第3章 多自由度线性振动
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机械动力学第三章——多自由度振动-无阻尼振动
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) r 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
对于ωs： s 2 [m ][A ](s) [k ][A ](s) 0
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) s 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
10
无阻尼自由振动
1
1 k/m, 21.732 k/m, 32 k/m
[ A ](1)
2
1 ห้องสมุดไป่ตู้
模态图形：
1
1
[ A (2)]
0
[ A (3) ]
1
1
1
第一阶模态：
2
1
1
无节点
第二阶模态： 第三阶模态：
1 1
1
1
-
1
一个节点 两个节点
11
无阻尼自由振动
假设有两个频率 ωr 和 ωs ，他们分别对应了一个模态向量
c 1 [ A ] ( 1 ) s i n (1 t 1 ) c 2 [ A ] ( 2 ) s i n (2 t 2 ) c n [ A ] ( n ) s i n (n t n ) 其中，未知数包含2n个：
c 1 ,c 2 ,,c n ;1 ,2 ,,n
其中，未知数由2n个初始条件决定：
(1)
[m]为n*n维质量矩阵， [k] 为n*n维刚度矩阵，其中 [x] 为 n 维列向量。 设方程的解为
[x] [A ]sin(t )
(2)
[A]为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:
( [ k ] 2 [ m ] ) [ A ] 0 |[ k ] 2 [ m ] | 0
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
第三章 多自由度系统振动22
3.3 多自由度系统的动力响应 一、振型分解法 多自由度结构的无阻尼强迫振动微分方程：
由于K是非对角矩阵，故此方程一般是联立的，或者说是偶联 的。当荷载为一般荷载时，这种偶联方程组的求解比较麻烦。 振型分解法：利用主振型的正交性，通过坐标变换，将原来偶 联的方程变为相互独立的方程，从而求得解的方法。 二、坐标变换 T 多自由度系统中，位移向量 Y = y1 , y2 , , yn 称为几何坐标或物 理坐标，它可以按振型展开，写成各个振型的线性叠加形式：
k ) 1 ( k ) 0( k ) =-(L(00 ) L01
(19)
k = 1
(k ) T 0
3）振型的正交性
2 对于 i 有： (K i M )i 0 ，对 j 有： ( K j 2 M ) j 0
T T ( ) ( ) 以 j 和 i 分别左乘以上两式，得：
令 N（k） M -k I N（k） k =0 (13) （ 14） 上式可写成 由于 N（k） =0
故（14）式只有n-1个方程是独立的，故只能求 k 的相对值。
Aik A 若 ik ik 现取 ik 1，则 ik A1k 称 k 为规准化振型。
(3)规准化振型的求解 将规准化后的振型代入(14)式，展开后得： (k ) (k ) k) N11 1 0 N12 N1(n (k ) 0 (k ) (k ) N N N 22 2n 2k 21 (k ) (k ) (k ) N N N n2 nn n1 nk 0
写成分块矩阵 (k ) (k ) N11 1 0 N10 (k ) (k ) (k ) N01 N00 0 0
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
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利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
第3章多自由度线性系统的振动
1 1 1
k1 k1 k1
k1 1 + 1 k1 k2 1 + 1 k1 k2
1
k1 m1 0 1 + 1 k1 k2 1 + 1 + 1 0 k1 k2 k3 1
0 m2 0
x &&1 x1 0 && + x = 0 x2 2 m3 &&3 x3 0 x 0 0
三自由度系统 在质量m 上施加单位力，质量m 的位移： 在质量 1上施加单位力，质量 1 、 m2和m3的位移： x1=1/k1 ， x2=1/k1 ， x3=1/k1 ，即h11= h21= k31= 1/k1 ； 在质量m2上施加单位力，质量 1 、 m2和m3的位移： x1=1/k1 ， x2=1/k1+1/k2， 的位移： 在质量 上施加单位力，质量m x3= 1/k1+1/k2，即柔度系数 12= 1/k1 ， h22= k32= 1/k1+1/k2，； 即柔度系数h 在质量m 上施加单位力，质量m 在质量 3上施加单位力，质量 1 、 m2和m3的位移： x1=1/k1， x2=1/k1+1/k2， 的位移： x3=1/k1+1/k2 +1/k3。即柔度系数 1=1/k1 ， x2=1/k1+1/k2， x3= 1/k1+1/k2 +1/k3 。 即柔度系数x 振动 微分 方程
k1 + k 2 + k 6 − k2 [K ] = − k6 0 − k2
− k6 − k3 k3 + k 4 + k5 + k6 − k5
第三章 多自由度系统的振动课件
有非零解的充要条件是 | A | 0
定义 奇次方程组（1）的一组解1,2,L ,t 称为（1）的一个基
础解系，如果
1.(1)的任一个解都能表示成 1,2,L ,t 的线性组合； 2. 1,2,L ,t 线性无关。
定理 在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的
个数等于 nr。
r:
是系数矩阵的秩。
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽 然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动 形态已经确定。
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的? 结论:
(Kr2M)r 0
当<<振 动r 力不学是特>>征刘延方柱程第的7重4根页时).,上述方程只有N-1个方程是独立的(见
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数； ③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
n
W Qi qi i 1
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；
⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
上次课内容回顾
3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
理解固有振型
如何理解固有振型 从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
从物理上看：第i阶固有振型向量 i 中的一列元素，就是系统做 第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， i 描述了
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽
然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动
(K2M)0
有非零
1
1 1
2
1
1
定义 奇次方程组（1）的一组解1,2,L ,t 称为（1）的一个基
础解系，如果
1.(1)的任一个解都能表示成 1,2,L ,t 的线性组合； 2. 1,2,L ,t 线性无关。
定理 在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的
个数等于 nr。
r:
是系数矩阵的秩。
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽 然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动 形态已经确定。
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的? 结论:
(Kr2M)r 0
当<<振 动r 力不学是特>>征刘延方柱程第的7重4根页时).,上述方程只有N-1个方程是独立的(见
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数； ③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
n
W Qi qi i 1
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；
⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
上次课内容回顾
3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
理解固有振型
如何理解固有振型 从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
从物理上看：第i阶固有振型向量 i 中的一列元素，就是系统做 第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， i 描述了
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽
然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动
(K2M)0
有非零
1
1 1
2
1
1
振动理论-多自由度
− k1 x1 + k
2
( x1 + x
)
将方程写成矩阵形式:
x x + [ K ]{ x} = 0KK , { x} = 1 x2 0 −k m k1 [ M ] = 01 m KK[ K ] = −k k + 1k 2 1 1 2
[M ]
d ∂L ∂L ( )− = 0,KK (i = 1, 2,K n) dt ∂ q ∂qi
i
例3：用拉格朗日方程建立两集中质量系统的运动方程（例1图）
1 1 T = m1 x12 + m2 x22 , 2 2 1 1 2 1 1 2 U = k1 ( x1 − x2 )2 + k2 x2 = k1x12 − k1x1x2 + (k1 + k2 ) x2 2 2 2 2
3.2 多自由度系统无阻尼自由振动方程的建立
1. 牛顿定律(动量矩定理) 牛顿定律(动量矩定理)
例1：两集中质量系统 ⋅⋅
m m m m
1
x x
⋅⋅
1 ⋅⋅
= − k1 ( x1 − x = − k
2
2
)
2
2
2
x
2
− k1( x
2
− x1 )
1
x 1 + k1 x1 − k1 x
⋅⋅
= 0
2
2
x
2
该二次型系数矩阵[K]是对称阵，它即为运动方程中的刚度矩阵。这 样一来，我们可以直接从动能、势能二次型出发，得出运动方 程中的质量矩阵和刚度矩阵。在很多情况时这种方法非常方便 有用。（举例讲解说明）
5. 影响系数法
多自由度系统运动方程中质量矩阵和刚度矩阵的每个元素mij kij分 别表示第个i坐标和第j个坐标之间的惯性和弹性的相互影响， 故分别称为惯性影响系数和弹性（刚度）影响系数。 惯性影响系数m 使系统第j个坐标产生单位加速度 个坐标产生单位加速度， 惯性影响系数 ij ：使系统第 个坐标产生单位加速度，而其它坐 标的加速度为零时，在第个i坐标所需加的作用力大小 坐标所需加的作用力大小； 标的加速度为零时，在第个 坐标所需加的作用力大小； 弹性影响系数kij ：使系统第j个坐标产生单位位移，而其它坐标 弹性影响系数 使系统第 个坐标产生单位位移， 个坐标产生单位位移 的位移为零时，在第个i坐标所需加的作用力大小； 的位移为零时，在第个 坐标所需加的作用力大小； 坐标所需加的作用力大小 应用影响系数的方法有时是很方便的，举例2。 对某些静定系统，采用位移方程则更为简便而易于求解。 刚度的倒数是柔度， ， e = 1/k
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
d dt
T xi
T xi
V xi
Qi
拉格朗日方程
18
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
Qi
k
Fk
rk xi
1
xi
Fk rk
k
（i＝1，2）
其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为非有势力的广义力， drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。
实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移不等 于零，其它虚位移都等于零。
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
第3章 多自由度系统的振动
主讲：沈火明
1
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常 方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义 坐标间存在相互“耦合”现象。
所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分 方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题 的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的 分析方法求解。
5
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
[M ]{x} [C]{x) [K]{x} {F(t)}
[M]称为系统的质量矩阵，[K]称为刚度矩阵，[C]称为阻尼矩阵， {x}为系统的位移列阵，{F(t)}为外激励列阵。
对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量 矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。
假设方程解的形式为
{x}
x1 x2
X1 X2
sin(
t
)
33
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
这里：X1、X2为振动幅值，为固有频率， 为初相
多自由度体系的振动
振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互 作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自 然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多 种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确 定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信 号，主动改变系统的振动 状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系 统振动能量，被动地抑制 系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法 的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控 制力，通过实时监测和反馈系统振动 状态，主动调整控制力的大小和方向 ，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元 间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散 射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动 形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定 的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗 散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、 振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、 滤波和模数转换，以便进行后续处理 和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的 振动，并使用主动控制算法产生
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
多自由度自由振动
1
0.305
1
1.639
例 求图示体系的频率、振型
解:
令
例 求图示体系的频率、振型
令
解:
例 求图示体系的频率、振型
解:
令
多自由度体系
y1
yi
yn
ri
动平衡方程：
ri
y1
yi
yn
ri 应满足刚度方程
kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。
..
..
..
发生按振型的自由振动是有条件的.
02
几点说明：
4)N自由度体系有N个频率和N个振型
频率方程
解频率方程得 ,从小到大排列
依次称作第一频率,第二频率...
第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.
将频率代入振型方程
得N个振型
N个振型是线性无关的.
3)振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.
建立体系自身的质量矩阵M：
2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0
3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1）
（a）
924 342 76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。
569
..
..
..
..
..
..
质量集中在楼层上，
例：
层间侧移刚度如图。求自振频率
k11=4k/3
m
2m
m
k
k21=-k/3
k31=0
k12=-k/3
k22=8k/15
k32=-k/5
振动理论多自由度线性系统的振动资料
U
u2
u3
于是 33的矩阵S的特征值方程为：
或写为
11 12 13 u1 u1
21
22
23
u2
u2
31 32 33 u3 u3
SU U
如果 ij ji (i, j 1, 2,3)，则称矩阵S为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理。
定理一 33的对称矩阵S有3个独立的特征矢。与特
33
3
u u u u (b)
(a)
j ji i
a
(b) (a) ii
i1 j1
i1
又
* ij
* ji
ij
ji
，所以
3
3
a
u u (b) (a) ii
b
u u (a) (b) ii
i 1
i 1
3
即
(a b )
u u (a) (b) ii
0
i 1
3
因 a b ，所以
ห้องสมุดไป่ตู้
u u (a) (b) ii
将特征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上
一个常数使得 ui (i 1, 2,3) 满足
3
ui2 1
i 1
上式的矩阵形式
U%U 1
其中 U%是U 的转置矩阵。
定理二 对称矩阵对应于不同特征值的特征矢相互正交。
证：和 a 、b (a b )对应的特征值方程分别为
3
u(a) ij j
aui(a) ,
征矢对应的特征值为实数。
证：SU U 可写为
SU U (S I)U 0
其中I为单位矩阵
1 0 0
I
0
1
0
0 0 1
多自由度系统振动
I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度振动
2 2
= 0 = 0
二自由度汽车自由振动分析
mɺɺc + (k1 + k 2 )xc − (k 2 l 2 − k1l1 )θ = 0 x ɺ J θɺ − (k l − k l )x + k l 2 + k l 2 θ = 0
c 2 2 11 c
(
11
2 2
)
K2
L2
L1
θ
K1
ɺɺ + ax − b θ = 0 x ɺ θ ɺ + e θ − fx = 0
此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按 同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反 方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动。
§3.1二自由度系统的自由振动
K1 M1 K2 M2 K3
m 1 ɺɺ1 + (k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 x m 2 ɺɺ2 − k 2 x 1 + (k 2 + k 3 )x 2 = 0 x
B1 = B2 =
(p (p
2 1
− ω − ω
(e
− ω
2
2
)( p )( p
1
)f
2 2 2 2
− ω − ω
1
2
) )
ff
2 1 2
2
其曲线如图3-4(下页)所示。 两个概念 ●反共振：当加在x1上的激振力的频率 ω = e 时，B1=0，实际上相 当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这 叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫 动力减振方法。
= 0 = 0
二自由度汽车自由振动分析
mɺɺc + (k1 + k 2 )xc − (k 2 l 2 − k1l1 )θ = 0 x ɺ J θɺ − (k l − k l )x + k l 2 + k l 2 θ = 0
c 2 2 11 c
(
11
2 2
)
K2
L2
L1
θ
K1
ɺɺ + ax − b θ = 0 x ɺ θ ɺ + e θ − fx = 0
此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按 同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反 方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动。
§3.1二自由度系统的自由振动
K1 M1 K2 M2 K3
m 1 ɺɺ1 + (k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 x m 2 ɺɺ2 − k 2 x 1 + (k 2 + k 3 )x 2 = 0 x
B1 = B2 =
(p (p
2 1
− ω − ω
(e
− ω
2
2
)( p )( p
1
)f
2 2 2 2
− ω − ω
1
2
) )
ff
2 1 2
2
其曲线如图3-4(下页)所示。 两个概念 ●反共振：当加在x1上的激振力的频率 ω = e 时，B1=0，实际上相 当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这 叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫 动力减振方法。
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1
k 3k ，2 J J
多自由度系统的振动 令θ1、 θ2具有如下形式的解
经整理后写成矩阵的形式
（3.1.7）
KU 0 MU
式中： U——系统的广义坐标列阵 M——系统的质量矩阵
（3.1.8）
U x
T
m 0 M K——系统的刚度矩阵 0 J k1l1 k2l2 k1 k2 K 2 2 k l k l k l k l 11 2 2 11 2 2
y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
y1 (0)
Y12 k12 Y22 k11 2 2 m1
即第二振型
多自由度系统的振动
图示两个振型
1
第一主振型
2
第二主振型
多自由度系统的振动 例2 圆盘扭转系统，假定k1＝k2 ＝k3＝k，J1＝J2＝J，求其 固有频牢和主振型，并解释 其物理意义。
当F1（t）＝F2（t）＝0时，(3.1.2）式成为
Kx 0 Mx
(3.1.3）式即为系统的自由振动方程
（3.1.3）
多自由度系统的振动 如图所示为一个扭转振动系统。两圆盘转动惯量分别为J1、J2，各段 轴的扭转刚度分别为k1、k2、k3，在两个圆盘上作用有激振力矩T1 （t）、T2（t）。设立θ1、θ2两个广义坐标。
解：由上述假定，其自由振动方程成为
J 0
2k k 1 0 0 1 J 2 k 2k 2 0
2k J 2 k k 0 2 2k J
其特征方程为
可求出
1 2 n
称为一阶固有频率、二阶固有颁率…n阶固有频率。将ωi（i ＝1，2，…，。）代回式（3.2.2）就得到A的非零解，记 之为A(i)，A(i)就是与ωi对应的特征矢量，它是一组振幅的相 对值，称为第i阶固有振型，也称为第i阶主振型。
多自由度系统的振动
例1 在图示悬臂梁中，有 集中质量m1和m2，不计梁 的质量，试求系统的固有 频率与振型。
式中A为振幅列阵，将式（a）对时间求两次导数，得到广义加速 度列阵 2 A sin(t ) （b） X 将式（a）、（b）代人式(3.2.1），得到
2 K MA0
（3.2.2）
这里导出的式(3.2.2）是一个以振幅列阵A为未知数的齐次线性 代数方程组，它在振动理论中有着重要的意义。其中矩阵K、M均为 已知矩阵。根据线性代数理论，方程(3.2.2）有非零解的条件是系统 矩阵的行列式等于零，即
（3.1.1）
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
或写成：
Kx F (t ) Mx
这就是这个二自由度系统的受迫振动方程。式中 x——系统的广义矩阵
（3.1.2）
x x1
x2
T
多自由度系统的振动 M——系统的质量矩阵
若不考虑阻尼，也可以用牛顿定律建立其振动方程。
k k ( ) T (t ) J1 1 1 1 2 1 2 1 J 2 2 k3 2 k2 (1 2 ) T2 (t )
多自由度系统的振动 经整理后写成矩阵的形式
det K 2 M 0
（3.2.3）
多自由度系统的振动
式（3.2.3）称为特征方程或频率方程。将其展开， 得到一个关于ω2的n次代数方程，它的根称为特征值。 特征值开平方即得到ω ——系统的固有频率。在质 量矩阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵 的情况下，n个特征值均为非负实数。在大多数情况下， 这n个特征值互不相等，将其按大小排列起来
式中
KX 0 MX
X x1 ）
X——广义坐标列阵
M、K——系统的质量矩阵和刚度矩阵，均为对称矩阵，质量矩
阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵。
多自由度系统的振动
设方程(3.3.1）具有如下形式的解
X A sin(t )
（a）
2 解频率方程得 两个根： ,
1
（3.2.7）
2
，规定
1 2
1 －第一频率或基本频率， 2
－第二频率
多自由度系统的振动
（3）求振型
将 1 2
代入式（3.2.6），得
Y11 k12 2 Y21 k11 1 m1
质点
m1 , m2
的振动方程为
y1 (t ) Y11 sin(1t ) y2 (t ) Y21 sin(1t )
m11 m12 m1 0 M m m 0 m 21 22 2
K——系统的刚度矩阵
k11 k12 k1 k2 K k21 k22 k2
F（t）——系统的广义力矩阵
k2 k2 k3
T
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
多自由度系统的振动
经整理写成矩阵形式：
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) F1 (t ) m2 x2 k3 x2 k2 ( x1 x2 ) F2 (t ) k2 x1 F1 (t ) k2 k3 x2 F2 (t )
多自由度系统的振动 三、多自由度系统振动方程的特点
用牛顿定律建立二自由度振动系统微分方程的上述方法完全可以 推广到多自由度系统。其中的广义坐标列阵和广义力列阵均为n维列 阵，质量矩阵和刚度矩阵均为n×n矩阵。对于具有微小位移的线性弹 性系统，刚度矩阵和质量矩阵总是对称的。
二自由度广义坐标由一个增加到两个，其振动方程写成矩阵形 式后与单自由度系统的振动方程在形式上相类似，只是广义坐标 和广义力由一维扩展到多维，用质量矩阵和刚度矩阵代替了单自 由度方程中的质量和刚度系数。 但是，也有一个重要区别：二自由度系统的振动方程是一个微分方 程组，它由两个微分方程组成。一般情况下，在第一个方程中也含有第 二个广义坐标，在第二个方程中也含有第一个广义坐标。这种情况我们 称之为方程耦合。方程的耦合使我们无法利用单自由度系统的公式直接 地来求解多自由度系统的振动方程组中的每一个方程。
多自由度系统的振动 二、动力学方程的建立 将振动系统的力学模型简化后，就要建立系统的运动微分方程。最 常用的方法有：根据牛顿定律建立振动方程和用拉格朗日方程来导出振动 方程。本章介绍根据牛顿定律来建立方程的方法。首先看一个二自由度的 例子。 如图给出了弹簧连接的两个质量块组成的振动系统。系统在x轴向 运动，其质量分布为m1、m2，弹簧刚度分别为k1、k2、k3，作用于两 质量块上的激振力为F1（t）和F2（t）。设立两个广义坐标。不考虑阻 尼，用牛顿第二运动定律可建立运动方程
写成矩阵形式为：
Cx Kx F (t ) Mx
多自由度系统的振动
多自由度系统的振动 例2：用拉格朗日方程建立下图所示的热力发动机组的振动方程
多自由度系统的振动
多自由度系统的振动
§3.2 多自由度系统的自由振动
一、固有频率和主振型 上节得到了二自由度系统的自由振动方程式（3.1.3）、式 （3.1.6）。实际上，对于具有微小位移的n自由度线性弹性系统，其自由 振动方程都具有这一形式
T（t）——系统的广义力列阵
k 2 k2 k3
T
T (t ) T1 (t ) T2 (t )
当T1（t）＝T2（t）＝0时，(3.1.5）式成为
K 0 M
(3.1.6）式即为系统的自由振动方程
（3.1.6）
多自由度系统的振动
如图所示为汽车车体振动的简化 力学模型。在这里，不考虑零部 件的振动和车体的左右振动，只 研究车体在其对称平面内的振动。 将车体视为一刚体，将车轮部件 （包括轮胎和悬挂弹簧）视为无 质量弹簧。车体作上下垂直振动 和绕其质心的前后俯仰振动。
体系按 1 振动有如下特点： ①两质量同频同步
多自由度系统的振动
定义：体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动 形状称体系的主振型。这n个主振型线性无关 ③按第一振型自由振动的条件
y1 (0) Y11 Y11 Y21 Y 21 y ( 0 ) y2 (0) 2 ④振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素 无关。 同理，将 1 2 代入式得到
多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的线性振动
§3.1 多自由度系统振动方程的建立
§3.2 多自由度系统的自由振动
§3.3 多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的振动
§3.1 多自由度系统振动方程的建立
一、力学模型的简化
工程中大多为多构件多部件的弹性系统，自由度往往为无限多， 但研究这种情况比较困难，因此要对其建立近似的数学模型。变无限 为有限，将无限多自由度系统离散为有限多自由度系统。有集中参数 法和有限单元法两种方法。 机械系统中有两类构件，一类是有较大的惯性和刚度，我们可以 视其为质量块而忽略其弹性；另一类视惯性较小柔度较大，可以视其 为无质量的弹簧。 把连续弹性体的分布质量用若干个集中质量代替，得到另一类集 中参数系统。
J1 0
或写为
k1 k2 0 1 J 2 2 k2
k2 1 T1 (t ) k2 k3 2 T2 (t )
（3.1.4）
K T (t ) M
多自由度系统的振动 例1：用牛顿第二定理建立下图所示的系统的振动方程
解：针对每一个集中质量，依据牛顿第二定理，可建立其平衡方程为：
mi xi ki ( xi xi 1 ) ki 1 ( xi 1 xi ) i x i 1 ) ci 1 ( x i 1 x i ) Fi (t ) ci ( x