四川大学线性代数教材第四章第三节教材

向量组的秩，记1
,
2
,,
的
p
秩
为
r{1 ,2 ,, p } 或 秩{1 ,2 ,, p }。
对于零向量组，规定r{0, 0,, 0} 0。
例
向 量 组1
1 0
,
2
0 1
,
3
11,
极大无关组有：1与2 , 1与3 , 2与 3 ,
因 此 ，r{1,2 ,3 } 2。
注意： 一 个 向 量 组 的极大无关组一般不是唯一的。
推论4 秩为r的向量组当中，任意的r 1个向量必然 线性相关。
证明： 设r{1 ,2 , p } r，根据秩的定义，不妨设 1 ,2 ,r (II )为1 ,2 , p (I )的 一 个 极 大 无 关 组 。
设i1 ,i2 ,ir1 ( III )为( I )的 任 意r 1个 向 量 ， 由极大无关组的定义， (III )可由(II )线性表出，
秩(III ) 秩(II ) r r 1 (( III )包含的向量个数) 由 推 论1，i1 ,i2 ,ir1 ( III )线 性 相 关 ，结论成立。
(显然，秩为r的向量组中，任意的r 2、r 3、个向量 也必然是线性相关的，由此可理解极大二字的含义)
练习
向
量
组1
,
2
,,
的
s
秩
为r(r
,
都
s
能
由(
II
)线
性
表
出
即
可
。
考 虑 向 量 组1,2 ,,r ,i (i r 1,, s)， 由推论4，1,2 ,,r ,i (i r 1,, s)必然线性相关，
再由89页例4.2.7，i (i r 1,, s)都可由(II )线性表出，
故结论成立。
用初等行变换求向量组的秩、极大无关组的方法
(1)
以
向
量
1
,
2
,
,
为
p
列
构
成
一
个
矩
阵A；
(2) 用 初 等 行 变 换 将A化 为 阶 梯 矩 阵B；
(3) B的 主 元 列 数(即 非 零 行 的 行 数) 秩{1,2 ,, p }；
(4) 与B的主元列相对应的A的列向量，就是向量组1,
2
,,
的
p
一
个
极
大
无
关
组
。
例 求列向量组
1
1
推论1 设 向 量 组1,2 ,, p (I )，
(1) 秩(I ) p 向量组(I )线性相关； (2) 秩(I ) p 向量组(I )线性无关。
推论2 设1 ,2 ,, p (I )可 由1 , 2 ,, t (II )线 性 表 出 ， 则
秩(I ) 秩(II )
推论3 等价向量组的秩一定相等。 注意： 反 过 来 ， 秩 相 等 的 向 量组 不 一 定 等 价 。
第三节 向量组的极大无关组和秩
定义1 在Rn中，如果向量组1,2,, p(I)的每个向量
都可由向量组1, 2 ,, t (II )线性表出，则称(I )可由(II ) 线性表出，若(I )和(II )可相互线性表出，则称(I )和(II )
等价。
由线性表出的定义立即可得:
(1) 部 分 组 可 由 全 部 组 线 性表 出;
(2)1,2 ,, p (I )( p 1)线性 相关
(
I
)可
由
某
个
部
分
组1
,,
i
1
,
i
1
,
,
线
p
性
表
出
。
由定义还可以得出等价向量组有以下性质: (1) 反身性:每个向量组都和自身等价; (2)对称性:若向量组(I )与(II )等价 (II )与(I )等价; (3)传递性:若向量组(I )与(II )等价，(II )与(III )等价 (I )与(III )等价。
证明：设1,2 ,,r (I )与1, 2 ,, t (II )是 某 向 量 组 的 两 个极 大 无 关 组，由极大无关组的定义可知，(I )可
由(II )线性表出，(II )也可由(I )线性表出，即(I )与(II ) 等价，因此由定理3，r t。
定义3 向量组的极大无关组包含的向量个数，称为
(1)
3 a131 a232
考 查 x11 x22 x33 0 (2)
将(1)代 入(2)中 整 理 得
(a11 x1 a12 x2 a13 x3 )1 (a21 x1 a22 x2 a23 x3 )2 0,
令
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
0 0
(3)
齐 次 线 性 方 程 组(3)的 方 程 个 数 少 于 未 知 量个 数 ，
必
有
非
零
解
，因
此
由(
2)可
知
，
1
,
2
,
线
3
性
相
关
。
我们经常会用到此定理的逆否命题：
定理2 如果
(1)
1
,
2
,,
可
p
由1
,
2
,
,
线
t
性
表
出
，
(
2)
1
,
2
,
,
线
p
性
无
关
，
则 p t。
定理3 如 果 两 个 线 性 无 关 的 向量 组 等 价 ， 一 定 包 含 相同 个数的向量。 证明：设 向 量 组1,2 ,, p (I )与1 , 2 ,, t (II )等 价 ， 且都线性无关。由于(I )可由(II )线性表出，且(I )线性无关， 由定理2，p t；同理，t p, 因此，p t。
定义2 设i1 ,i2 ,,ir ( II )是1 ,2 ,, p (I )的 一 个 部 分 组 ，
如果：(1) (II )线性无关， (2) (I )中任意一个向量都可由(II )线性表出，
则称(II )是(I )的一个极大(线性)无关组。
定理4 向 量 组 的 任 意 两 个 极 大无 关 组 等 价 ， 且 包 含 相同 个数的向量。
下面介绍一个关于向量组线性相关的重要定理：
定理1 如果
(1)
1
,
2
,
,
可
p
由1
,
2
,,
线
t
性
表
出
，
(2) p t，
则1
,
2
,
,
线
p
性
相
关
。
(下面给出p 3, t 2的证明)
证明: 1,2 ,3(I )可 由1, 2 (II )线 性表 出， 即
1 a111 a212
2 a121 a222
s),
若1,2 ,,r
线
性
无
关
，
证
明1
,
2
,,
rபைடு நூலகம்
是1
,
2
,,
的
s
一
个
极
大
无关组。
证明：由极大无关组的定义，因1,2 ,,r (II )线性无关，
则只需证明1,2 ,,s (I )中每个向量都能由(II )线性表出。
又
由
于(
I
)中
前r个
向
量1
,
2
,,
都
r
能
由(
II
)线
性
表
出
，
因
此
，
只
需
证
明
r
1
,
r
2
,
0
1
2
1
1 0 0
, 2
2 1 1
,
3
1 1 1
,
4
3 2 3
,
5
6
4 1
的 秩 和 一 个 极 大 无 关 组。