第3章 多自由度线性振动

式中A为振幅列阵，将式（a）对时间求两次导数，得到广义加速 度列阵 2 A sin(t ) （b） X 将式（a）、（b）代人式(3.2.1），得到
2 K MA0
（3.2.2）
这里导出的式(3.2.2）是一个以振幅列阵A为未知数的齐次线性 代数方程组，它在振动理论中有着重要的意义。其中矩阵K、M均为 已知矩阵。根据线性代数理论，方程(3.2.2）有非零解的条件是系统 矩阵的行列式等于零，即
解：由上述假定，其自由振动方程成为
J 0
2k k 1 0 0 1 J 2 k 2k 2 0
2k J 2 k k 0 2 2k J
其特征方程为
可求出
2 解频率方程得 两个根： ,
1
（3.2.7）
2
，规定
1 2
1 －第一频率或基本频率， 2
－第二频率
多自由度系统的振动
（3）求振型
将 1 2
代入式（3.2.6），得
Y11 k12 2 Y21 k11 1 m1
质点
m1 , m2
的振动方程为
y1 (t ) Y11 sin(1t ) y2 (t ) Y21 sin(1t )
det K 2 M 0
（3.2.3）
多自由度系统的振动
式（3.2.3）称为特征方程或频率方程。将其展开， 得到一个关于ω2的n次代数方程，它的根称为特征值。 特征值开平方即得到ω ——系统的固有频率。在质 量矩阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵 的情况下，n个特征值均为非负实数。在大多数情况下， 这n个特征值互不相等，将其按大小排列起来
多自由度系统的振动
经整理写成矩阵形式：
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) F1 (t ) m2 x2 k3 x2 k2 ( x1 x2 ) F2 (t ) k2 x1 F1 (t ) k2 k3 x2 F2 (t )
若不考虑阻尼，也可以用牛顿定律建立其振动方程。
k k ( ) T (t ) J1 1 1 1 2 1 2 1 J 2 2 k3 2 k2 (1 2 ) T2 (t )
多自由度系统的振动 经整理后写成矩阵的形式
多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的线性振动
§3.1 多自由度系统振动方程的建立
§3.2 多自由度系统的自由振动
§3.3 多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的振动
§3.1 多自由度系统振动方程的建立
一、力学模型的简化
工程中大多为多构件多部件的弹性系统，自由度往往为无限多， 但研究这种情况比较困难，因此要对其建立近似的数学模型。变无限 为有限，将无限多自由度系统离散为有限多自由度系统。有集中参数 法和有限单元法两种方法。 机械系统中有两类构件，一类是有较大的惯性和刚度，我们可以 视其为质量块而忽略其弹性；另一类视惯性较小柔度较大，可以视其 为无质量的弹簧。 把连续弹性体的分布质量用若干个集中质量代替，得到另一类集 中参数系统。
T（t）——系统的广义力列阵
k 2 k2 k3
T
T (t ) T1 (t ) T2 (t )
当T1（t）＝T2（t）＝0时，(3.1.5）式成为
K 0 M
(3.1.6）式即为系统的自由振动方程
（3.1.6）
多自由度系统的振动
如图所示为汽车车体振动的简化 力学模型。在这里，不考虑零部 件的振动和车体的左右振动，只 研究车体在其对称平面内的振动。 将车体视为一刚体，将车轮部件 （包括轮胎和悬挂弹簧）视为无 质量弹簧。车体作上下垂直振动 和绕其质心的前后俯仰振动。

y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
y1 (0)
Y12 k12 Y22 k11 2 2 m1
即第二振型
多自由度系统的振动
图示两个振型
1
第一主振型
2
第二主振型
多自由度系统的振动 例2 圆盘扭转系统，假定k1＝k2 ＝k3＝k，J1＝J2＝J，求其 固有频牢和主振型，并解释 其物理意义。
多自由度系统的振动 三、多自由度系统振动方程的特点
用牛顿定律建立二自由度振动系统微分方程的上述方法完全可以 推广到多自由度系统。其中的广义坐标列阵和广义力列阵均为n维列 阵，质量矩阵和刚度矩阵均为n×n矩阵。对于具有微小位移的线性弹 性系统，刚度矩阵和质量矩阵总是对称的。
二自由度广义坐标由一个增加到两个，其振动方程写成矩阵形 式后与单自由度系统的振动方程在形式上相类似，只是广义坐标 和广义力由一维扩展到多维，用质量矩阵和刚度矩阵代替了单自 由度方程中的质量和刚度系数。 但是，也有一个重要区别：二自由度系统的振动方程是一个微分方 程组，它由两个微分方程组成。一般情况下，在第一个方程中也含有第 二个广义坐标，在第二个方程中也含有第一个广义坐标。这种情况我们 称之为方程耦合。方程的耦合使我们无法利用单自由度系统的公式直接 地来求解多自由度系统的振动方程组中的每一个方程。
体系按 1 振动有如下特点： ①两质量同频同步
多自由度系统的振动
定义：体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动 形状称体系的主振型。这n个主振型线性无关 ③按第一振型自由振动的条件

y1 (0) Y11 Y11 Y21 Y 21 y ( 0 ) y2 (0) 2 ④振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素 无关。 同理，将 1 2 代入式得到
设车体的质量为m，对其质心的转动惯量为J，前后车轮的刚度分为k1、
多自由度系统的振动 k2，质心与前后车轮的距离分别为l1和l2。以质心垂直位移x和车体绕质 心的角位移θ为两个独立坐标。 根据牛顿定律和转动方程式，可写出自由振动方程如下：
k1 ( x l1 ) k2 ( x l2 ) mx J k1l1 ( x l1 ) k2l2 ( x l2 )
m11 m12 m1 0 M m m 0 m 21 22 2
K——系统的刚度矩阵
k11 k12 k1 k2 K k21 k22 k2
F（t）——系统的广义力矩阵
k2 k2 k3
T
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
式中
KX 0 MX
X x1 x2 xn
T
（3.2.1）
X——广义坐标列阵
M、K——系统的质量矩阵和刚度矩阵，均为对称矩阵，质量矩
阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵。
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多自由度系统的振动
设方程(3.3.1）具有如下形式的解
X A sin(t )
（a）
J1 0
或写为
k1 k2 0 1 J 2 2 k2
k2 1 T1 (t ) k2 k3 2 T2 (t )
（3.1.4）
K T (t ) M
多自由度系统的振动 例1：用牛顿第二定理建立下图所示的系统的振动方程
解：针对每一个集中质量，依据牛顿第二定理，可建立其平衡方程为：
mi xi ki ( xi xi 1 ) ki 1 ( xi 1 xi ) i x i 1 ) ci 1 ( x i 1 x i ) Fi (t ) ci ( x
写成矩阵形式为：
Cx Kx F (t ) Mx
多自由度系统的振动
多自由度系统的振动 例2：用拉格朗日方程建立下图所示的热力发动机组的振动方程
多自由度系统的振动
多自由度系统的振动
§3.2 多自由度系统的自由振动
一、固有频率和主振型 上节得到了二自由度系统的自由振动方程式（3.1.3）、式 （3.1.6）。实际上，对于具有微小位移的n自由度线性弹性系统，其自由 振动方程都具有这一形式
（3.1.1）
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
或写成：
Kx F (t ) Mx
这就是这个二自由度系统的受迫振动方程。式中 x——系统的广义矩阵
（3.1.2）
x x1
x2
T
多自由度系统的振动 M——系统的质量矩阵
（1）两质量的振动方程
1 k11 y1 k12 y2 0 m1 y 2 k21 y1 k22 y2 0 m2 y
（2）求固有频率 设方程的特解：

（3.2.4）
y1 (t ) Y1 sin(t ) y2 (t ) Y2 sin(t )
当F1（t）＝F2（t）＝0时，(3.1.2）式成为
Kx 0 Mx
(3.1.3）式即为系统的自由振动方程
（3.1.3）
多自由度系统的振动 如图所示为一个扭转振动系统。两圆盘转动惯量分别为J1、J2，各段 轴的扭转刚度分别为k1、k2、k3，在两个圆盘上作用有激振力矩T1 （t）、T2（t）。设立θ1、θ2两个广义坐标。
1 2 n
称为一阶固有频率、二阶固有颁率…n阶固有频率。将ωi（i ＝1，2，…，。）代回式（3.2.2）就得到A的非零解，记 之为A(i)，A(i)就是与ωi对应的特征矢量，它是一组振幅的相 对值，称为第i阶固有振型，也称为第i阶主振型。
多自由度系统的振动
例1 在图示悬臂梁中，有 集中质量m1和m2，不计梁 的质量，试求系统的固有 频率与振型。
（3.2.5）
多自由度系统的振动 即两质量作简谐振动代入振动方程（3.2.4）得位移幅值方程
(k11 2 m1 )Y1 k12Y2 0 2 k21Y1 (k22 m2 )Y2 0
整理得频率方程
（3.2.6）
(k11 2 m1 ) k12 D 0 2 k21 (k22 m2 )
这就是这个二自由度系统的受迫振动的方程。式中
（3.1.5）
θ——系统的广义坐标列阵
1 2
M——系统的质量矩阵
T
m11 m12 J1 M m21 m22 0
0 J2
多自由度系统的振动
K——系统的刚度矩阵
k11 k12 k1 k2 K k21 k22 k2
1
k 3k ，2 J J
多自由度系统的振动 令θ1、 θ2具有如下形式的解
经整理后写成矩阵的形式
（3.1.7）
KU 0 MU
式中： U——系统的广义坐标列阵 M——系统的质量矩阵
（3.1.8）
U x
T
m 0 M K——系统的刚度矩阵 0 J k1l1 k2l2 k1 k2 K 2 2 k l k l k l k l 11 2 2 11 2 2
多自由度系统的振动 二、动力学方程的建立 将振动系统的力学模型简化后，就要建立系统的运动微分方程。最 常用的方法有：根据牛顿定律建立振动方程和用拉格朗日方程来导出振动 方程。本章介绍根据牛顿定律来建立方程的方法。首先看一个二自由度的 例子。 如图给出了弹簧连接的两个质量块组成的振动系统。系统在x轴向 运动，其质量分布为m1、m2，弹簧刚度分别为k1、k2、k3，作用于两 质量块上的激振力为F1（t）和F2（t）。设立两个广义坐标。不考虑阻 尼，用牛顿第二运动定律可建立运动方程