量子力学义IV表象理论(矩阵表述)
第五章量子力学的表象变换与矩阵形式
一维无限深势 阱能量表象中 能量的矩阵元
一维谐振子能 量表象中能量 的矩阵元
E1. 0 0
Emn
0
E2 0
3 2
Emn 0
0
5
2
0
0
在动量空间中，
算符F的矩阵元
FP'P
p'
(
x)
Fˆ
p
(x)dx
矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵 （diagonal matrix ）, 当Fmn=1, 称为单位矩阵（unit matrix）,表示为I＝(δmn).
p11
i
2a2
sin x cos xdx
2a
2a
p12
i
a2
sin x cos 2 xdx
2a
2a
p21
i
2a2
sin 2 x cos xdx
2a
2a
p22
i
a2
sin 2 x cos 2 xdx
2a
2a
Q在自身表象中的矩阵元
Qum (x) Qmum (x)
Qm为Q在自身空间中的的本征值
所以
a* n (t)an (t) 1
n
an 2 是对应力学量Q取不同能量本征值的几率
数列a1(t), a2 (t), a3(t),...an (t)..
可表示成一 列矩阵的形 式
a1(t)
a2 (t)
an (t)
其共轭矩阵
为一行矩阵
a*1(t), a*2 (t),... a*n (t),...
（1’）
在此坐标中，矢量A表示成
A A1e'1 A2e'2
量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
量子力学的矩阵形式和表象变换
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。
3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。
ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。
3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。
(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表象理论
a
25
§4.2 矩阵力学表述
• 归一条件
a
26
§4.2 矩阵力学表述
• 本征值方程
a
27
§4.2 矩阵力学表述
a
28
§4.2 矩阵力学表述
a
29
§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化源自§4.3 么正变换a
45
§4.3 么正变换
➢一种新的求本征值的方案通过么正变换使 矩阵对角化？并不简易
a
46
§4.3 么正变换
a
47
§4.3 么正变换
➢么正变换不改变矩阵F的阵迹
a
48
§4.3 么正变换
➢演化算符，含时间的么正变换
a
49
§4.4 狄拉克符号
➢目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具 体的表象
• 动量表象：
a
6
§4.1 态和算符的表象表示
• 任意表象：
a
7
§4.1 态和算符的表象表示
a
8
§4.1 态和算符的表象表示
➢说明： • 列矩阵是在Q表象中的波函数 • Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、
可以是无穷维、空间维数＝本征函数系中本 征函数的个数 • 若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本 征态展开式中只有一项
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
复旦大学 苏汝铿
a
1
a
2
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
➢本章目的： ▪ 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量
等方案－－表象 ▪ 找出不同表象之间的相互关系和变换规则－
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学 表象理论
⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ i 1 − h E21t ⎟ e ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ⎠ 1 e
i − E10t h
（9）
2 力学量算符在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 ∧ ∂ 2.1 任意力学量算符 F ( x,−ih ) 在 Q 表象中的表示 ∂x
* Fnm = Fmn
（15） （16）
当 m = n 时，对角矩阵元
* Fmm = Fmm
即对角矩阵元为实数 （3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知 ~* + * Fmn = Fmn = Fnm = Fmn 这样的矩阵称为厄米矩阵 （4）算符 F 在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当 F = Q 时，有
∧
5
∧ v ∧ v v v v * v ( x) p′p′′ = ∫ u * p′ ( r ) xu p′′ ( r ) dr = ∫ u p′ ( r ) xu p′′ ( r )dr
=
v v v ( p′′ − p′ )⋅r v 1 ∂ ∂ v v h h ( i ) e dr = ih δ ( p ′ − p ′′) 3 ∫ ′ ′ ∂p x ∂p x (2πh)
共厄矩阵为
（4）
ψ + = a1* (t ) a 2 * (t ) L a n * (t )
2 2 n
(
)
（5）
体系的归一化条件 ∫ ψ ( x, t ) dx = ∑ a n (t ) = 1 写为矩阵形式为
ψ +ψ = 1
1.3 讨论
（6）
（1）Q 表象中状态的描述 {a n (t )}依赖于坐标表象中力学量 Q 的本征函数系 {u n ( x)}，每 一个 u n ( x) 必定给出ψ 在 Q 表象中的一个对应数 a n (t ) ，可见 几何空间坐标轴 ⇔ {u n ( x)} ⇔ Q 表象的基矢 几何空间中的矢量 ⇔ ψ ⇔ 态矢 态矢ψ 在 Q 表象基矢上的分量 {a n (t )}构成了ψ 在 Q 表象中的表示， 由于 {a n (t )}构 成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的 ⇒ 希尔伯特空间（态空间） （2）对于连续谱，
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
（二）希尔伯特（Hilbert）空间
一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成 一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个 量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个 “矢量”，称为态矢量。
如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基
矢 {eˆ1, eˆ2, eˆ3}，即建立坐标系，空间中的任何矢量
新的基矢组：
(',') —F ' 表象或Q'表象
任意态矢量
a'';
在F' 表象下的矩阵表示
a'(',)
a'(',)
a '1
a
'2
F'表象下的 具体表示
（四）表象之间的变换—幺正变换
F表象： akk; F'表象： a''
k
a''akk
k
左乘' 再取标积
a' (',k)ak
线性方程组(I)有非零解得条是系数行列式等于0：
L11 L12
相应的表象变换称为幺正变换。
幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。 因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的 大小，即相应的概率不变。
§2 力学量算符的矩阵表示
力学量算符 Lˆ 作用于量子态后变成另一态
Lˆ (不涉及表象)
因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。
一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符 （线性映射）就有了具体的数学表示：
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
本章要求
1. 了解量子态在不同表象下的矩阵表示以 及表象之间的幺正变换（幺正矩阵）。
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
量子力学的矩阵表示简介
-/§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ 基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示-/态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数 )(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm nˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。
第七章量子力学的矩阵表述
7.18
2 本征方程
Fφk = λkφk
7.19
或
(F − λk I )φk = 0
7.20
把矩阵元写出来 即
F11 − λk
F21
F31 M
F12 F22 − λk
F32 M
F13 F23 F33 − λk M
OLLL
d1 d2 d3 M
=
0
7.21
这是关于 {d k }的线性齐次方程组 它有非平庸解的充分必要条件是系数行列式等于零
Sin Fnm S + mj
n,m
h,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
7.41
利用 7.33 得逆变换
F = S + F ′S
7.42
7.41 和 7.42 即算符变换公式
三 表象变换下的不变量和不变形式
1. 不变量 物理测量结果应该与态空间的基底选择无关 因此是表象变换下的不变量 此外 一
些态矢量的 几何性质 也是不变量 1 内积
∑ ψ (x) = cnϕ n
n
7.3
cn 2 是在ψ (x) 态中测量力学量 A 得到值α n 的概率 ]
一 态的矩阵表述
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 用量子态的分量来表示量子态
以分立谱为例 设某力学量 A 的正交归一本征态集为{ϕ n } 它是完备的 可以作为
态空间的基底 即任意态可表示为
和是没有意义的 引入共轭态矢是为了方便地表示内积 若基底是正交归一的 则ψ 与另
一态矢φ 它的分量为{bn } 的内积 (ψ ,φ ) 可表示成
b1
b2
( ) ∑ ψ +φ = c1∗
量子力学的矩阵表象解释
量子力学的矩阵表象解释量子力学是描述微观粒子行为的理论，它与经典力学有着根本的区别。
在量子力学中，我们无法准确地确定粒子的位置和动量，而是通过波函数来描述粒子的状态。
而在量子力学中，矩阵表象是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们理解和计算量子系统的性质。
矩阵表象是一种数学表示方法，它将量子力学中的算符（operator）表示为矩阵形式。
在矩阵表象中，波函数被表示为一个列矢量，而算符被表示为一个方阵。
通过矩阵的乘法运算，我们可以计算出量子系统的各种物理量。
在矩阵表象中，波函数的演化由薛定谔方程描述。
薛定谔方程可以写成矩阵形式，即iħdψ/dt = Hψ，其中ħ是普朗克常数，H是哈密顿算符。
通过求解这个矩阵方程，我们可以得到波函数随时间的演化。
在量子力学中，我们可以通过测量来获取粒子的物理量。
而在矩阵表象中，物理量由算符表示。
例如，位置算符由一个对角矩阵表示，其对角线元素是位置的本征值。
动量算符由一个反对称的矩阵表示，其非对角线元素是动量的本征值。
矩阵表象的一个重要应用是求解量子力学中的定态问题。
定态问题是指求解具有确定能量的量子系统的波函数。
在矩阵表象中，定态问题可以转化为求解矩阵的本征值问题。
通过求解本征值问题，我们可以得到系统的能级和相应的波函数。
除了定态问题，矩阵表象还可以用于描述量子系统的演化。
量子系统的演化可以通过时间演化算符来描述。
在矩阵表象中，时间演化算符可以表示为一个幺正矩阵。
通过将幺正矩阵作用于波函数，我们可以得到系统随时间的演化。
矩阵表象的另一个重要应用是描述量子力学中的测量过程。
在量子力学中，测量过程会导致波函数的坍缩，即波函数从一个叠加态坍缩到一个确定态。
在矩阵表象中，测量过程可以用投影算符来描述。
投影算符是一个厄米矩阵，它的本征值为0或1。
当测量得到某个本征值时，波函数会坍缩到对应的本征态上。
总结起来，量子力学的矩阵表象是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们理解和计算量子系统的性质。
4.6 量子力学的矩阵形式和表象变换
an给(t出) 2在
态(中r,测t)量粒子的力学量Q 取 值的几q率n。
69
13
以上讨论与三维矢量空间一矢量的表示很类似。
三维矢量空间
e1,
e2
,
e3
A A1e1 A2e2 A3e3
A1 A A2
A3
Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成一个复线性空间，称
为Hilbert空间，体系的状态波函数 是Hilbert空间中的一个矢量，称为
并引入记号： Fnm
un*
(
x)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x)dx
69
26
可将（2）式写成：bn (t) Fnmam (t)
排成矩阵形式：
m
b1(t) F11 F12
b2
(t
)
F21
F1m
a1(t)
a2
(t
)
bn (t) Fn1 Fn2
Fnm
am (t)
69
a
1
e
i
pa
2 p2a2 / 2
22
能量表象：本征函数 n x
2 sin n x
aa
展开系数：
anE
1
x
* n
(
x)dx
1,n
即在自身表象中取δ形式。
∴ 基态在能量表象中的表示：
1
0
an
0
.
. .
1x an E n x a1E1x
n
69
23
2、算符的矩阵表示
力学量算符在不同表象中的表示
阵力学（海森堡Heisenberg）
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
量子力学的矩阵形式与表象变换PPT资料(正式版)
3）态函数在Ｑ表象单列矩阵→三维空间矢量 坐标表示；
4）不同表象之间变换（表象变换）→坐标系之 间变换。
二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数） 与展开系数间的变换。
C）表象例子
D）不同表象间变换
设F表象，基矢为｛ψ }, （k1,k2,…）=（a1,a2,…）S-1
量子力学的矩阵形式与表象变 换
4.5.1 量子态的不同表象，幺正变换。
1、同一矢量A的不同坐标表示及其变换。
同一量子态的不同表象表示及其变换类似
于同一矢量A的不同坐标表示及其变换。。
A）.取一个坐标系，相当取三个基矢: 三个基矢是正交归一：ei·ej=δij
(e1,e2,e3),
B）任一矢量Ａ可按基矢{ei}展开：A＝A1e1+A2e2+A3e3
1．对角矩阵 Anm=amδnm. 2. 转置矩阵 (A ~)nmAmn
3．厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵) (A )nm (A ~ ) nm A m 运算规则：(AB ) BA (A) A
4. 厄米矩阵 A A， (A)nm Am n Anm
当A是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。
5. 么正矩阵，AAI 或 A A1，称A为么正矩阵。
成一个矢量，叫态矢。展开系数｛ak}就是坐标
，排成单列矩阵：
a1
a
2
量子力学把选定算符Q与正交归一完备本征函数{Un} 称之为Ｑ表象。任一态ψ(x)按算符Q的本征函数 {Un}展开系数｛ak}所成的单列矩阵ψ就是ψ(x)所 描述的态在Ｑ表象的表示。
B)、表象与三维空间的类比
1）Ｑ表象本征函数→三维空间坐标系基矢 都是正交归一,但Ｑ表象是多维的，甚至是 无限维的。这种由无限或有限维的本征函数 作基矢构成的空间叫希尔伯特空间
量子力学的矩阵形式及表象理论
量⼦⼒学的矩阵形式及表象理论量⼦⼒学习题（三年级⽤）北京⼤学物理学院⼆O O三年第⼀章绪论1、计算下列情况的Broglie d e-波长，指出那种情况要⽤量⼦⼒学处理：（1）能量为eV .0250的慢中⼦()克2410671-?=µ.n；被铀吸收；（2）能量为a MeV 的5粒⼦穿过原⼦克2410646-?=µ.a；（3）飞⾏速度为100⽶/秒，质量为40克的⼦弹。
2、两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正、负电⼦对，如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？3、利⽤Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原⼦能量可能值。
第⼆章波函数与波动⼒学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=（1）求归⼀化常数（2）.?p ?,x x ==2、求ikrikr ere r -=?=?1121和的⼏率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=?求其⼏率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、⼀维运动的粒⼦处于()?<>=λ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归⼀化系数A 和粒⼦动量的⼏率分布函数。
5、证明：从单粒⼦的薛定谔⽅程得出的粒⼦的速度场是⾮旋的，即求证0=??其中ρ=υ/j6、⼀维⾃由运动粒⼦，在0=t时，波函数为 ()()x ,x δ=?0求：)t ,x (=2第三章⼀维定态问题1、粒⼦处于位场()000000≥=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒⼦由右向左运动）2、⼀粒⼦在⼀维势场>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒⼦的能级和对应的波函数；（2）若粒⼦处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ??π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有⼀位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“⼊射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁⽆限⾼位垒中粒⼦的束缚态能级和波函数()>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒⼦在下列位场中运动的能级()>µω≤∞=021022x x x V X6、粒⼦以动能E ⼊射，受到双δ势垒作⽤()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射⼏率和透射⼏率，以及发⽣完全透射的条件。
量子力学公式的矩阵表示
2
1)
2
a2
2
2
a2
2
1
1
a2
2 2
因此对应于m=-1的本征函数为
1
1
1 2
1
2
（2）求 Lˆ y的本征值和本征函数
设 Lˆy的本征函数为 m ，对应于Ly m 。即 Ly m m m
b1
令 m b2 ，并将 Lˆy的矩阵形式代入本征方程，即有
b3
2 2
F11
F21
Fn1
F12
F22
Fn2
F1n F2n
Fnn
a1(t)
a2
(t
)
0
an
(t
)
(4.3 5)
方程（4.3-5）是一个线形齐次代数方程组：
(Fmn mn )an (t) 0, m 1,2,.
n
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：
当m 0时，由(B)得
b2 0,b1 b3。
再由波函数的归一化条件
2 b1 2 1, b1
2 2
1
所以
0
2 2
0 1
当 m 1时，由(B)得 ,
同样步骤得
b1 b3 , b2 2ib1 再由波函数归一化条件 定出常数，得
1
1 2
1 2i 1
1
1
1 2
2i
1
1 ; Ly 0
2
i 0
i
i 0
求它们的本征值和归一化的本征函数，
解：（1）求 Lˆx
设在Lˆ2 和
的本征值和本征函数。
Lˆ z的共同表象中，Lˆx 的本征函数为
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IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )
1．如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由？
答：矩阵表示一般用于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果力学量的本征矢为，相应本征值分别为。
假定一个任意态矢为，将它展开
则态矢在表象中波函数便可用展开系数的一列矩阵表示
其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
力学量用厄米方阵表示
，。
显然，一列矩阵和方阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
用矩阵表示力学量，有如下理由：
第一可以反映力学量作用于一个量子态得到另一个量子态的事实。
设，式中，。
取，
两端左乘，取标积得，
即
第二矩阵乘法一般不满足交换率，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求。
第三厄米矩阵的性质能体现力学量算符的厄米性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运用矩阵表示，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量子力学中，不同表象间：基矢、波函数、力学量是如何变换的？
答：量子力学中由一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，它类似于欧氏空间中坐标转动。
设表象中的基矢为表象中的基矢为
(1) 基矢变换关系为
式中，（为幺正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) 力学量变换规则为：。
（式中与为力学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？
答：幺正变换特点：
(1幺正变换不改变态矢的模，这一特征相当于坐标旋转变换；
(2幺正变换不改变力学量本征值；
(3)力学量矩阵之迹 TrF与矩阵行列式 dgtF亦不因幺正变换而改变．
4. 学量在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么 ?
答：如果力学量本征值为离散谱，那么，它在其自身表象中表示式为对角矩阵
，为诸本征值。
本征矢为单元素一列矩阵
如果力学量本征值为连续谱，则它在其自身表象中为纯变量
其本征矢为函数。
，对应本征值为。
5. 力学量的矩阵对角化含义是什么 ?
答：如果力学量的矩阵是非对角矩阵，则说明不是在其自身表象中表示，而是在某个其他表象
中的表示（表象以力学量的本征矢作为基矢）。
所谓将矩阵对角化，也就是将转换到其自身的表象中来，这样做的目的是求矩阵的本征值。
6．给定总能量算符，以表示其本征值和本征函数，态矢量 a简记为。
答：按照海森伯运动方程，力学量算符的时间变化率算符为：
（1）
定义能量表象中矩阵元
（2）
证明
（3）
其中
证明：满足本征方程
（4）
其共轭方程为
式（ 1）两端取能量表象中矩阵元，即得
此即式（ 3）。
7．设，证明求和规则。
（1）证明：利用算符的海森伯运动方程，可得
(2)
取矩阵元，利用上题的结果，即得
（3）
再利用基本对易式
（4）
在能量本征态下求平均值，即得
两端各乘，即得（1）式。
的另外两个分量和的矩阵元，显然也有同样的求和规则。
注意，式(1)中可以是任何一个特定的能级，则遍及所有能级。
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