三角形角平分线性质资料讲解
三角形的角平分线与垂直平分线几何形中的特殊性质
三角形的角平分线与垂直平分线几何形中的特殊性质在几何学中，三角形是一个基础而重要的概念。
它具有许多有趣的性质和特殊的几何形。
其中，角平分线和垂直平分线是三角形中的两个重要概念，它们之间存在着一些特殊的关系和性质。
本文将重点探讨三角形的角平分线和垂直平分线在几何形中的特殊性质。
一、角平分线在几何形中的特殊性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
对于一个三角形来说，每个角都有一条角平分线。
下面我们将探讨角平分线在三角形中的几个特殊性质。
1. 角平分线相交于一个点在任意一个三角形中，三条角平分线将会相交于一个点，称为角平分线的交点或是角平分线的垂心。
这个点与三角形的顶点和对边的中点连线构成的垂线所相交的点重合。
垂心是三角形的一个重要的特殊点，具有很多有趣的性质和特点。
2. 角平分线以及垂心的性质垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段分别与三条对边垂直相交，这意味着角平分线与三角形的对边是垂直的。
此外，垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段等长，这意味着垂心到三角形三边的距离相等。
这些性质使得角平分线在几何形中具有重要的作用和特殊的地位。
二、垂直平分线在几何形中的特殊性质垂直平分线是指从一条线段的中点出发，与该线段垂直相交，并将该线段分成两个相等的线段的线段。
对于一个三角形来说，每条边都有一条垂直平分线。
下面我们将探讨垂直平分线在三角形中的几个特殊性质。
1. 垂直平分线相交于一个点在任意一个三角形中，三条垂直平分线将会相交于一个点，称为垂直平分线的交点或是垂心。
这个点与三角形的三个顶点连线构成的角平分线所相交的点重合。
垂心具有角平分线的性质，与角平分线一样，具有重要的地位和特殊的性质。
2. 垂直平分线以及垂心的性质垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段分别与三条对边垂直相交，这意味着垂直平分线与三角形的对边是垂直的。
此外，垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段等长，这意味着垂心到三角形三边的距离相等。
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的角平分线性质
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
三角形的角平分线定理解析
三角形的角平分线定理解析三角形的角平分线定理是指：三角形内任意一条角的角平分线，都能将该角分成两个相等的角。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们推导出一些重要的结论和性质。
接下来，我们将对三角形的角平分线定理进行详细的解析。
一、角平分线的定义在三角形ABC中，假设角A的角平分线与边BC相交于点D，那么我们可以称线段AD为角A的角平分线。
角平分线的作用是将角A 分成两个相等的角BAD和CAD。
二、角平分线定理的几何解析根据角平分线的定义，我们可以得出以下几何结论：1. 任意角的角平分线两端的线段长度相等。
即AD = CD。
证明：作BD与AC的延长线交于点E。
由于△ABD和△CAD中有AD = AD（公共边）、∠BAD = ∠CAD（角平分线的定义）和∠BDA = ∠CDA（共同内角），所以根据ASA（边角边）的性质可以得出△ABD ≌△CAD。
因此，AD = CD。
2. 角平分线将对边分成两个与角平分线所在边等长的线段。
即BD = CD。
证明：由于△ABD和△ACD中有∠BDA = ∠CDA（共同的内角），∠ABD = ∠ACD（角平分线的定义）和AD = AD（公共边），根据ASA（角边角）的性质可以得出△ABD ≌△ACD。
因此，BD = CD。
三、角平分线定理的应用角平分线定理不仅可以帮助我们推导出一些证明，还可以在解题过程中起到积极的作用。
下面我们通过一些例子来说明角平分线定理的应用。
例子1：给定三角形ABC，角BAD是角A的角平分线，若∠BAD = 60°，求∠ACB的度数。
解：由角平分线定理可知BD = CD，且∠BAD = ∠CAD = 60°。
由于∠BAD + ∠CAD + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），代入已知信息可得60° + 60° + ∠ACB = 180°，解得∠ACB = 60°。
AAS,HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
AAS，HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
知识点总结：
1、AAS定理：两个三角形中，如果两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。
简写成对应角相等的角边角定理。
2、HL定理：两个直角三角形中，如果一条直角边和斜边相等，那么这两个三角形全等。
简写成对应边相等的直角边和斜边定理。
3、角平分线的性质：角平分线是将角分成两个相等的角的射线，角平分线上点到角的两边距离相等。
重难点精析：
1、AAS定理的应用难点在于如何通过已知条件构造出至少一组边角相等的关系，这对于推导证明过程至关重要。
对于初学者来说，可以尝试通过画图和模拟过程来理解，逐渐提高空间想象能力。
2、HL定理的应用主要难点在于直角三角形的判断，需要学生熟悉勾股定理的相关知识。
在解决实际问题时，需要灵活运用直角三角形的性质，如等角对等边等。
3、角平分线的性质在学习中容易被忽视，其重要性在于为证明线段相等提供了一种重要的方法。
对于初学者来说，需要加强对此性质的练习和理解，能够熟练地应用到各种几何问题中。
总结：
AAS，HL定理和角平分线的性质是八年级数学中的重要知识点，
它们在几何学中的应用广泛且具有挑战性。
通过对这些定理的深入学习和实践，学生可以提升自身的几何思维能力和问题解决能力。
三角形角平分线专题讲解(精选.)
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
角的平分线的性质知识讲解
角的平分线的性质(提高)【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2•掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分/ ADB点P是CD±一点，且/KAD于点E, PF丄BD于点F,则PE二PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上要点诠释: 用符号语言表示角的平分线的判定：若PEL AD 于点E, PFL BD 于点F, PE二PF,贝U PD 平分/ ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1) 以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D, 交0B于E.1(2) 分别以D E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在/ AOB内部交于点C.2(3) 画射线0C.射线0C即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等•三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点•这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心•所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ ABC的内心为R '旁心为Fa, F S,P4‘这四个点到△ ABC三边所在直线距离相等・P4【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.(1) 求证：PA平分/ BAC的外角/ CAM(2) 过点C作CELAP, E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE=EDB c N【思路点拨】C )过P作PTL BC于T, PSL AC于S, PCL BA于Q根据角平分线性质求出PQ=PS=PT根据角平分线性质得出即可；(2)根据ASA求出△ AED^AAEC即可.【答案与解析】证明：C)过p作PTLBC于T, PSI AC于S,PQLBA于Q如图，・••在△ ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,••• PQ=PT PS=PT••• PQ=PS・AP平分/ DAC即PA平分/ BAC的外角/ CAMR c r jV(2)T PA平分/ BAC的外角/ CAM•••/ DAE=/ CAE •••CEL AP, •••/ AEDM AEC=90 ,在厶AED 和厶AEC 中r ZDAE=ZCAE*AE 二AEL ZDEA=ZCEA•••A AED A A AEC・CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的矢键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS A AAED^AAEC注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.举一反三：【变式】如图，AD是/ BAC的平分线，DEIAB,交AB的延长线于点E, DF丄AC于点F,且DB二DC.求证：BE二CF.【答案】证明：・DELAE, DF丄AC,AD是/ BAC的平分线,• DE= DF,/ BED=Z DFC= 90°一- 出：DB=DC在RtA BDE 与Rt △ CDF 中，、DE = DF・R tA BDE A RtA CDF( HL)・B E= CF2、如图，久。
初二数学角平分线定义
初二数学角平分线定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
在数学中，角平分线是一个重要的概念，它在几何学和三角学中都有广泛的应用。
本文将介绍角平分线的定义、性质以及一些相关的定理和例题。
一、角平分线的定义角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的直线。
也可以说，角平分线把一个角分成两个度数相等的小角。
二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 角平分线将角分成两个度数相等的小角；3. 角平分线将角的两边分成相等的线段；4. 角平分线与角的两边垂直；5. 角平分线与角的两边的夹角相等。
三、角平分线的定理1. 角平分线定理：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的点到角的两边的距离相等。
证明：设角AOC为被平分的角，OD为角平分线，OD与OA、OC交于点B、E。
由角平分线的定义可知，∠BOD=∠DOE，∠BOA=∠COE。
因此，三角形BOA与三角形COE相似。
根据相似三角形的性质可知，OA/OB=OC/OE。
又因为∠BOA=∠COE，所以三角形BOA与三角形COE全等。
因此，AB=CE，即点B到角的两边的距离等于点E到角的两边的距离。
2. 角平分线的唯一性定理：一个角的平分线只有一条。
证明：设角AOC为被平分的角，OD和OF为两条角平分线，OD与OA、OC交于点B、E，OF与OA、OC交于点C、F。
由角平分线的定义可知，∠BOD=∠DOE，∠COF=∠FOE。
又因为∠BOD=∠COF，∠DOE=∠FOE，所以三角形BOA与三角形COF全等，三角形COE与三角形DOF全等。
因此，AB=CF，CE=DF。
由于AB=CF，CE=DF，所以线段BE与线段DF 重合。
因此，OD与OF重合，即角平分线OD和OF是同一条直线。
四、角平分线的应用角平分线在几何学和三角学中有广泛的应用。
例如，在三角形中，如果一条角平分线与对边相交，那么它将对边平分成两个相等的线段。
此外，角平分线还可以用于解决一些角度相等的问题，如证明两条线段相等、两条直线平行等。
角平分线的定义是什么判定定理有哪些
角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。
角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。
三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
三角形中的角平分线问题解法
三角形中的角平分线问题解法三角形是几何学中的重要概念，其中角平分线问题是解题中经常遇到的一类问题。
本文将介绍三角形中的角平分线问题以及其解法。
一、问题描述在三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线经过三角形内部的一点，称为角平分线的内心。
现在，我们来解决如下问题：如何找到三角形的角平分线及其内心。
二、解法一：角平分线的性质在解决问题之前，我们先来了解一下角平分线的性质。
在任意三角形ABC中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么AD与BC的交点E 将BC平分成两个相等的线段。
同时，BD/DC=AB/AC（即角平分线将对边按比例分割）。
基于上述性质，我们可以用以下步骤得到角平分线及其内心：1.画出三角形ABC。
2.画出角BAC的角平分线AD。
3.延长AD与BC交于点E，连接AE。
4.利用角平分线的性质，得到BD/DC=AB/AC。
5.将角平分线按比例分割BC，即可得到角平分线的内心。
三、解法二：角平分线的几何构造上述解法通过角平分线的性质找到了角平分线及内心，但有时候，我们可能需要通过几何构造来找到角平分线。
我们来介绍解法二。
1.画出三角形ABC。
2.以点A为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点D。
3.以点B为圆心，以BA为半径画弧，交AC于点E。
4.连接DE。
5.延长DE至AB（交于F），连接FC。
6.连接AF，交BC于点G。
7.则CG即为角BAC的角平分线，点G即为角平分线的内心。
四、解法三：角平分线的角度计算除了通过角平分线的性质和几何构造找到角平分线，我们还可以通过角度计算的方式来解决问题。
下面是解法三：1.已知三角形ABC的三边长a、b、c。
2.根据余弦定理计算∠BAC的角度A：cos(A) = (b²+c²-a²)/(2bc)。
3.计算出∠BAC的角度A后，将其除以2即可得到角平分线的角度。
通过上述解法，我们可以找到三角形中的角平分线及其内心，解决相关问题。
有答案 .角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B ；【解析】由角平分线的性质，DC ＝DE ，△DEB 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝AC ＋BE＝AE ＋BE ＝AB ＝6.【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且:32AB AC =ABD 与△ACD的面积之比为（ ） A ．3：2 B ．3:2 C ．2：3 D.2:3【答案】B ；提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵:3:2AB AC =，则△ABD 与△ACD 的面积之比为3:2．3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．【巩固练习】一.选择题1. AD 是△ABC 的角平分线, 自D 点向AB 、AC 两边作垂线, 垂足为E 、F, 那么下列结论中错误的是( )A.DE ＝ DFB. AE ＝ AFC.BD ＝ CDD. ∠ADE ＝ ∠ADF2．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21C ．mnD ．2mn3. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C ．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O 在∠APB 的平分线上的是（ ）A ．△PBA ≌△PDC B. △AOD ≌△COBC. AB ⊥PD ，DC ⊥PBD.点O 到∠APB 两边的距离相等.6. 已知，如图，AB ∥CD ，∠BAC 、∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝5cm ，则直线AB 与CD 的距离为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm二.填空题7．如图，已知∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BD ＝2CD ，若点D 到AB 的距离等于5cm ，则BC的长为_____cm ．8. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∠1＝∠2，且AC ＝6cm ，那么线段BE 是△ABC的 ，AE ＋DE ＝ 。
人教版初二数学上册：角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ）， ∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论. 【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ． 在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DPF ≌△EPF ， ∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
三角形的角平分线几何语言
三角形的角平分线几何语言三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分成两个相等的角的线段。
角平分线在几何学中有着重要的应用和性质。
我们来看一下角平分线的定义。
对于三角形ABC来说，如果从顶点A出发，将∠BAC的角平分成两个相等的角∠BAD和∠DAC，则线段AD称为角BAC的角平分线。
角平分线有一些重要的性质。
首先，角平分线上的点到三角形的两边的距离相等。
也就是说，如果点D是角BAC的角平分线上的一点，那么AD=BD=CD。
这个性质可以通过角平分线的定义和角的性质来进行证明。
角平分线将对边分成一定比例。
具体来说，如果有一个三角形ABC，角平分线AD将∠BAC的角平分成两个相等的角∠BAD和∠DAC，那么有AD/DB=AC/BC。
这个性质可以通过相似三角形的性质来进行证明。
接下来，我们来探讨一下角平分线的一些应用。
首先，角平分线可以帮助我们求解三角形的各个角的大小。
如果我们已知一个三角形的两边的长度和它们夹角的大小，我们可以通过角平分线的性质来求解出三角形其他两个角的大小。
角平分线还可以帮助我们求解三角形的边的长度。
如果我们已知一个三角形的两个角的大小和它们对应的两边的长度，我们可以通过角平分线的性质来求解出第三边的长度。
这个方法被称为角平分线定理。
角平分线还有一些重要的性质。
例如，如果一个点在一个三角形的角平分线上，那么这个点到三角形的三个顶点的距离之比等于这个点到三角形的三个对边的距离之比。
这个性质被称为角平分线定理的逆定理。
角平分线还有一些其他的性质和定理，例如外角平分线、内接角平分线、垂直平分线等。
这些性质和定理在几何学的证明和计算中有着重要的应用。
总结起来，三角形的角平分线是从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分成两个相等的角的线段。
角平分线具有一些重要的性质，包括角平分线上的点到三角形的两边的距离相等，角平分线将对边分成一定比例等。
角平分线在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解三角形的角的大小和边的长度。
三角形的中线-角平分线-高线的定义
三角形的中线,角平分线,高线的定义
三角形的中线、角平分线和高线是三角形中的三条重要线段，它们各自具有独特的性质和定义。
以下是它们的定义：
1.中线：
o定义：中线是从一个角的顶点出发，平分对边（或其延长线）的线段。
o性质：中线将相对边分为两段相等的部分。
o定理：三角形的中线与相对边上的中点重合。
2.角平分线：
o定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将相对边分为两段相等的线段。
o性质：角平分线将相对边分成两段相等的部分，并且与相对边的中线重合。
o定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3.高线：
o定义：高线是从一个角的顶点出发，垂直于对边（或其延长线）的线段。
o性质：高线将对应的底边分为两段相等的部分。
o定理：高线所在的直线与相对底边垂直。
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
三角形的角平分线
三角形的角平分线角平分线是指从一个三角形的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个角都有三条平分线，它们相交于一个点，称为内心。
角平分线的性质有很多，下面我们来逐一介绍。
1. 内心：三角形的角平分线相交于一个点，这个点被称为三角形的内心。
内心到三角形的三条边的距离相等，这个距离被称为内心到三边的距离，也是内心半径。
2. 角平分线长度：三角形的角平分线将对边分成两个段，这两个段的长度与角平分线所在边的长度的比相等。
也就是说，如果一条角平分线将对边分成长度为a和b的两段，那么 a:b等于边所占对边的比。
3. 角平分线的垂直性：三角形的角平分线与对边垂直。
即在一个三角形ABC中，角A的平分线与边BC垂直，角B的平分线与边AC垂直，角C的平分线与边AB垂直。
4. 角平分线的外角平分性：三角形的外角是指一个三角形内部的一个角的补角。
角平分线同时也是外角的平分线，也就是说，如果一条角平分线平分了某个外角，那么这个外角被平分成两个相等的角。
5. 角平分线的交点：三角形的三条角平分线相交于一个点，称为内心。
内心是三角形内心圆的圆心，内心到三角形的三条边的距离相等，即内心到三边的距离相等。
此外，内心到三角形三个顶点的距离相等，即内心到顶点的距离也是相等的。
角平分线在三角形的研究中具有广泛的应用。
它不仅可以用于求解三角形的各个参数，还可以应用到三角形的几何性质证明中。
最后，角平分线也是解决三角形相关题目中的一个有效的思路和方法。
通过运用角平分线的性质，可以使问题的求解更加简单和方便。
总结起来，角平分线是一个具有重要性质的几何概念，它不仅能够划分和研究三角形内部的角度，还可以应用到解决三角形问题的过程中。
对于了解三角形的角平分线性质以及灵活运用角平分线的方法，对于解决相关问题和提升几何推理能力都具有重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形内角平分线定理
三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。
即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则
BD/DC=AB/AC
应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.
三角形外角平分线的性质定理：
三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明.
角平分线性质定理
角平分线的性质：
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
证明
●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条
邻边成比例．
即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.
证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.
S△ABD：S△ACD=BD：CD
又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC.
1.角平分线可以得到两个相等的角。
角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。
如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。
2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。
如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：
CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD：
作BE=BD交射线AS于E，如图1：
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC
又∵∠BAE=∠CAD,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.
另外的情况，
如图2，直线BC交AS的反向延长线于D,如图3，直线BC交AN的反向延长线于C;
此时，仍有AB/BD=AC/CD
证法与图1类似
【角平分线逆定理】
1.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
2.平面内任意一小于180度的∠MAN如图，直线BC 分别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD 则：AS平分∠MAN
下面给出证明过程：
证明：过B作BH∥AC交AS于H
∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)
∴AC/CD=HB/BD
又AB/BD=AC/CD
∴AB=BH
∴∠BHA=∠BAH=∠HAC
∴AS平分∠MAN。