应用一元一次方程—水箱变高了-(初中数学教学PPT课件)
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北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程PPT教学课件
课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10
6
则 2(10+x)=10×4+6×2
解得
x=16
答：长方形的长为16cm，宽为10cm。
小结
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米 解：设新水箱的高度是x米
由题意，得 π×22×4= π×1.62×x 解方程，得 16π= 2.56πx
化而变化，当__长__=_宽____（即为_正__方_形__）时，面积最大。
2.练习变式 小华的父亲养了一群鸡，把它们圈在用80米篱笆围成的长为30米、
宽为10米的鸡圈内．为了扩大养鸡规模，利用现有的篱笆把鸡圈面积扩 大，你能帮他想想办法吗？
解：将80米的篱笆围成正方形时，面积最大 这时，正方形的边长为80÷4=20米。
2.列方程解应用题的步骤：
（1）审清题意，找准“__等__量___关系”； （2）设_未__知__数___； （3）列__方__程____； （4）正确求__解_____； （5）判明方程解的__合__理__性__；
（6）答。
3.下列过程中，哪些量变了？哪些量没变？根据不变量找出等量关系。 （1）用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱，然后把它变矮，变成一
北师大版数学七年级上册课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共12张PPT)
5.3Βιβλιοθήκη 应用一元一次方程——水箱变高了
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
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《应用一元一次方程——水箱变高了》课件 (一等奖)2022年最新PPT1
平移
试说明下图中左面的图形经过怎样的运动和右面的图形重合？
垂直ห้องสมุดไป่ตู้折
试说明下图中左面的图形经过怎样的运动和右面的图形重合？
水平翻折
试说明下面方格图中左面的图形经过怎样的运动和右面的图 形重合？
旋转270°
试说明下图中左面的图形经过怎样的运动和右面的图形重合？
你能将下图分成两个全等的图形吗？可以用几种方法？
等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积
解：设水箱的高变为 m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径 高
体积
2厘米 4厘米
22 4
1.6厘米 X厘米
1.62 x
根据等量关系，列出方程：
× 22×4 = × 1.62 × x
解方程得： X=6.25
因此，高变成了 6.25 厘米
等体积变形
关键问题：
小明的困惑：
可以把两个图形叠合在一起，看看是否完全重合 我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形
叠合过程分析
图形的翻折、旋转和平移是图形的三种基本运动 这三种基本运动的特点： 使图形的位置发生变化，但图形的形状、大小没有改变，即 图形的运动前后两个图形是全等的。 反之，两个全等图形经过这样的运动一定能够完全重合
全等三角形特征和识别
特征：全等三角形的对应边、对应角分别相等。 识别： 1.能够完全重合 2.如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角 形全等。
例:如下图， ABC≌ ADE，BC的延长线交DA于F，交DE 于G， ACB 105 ， CAD 10 ， B 25 ，求
DFB和 EGF的度数。
墙面
x X+4
铁丝
思考〔讨论〕试一试
应用一元一次方程—水箱变高了课件
重新建立一元一次方程
πr^2(h-20)=πr^2h。
解方程得到
h=20cm。
实际应用与案例分析
水箱变高问题的实际应用
农业灌溉
在农业灌溉系统中，水箱起到存储和 调节水量的作用。当水箱变高时，能 够提供更多的灌溉用水，有助于农作 物的生长。
城市供水
工业用水
在工业生产过程中，水箱用于冷却、 洗涤等工艺流程。水箱变高可以提高 冷却效果，降低能耗，提高生产效率。
在解题过程中，我学会了如何分析问题、建立数学模型，并运用所学知识解决问题， 提高了自己的思维能力和实践能力。
通过与同学合作探究，我学会了与他人合作、交流和分享，拓展了自己的思路和视野。
对未来学习的展望
我希望在未来的学习中，能够 更加深入地学习一元一次方程 及其应用，掌握更多的数学知 识和技能。
我希望能够加强自己的数学思 维能力，提高解决实际问题的 能力，更好地服务于社会。
能够运用一元一次方 程解决实际问题。
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定 义
一元一次方程
只含有一个未知数，并且该未知数的 次数为1的方程。
例如
x + 3 = 4，这是一个一元一次方程， 其中x是未知数。
一元一次方程的标准形式
01
ax + b = 0，其中a和b是已知数， x是未知数。
02
标准形式是解决一元一次方程的 基础，通过移项和合并同类项， 可以将任意形式的一元一次方程 转化为标准形式。
应用一元一次方程—水箱变高了课 件
引言
主题介绍
主题背景
水箱变高问题是一个常见的实际 问题，通过这个主题，学生可以 了解一元一次方程在实际问题中 的应用。
主题内容
πr^2(h-20)=πr^2h。
解方程得到
h=20cm。
实际应用与案例分析
水箱变高问题的实际应用
农业灌溉
在农业灌溉系统中，水箱起到存储和 调节水量的作用。当水箱变高时，能 够提供更多的灌溉用水，有助于农作 物的生长。
城市供水
工业用水
在工业生产过程中，水箱用于冷却、 洗涤等工艺流程。水箱变高可以提高 冷却效果，降低能耗，提高生产效率。
在解题过程中，我学会了如何分析问题、建立数学模型，并运用所学知识解决问题， 提高了自己的思维能力和实践能力。
通过与同学合作探究，我学会了与他人合作、交流和分享，拓展了自己的思路和视野。
对未来学习的展望
我希望在未来的学习中，能够 更加深入地学习一元一次方程 及其应用，掌握更多的数学知 识和技能。
我希望能够加强自己的数学思 维能力，提高解决实际问题的 能力，更好地服务于社会。
能够运用一元一次方 程解决实际问题。
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定 义
一元一次方程
只含有一个未知数，并且该未知数的 次数为1的方程。
例如
x + 3 = 4，这是一个一元一次方程， 其中x是未知数。
一元一次方程的标准形式
01
ax + b = 0，其中a和b是已知数， x是未知数。
02
标准形式是解决一元一次方程的 基础，通过移项和合并同类项， 可以将任意形式的一元一次方程 转化为标准形式。
应用一元一次方程—水箱变高了课 件
引言
主题介绍
主题背景
水箱变高问题是一个常见的实际 问题，通过这个主题，学生可以 了解一元一次方程在实际问题中 的应用。
主题内容
北师大版七年级数学上册《应用一元一次方程—水箱变高了》ppt课件
第五章
一元一次方程
3 应用一元一次方程——水箱变高了
课 前 热 身
随 堂 演 练
基础训练 课前热身 (5分钟)
内径为 200 mm、高为 500 mm 的圆柱形铁桶，装满水后慢 慢地向内径为 160 mm、高为 400 mm 的空木桶内倒水，当木桶 装满水时： (1)设铁桶内水位下降了 x mm，根据题意，所列的方程是 __________________； (2)铁桶内的水位深度为________．
5.修筑一条截面为梯形的渠，原计划上口宽 5 m，底宽 2.5 m，深 2 m，为了节约用地，现改成上口宽 4 m，底宽 2 m，当 深度为多少时，才能保证流量不变？ 6．有一艘轮船的载重量是 800 吨，容积是 795 立方米，现 要装运生铁和棉花两种物资，生铁每吨体积是 0.3 立方米，棉 花每吨体积是 4 立方米，生铁和棉花各装多少吨才能充分利用 船的载重量和容积？
1 1 5.解：设改造后的深为 x m，则2(5＋2.5)×2＝2(4＋2)· x， 解得 x＝2.5.因此当深度为 2.5 m 时，才能保证流量不变．
6．解：设装运生铁 x 吨，则装运棉花(800－x)吨．根据题 意，得 0.3x＋4(800－x)＝795.解得 x＝650. 800－650＝150(吨)． 答：装运生铁 650 吨，装运棉花 150 吨才能充分利用船的 载重量和容积． 7．解：设正方形的边长为 x cm，则 4x＝5(x－4)，得 x＝ 20,20×4＝80(cm2)．
7． 如图所示， 小华将一个正方形的纸板剪去一个宽为 4 cm 的长条后，再从剩下的长方形纸板上沿平行短边方向又剪去一 个宽为 5 cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么 每个长条的面积是多少 cm2?
一元一次方程
3 应用一元一次方程——水箱变高了
课 前 热 身
随 堂 演 练
基础训练 课前热身 (5分钟)
内径为 200 mm、高为 500 mm 的圆柱形铁桶，装满水后慢 慢地向内径为 160 mm、高为 400 mm 的空木桶内倒水，当木桶 装满水时： (1)设铁桶内水位下降了 x mm，根据题意，所列的方程是 __________________； (2)铁桶内的水位深度为________．
5.修筑一条截面为梯形的渠，原计划上口宽 5 m，底宽 2.5 m，深 2 m，为了节约用地，现改成上口宽 4 m，底宽 2 m，当 深度为多少时，才能保证流量不变？ 6．有一艘轮船的载重量是 800 吨，容积是 795 立方米，现 要装运生铁和棉花两种物资，生铁每吨体积是 0.3 立方米，棉 花每吨体积是 4 立方米，生铁和棉花各装多少吨才能充分利用 船的载重量和容积？
1 1 5.解：设改造后的深为 x m，则2(5＋2.5)×2＝2(4＋2)· x， 解得 x＝2.5.因此当深度为 2.5 m 时，才能保证流量不变．
6．解：设装运生铁 x 吨，则装运棉花(800－x)吨．根据题 意，得 0.3x＋4(800－x)＝795.解得 x＝650. 800－650＝150(吨)． 答：装运生铁 650 吨，装运棉花 150 吨才能充分利用船的 载重量和容积． 7．解：设正方形的边长为 x cm，则 4x＝5(x－4)，得 x＝ 20,20×4＝80(cm2)．
7． 如图所示， 小华将一个正方形的纸板剪去一个宽为 4 cm 的长条后，再从剩下的长方形纸板上沿平行短边方向又剪去一 个宽为 5 cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么 每个长条的面积是多少 cm2?
《应用一元一次方程——水箱变高了》27页PPT
END
《应用一元一次方程——水箱变高了》
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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x
(2)中长方形面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)m，
(1)中长方形面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
(x+0.8) m
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2) 中相比，又有什么变化？
拓展应用
如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为 4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去 一个宽为5cm的长条。如果两次剪下的长条面 积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
等量关系：长条1的面积＝长条2的面积．
拓展应用 3.小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使 长比宽多4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和 宽各是多少呢？
解：设这一支牙膏能用x次。根据题意得
π×2.52×10×36＝π×32×10x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
一 图形的等长变化
合作探究
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的 周长不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
1.设水箱的高变为x m，填写下表：
底面半径/m 高/m
容积/m3
旧水箱
新水箱
2
1.6
4
x
π×22×4 π×1.62×x
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积
3.列出方程并求解. π×22×4=π×1.62×x, 解得x=6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m.
变式训练： 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明 每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可 以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口 处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
导入新课
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积， 你知道他是如何测量的吗？
形状改变， 体积不变.
=
r h
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
一 图形的等积变化
合作探究
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形 储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m变为多少？
解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得
4x=10
xm
解得 x=2.5
正方形的边长为2.5m 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
面积： 长比宽多1.4m时：
3.82× 1.8=5.76m2
面积： 长比宽多0.8m时： 2.1 ×0.8=6.09m2
长与宽相等时： 面积： 2.5×2.5 = 6.25m2
比较周长相等的三 个长方形的面积， 你发现的什么？
变式训练
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰 物，如图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形 下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方 形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽 各为多少厘米？
等量关系：长方形的周长＝梯形的周长．
xm
(x+1.4) m 等量关系：（长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为xm，则它 的长为(x+1.4)m. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x =1.8 1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长
x+x+x+4=10
x x+4
墙面 铁线
拓展变式 3-变式：小明若小明用10米铁线在墙边围成一个长方 形鸡棚，使长比宽多5米，但在宽的一边有一扇1米宽 的门，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？
（x-1）+x+（x+5）=10
门
x
墙面
铁线
x+5
课堂小结
图形等长变化
应用一元 图形等积变化
找
一次方程
和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成
的长方形相比，面积有什么变化？
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x+0.8）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
x
解得 x=2.1
m
2.1+0.8=2.9m
(x+0.8) m
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m。
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长 和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成 的长方形相比，面积有什么变化？
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米， 要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、 10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
答案：30厘米.
当堂练习
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增
加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为B( )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
1、长方形的周长=（长+宽）×2；面积= 长×宽 。
2、圆的周长= πd=2πr ；面积 = πr2 。
3、长方体的体积= 长×宽×高 ；
4、圆柱的体积= πr2h
。
我还有补充：
.
.
在小组内说一说 （2分钟）
导入新课
阿基米德是古希腊著名的数学家、 物理学家，他被称为想撬动地球的人。
阿基米德与皇冠的故事
设
{应用一元一次方程解 列
{ 决实际问题的步骤
④解
⑤验
⑥答
变式训练
例1 用边长为π的正方形的铁丝，重新绕成一个圆，
求圆的半径r和面积，并判断谁的面积大？
S正= π2
S圆= πr2
=4 π
S正＜S圆
[解析] 等量关系：正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r。
4 π ＝2 π r r＝2
典例精析
3.形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系 ，把这个关系作为相等关系.
思考：
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有
哪些？关键是什么？
1.找——通过审题找出等量关系. 2.设——设未知数，注意单位名称. 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 4.解——求出方程的解. 5.验——检验求出的值是否为方程的解，是否符合实际 问题. 6.答——注意单位名称.
D. 9 cm
2.
C
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( B )
A.π×42x=π×32×(x+5) C.π×82x=π×62×(x+5)
B.π×42x=π×32×(x-5) D.π×82x=π×62×(x-5)
10
10
10
6 10 6
归纳总结
归纳：对于变化类问题.，虽然形状和体积都可能发生 变化，但应用题中任然含有一个相等关系，根据这个相 等关系便可列出方程. 此类问题常见的有以下几种情况：
1.形状发生了变化，而体积（质量）不变. 变化前体积（质量）=变化后体积（质量）.
2.形状、面积发生了变化，而周长不变. 变化前周长=变化后周长.
数学理解
两个圆柱体容器的直径分别为4cm和8cm，高 分别为39cm和10cm。我们先在第二个容器倒满水， 然后将其导入第一个容器中。问倒完后，第一个容 器中的水面离容器口有多少厘米？
小刚是这样做的：设倒完以后，离容器口有xcm。
列方程：π ×22×（39-x）=π×42×10.解得x= -1
你能对他的结果作出合理的解释吗？
七年级数学上（BS）
第五章 一元一次方程
应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量 关系和等量关系.抓住变化中的不变量，从而设未 知数，根据等量关系列出方程. 2. 能利用一元一次方程解决简单的图形问题.
课前复习
我们学过哪些图形的运算？
例2：小圆柱的直径是8厘米，高5厘米，大 圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆 柱体体积的2.5倍，那么大圆柱的高是多少？
等量关系：大圆柱的体积＝小圆柱体积×2.5
解：设大圆柱的高为x厘米.
π×52×x=π×42×5×2.5 25x=
1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米 的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米 的圆钢__1_6___厘米