2020年北京高考数学猜题卷(一)(原卷版)

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2020年北京市高考数学试卷(附答案及详细解析)

2020年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}2．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝（）A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i3．（4分）在（﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．104．（4分）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A．6+B．6+2C．12+D．12+25．（4分）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．76．（4分）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）7．（4分）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP8．（4分）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项9．（4分）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ+（﹣1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，π的近似值的表达式是（）A．3n（sin+tan）B．6n（sin+tan）C．3n（sin+tan）D．6n（sin+tan）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案

高考模拟试卷参考答案第 7 页共 7 页
高考模拟试卷参考答案第 3 页共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案第 6 页共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分

2020年北京市高考数学试卷-(含答案)

20.已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点 ,直线分别交直线于点．求的值．
21.已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
故选：A.
6.因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或 .
所以不等式的解集为： .
故选：D.
7.如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点 .
故选：B.
2020年北京高考数学试卷
1、选择题10小题，每小题4分，共40分．
1.已知集合，，则（）．
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为（）．
A. B. 5C. D. 10
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．
16.如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值．
17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

2020年北京市高考数学试卷(精品解析版)

绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）． A. 12i + B. 2i -+C. 12i -D. 2i --【答案】B 【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 在52)的展开式中，2x 的系数为（）．A. 5-B. 5C. 10-D. 10【答案】C 【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】()52x -展开式的通项公式为：()()()55215522r rrrr r r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 63B. 623+C. 123+D. 123+【答案】D 【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6. 已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】作出函数2xy =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP【答案】B 【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8. 在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9. 已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A. 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞ 【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12. 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c =，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.5；1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14. 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()()22cos sin 1f x x ϕϕθ=+++，可得()22cos sin 12ϕϕ++=，即可解出.【详解】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③ 【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17. 在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*）由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===，下面我们用反证法来证明451a a q ，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la a a a a a a ==>，从而5k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =，即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===，若214k l --=，则451a a q ，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q . 同理可得：566171,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.衡石量书整理。

2020年北京市高考数学试卷-解析版

2020年北京市高考数学试卷-解析版2020年北京市高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,1,2}，A={A|0<A<3}，则A∩A=()A.{−1,1}B.{0,1}C.{−1,1,2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则A⋅A=()A.1+2AB.−2+AC.1−2AD.−2−A3.在(√A−2)的5的展开式中，A²的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数A(A)=2A−A−1，则不等式A(A)>的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为A。

A是抛物线上异于O的一点，过P作AA⊥A于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{AA}中，A1=−9，A5=−1.记AA=A1A2…AA(A=1,2，…)，则数列{AA}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知A，A∈A，则“存在A∈A使得A=AA+(−1)AA”是“AAAA=AAAA”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(AAAA)。

历史上，求圆周率A的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家___的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2A的近似值。

2020全国Ⅲ卷高考数学考前猜题试卷(文科)一

1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
交集根助运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
命正算否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
复三的刺算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
平面射量长量化的性置及其运算
A.丁没有选化学
B.丙没有选化学
C.这四个人里恰有个人选化学
D.乙丁可以两门课都相同
10.已知正项等比数列，满足＝，则 • ＝（）
A.
B.
C.
D.
11.已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点，为直线上关于原点对称的不同两点，点为直线上一点，且，则双曲线的离心率为（）
A.
A.
B.
C.
D.
8.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，则．
A.②③
B.①③
C.①②③
D.②③④
9.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程．则以下说法正确的是（）
（1）写出曲线和直线的普通方程；
（2）若点，求的值．
已知函数＝．

2020北京市高考数学试题逐题解析

=
|3−√2∙0|
√1+2
1
√3
1
=
，渐进线： = ，即 − √2 = 0，
√2
√6
√2
= √3.
（2020 北京高考 13）★★★☆☆
⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 (
⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|
⃗⃗⃗⃗⃗ | =_______；
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗ =_______．
（Ⅱ）∵ = − 1 ， ∈ (0, )， ∴ = √1 − 2 = 4 3 ，
7
7
√

8
7
√3
由正弦定理得 = ， ∴ 4√3 = ， ∴ = 2 ，
7
1
1
√3
= 2 = 2 (11 − 8) × 8 × 2 = 6√3.
1
函数() = +1 + 的定义域是________．
>0
解：由题意{
，∴ > 0，定义域是(0, +∞).
+1≠0
（2020 北京高考 12）★★☆☆☆
2
2
已知双曲线: 6 − 3 = 1，则的右焦点的坐标为______；的焦点到其渐近线的距离是______．

解： = √6， = √3， = √6 + 3 = 3，右焦点(3,0)， =
（2020 北京高考 1）☆☆☆☆☆
已知集合 = {−1,0,1,2}, = {|0 < < 3}，则⋂ =
（）{−1,0,1}
（）{0,1}
（）{−1,1,2}
（）{1,2}
解：选.

2020年北京市高考数学试卷及其详细解析

2020年北京市高考数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2} 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则(i z = ) A ．12i + B ．2i -+ C ．12i - D ．2i -- 3．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为( )A ．5-B ．5C ．10-D ．104．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A ．63+B ．623+C ．123D ．1223+ 5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．76．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( )A ．(1,1)-B ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 9．已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π)Day ．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达式是( )A ．30303(sintan )n n n ︒︒+ B ．30306(sin tan )n n n ︒︒+C ．60603(sin tan )n n n ︒︒+D ．60606(sin tan )n n n︒︒+8．在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1n n T a a a n =⋯=，2，)⋯，则数列{}(n T )A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

北京市2020年高考数学押题仿真卷(一)(解析版)

2020年北京市高考数学押题试卷（一）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ＜3}，B ＝{x ∈Z|x 2＜4}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知复数z =1+i1−i，则|z |＝（） A ．2B ．1C ．0D ．√23．（x −2x）6的展开式中的常数项为（） A ．﹣20B ．20C ．﹣160D ．1604．设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（） A ．1a＜1bB ．a +1b＞2C ．2a ＞2bD ．lga ＞lgb5．若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sin α的是（） A ．cos(α−π2)B ．cos(π2−α)C ．−cos(α+π2)D ．cos(α+π2)6．设a →，b →是非零向量，则“a →，b →共线”是“|a →−b →|=|a →|−|b →|”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线倾斜角为2π3，则a 的值为（）A ．﹣3B ．−13C ．3D ．√338．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．83D ．439．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|，则AM →⋅AN →的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数f(x)={−x 2+2x +1，x ＜22x−2，x ≥2，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1•x 2•x 3的取值范围是（） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（1，3）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的最小正周期是．12．圆（x +3）2+y 2＝1的圆心到直线x +√3y +1=0的距离为．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝27，a 6＝1，则数列{a n }的公差为． 14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为15．已知集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为(0，√3)；②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为4；③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则|CD|=3+√3；④白色“水滴”图形的面积是116π−√3．其中正确的有．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC满足，且b=√6，A=2π3，求sin C的值及△ABC的面积．从①B=π4，②a=√3，③a＝3√2sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．18．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[5，6），[6，7），[7，8），[8，9]并整理得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2．有同学认为|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|，你认为正确吗？说明理由．19．已知函数f(x)=lnx−1x−ax．（Ⅰ）当a＝2时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．20．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2√3），离心率为12（1）求椭圆P的方程；（2）是否存在过点E（0，﹣4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR→•OT→=167．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n=(a1+a2+⋯+a m)−a nm−1∈N∗，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】容易求出B＝{﹣1，0，1}，然后进行交集的运算即可求出A∩B．解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；又x∈Z；∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．已知复数z=1+i1−i，则|z|＝（）A．2B．1C．0D．√2【分析】通过分母有理化即得结论．解：∵z=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i+i21−i2=i，∴|z|＝|i|＝1，故选：B．3．（x−2x）6的展开式中的常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣160D．160【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解：二项式（x−2x）6的展开式的通项公式为T r+1=∁6r•x6﹣r•（−2x）r＝（﹣2）r•∁6r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故展开式中的常数项为：（﹣2）3•∁63=−160．故选：C．4．设a，b∈R，若a＞b，则（）A．1a＜1bB．a+1b＞2C．2a＞2b D．lga＞lgb【分析】直接利用赋值法的应用和不等式的性质，即可得到正确选项．解：当a＝1，b＝0时，选项A、B、D不成立．∵a＞b，∴2a＞2b，故选：C．5．若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sinα的是（）A．cos(α−π2)B．cos(π2−α)C．−cos(α+π2)D．cos(α+π2)【分析】利用诱导公式即可求解．解：对于A，由于cos(α−π2)=cos（π2−α）＝sinα，是对于B，由于cos(π2−α)=sinα，是对于C，−cos(α+π2)=sinα，是对于D ，cos(α+π2)=−sin α，不是故选：D ．6．设a →，b →是非零向量，则“a →，b →共线”是“|a →−b →|=|a →|−|b →|”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】若a →，b →共线反向，则|a →−b →|≠|a →|−|b →|；反之，若a →，b →是非零向量，且|a →−b →|=|a →|−|b →|，则a →，b →共线，再由充分必要条件的判定得答案．解：若a →，b →共线反向，则|a →−b →|≠|a →|−|b →|，则不充分；反之，若a →，b →是非零向量，且|a →−b →|=|a →|−|b →|，则a →，b →共线同向，且|a →|＞|b →|．则“a →，b →共线”是“|a →−b →|=|a →|−|b →|”的必要不充分条件．故选：B ．7．已知双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线倾斜角为2π3，则a 的值为（）A ．﹣3B ．−13C ．3D ．√33【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得−a =tan 2π3，则a 的值可求．解：由双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线y =1√−a x ，一条渐近线的倾斜角为2π3，可得：1√−a =tan 2π3=−√3，解得：a =−13．故选：B ．8．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．83D ．43【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解：由题意几何体是直观图如图：是正方体的一部分，三棱锥P ﹣ABC ，正方体的棱长为：2，几何体的体积为：13×12×2×2×2=43．故选：D ．9．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|，则AM →⋅AN →的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设|BM →||BC →|=|CN →||CD →|=k ，0≤k ≤1，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出AM →•AN →的最小值即可．解：设|BM→||BC→|=|CN→||CD→|=k，0≤k≤1；建立如图所示的坐标系．A（0，0），B（2，0），D（12，√32），C（52，√32），由BM→=k BC→，CN→=k CD→，可得AM→=AB→+k BC→=（2+12k，√3k2），同理可得AN→=（52−2k，√32），∴AM→•AN→=（2+12k）（52−2k）+34k＝﹣k2﹣2k+5＝﹣（k+1）2+6，∵0≤k≤1，∴AM→•AN→的最小值是2，当且仅当M与点C重合，N与点D重合时取得最小值．故选：A．10．已知函数f(x)={−x2+2x+1，x＜22x−2，x≥2，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，2）C．（0，2）D．（1，3）【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．解：函数f(x)={−x2+2x+1，x＜22x−2，x≥2的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝2x3−2=t，故x1x2x3＝（1−√2−t）（1+√2−t）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t+t−1tln2＞0，即g（t）在（1，2）递增，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的最小正周期是 π ．【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．解：函数f （x ）＝sin2x +cos2x =√2sin （2x +π4）的最小正周期是2π2=π，故答案为：π．12．圆（x +3）2+y 2＝1的圆心到直线x +√3y +1=0的距离为 1 ．【分析】直接利用点到直线的距离公式即可直接求解．解：圆（x +3）2+y 2＝1的圆心（﹣3，0）到直线x +√3y +1=0的距离d =|−3+√3×0+1|2=1．故答案为：1．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝27，a 6＝1，则数列{a n }的公差为 ﹣2 ．【分析】利用等差数列前n 项和公式和通项公式列出方程组，能求出该数列的首项和公差．解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝27，a 6＝1，∴{S 9=9a 1+9×82d =27a 6=a 1+5d =1，解得a 1＝11，d ＝﹣2． ∴数列{a n }的公差为﹣2．故答案为：﹣2．14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为 √3π2【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r ，则3×12＝（2r ）2，解得r =√32．∴该几何体外接球的体积=43×π×（√32）3=√3π2．故答案为：√3π215．已知集合P ＝{（x ，y ）|（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论： ①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为(0，√3)； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则|CD|=3+√3；④白色“水滴”图形的面积是116π−√3．其中正确的有 ①③④ ．【分析】①方程（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4中，令x ＝0求得y 的取值范围，得出最高点的坐标；②利用参数法求出点M 到原点的距离d ，求出最大值； ③求出知最高点C 与最低点D 的距离|CD |；④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．解：对于①，方程（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4中，令x ＝0，得cos 2θ+y 2﹣2y sin θ+sin 2θ＝4，所以2sin θ＝y −3y ，其中θ∈[0，π]，所以sin θ∈[0，1]，所以y −3y ∈[0，2]，解得y ∈[−√3，﹣1]∪[√3，3]；所以点A （0，√3），点B （0，﹣1），点C （0，3），点D （0，−√3），所以①正确；对于②，由（x ﹣cos θ）2+（y ﹣sin θ）2＝4，设{x =2cosα+cosθy =2sinα+sinθ，则点M 到原点的距离为d =√x 2+y 2=√(2cosα+cosθ)2+(2sinα+sinθ)2=√5+4cos(α−θ)，当α＝θ时，cos （α﹣θ）＝1，d 取得最大值为3，所以②错误；对于③，由①知最高点为C（0，3），最低点为D（0，−√3），所以|CD|＝3+√3，③正确；对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是S＝S半圆+2S弓形+S△=12π×12+2×（2π3−√3）+12×2×√3=116−√3，所以④正确；综上知，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC满足①，且b=√6，A=2π3，求sin C的值及△ABC的面积．从①B=π4，②a=√3，③a＝3√2sin B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，由sin C＝sin（A+B），利用正弦的和角公式展开求解即可得到sin C，再由正弦定理求得a，由此即可求得三角形面积．选②，由正弦定理结合已知数据可得sin B＞1，此时三角形无解；选③，先由正弦定理结合已知条件求得sinB=√22，再根据诱导公式及和差角公式可得sin C的值，再进一步求得面积．解：选①，由A+B+C＝π可知，sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sin(2π3+π4)=sin2π3cosπ4+cos2π3sinπ4=√32×√22−12×√22=√6−√24；由正弦定理有asinA =bsinB，即asin2π3=√6sinπ4，解得a＝3，∴S△ABC=12absinC=12×3×√6×√6−√24=9−3√34．选②，∵a=√3，b=√6，A=2π3，∴由正弦定理可得，asinA =bsinB，即√3sin2π3=√6sinB，解得sinB=√6sin2π33=√62＞1，此时无解；选③，∵a＝3√2sin B，b=√6，A=2π3，∴由正弦定理可得，asinA =bsinB，即a sin B＝b sin A，∴3√2sin2B=√6sin2π3=√6×√32，∴sin2B=12，又B为△ABC内角，∴sinB=√22，又A=2π3，故B=π4，a=3√2×√22=3，∴sinC=sin(A+B)=sin2π3cosπ4+cos2π3sinπ4=√32×√22−12×√22=√6−√24，∴S△ABC=12absinC=12×3×√6×√6−√24=9−3√34．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)．设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0，即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3，所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．18．近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[5，6），[6，7），[7，8），[8，9]并整理得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2．有同学认为|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|，你认为正确吗？说明理由．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列出关系式，求解a；（Ⅱ）求出X的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到X的分布列然后求解数学期望；（Ⅲ）判断有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，说明|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|不恒成立，说明结果即可．解：（Ⅰ）由题意可得1×（0.1+0.2+0.4+a）＝1可得a＝0.3；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为：1：2：4：3；若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[7，8）这一组的无人驾驶汽车有10×410=4辆，行驶里程在[8，9）这一组的无人驾驶汽车有10×310=3辆，由题意可知X的可能取值为：0，1，2；P（X＝0）=C42C72=27，P（X＝1）=C41C31C72=47，P（X＝2）=C32C72=17，X的分布列为：X012P274717所以X的数学期望：EX=0×27+1×47+2×17=67．（Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故μ1、μ2是随机变量，受抽样结果影响，因此有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，所以|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|不恒成立，所以这种说法不正确． 19．已知函数f(x)=lnx−1x−ax ．（Ⅰ）当a ＝2时，（i ）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（ii ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a ＜2，求证：f （x ）＜﹣1．【分析】（Ⅰ）（i ）根据题意，求出函数的导数，据此计算f ′（1）与f （1），即可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；（ii ）根据题意，令g （x ）＝2﹣lnx ﹣2x 2，分析g （x ）的符号，即可得函数f （x ）的导数的符号，即可得函数f （x ）的单调区间，（Ⅱ）根据题意，f （x ）＜﹣1，即lnx−1x−ax ＜−1，设h(x)=lnx−1x−ax +1(x ＞0)，对h （x ）求导分析可得h （x ）的单调性，分析h （x ）的最值，即可得结论．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f(x)=lnx−1x−2x ，定义域为（0，+∞）， f′(x)=2−lnx x 2−2=2−lnx−2x 2x 2， f ′（1）＝﹣1﹣2＝﹣3， f '（1）＝2﹣2＝0；所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0 所以切线方程为y ＝﹣3；（ii ）令g （x ）＝2﹣lnx ﹣2x 2，g′(x)=−1x −4x ＜0所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减，且g （1）＝0所以当x ∈（0，1）时，g （x ）＞0即f '（x ）＞0 所以当x ∈（1，+∞）时，g （x ）＜0即f '（x ）＜0综上所述，f （x ）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f （x ）＜﹣1，即lnx−1x−ax ＜−1设h(x)=lnx−1x −ax +1(x ＞0)，h′(x)=2−lnx x 2−a =−ax 2−lnx+2x 2，设φ（x ）＝﹣ax 2﹣lnx +2φ′(x)=−2ax −1x =−2ax 2−1x＜0所以φ'（x ）在（0，+∞）小于零恒成立即h '（x ）在（0，+∞）上单调递减因为1＜a ＜2，所以h '（1）＝2﹣a ＞0，h '（e 2）＝﹣a ＜0，所以在（1，e 2）上必存在一个x 0使得h′(x 0)=−ax 02−lnx 0+2x 02=0，即lnx 0=−ax 02+2，所以当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（x 0，+∞）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以h(x)max =h(x 0)=lnx 0−1x 0−ax 0，因为lnx 0=−ax 02+2，所以h(x 0)=−2ax 02+x 0+1x 0，令h （x 0）＝0得x 0=1±√1+8a 4a，因为1＜a ＜2，所以1−√1+8a4a＜0，1+√1+8a4a＜1，因为x 0∈(1，e 2)，所以h （x 0）＜0恒成立，即h （x ）＜0恒成立，综上所述，当1＜a ＜2时，f （x ）＜﹣1．20．已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A （0，2√3），离心率为12（1）求椭圆P 的方程；（2）是否存在过点E （0，﹣4）的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →•OT →=167．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设椭圆P 的方程为 x 2a 2+y 2b 2═1 （a ＞b ＞0），由椭圆经过点A （0，2√3），离心率为12，求得a 和b 的值，从而求得椭圆P 的方程．（2）由{y =kx −4x 216+y 212=1可得 x 1+x 2 和x 1•x 2 的值，可得y 1•y 2的值，根据 OR →•OT →=167，求出k ＝±1，从而得到直线l 的方程．解：（1）设椭圆P 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0），由题意得b ＝2√3，c a=12，∴a ＝2c ，b 2＝a 2﹣c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为：x 216+y 212=1．（2）假设存在满足题意的直线L ．易知当直线的斜率不存在时，OR →•OT →＜0，不满足题意．故设直线L 的斜率为k ，R （x 1，y 1），T （x 2，y 2 ）．∵OR →•OT →=167，∴x 1•x 2+y 1•y 2=167，由{y =kx −4x 216+y 212=1可得（3+4k 2 ）x 2﹣32kx +16＝0，由△＝（﹣32k ）2﹣4（3+4k 2）•16＞0，解得 k 2＞14①．∴x 1+x 2=32k 3+4k2，x 1•x 2=163+4k2，∴y 1•y 2＝（kx 1﹣4 ）（kx 2﹣4）＝k 2 x 1•x 2﹣4k （x 1+x 2）+16， ∴x 1•x 2+y 1•y 2=163+4k2+16k23+4k2−128k23+4k2+16=167，∴k 2＝1 ②，由①、②解得 k ＝±1，∴直线l 的方程为 y ＝±x ﹣4，故存在直线l ：x +y +4＝0，或 x ﹣y ﹣4＝0，满足题意．21．已知项数为m （m ∈一、选择题*，m ≥2）的数列{a n }满足如下条件：①a n ∈N *（n ＝1，2，…，m ）；②a 1＜a 2＜…＜a m ．若数列{b n }满足b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈N ∗，其中n ＝1，2，…，m ，则称{b n }为{a n }的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n }为{a n }的“伴随数列”，证明：b 1＞b 2＞…＞b m ；（Ⅲ）已知数列{a n }存在“伴随数列”{b n }，且a 1＝1，a m ＝2049，求m 的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得b 4=1+3+5+7+9−75−1=92∉N ∗，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n }的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i ＜j ≤m ，都有b i −b j =a j −ai m−1，因为b i ∈N ∗，b 1＞b 2＞…＞b m ．因为b n−1−b n =a n −a n−1m−1∈N ∗，所以a n ﹣a n ﹣1≥m ﹣1，又a m ﹣a 1＝（a m ﹣a m ﹣1）+（a m ﹣1﹣a m ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）≥（m ﹣1）+（m ﹣1）+…+（m ﹣1）＝（m ﹣1）2．所以2049﹣1≥（m ﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为b4=1+3+5+7+9−75−1=92∉N∗，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为b n+1−b n=a n−a n+1m−1，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以b n+1−b n=a n−a n+1m−1＜0，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有b i−b j=a j−a i m−1，因为b i∈N∗，b1＞b2＞…＞b m．所以b i−b j∈N∗，所以b i−b j=a j−a im−1∈N∗，所以b1−b m=a m−a1m−1=2048m−1∈N∗，因为b n−1−b n=a n−a n−1m−1∈N∗，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m ﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又2048m−1∈N ∗，所以m ≤33，例如：a n ＝64n ﹣63（1≤n ≤33），满足题意，所以，m 的最大值是33．。

2020年北京市高考数学试卷(pdf详细解析版)

的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2π的近似值。按照阿尔卡西的方法， π 的近似值的表达方式是
（A） 3n(sin 30 tan 30)
n
n
答案： (0, )
解析：要使
x
1
1
有意义，则有
x
1
0
，即
x
1
，要使
ln
x
有意义，则
x
0
，所以函数的定义域是
(0,
)
（12）已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的右焦点的坐标为________； C 的焦点到其渐近线的距离是________． 63
答案：（3，0）， 3
解析：设双曲线的焦距为 2c，则有 c2 6 3 9 ，故 c=3，则 C 的右焦点的坐标为（3，0）.易知 C 的焦点到其渐
（7）设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ，P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 做 PQ ⊥ l 于 Q ，则线段 FQ
的垂直平分线
（A）经过点 O
（B）经过点 P
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（C）平行于直线 OP
答案：B
（D）垂直于直线 OP
解析：如图，连接 PF，由抛物线的定义可知， PF PQ ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P，故选 B
（5）已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为
（A）4 （C）6 答案：A
（B）5 （D）7
解析：由已知，圆心在以点 A(3, 4) 为圆心，1 为半径为圆上，当圆心在下图点 B 位置时，圆心到原点的距离最小，所以圆心到原点的距离的最小值为 OB OA 1 32 42 1 5 1 4 ，选 A

2020年北京高考数学猜题卷(一)(含解析)

二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 设函数 f (x) x3 ax2 ，若曲线 y f (x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 x y 0 ，
则实数 a=_______．【答案】－2
【解析】根据切点在切线上，得出 f (1) 1，根据解析式即可得出答案.
【解析】因为
，
所以对应的点位于第一象限.
故选：A
A 1, 0,1, 2，B x x2 1
2. 已知集合
，则 A∩B=（）
A. {－1,0,1}
B. {0,1}
C. {－1,1} 【答案】A
D. {0,1,2}
【解析】 x2 1, 1 x 1，
B x 1 x 1 A B 1, 0,1
P 2 ；
（2）现从上图 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天），记其中游客数
不低于 125 且不高于 135 人的天数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1） 513 ；（2） 1
625
2
【解析】（1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过 130 人的概率为
4
2 .
2r 2 52 62
2
2
5
所以
，
r9 解得 2 ，
所以
S球
4
9 2
2
81
，
故选：C
8. 已知点 A(2, 3) 在抛物线 C： y2 2 px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率
为（）
4 A． 3
B． 1
3 C． 4
1 D． 2
【答案】C
【解析】由已知得，抛物线
y2

2020年北京市高考数学试卷(解析版)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5 页，150 分，考试时长120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40 分）一、选择题10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合A = {-1, 0,1, 2} ，B = {x | 0 < x < 3} ，则A B = （）．A. {-1, 0,1}B. {0,1}C. {-1,1, 2}D. {1, 2}【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】A I B = {-1, 0,1, 2}I(0, 3) = {1, 2}，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1, 2) ，则i ⋅ z = （）．A.1+ 2iB.-2 + iC.1- 2iD.-2 - i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得z = 1+ 2i ，∴iz = i - 2 .故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在2)5 的展开式中，x2 的系数为（）．5 33 A. -5B. 5C. -10D. 10【答案】C 【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 x 2 的系数即可.55-rr r 5-r【详解】( x - 2) 展开式的通项公式为： T1= C 5( x )(-2) = (-2) C 5 x 2 ， rrr +5 - r令= 2 可得： r = 1 ，则 x 2 的系数为： (-2)1C 1 = (-2)⨯ 5 = -10 .2故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6 +B. 6 + 2 3C. 12 +D. 12 + 2 3【答案】D 【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形，( x - 3)2+ ( y - 4)232 + 42 则其表面积为：S = 3⨯(2 ⨯ 2) + 2 ⨯⎛ 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯sin 60︒⎫= 12 + 2 3 . 2 ⎪ ⎝ ⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5.已知半径为 1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】求出圆心 C 的轨迹方程后，根据圆心 M 到原点O 的距离减去半径 1 可得答案.【详解】设圆心C ( x , y )，则化简得 ( x - 3)2 + ( y - 4)2= 1，= 1，所以圆心 C 的轨迹是以M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，所以| OC | +1 ≥| OM | = = 5 ，所以| OC |≥ 5 -1 = 4 ，当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数f (x) = 2x - x - 1，则不等式f (x) > 0 的解集是（）．A. (-1,1)B. (-∞, -1) (1, +∞)C. (0,1)D. (-∞, 0) ⋃ (1, +∞)【答案】D【解析】【分析】作出函数y = 2x 和y = x + 1的图象，观察图象可得结果.【详解】因为f ( x) = 2x - x -1，所以f ( x) > 0 等价于2x > x +1 ，在同一直角坐标系中作出y = 2x 和y = x + 1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1), (1, 2) ，不等式2x > x +1 的解为x < 0 或x > 1 .所以不等式f ( x) > 0 的解集为：(-∞, 0)⋃(1, +∞) .故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥ l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OC. 平行于直线OP B.经过点PD. 垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在 x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点 P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F , Q 的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义可知， PQ = PF ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列{a n }中，a 1 = -9 ， a 3 = -1 ．记 T n = a 1a 2…a n (n = 1, 2,… ) ，则数列{T n }（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B 【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d = a 5 - a 1 = -1 + 9= 2 ，5 -1 5 -1则其通项公式为：a n = a 1 + (n -1) d = -9 + (n -1)⨯ 2 = 2n -11，注意到a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < 0 < a 6 = 1 < a 7 < ，且由T 5 < 0 可知 T i < 0 (i ≥ 6, i ∈ N ) ，T i由T i -1= a i > 1(i ≥ 7, i ∈ N ) 可知数列{T n }不存在最小项，由于a 1 = -9, a 2 = -7, a 3 = -5, a 4 = -3, a 5 = -1, a 6 = 1，故数列{T n }中的正项只有有限项： T 2 = 63 ， T 4 = 63⨯15 = 945 . 故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T 4 . 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知,∈ R ，则“存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ”是“ sin = sin ”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k 时，若 k 为偶数，则 s in = sin (k + ) = sin；若 k 为奇数，则s in = s in (k -) = sin ⎡⎣(k -1)+- ⎦⎤ = s in (-) = s in；(2)当 sin = sin 时，= + 2m 或+ = + 2m ， m ∈ Z ，即= k + (-1)k(k = 2m ) 或= k + (-1)k(k = 2m +1) ，亦即存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ．所以，“存在 k ∈ Z 使得= k + (-1)k ”是“ sin = sin ”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day ）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．⎛ A. 3n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ ⎛ B. 6n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ ⎝ n n ⎭ ⎝ n n ⎭⎛ C. 3n sin 60︒ + tan 60︒ ⎫ ⎪ ⎛ D. 6n sin 60︒ + tan 60︒ ⎫ ⎪ ⎝n n ⎭ ⎝n n ⎭【答案】A 【解析】【分析】计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 2的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为 30︒360︒ = n ⨯ 6 60︒ n，每条边长为 2 sin 30︒ ， n 所以，单位圆的内接正 6n 边形的周长为12n sin ，n 单位圆的外切正 6n 边形的每条边长为 2 tan 30︒ 30︒ ，其周长为12n tan ，n n12n sin 30︒ +12n tan 30︒∴ 2= n n = 6n ⎛sin 30︒ + tan 30︒ ⎫ ， 2 n n ⎪⎝ ⎭⎛ 则= 3n sin 30︒ + tan 30︒ ⎫⎪ .⎝n n ⎭故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.111.函数f (x ) = + ln x 的定义域是．x +1 【答案】(0, +∞)【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.⎧ 【详解】由题意得 ⎨x > 0，∴ x > 0 ⎩x +1 ≠ 0故答案为：(0, +∞)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线 C : x y 2- = 1，则 C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距离是63．【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线 C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线 C 中， a =， b ，则 c == 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标为 (3, 0)，双曲线 C 的渐近线方程为 y，即x ±2= 0 ，3 =所以，双曲线 C .故答案为： (3, 0)【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.1 13.已知正方形 ABCD 的边长为2，点 P 满足 AP =PB ⋅ PD =．( A B + AC ) ，则| PD |= ；2【答案】(1).(2). -1【解析】【分析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 PD 以及 PB ⋅ PD 的值.【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 2( )(-2)2+12 5 5 co s 2 + (s in +1)2则点 A (0, 0)、 B (2, 0) 、 C (2, 2)、 D (0, 2) ，1 1 1 AP = AB + AC = (2, 0) +(2, 2) = (2,1)， 22 2则点 P (2,1) ，∴ P D = (-2,1) ， PB = (0, -1)，因此， PD == ，PB ⋅ PD = 0 ⨯ (-2) + 1⨯ (-1) = -1.故答案为：； -1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数 f (x ) = sin(x +) + cos x 的最大值为 2，则常数的一个取值为．【答案】（2k +2, k ∈ Z 均可） 2【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得= 2 ，即可解出.f ( x ) =cos 2 + (sin +1)2sin ( x +) ，可得【详解】因为 f ( x ) = c ossin x + (sin+1)cos x =cos 2 + (sin +1)2sin ( x +)，所以 co s 2 + (s in +1)2= 2 ，解得sin = 1 ，故可取= π. 2故答案为：（2k +2, k ∈ Z 均可）. 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为W = f (t) ，用- f (b) - f (a)的大小评价在[a, b] 这段时间内企业b - a污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果f (b) - f (a)【详解】-b - a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2 ]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2 ]的污水治理能力最强．④错误；在t2 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，E 为BB1 的中点．（Ⅰ）求证：BC1 / / 平面AD1E ；（Ⅱ）求直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值．2【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.3【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形ABC1D1 为平行四边形，可得出BC1 //AD1 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AA1 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A - xyz ，利用空间向量法可计算出直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如下图所示：n ⋅ AA 1在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB //A 1B 1 且 AB = A 1B 1 ， A 1B 1 //C 1D 1 且 A 1B 1 = C 1D 1 ，∴ AB //C 1D 1 且 AB = C 1D 1 ，所以，四边形 ABC 1D 1 为平行四边形，则 BC 1 //AD 1 ，BC 1 ⊄ 平面 AD 1E ， AD 1 ⊂ 平面 AD 1E ，∴ BC 1 // 平面 AD 1E ；（Ⅱ）以点 A 为坐标原点， AD 、 AB 、 AA 1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A - xyz ，设正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ，则A (0, 0, 0) 、 A 1 (0, 0, 2) 、 D 1 (2, 0, 2) 、 E (0, 2,1) ， AD 1 = (2, 0, 2)， AE = (0, 2,1)，⎧n ⋅ AD 1 = 0 ⎧2x + 2z = 0 设平面 AD 1E 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，由 ⎨ ，得 ⎨， ⎩n ⋅ AE = 0 令 z = -2 ，则x = 2 ， y = 1，则 n = (2,1, -2) . ⎩2 y + z = 0cos < n , AA 1 >= n ⋅ A A 1= - 4 = - 2 .3⨯ 2 32因此，直线AA 1 与平面 AD 1E 所成角的正弦值为 . 3【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在 ABC 中， a + b = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ） sin C 和 ABC 的面积．1- cos 2 A =1- cos 2 A 1- cos 2 B =条件①：c = 7, c os A = - 1； 7条件②：cos A = 1, cos B = 9． 8 16注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） sin C =3, 2S = 6 3 ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） sin C = 7,4S = 15 7 .4【解析】【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin A , sin B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求 sin C ，再根据三角形面积公式求结果.1【详解】选择条件①（Ⅰ）c = 7, c os A = - ，a + b = 11 7a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ∴ a 2 = (11- a )2 + 72 - 2(11- a ) ⋅ 7 ⋅ (- 1)7∴ a = 8（Ⅱ） cos A = - 1，A ∈(0,)∴sin A == 4 377a c 8 7 3∴ = ∴sin C = 由正弦定理得： sin A sin C 4 3 sin C2 7 S = 1 ba sin C = 1 (11- 8) ⨯ 8⨯ 3= 6 32 2 21 9 选择条件②（Ⅰ） cos A = , cos B = 8 16，A , B ∈(0,)∴sin A = =3 7, sin B = = 5 7816a b a 11 - a∴ = ∴ a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 78 16（Ⅱ） sin C = sin( A + B ) = sin A c os B + sin B cos A ⨯ 1 = 8 16 16 8 4S = 1 ba sin C = 1 (11- 6) ⨯ 6 ⨯2 2 4 4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 p 0 ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p 1 ，试比较 p 0 与 p 1 的大小．（结论不要求证明） 1 3 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；3413（Ⅱ）,（Ⅲ） p < p361【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求 p 0 ，再根据频率估计概率 p 1 ，即得大小. 200 1【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为= ，200+400 32 4 2该校女生支持方案一的概率为 300= 3 ；300+100 4 （Ⅱ）3 人中恰有 2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以 3 人中恰有 2 人支持方案一概率为：(1)2 (1- 3) + C 1 (1)(1- 1) 3 = 13;（Ⅲ） p 1 < p 03 423 34 36【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19.已知函数 f (x ) = 12 - x 2．（Ⅰ）求曲线y = f (x ) 的斜率等于 -2 的切线方程；（Ⅱ）设曲线y = f (x ) 在点 (t , f (t )) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t ) ，求 S (t ) 的最小值．【答案】（Ⅰ） 2x + y - 13 = 0 ，（Ⅱ） 32 .【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为 f (x ) = 12 - x 2，所以 f '( x ) = -2x ，设切点为 ( x 0 ,12 - x 0 )，则 -2x 0 = -2 ，即 x 0 = 1，所以切点为 (1,11) ，由点斜式可得切线方程为：y -11 = -2 ( x -1) ，即 2x + y - 13 = 0 . （Ⅱ）显然 t ≠ 0 ，因为 y = f ( x ) 在点 (t ,12 - t 2)处的切线方程为： y - (12 - t 2)= -2t ( x - t ) ，令 x = 0 ，得 y = t 2+12 ，令 y = 0 ，得 x =t 2 +12 ，2t所以 S (t ) = 1 ⨯(t 2+12)⋅ t +12 ， 2 2 | t |不妨设 t > 0 (t < 0 时，结果一样) ，则 S (t ) =t + 24t + 144 = 1 (t 3 + 24t + 144 ) ，4t 4 t4 2+ 2 所以 S '(t ) = 1 (3t 2 + 24 - 144 ) = 3(t + 8t - 48)4 t 2 4t 23(t 2 - 4)(t 2 + 12) 3(t - 2)(t + 2)(t 2 + 12)= =， 4t 2 4t 2由 S '(t ) > 0 ，得 t > 2 ，由 S '(t ) < 0 ，得 0 < t < 2 ，所以 S (t )在 (0, 2)上递减，在 (2, +∞) 上递增，所以 t = 2 时，S (t )取得极小值，也是最小值为 S (2) =16 ⨯16 = 32 .8【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.x 2 y 220.已知椭圆 C : + = 1 过点A (-2, -1) ，且 a = 2b ． a 2 b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程：| PB |（Ⅱ）过点 B (-4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M , N ,直线 MA , NA 分别交直线 x = -4 于点P , Q ．求的| BQ |值．【答案】（Ⅰ） x y 2+ = 1；（Ⅱ）1.82【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于 a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA ,NA 的方程确定点 P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 y P + y Q = 0 ，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为： xy 2 2= 1(a > b > 0)，由题意可得：⎧ 4 1 + = 1a b ⎧a 2 = 8 ⎪ ⎨ a2 ⎪⎩b2 a = 2b ，解得： ⎨ ， ⎩b 2 = 2故椭圆方程为： x y 2+ = 1.8 22 2 2y Py QPB P Q ⎪ PB PQ (2)设 M ( x 1 , y 1 )， N ( x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为：y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x y 2 + = 1联立可得： x 2 + 4k 2(x + 4)2 = 8 ， 8 2即： (4k 2+1)x 2 + 32k 2x + (64k 2- 8)= 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 =2, x 1 x 2 = 4k +164k 2 - 8. 4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 = y 1 +1 ( x + 2) ，x 1 + 2y 1 +1k ( x 1 + 4) +1 x 1 + 2 -(2k +1)( x 1 + 4) 令 x = -4 可得： y P = -2 ⨯ -1 = -2 ⨯ - = ，同理可得： y Q =x 1 + 2 -(2k +1)( x 2 + 4).x 2 + 2x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且： = ，注意到：y P + y Q= -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， ⎝ x 1 + 2 x 2 + 2 ⎭( x 1 + 2)( x 2 + 2)而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣ x 1 x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦⎡ 64k 2 - 8 ⎛ -32k 2 ⎫ ⎤= 2 ⎢ + 3⨯ ⎪ +8⎥ ⎣ 4k 2 +1 ⎝ 4k 2 +1 ⎭ ⎦ (64k 2- 8) + 3⨯(-32k 2) + 8(4k 2+1)= 2 ⨯= 0 ，4k 2+1故y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而=1 .【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21.已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：2a k na 2 n n2 1 ①对于{a n }中任意两项 a i , a j (i > 2j ) ，在{a n }中都存在一项 a m ，使 a= a m ； j2②对于{a n }中任意项a n (n … 3) ，在{a n }中都存在两项 a k , a l (k > l ) ．使得 a n = ． a l(Ⅰ)若a n = n (n = 1, 2, ) ，判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n = 2n -1 (n = 1, 2, ) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n }为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】【分析】 (Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明 a 3a 2= 2 ，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列 a 1即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，之后证得 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】(Ⅰ) Qa= 2, a = 3, a 3 = 9∉ Z ∴{a }不具有性质①； 2 3 n22 2(Ⅱ) Q ∀i , j ∈ N * , i > j ,a ia = 2(2i - j )-1 , 2i - j ∈ N * ∴ a i a = a 2i - j ∴{a n }具有性质①； jjQ ∀n ∈ N *, n ≥ 3, ∃k = n -1, l = n - 2, a k = 2(2k -l )-1 = 2n -1 = a ,∴{a }具有性质②；a l(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然a n ≠ 0 (n ∉ N *)，假设数列中存在负项，设 N 0 = max {n | a n < 0}，第一种情况：若N 0 = 1，即 a 0 < 0 < a 1 < a 2 < a 3 < ，由①可知：存在 m 1 ，满足 a m a 2= 2a 1< 0 ，存在m 2 ，满足 a m a 2 = 3a 1< 0 ， a i 2 2a a a 0 m0 0 a a a m 1 k +1 s sa 21 11由 N 0 = 1可知 2 2 = a 1 23 a 1，从而 a 2 = a 3 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.a 2 第二种情况：若 N ≥ 2 ，由①知存在实数 m ，满足 a = N 0< 0 ，由 N 的定义可知： m ≤ N ， 1a 2 a 2另一方面， a m = N 0 > N0 = a a a N 0 ，由数列的单调性可知：m > N 0 ， 1 N 0这与 N 0 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明a 3 a 2 = 2 ： a 1利用性质②：取 n = 3 ，此时a 3 = 2k (k > l )，a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，a = a • ak > a 而 3 k k ，故 k < 3， l此时必有k = 2, l = 1 ，即 a 3 a 2 = 2 ， a 1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{a n }的前k (k ≥ 3)项成等比数列，不妨设 a s = a 1qs -1(1 ≤ s ≤ k )，其中a 1 > 0, q > 1，（ a 1 < 0, 0 < q < 1 的情况类似）a 2由①可得：存在整数 m ，满足 a = k= a q k k -1 > a k ，且a m = a 1q ≥ a k +1 （*）a 2 a 由②得：存在 s > t ，满足：a = s = a ⋅ s> a ，由数列的单调性可知： t < s ≤ k +1， a t a t由a = a q s -1(1 ≤ s ≤ k )可得：a =a s= a q 2s -t -1> a = a q k -1（**）s1k +11k 1t由（**）和（*）式可得： a q k≥ a q 2s -t -1> a q k -1，结合数列的单调性有： k ≥ 2s - t -1 > k -1，kka a 1 a k a a a 注意到 s , t , k 均为整数，故 k = 2s - t -1，代入（**）式，从而a k +1 = a 1q .总上可得，数列{a n }的通项公式为：a n = a 1q n -1.即数列{a n }为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取 n = 3 ，此时a 3 = 2k (k > l )，a l由数列的单调性可知a k > a l > 0 ，a = a • a k > a 而 3 k k ，故 k < 3， l此时必有k = 2, l = 1 ，即 a 3 a 2 = 2 ， a 1即a 1 , a 2 , a 3 成等比数列，不妨设 a 2 = a 1q , a 3 = a 1q (q > 1)，a 2 a 2q 4然后利用性质①：取 i = 3, j = 2 ，则 a m = 3 = 1 = a q 3 ，a 2 a 1q即数列中必然存在一项的值为a q 3 ，下面我们来证明 a = a q 3 ， 141否则，由数列的单调性可知a < a q 3， 41a 2 a k k在性质②中，取 n = 4 ，则 a 4 = a = a k a> a k ，从而 k < 4 ， ll2与前面类似的可知则存在{k , l } ⊆ {1, 2, 3}(k > l ) ，满足a 4 = ， a l若k = 3, l = 2 ，则： a a 2= k = a q 3 ，与假设矛盾； 41l若k = 3, l = 1，则： a a 2= k = a q 4 > a q 3 ，与假设矛盾； 41 1l若k = 2, l = 1 ，则： a a 2= k = a q 2 = a ，与数列的单调性矛盾； 41 3l即不存在满足题意的正整数k , l ，可见 a < a q 3不成立，从而 a = a q 3 ， 41412同理可得：a= a q4 , a= a q5 , ，从而数列{a }为等比数列，5 16 1 n同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{a n}为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.。

2023年高考【文科数学】猜题卷附解析(全国卷)1

2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学猜题卷（全国卷）【满分：150 分】一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，.若，，则( ){}22,3,23A a a =--{}0,3B ={}2,C a =B A ⊆{}2A C =I a =A. B. C.1D.33-1-2.设复数z 满足( ) i 4z +=-=A.B. 42i -42i +3.若α是第二象限角，则是( ) 180α︒-A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.一批学生分别来自于一班与二班，一班、二班中女生的占比分别为40%，50%.将这两个班的学生合编成一个大班，从大班中随机抽取1名学生，已知抽取到女生的概率为44%，然后从大班中随机抽取1名学生，若抽取到的是女生，则她来自一班的概率为( ) A.B. C.D.611352522755.在等差数列中,若,且它的前n 项和有最小值,则当时,n 的最小值为{}n a 981a a <-n S 0n S >( ) A.14B.15C.16D.176.若函数在点处的切线为直线，若直线l 与圆()()a f x x a x =+∈R (2,(2))f 1:2l y x b =+相切，则r 的值为( ) 222:(0)C r x y r =+>7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为-90，则判断框中可填写( )A.B.C. 5 ?i <D.5?i >4?i > 4 ?i <8.定义在R 上的偶函数()f x 满足当时，1()f x x x =-，则不等式的解集0x >()0f x x>为( )A.(,1)(1,)-∞-+∞UB. (,1)(0,1)-∞-UC.(1,0)(1,)-+∞UD.(1,0)(0,1)-U 9.已知向量(,3)k =a ，，，且，则实数k 的值为( )(1,4)=b (2,1)=c (23)-⊥a b c A.B.0C.3D.92-15210.已知四棱锥SABCD 的底面是边长为2的正方形，平面平面ABCD ，SAD ⊥SA SD ⊥，，则四棱锥的外接球的表面积为( ). SA SD =S ABCD -11.已知为锐角,且，则( ) ,αβtan 2,cos()ααβ=+=tan()αβ-=A. B.C. D.913-913712-71212.已知函数在区间上有最小值，则实数a 的取值范围是( ). 3()e (3)1x f x x a x =++-+(0,1)A.B.C.D.(e,2)-(e,1e)--(1,2)(,1e)-∞-二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2020北京高考数学参考答案

绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．D 2．B 3．C 4．D 5. A 6. D7. B8. B9. C10. A二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．),0(+∞12．)0,3(3 13．5 1- 14.)22Z k k ∈+（ππ15．①②③注：第12题第13题的第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题13分）解：I Q （）正方体1111ABCD-A B C D ∴11AB C D P ，11AB=C D ∴四边形11ABC D 是平行四边形 ∴11BC AD PQ 1111BC AD E AD AD E ⊄⊂面，面，∴11BC AD E.P 平面II （）由正方体1111ABCD-A B C D 可知：11,,,AB AD AB AA AD AA ⊥⊥⊥不妨设正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz —.值得到答案即可）（一个k其中11AD E A (0,0,0)，(2,0,2)，(0,2,1)，(0,0,2) 1(0,0,2)AA =，1(2,0,2)AD =，(0,2,1)AE =设1AD E 平面的法向量(,,)n x y z = 100AD n=AE n=⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩即22020x z=y+z=+⎧⎨⎩ 令1y =，则2,2x z ==− 则(2,1,2)n =−设直线1AA 与1AD E 平面所成角为θ，则1112sin cos ,3AA n AA n AA nθ⋅=<>=== ∴直线1AA 与1AD E 平面所成角的正弦值是2.317.（本小题14分）解析：选择条件①，解答如下：（Ⅰ）在∆ABC 中，Q a + b = 11 ， 11b a ∴=− 又Q 7c =，1cos 7A =−根据余弦定理222222(11)71cos 22(11)77b c a a a A bc a +−−+−===−−⨯ 8.a =解得（Ⅱ）在∆ABC 中，Q 1cos 7A =−sin 7A ∴== 又8,7,a c ==Q根据正弦定理sin sin a cA C=,7sin sin 27C C ==，解得Q 11a b +=，8, 3.a b =∴=11sin 83222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△条件②,解析如下：（Ⅰ）在ABC △中，Q 1cos ,8A =9cos .16B =sin 816A B ∴==== 又1111a b b a +=∴=−Q ，根据正弦定理sin sin a bA B==解得 6.a =（Ⅱ）在ABC 中，由（Ⅰ）得6,5a b == 因为在ABC △中，πA B C ++=，91sin sin()sin cos cos sin 8168164C A B A B A B ∴=+=+=⨯+⨯=11sin 652244ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△18.（本小题14分）解：(1)设男生支持方案一的事件为A,女生支持方案一的为事件B共抽取了200+400=600名男生，支持方案一的有200人所以()31600200==A P 共抽取了300+100=400名女生，支持方案一的有300人所以()43400300==B P (2) 由频率估计总体，由（1）可得()31=A P ,()43=B P ,可视为每个男生支持方案一的概率为31，每个女生支持方案一的概率为43；抽取了2个男生，1个女生恰有2人支持方案一的事件为C()36134131433231212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯=C C P所以这3人中恰有2人支持方案一的概率为3613. (3)10p p >19.（本小题15分）解：（Ⅰ）设切点横坐标为x 0. ¢f (x )=-2x .则¢f (x 0)=-2x 0=-2,得x 0=1.切线方程为y -f (1)=-2(x -1),即2x +y -13=0.（Ⅱ）依题意t¹0 .先研究t >0时,f (t )=12-t 2,¢f (t )=-2t .故曲线y =f (x )在(t ,f (t ))处的切线方程为y -f (t )=¢f (t )(x -t ), 即y +t2-12=-2t (x -t ).令x =0,得y =t2+12; 令y =0,得2122t x t+= . 故所求三角形面积为s (t )=(t 2+12)24t =14(t 3+24t +144t )(t >0) 2222211443(12)(4)()(324)44t t s t t t t+−'=+−=. 令¢s (t )=0,得t =2.所以，当t 变化时，¢s (t )与s (t )的变化情况如下表所示：所以当t=2时,s(t)有最小值s(2)=32.又因为f(x)=12-x2满足f(-x)=f(x),故图像关于y轴对称.综上，当t=±2时, s(t)有最小值32．20.（本小题15分）（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不妨设(M N−由平面几何知识得BP BQ====这时 1.BPBQ=由()222644844m m m∆=−⨯⨯+>>0，解得且12122288,44my y y ym m+=⋅=++,此时111:1(2)2AMyl y xx++=++，令4x=−，112(1)12Pyyx−+=−+同理可得222(1)1.2Qyyx−+=−+12121212122112122(1)2(1)222112(1)22(1)(2)(1)(2)(2)(2)2(2)(2)P Q y y y y x x y y x x y x y x x x x x −+−++=+−++++=−++++++++++++=−⨯++122112122112121222(1)(2)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)(2)(2)(2) (2)(2)()88 (2)(2)44y x y x x x y my y my my my m m y y m y y mm m m m m ++++++++=+−++−+−−=+−++=+−+++=Q0P Q y y ∴+= BP BQ ∴= 1BPBQ∴= 综上：1BPBQ=。

2020北京高考数学参考答案

2023年高考押题预测卷01卷-理科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)

绝密★启用前2023年高考押题预测卷01（全国乙卷）理科数学（考试时间：150分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

评卷人得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（） A. 0B. 1C.2D. 22.设集合A={x|x 2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（） A. –4B. –2C. 2D. 43.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.存在函数f(x)满足：对任意x ∈R 都有( )A.f(sin 2x)＝sin xB.f(sin 2x)＝x 2＋xC.f(x 2＋1)＝|x ＋1|D.f(x 2＋2x)＝|x ＋1|5.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 326.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112 B ．114 C ．115 D ．1187.将函数y =sin(2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间[3π4,5π4]上单调递增 B ．在区间[3π4,π]上单调递减 C ．在区间[5π4,3π2]上单调递增 D ．在区间[3π2,2π]上单调递减8.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个9.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<10.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点；②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增；④ω的取值范围是[1229510，)，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④11.已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知a =log 2e ，b =ln2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则m 、n 、e 1，e 2应满足____________关系。

2020年北京市高考数学试卷(有详细解析)

2020年北京市高考数学试卷一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)已知集合A = {-1,0, 1, 2], B = {x|0<%<3],则AQB =()在复平而内，复数2对应的点的坐标是(1,2),贝ljf ・z某三棱柱的底面为正三角形.其三视图如图所示，该三棱柱的表而积为()已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()6. 已知函数n» = 2” 一咒一 1,则不等式门幻> 0的解集是()A. (-14)B. (-CO.-1) u (1,+co)C. (0,1)D. (-00,0) u (l,+oo)7. 设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为LP 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ 丄I于0,则线段凡2的垂直平分线() A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8. 在等差数列｛—｝中，a x = —9, a 5 = -l.idT n = a L a 2 ...a n (n= 1,2, ...),则数列｛几｝()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9. 已知a, /? 6 7? > 贝lj "存在Zc 6 Z 使得a = kn + (―l)k/?"是 asina = sm/?"的班级:姓名: 得分:1. B. {04}C ・{—1,1 ♦ 2} D.2. 3. A. l+2iB ・一2 + iD.在(仮一2)5的展开式中，咒2的系数为()A. —5B. 5C. —ioD. 104. A. 6 + V3B ・ 6 + 2^3C ・ 12 +V3D ・12 + 2齿5. A.4B. 5C.6D.7正(主)视图侧［左)视團()10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(TT Day).历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数" 充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6“边形)的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是()二、填空题(本大题共5小题，共25.0分) 11. 函数/(咒)=占+加兀的左义域是 _______ ・12. 已知双曲线C ：兰-兰=「则C 的右焦点的坐标为 ___________ : <7的焦点到英渐近线63的距离是 _____ .13. 已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP = ^(AB +AC)9则|而| = ____________ :•~PD= ______ •14. 若函数f(x) = sin(x + + cosx 的最大值为2,则常数©的一个取值为 ________ . 15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量用与时间/的关系为0 = f(t),用一空浮的大小评价在［①b ］这段时间内企业污水治理能力的强弱•已知整改期内, 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：① 在［如切这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强: ② 在0时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强： ③ 在十3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标：A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件“ 30。

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2020年北京高考数学猜题卷(一)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.复数()2i i -在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A∩B=（）
A.{－1,0,1}
B.{0,1}
C.{－1,1}
D.{0,1,2}
3.若偶函数f (x )在区间(－∞,－1]上是增函数，则()A.3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ B.3(1)(2)
2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C.3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭ D.3(2)(1)
2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭4.函数y=2x sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
5.从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值()A.
B.5
C. D.4+6.已知函数()()sin f x A x ωφ=+的部分图象如图所示，那么函数f (x )的解析式可以是（）
A.()sin 28f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
C.()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭
D.()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
7.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为表面积为（）
A.36π
B.64π
C.81π
D.100π
8.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率
为（）
A ．4
3-B ．1-C ．3
4-D ．1
2
-9.设非零向量a ，b 满足3a b = ，1cos ,3a b = ，()
16a a b ⋅-= ，则b = （）
A.
B. C.2 D.
10.如果集合A ，B ，同时满足A ∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对（A ，B ）为“好集对”．这里有序集对（A ，B ）意指，当A≠B 时，（A ，B ）和（B ，
A ）是不同的集对，那么“好集对”一共有（
）个．A ．5B ．6C ．7D ．8
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0x y +=，则实数a =_______．
12．函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____.
13.8的展开式中的有理项共有__________项．
14.在△ABC 中，6
A π=
，A 的角平分线AD 交BC 于点D
，若AB =
，AC =AD=______.15.平面直角坐标系中，若x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题正确的是_______①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点
③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且11433n n S a +=
-，14a =.（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎩⎭
的前n 项和T n .17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，
12
AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .
（1）证明：PO ⊥平面ABCD .
（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.
18.“一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念.而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下：
（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；
（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为η，求η的分布列和数学期望.
19.已知函数3()f x x x
=-．（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
20.已知椭圆M ：2222x y a b
+=1（a >b >c ）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2.若直线y =x +m 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B
（I ）求椭圆M 的方程；
（II ）将AB 表示为m 的函数，并求△OAB 面积的最大值（O 为坐标原点）
21.给定一个n 项的实数列()*12n a a a n N ∈ ，，，，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将
数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．
（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4；
（2）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；
（3）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．。

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