初中数学解题模型专题讲解42---最值系列之瓜豆原理

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Q
A
P
O
【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ= 2 ：1，故 Q 点轨迹是个圆． 连接 AO，构造∠OAM=45°且 AO:AM= 2 ：1．M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，此时任意时 刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点 Q 的轨迹圆．
Q
M
P
A
O
【练习】如图，点 P（3,4），圆 P 半径为 2，A（2.8,0），B（5.6,0），点 M 是圆 P 上的 动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_______．
引例 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
Q
A
P
O
【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°得 AQ，故 Q 点轨迹 与 P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
P F
E
B
D
C
【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知 F 点运动路径长与 P 点相同，P 从 E 点
运动到 A 点路径长为 8，故此题答案为 8．
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【2013 湖州中考】如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 3 的一个定点，AC ⊥x 轴于点 M，交直线 y=-x 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB=30°，
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【思考 1】：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为一边作等边△APQ． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
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Q
A
P
O
【分析】 Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故 Q 点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ=60°，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足∠MAO=60°； 考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
利用两点间距离公式求得 OA，再减去 OC 即可．
y
P
M
O
C
O
A
B
x
【2016 武汉中考】如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC= 2 2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径
的半圆上，M 为 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为________．
P A
M
C
B
【分析】考虑 C、M、P 共线及 M 是 CP 中点，可确定 M 点轨迹： 取 AB 中点 O，连接 CO 取 CO 中点 D，以 D 为圆心，DM 为半径作圆 D 分别 交 AC、BC 于 E、F 两点，则弧 EF 即为 M 点轨迹．
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P Q
A
M
O
【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线， 由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AO． Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
段长，再利用勾股定理求得 OM，减去 MF 即可得到 OF 的最小值．
A
D
E
B
O
C
F
M
【练习】△ABC 中，AB=4，AC=2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为_____________．
A
B
C
O
E
D
【分析】考虑到 AB、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定 AB，将 AC
直线上运动，故可知 P 点轨迹也是直线．
取两特殊时刻：（1）当点 B 与点 O 重合时，作出 P 点位置 P1；（2）当点 B 在
x 轴上方且 AB 与 x 轴夹角为 60°时，作出 P 点位置 P2．连接 P1P2，即为 P 点
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轨迹．
y B
O A
P2 x
P1
根据∠ABP=60°可知：P1P2 与 y 轴夹角为 60°，作 OP⊥ P1P2 ，所得 OP 长度即为 最小值，OP2=OA=3，所以 OP= 3 ．
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看成动线段，由此引发正方形 BCED 的变化，求得线段 AO 的最大值．
根据 AC=2，可得 C 点轨迹是以点 A 为圆心，2 为半径的圆．
A B
C
O
E
D
接下来题目求 AO 的最大值，所以确定 O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角
三角形，锐角顶点 C 的轨迹是以点 A 为圆心，2 为半径的圆，所以 O 点轨迹也
Q
M
60° A
P O
【小结】可以理解 AQ 由 AP 旋转得来，故圆 M 亦由圆 O 旋转得来，旋转角度与缩放 比例均等于 AP 与 AQ 的位置和数量关系．
【思考 2】如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为斜边作等腰直 角△APQ． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，如何作出 Q 点轨迹？
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此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．
Q
α A
P O
Q M
α Aα
P O
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩．
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可以这样理解：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程 中，因为 AP=2AQ，所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q 点到 BC 的距离是定值， 故 Q 点轨迹是一条直线．
A
Q
BP
NM
C
【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=AQ，当点 P 在直
Q P
A
O
【分析】考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO； 考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2．
M Q
A
P O
【模型总结】 为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”．
一、轨迹之圆篇 引例 1：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
A
Q
P
O
【分析】观察动图可知点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O 有什么关系？
考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心， 半径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO； 考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO．
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即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
M Q
P
A
O
引例 3：如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？
2
y B
O A
P
P1
P2 x
【2019 宿迁中考】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为
AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的
最小值为 ．
A
D
F
G
B
E
C
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值， 可以将 F 点看成是由点 B 向点 A 运动，由此作出 G 点轨迹：
初中数学解题模型专题讲解 专题 42 最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹， 即可求出关于动点的最值．
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P， 但最终问题问的可以是另一点 Q，当然 P、Q 之间存在某种联系，从 P 点出发探讨 Q 点运动轨迹并求出最值，为常规思路．
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P A
M
E
O
D
C
F
B
当然，若能理解 M 点与 P 点轨迹关系，可直接得到 M 点的轨迹长为 P 点轨迹
长一半，即可解决问题．
【2018 南通中考】如图，正方形 ABCD 中， AB = 2 5 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE、CF．求线段 OF 长的最小值．
是圆，以 AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点 M 即为点 O 轨迹圆圆心．
A
B
C
M
O
E
D
连接 AM 并延长与圆 M 交点即为所求的点 O，此时 AO 最大，根据 AB 先求 AM， 再根据 BC 与 BO 的比值可得圆 M 的半径与圆 A 半径的比值，得到 MO，相加 即得 AO．
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