结构力学：第十章结构动力学4

Y1
D1 D0
P1(k
22
D0
22mm22)
D0
Yk212P2DD02
PP2 (kk211 2m1) k21P1
D0 D0
D0 k1 k2 2m1 k2 2m2 k22
m2
Psint k2
m1 k1
当m1=m2=m，k1=k2=k
DYPYPY101k2k1122PDDk11(101(k1k212kD22222P0111222m2kmmk13221Dm22212)2mm)(1k0kk1(12222DY2k2km1202212222m2P)2DDD)P22k02k012PP22DDk1m2m11mm2P2DP1222mk1D0k2(2(k22m021211222(4m21m(1kk22222m(m(112P211242)11122422()m)k(k13(122132mk1kkPPm1222)222222222)22))2mmkk222k)1222
(k11 2m1)Y1 k12Y2 P1
y2 (t) Y2 sint
Y1=D1/D0
k21Y1 (k22 2m2 )Y2 P2 Y2=D2/D0
D0
k11
2m1
k21
k12
k22 2m2
D1 P1 k22 2m2 k12P2 D2 P2 k11 2m1 k21P1
P2(t) y1(t)
2 2
)
0.618 1.618 0.618 1.618
Y1 P
k
1mk 2
(1 2 12 )(1
) 2
2 2
1
Y1
3.0 P
k
2.0
1.0
k
0
m
3.0
-1.0
-2.0
-3.0
Y2 P
k
(1
2
1 12 )(1
2
2 2
)
2
Y2
3.0 P
kwk.baidu.com
2.0
1.0
k
0
m
3.0
-1.0
两个质点的
-2.0
位移动力系
数不同。
§10-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
m1 y..1 k11 y1 k12 y2
..
m2 y2 k21 y1 k22 y2
P01(t) P02 (t)
如 P1(t) P1sint P2 (t) P2 sint
y2(t) P1(t)
在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y1(t) Y1 sint
Y22 k11 22m
=－1
k
22
2 2
m
k11
2 2
m
k12
k21
当θ=ω2 ，D0=0 ，也有：
对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自
D1 P1 k22 2m2 k12P2 振频 P频率率与k22相反等对22时称m才主k发振12P生型共 的0振自；振当频荷率载相 D2 P2 k11 2m1 k21P1 等 P时不k11会发22生m 共k振21P。同0 理可知：对
k
P
yst1
θ2mY1
Y1 P
k
(1
1mk 2
2 12 )(1
2
2 2
)
1
Y2 P
k
(1
2
1 12 )(1
) 2
2 2
2
Q1
1
2m k
(1
2
)
k
层间动剪力:
Q1 P 2m(Y1 Y2 )
P(1
2m k
(
1
2
))
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
5
例： 质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
-3.0
当 0.618 k m 1 和 1.618 k m 2时,Y1和Y2 趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
3
也有例外情况
如图示对称结构在对称荷载作用下。
k11 k22 , k12 k21
l/3
与ω2相应的振型是
Psinθt m
l/3
Psinθt m
l/3
Y12 k12
k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 ,
Y1
P
k2
D0
2m2
Y2
Pk2 D0
D0 (k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
k12=－k2
m2
Psint k2
m1
k1
当 k2 m2 2 , Y1 0 , D0 k22 , Y2 P k2
这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统
m2
可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。
Psint
k2
m1
设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定
k1
P k2 Y2
，再确定
m2
k2
2
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。
6
例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生 的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN， 问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)
解：1）
g
st
9.81 0.01
31.3
1
s
2n
60
2 300
60
31.4
1
s
频率比在共振区之内应设置吸振器。
2）由
k2
P Y2
弹簧刚度系数为：
k2
1000 0.01
1105
N/m
m2
k2
2
110 5 31.42
=102 kg
Psinθt k2 m2
7
D k11 2m1
k21
k12
k22 2m2
0
如果荷载频率θ与任一个自振频率
ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2
不全为零时，则出现共振现象
1
例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：
k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2
称体系在反对称荷载作用下时，只
Y1
D1 D0
,
Y2
D2 D0
不会趋有于当无荷穷载大频，率不与发反生对共称振主，振型的自 共振区振只频有率一相个等。时才发生共振。
4
荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1= yst2=P/k 层间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值
yst2=P/k θ2mY2