随机变量的有关理论, 可
由二维随机变量的一些概念推广得到. n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数定义 为 F(x1, x2,…, xn)=P{ X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn}, 其中x1, x2,…, xn为任意实数. 若存在非负函数f (x1, x2,…, xn), 使得对于 任意实数x1, x2,…, xn有如下的关系:
= P{X=0}P{Y=1}, = P{X=0}P{Y=2},
1 6
P{X=1, Y=1}=
1 3
= P{X=1}P{Y上页 =1}, 下页
返回
P{X=1, Y=2}=
1 3
= P{X=1}P{Y=2},
因此 X, Y是相互独立的. 讲评 此题是离散型随机变量的独立性
问题.
上页
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例3.3.2 继续解读例3.2.2：设二维随机 变量(X, Y)的概率密度为
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
内容简介:随机变量的独立性是研究两个 或几个随机变量之间的影响关系. 独立性是 概率论与数理统计中的一个很重要的概念， 同时也是非常实用的方法, 它是由随机事件 的相互独立性引申而来的. 我们重点学习如 何判定独立性.
{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}
相互独立,相当于下式成立
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成分布函数
形
F(x,y)=FX(x)FY(y).
定义1 设X,Y是两个随机变量, 其联合分
布函数为F(x, y). 若 F(x, y)= FX(x)FY(y), 则称 随机变量X与Y相互独立.
1 , f ( x, y ) π 0, x y ≤1,
2 2
其它.
问连续型随机变量X与Y是否相互独立?
解 由例3.2.2已知关于Y的边缘概率密度为
2 2 1 y , 1≤y≤1, fY ( y ) π 上页 .下页 0, 其它
返回
由x和y的对称性，得到关于X的边缘概 率密度为
例3.3.3 设(X,Y)是二维正态随机变量, 它的概率密度为
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 ( x 1 ) 2 f ( x, y) exp 2 2 2 2 2 1 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 1
21 2 1 2
, 从而ρ = 0.
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综上所述, 得到以下的重要结论:
定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与
Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0. 讲评: 随机变量的独立性往往由实际问题确定. 在
独立的情况下, 边缘分布唯一确定联合分布, 这
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因此, 如果ρ = 0, 则对于所有的
实数x和y, 有 f (x, y)=fX(x)fY(y), 即
X和Y相互独立.
反之, 如果X和Y相互独立,由于f (x,y),
fX(x), fY(y)都是连续函数, 故对于所有的x和y
有
f (x,y)=fX(x)fY(y). 特别地, 令x =μ1, y =μ2, 由上述等式得到
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具体地, 对离散型与连续型随机变量的 独立性,可分别用分布律与概率密度描述. 定理1 (1)离散型随机变量X与Y相互独立 的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值(xi, yj), 有 P{X= xi,Y= yj}= P{X= xi}P{Y= yj}, (3.3.1) (2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要 条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y)
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其中i j=1,2,…. (3.3.2)
返回
几乎处处成立.
例3.3.1 设随机变量(X, Y)的分布律及边缘
分布律如下表：
Y 1 X 0
1 6
1
1 3
1 3
2 3
p.j
1 2
问X与Y是否相互独立？
2 pi.
1 6 1 3
1 2
1
解 因为 P{X=0, Y=1}=
P{X=0, Y=2}=
1 6
2 2 1 x , 1≤x≤1, f X ( x) π 0, 其它. 可见, 得到以下的关系:
fX (x) fY (y)≠f(x,y). 因此, X与Y不相互独立. 讲评 此题是连续型随机变量的独立性
问题. 在第四章的不相关问题中还要用此题 上页 下页 返回 .
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= f ( x1 , x2 , xn )dx1dx2 dxn , (3.3.4) 则称f (x1, x2,…, xn)为连续型随机变量(X1, X2,…, Xn)的概率密度. 设(X1, X2,…, Xn)的分布函数F(x1, x2,…, xn) 为已知, 则(X1, X2,…, Xn)的k(1≤k≤n)维边缘 分布函数就随之确定. 例如(X1, X2,…, Xn)关于X1和关于(X1, X2) 的边缘分布函数分别为
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3.3.1 提出问题
(1) 联合分布函数和边缘分布函数 在X与Y独立的情况下关系如何？一般情况下 关系如何? (2) 离散型随机变量与连续型随机变量独 立的充要条件是什么？
3.3.2 预备知识
1.事件的独立性,联合分布律与联合概率 密度,边缘分布律与边缘概律密度；
2.充分必要条件, n重积分及其反常积分 表示. 上页 下页 返回
3.3.3 建立理论与方法应用
随机变量的独立性是概率论与数理统计
中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相
互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B
是相互独立的,当且仅当它们满足
P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性
.
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设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},
试证X与Y相互独立的充要条件是ρ = 0. 证 由例3.1.6知道,边缘概率密度fX(x)和 fY(y)的乘积为
1 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 f X ( x ) fY ( y ) exp . 2 2 2 1 2 2 2 1 1
样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变
量的问题. 所以独立性是非常值得重视的概念
之一.
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2. n维随机变量的相关理论
关于多个随机变量的有关理论, 可
由二维随机变量的一些概念推广得到. n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数定义 为 F(x1, x2,…, xn)=P{ X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn}, 其中x1, x2,…, xn为任意实数. 若存在非负函数f (x1, x2,…, xn), 使得对于 任意实数x1, x2,…, xn有如下的关系:
= P{X=0}P{Y=1}, = P{X=0}P{Y=2},
1 6
P{X=1, Y=1}=
1 3
= P{X=1}P{Y上页 =1}, 下页
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P{X=1, Y=2}=
1 3
= P{X=1}P{Y=2},
因此 X, Y是相互独立的. 讲评 此题是离散型随机变量的独立性
问题.
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例3.3.2 继续解读例3.2.2：设二维随机 变量(X, Y)的概率密度为
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
内容简介:随机变量的独立性是研究两个 或几个随机变量之间的影响关系. 独立性是 概率论与数理统计中的一个很重要的概念， 同时也是非常实用的方法, 它是由随机事件 的相互独立性引申而来的. 我们重点学习如 何判定独立性.
{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}
相互独立,相当于下式成立
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成分布函数
形
F(x,y)=FX(x)FY(y).
定义1 设X,Y是两个随机变量, 其联合分
布函数为F(x, y). 若 F(x, y)= FX(x)FY(y), 则称 随机变量X与Y相互独立.
1 , f ( x, y ) π 0, x y ≤1,
2 2
其它.
问连续型随机变量X与Y是否相互独立?
解 由例3.2.2已知关于Y的边缘概率密度为
2 2 1 y , 1≤y≤1, fY ( y ) π 上页 .下页 0, 其它
返回
由x和y的对称性，得到关于X的边缘概 率密度为
例3.3.3 设(X,Y)是二维正态随机变量, 它的概率密度为
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 ( x 1 ) 2 f ( x, y) exp 2 2 2 2 2 1 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 1