北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 课件
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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:
北师大版九年级数学下册 1.4解直角三角形 课件
4
（2）若sinA= 5 ，求AD的长． （注意：计算过程和结果均保留 根号）
14
本节课我们学到了 哪些主要知识？
17
15
知识小结
解直角三 角形
勾股定理Biblioteka 依据两锐角互余锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两 个元素（至少有一个是边），就 可以求出余下的三个未知元素
17
16
同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C
在它的南偏东30゜的方向，炮台B测得
敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台
的距离. （精确到0.01）
A
30°
B
北
C
17
6
练习提高
1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°, sin C= 3 ,AC=6,BD平分∠CBA交AC
5
边于点D.求:(1)线段AB的长;
(2)tan ∠DBA的值.
17
7
1
2.如图,AD是△ABC的中线,tanB= ,
cosC=
2 ,AC=
3
2 ,求:（1）BC的长；
2
（2）sin∠ADC的值
E
17
8
变式：如图，在△ABC中， ∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求BC.
D
构造直角三角形解决问题
17
9
17
10
变式： 在△ABC中，AB= 12 2 ，
AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点
E,连接BD,则tan∠DBC的值为(A
)
A、1 3
B、 2 - 1
C、2 - 2
D、1 4
17
13
5. 如图四边形ABCD中，∠B=90°， ∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长
（2）若sinA= 5 ，求AD的长． （注意：计算过程和结果均保留 根号）
14
本节课我们学到了 哪些主要知识？
17
15
知识小结
解直角三 角形
勾股定理Biblioteka 依据两锐角互余锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两 个元素（至少有一个是边），就 可以求出余下的三个未知元素
17
16
同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C
在它的南偏东30゜的方向，炮台B测得
敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台
的距离. （精确到0.01）
A
30°
B
北
C
17
6
练习提高
1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°, sin C= 3 ,AC=6,BD平分∠CBA交AC
5
边于点D.求:(1)线段AB的长;
(2)tan ∠DBA的值.
17
7
1
2.如图,AD是△ABC的中线,tanB= ,
cosC=
2 ,AC=
3
2 ,求:（1）BC的长；
2
（2）sin∠ADC的值
E
17
8
变式：如图，在△ABC中， ∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求BC.
D
构造直角三角形解决问题
17
9
17
10
变式： 在△ABC中，AB= 12 2 ，
AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点
E,连接BD,则tan∠DBC的值为(A
)
A、1 3
B、 2 - 1
C、2 - 2
D、1 4
17
13
5. 如图四边形ABCD中，∠B=90°， ∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长
北师大版九年级数学下册第一章1.4解直角三角形应用(共21张PPT)
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
A （1）三边之间的关系 :
（2）两锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系(以角A为例):
Ca
B
例1:方位角问题
据报道：中国籍货 轮“德新海”号 于2009年10月19号在印度洋海域遭到索 马里海盗劫持。
例1:方位角问题
在实行紧急救援过程中，援 救小组的船只向正北方向航行, 在点A测得 “德新海”号在北 偏西30º处, 援救小组又以每小 时30海里航行10小时后到达 “德新海”号正东方向B处时, 问援救小组的船只此时与“德 新海”号的距离是多少? （结果可含 ）.
即
3 BD 3 120
BD 120 3 40 3 3
B ?
30 D A 60 120
?
又Q 在RtACD 中，tan 60 CD AD
即 3 CD 120
C
CD 120 3 120 3
BC 40 3 120 3=160 3
答：这栋楼高为 160 3 m .
1、第117页练习 2、第120页的A组第4题 3、设计两种测量上海东方明珠塔高度的方案（不一
仰角、俯角问题
1、在A处测得一建筑物顶 部B处的仰角为47度
BAC 47
仰角、俯角问题
2、从热气球上看一栋 高楼顶部仰角为30度，
底部俯角为45度，
BAD 30 处，用仪器测得一路灯电线 杆底部B处的俯角为 30度，仪器高度AD为1.5m。求这根 电线杆与这座楼的距离BC。 (精确到1m)
= 135°，BD = 520m，∠D=45°，要使A，C，E成一
直线那么开挖点E离D的距离是多少（结果用 表示 ） ？
A （1）三边之间的关系 :
（2）两锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系(以角A为例):
Ca
B
例1:方位角问题
据报道：中国籍货 轮“德新海”号 于2009年10月19号在印度洋海域遭到索 马里海盗劫持。
例1:方位角问题
在实行紧急救援过程中，援 救小组的船只向正北方向航行, 在点A测得 “德新海”号在北 偏西30º处, 援救小组又以每小 时30海里航行10小时后到达 “德新海”号正东方向B处时, 问援救小组的船只此时与“德 新海”号的距离是多少? （结果可含 ）.
即
3 BD 3 120
BD 120 3 40 3 3
B ?
30 D A 60 120
?
又Q 在RtACD 中，tan 60 CD AD
即 3 CD 120
C
CD 120 3 120 3
BC 40 3 120 3=160 3
答：这栋楼高为 160 3 m .
1、第117页练习 2、第120页的A组第4题 3、设计两种测量上海东方明珠塔高度的方案（不一
仰角、俯角问题
1、在A处测得一建筑物顶 部B处的仰角为47度
BAC 47
仰角、俯角问题
2、从热气球上看一栋 高楼顶部仰角为30度，
底部俯角为45度，
BAD 30 处，用仪器测得一路灯电线 杆底部B处的俯角为 30度，仪器高度AD为1.5m。求这根 电线杆与这座楼的距离BC。 (精确到1m)
= 135°，BD = 520m，∠D=45°，要使A，C，E成一
直线那么开挖点E离D的距离是多少（结果用 表示 ） ？
北师大版 九年级 数学下册 1.4 解直角三角形 课件(13张ppt)
角形的面积为（ B ）
A.4.5 cm2 B. 9 3 cm2 C. 18 3 cm2 D.36 cm2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若c= 6 2 ,a=6,则b=___6___,∠B=__4_5_°__,∠A=__4_5_°__； (2)若a= 4 3 ，b=4，则∠A=__6_0_°__,∠B=__3_0_°__,c=___8Байду номын сангаас__.
探究展示
已知两边解直角三角形
例 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2 ，BC = 6 ，解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
已知两边解直角三角形
练一练：在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求
∠A的值，最适宜的做法是( C )
A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
新课导入
B
对边 a
c 斜边
C
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，还有五个 元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元 素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已 知其中的两个元素，到少有一个是边，才可求出其余 的元素（记为：知二求三）】
应用
已知两边解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （2）a= 8 15 ，c=16 15 .
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）∠B=45°，c=14；
A.4.5 cm2 B. 9 3 cm2 C. 18 3 cm2 D.36 cm2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若c= 6 2 ,a=6,则b=___6___,∠B=__4_5_°__,∠A=__4_5_°__； (2)若a= 4 3 ，b=4，则∠A=__6_0_°__,∠B=__3_0_°__,c=___8Байду номын сангаас__.
探究展示
已知两边解直角三角形
例 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2 ，BC = 6 ，解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
已知两边解直角三角形
练一练：在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求
∠A的值，最适宜的做法是( C )
A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
新课导入
B
对边 a
c 斜边
C
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，还有五个 元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元 素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已 知其中的两个元素，到少有一个是边，才可求出其余 的元素（记为：知二求三）】
应用
已知两边解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （2）a= 8 15 ，c=16 15 .
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）∠B=45°，c=14；
北师大版初中数学九年级下册1.4解直角三角形同步课件
在一个直角三角形中，已知一条 边和一锐角，或者已知两条边两个元 素，才能求出其他元素。
A bc Ca B
自主合作，探究新知
类型1 已知两边解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你
能求出这个三角形的其他元素吗？
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝
;③b A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A； ②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
典例解析
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，∠B＝35°，b=20,求
这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位).
解： 由c＝5，b＝4，得sin B＝ b 4 ＝0.8，
c5
∴∠B≈53°8′. ∴∠A＝90°－∠B≈36°52′. 由勾股定理得 a c2 b2 52 42 3.
归纳总结
归纳总结 “已知两边”怎样解直解三角形？
A
bc
CaB
(1)已知a，b，怎么求∠A的度数？ 由 tan A a b
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a 15, b 5,
c a2 b2 2 5.
A
在Rt△ABC中，sin
B
b c
2
5 5
1 2
.
5
B 30 ，
C
15
B
A 90 B 90 30 60 .
典例解析
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三 角形的其他元素．(角度精确到1′)
北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件
c
b
C
a
（锐角三角函数）
b
cos A sin B ,
c
a
tan A ,
b
b
tan B ,
a
B
考点 三 解直角三角形
* 匹配例题
B
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若AB=2 ， ∠ A=30°,则 AC= 3 ;
（2）若AB=4，AC=3，则BC=
7
sinA=
7
4 ;
即： x
2+10
x -50=0
x1 5 5 3, x2 5 5 3 (舍去)
∴sin ∠CAE=
CE 5 5 3
AC
10 2
∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在视察站A的北偏西15°
的方向
45°
A
考点
*
四 解直角三角形知识的应用问题
2.方位角:
常见模型
匹配例题
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D
米，路基高是4米，则路基的下底宽是
.
15
3
4
6
3
6
考点
四 解直角三角形知识的应用问题——模型总结
A
D
C
翻折
一个
Rt△
平移一个Rt△
B
C
D
小结
辨认
数形结合
熟记
实际问题
数学问题
应用
答
模型求解
直角三角形
构造直角三角
特殊角的三角函数值
谢
谢
方位角
h
α
l
考点 一
1. 定义:
锐角三角函数
北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形(共30张PPT)
c
b
10 20 3
∴c＝ sinB ＝ sin60 ＝ 3 .
由勾股定理得a＝
c2
b2
＝
10 3
3
.
知－练
(3) c =20， ∠A＝60°; 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ b ，c＝20，
c
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20×
3 2
解：∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 由cos A＝
a c
,
得a＝c·sin 得b＝c·cos
A＝100·sin 26°44′≈44.98. A＝100·cos 26°44′≈89.31.
b
,
c
知－练
1 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a, b, c，根据以下条 件求出直角三 角形的其他元素〔角度精确到1° ): (1) a = 4, b =8;
在Rt△ABC中，如果其中两边的长，你能求出 这个三角形的其他元 素吗？
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ a ＝cos B， c
cos A＝ b ＝sin B， c
tan A＝ a 1 . b tan B
知－讲
两直角边：
应用勾股定理求斜边， 应用角的正切值求出 一锐角，再利用直角 三角形的两锐角互余，求 出另一锐角．一般不用正 弦或余弦值求锐角，因为 斜边是一个中间量，如果 是近似值，会影响结果的 精确度．
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.
知－练
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自主学习
认真阅读课本P16例1，体会什么 是解直角三角形？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c，且
a= 15 ,b= 5 ,求这个三角形的其它元素.
解：在Rt△ABC中，a2 b2 c2, a 15,b 5,c 2 5
在Rt△ABC中，sin B b 5 1 , c 25 2
(D)10 cm
3、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D
为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则
tan∠DBCA的值为(
)
A、1 B、 2 -1C、2 - 2D、1
3
4
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边,求下列直角三角形中的未 知量:
练习
B
c
1.在⊿ABC中，已知a,b,c分别为 a
∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900， C b
A
根据下列条件解直角三角形.
（1）b =10，∠ B =60° （2）c =20， ∠A = 60°
1 （3）a =20， SinＡ= 2
1 2 3
2.已知在Rt⊿ABC中，∠C=90°，a=5, ∠B=60°,求∠A和b，c
B 30，A 60.
********************************
在直角三角形中，由已知的一些边、
角，求出另一些边、角的过程，叫做
解直角三角形 z.xx.k
.
********************************
做一做
【例2】在RtABC中，C为直角，A，B，C所对的边 分别为a，b，c，且b 30，B 25 ，求这个三角形 的其他元素（边长精确到1）(tan25≈0.466;sin25≈0.422)
复习回顾
1.两锐角之间的关系:
B
A+B=900
2.三边之间的关系:
a
c
a2+b2=c2
Cb
A
正弦函数：sin
A
A的对边 斜边
3.边角之间 的关系
余弦函数：cos
A
A的邻边 斜边
正切函数：tan
A
A的对边 A的邻边
1·学会解直角三角形的方法，了解直角三角形 的6个元素。
2·会解直角三角形。
3·通过解直角三角形的学习，培养分析问题， 解决问题的能力，渗透数形结合的方法。
解：A 30，b 5 3, c 10.
例3： 如图所示，一棵大树在一次强烈的 地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离 树根24米处.大树在折断之前高多少？
解Hale Waihona Puke 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:
102 242 26
26＋10＝36（米）. 答:大树在折断之前高为36米.
练习:如图东西两炮台A、B相距2000米， 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在 它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰 C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距
解：在RtABC中，C 90 ，B 25 ， A 65 .
sin B b ，b 30， c
c b 30 71. sin B sin 25
tan B b ，b 30， a
a b 30 64. tan B tan 25
• 解直角三角形中的边角关系
你发现已知量中哪一种量是必须具备的？
等于(D )
(A) 3sin 40°(B)3sin 50°
(C)3tan 40°
(D)3tan 50°
2.(2016南平市延平区一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB的垂
直平分线MN交AC于D,连接BD,若cos ∠BDC=3 ,则BC的长是(A )
5
(A)4 cm
(B)6 cm (C)8 cm
cos 50 cos 50
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 别约为3111米和2384米.
能力提升
1
2.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°, sin C= 3 ,AC=6,BD平分∠CBA交AC边于点D.
5
求:(1)线段AB的长;(2)tan ∠DBA的值.
当堂检测
1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC
离.（精确到1米）
本题是已知一 边,一锐角.
50° 北
西
东
南
解: 在Rt△ABC中，因为 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
BC ＝tan∠CAB, 所以 AB BC＝AB•tan∠CAB
=2000×tan50゜ ≈2384(米). 又因为 AB cos 50 ，
AC
所以 AC＝ AB 2000 3111(米)
已知 可求
关系式
B
ca ┌
A bC
a,b ∠A，a
∠A ∠B
C
∠B bc
∠A，b ∠A，c
∠B
ac ∠B ba
c tan A a , 2
（1）b已知两
a2 b2
条边；
和ca（一2解可哪sc个）isn直分几ain锐已A角成类A.角知三？. 一角b 形条c边tanacoAbs A .
a c sin A. b c cos A.
(1)c=8,∠A=60°;(2)b=2 ,c=4.
本节课我们学到了 哪些主要知识？