对数平均值的几何解释与探究(岳峻)
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2(b - a) 1 b- a 1 骣 1 1÷ 1 ç < ln b - ln a < < ç + ÷ (b - a) < (b - a) < (b - a) ÷ ç 桫 b a+ b a ab 2 a b
即 b>
a+ b b- a > > 2 ln b - ln a
ab >
2 1 1 + a b
二、对数平均值的不等式链
设 b a 0, a b，则
a+ b b- a b> > > 2 ln b - ln a
ab >
2 1 1 + a b
>a
三、不等式链的证明
a+ b b- a > 下面以 为例加以证明。 2 ln b - ln a
思路1：由于 a , b 为两个独立的变量，如果能 够变形为一个整体，那么就可以构造两个变量的 比值（或差值）通过换元转化为一元变量，再利 用导数这个工具证明此不等式.
令 u x x ln x ln a 1 x a x a , 则
u x ln x 1 ln a 1 ln x ln a 0,
所以 u x 在 a, 单调递增，u x u a 0, 所以 h x 0, h x 在 a, 单调递增，h x h a 0, 故待证不等式成立。
f x ln x
x 1 x ln x x 1 2 , x x
令 g x x ln x x 1 x 1 , 则 g x ln x 0,
所以 g x 在 1, 单调递增，g x g 1 0,
三、不等式链的证明
设函数 f x 1 x ln x 2 x 1 x 1 , 则
证法1：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a
ab
四、对数平均值的几何解释
（3）又 S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP ， < S矩形ABYP , 1 1骣 1 1÷ 1 ç + ÷ (b - a) < (b - a),L ③ 所以 b (b - a) < ln b - ln a < 2 ç ÷ ç 桫 a b a
综上可知：
ab 2 , f x 在点 K 处 2 ab
的切线分别与 AP, BQ交于 E , F，
四、对数平均值的几何解释
（1）因为 S曲边梯形ABQP > S梯形ABFE = 1 2 dx = ln b ln a > (b - a ),L ① 所以 ò x a+ b 1 （2） S = ò dx = ln ab - ln a
三、不等式链的证明
证法2：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a 设函数 h(x) = (a + x)(ln x - ln a)- 2(x - a)(x > a), 则 x ln x ln a 1 x a a h x ln x ln a 1 , x x
所以 f x 0, f
x
在 1, 单调递增， f x f 1 0,
故待证不等式成立。
三、不等式链的证明
思路2：因为要证的不等式中含有两个变量，地位均衡. 如果我们辩证的看到它们，将其中某一个变量作为主元，另 外的一个变量视作为常量来处理，那么往往问题就可破解.
高考压轴题与对数平均值
一、对数平均值的概念
中学数学教育专家安振平在剖析2013年 陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景 是： 设 a, b 0, 则
ab a b ab 2 ln a ln b
其中
，
a b ln a ln b
被称之为对数平均值.
一、对数平均值的概念
对数平均值在现行高中教材没有出现， 但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考 压轴题中，频频出现。 安振平老师构造函数，借助于导数证明 了对数平均数的有关不等式，难度较大，为 此，本人作了一些探讨，以期对2016年的复 习迎考有所启发。
四、对数平均值的几何解释 1
反比例函数 f x
x
x 0 的图象，
如图所示，作 AP
BC TU KV ，
1 MN CD x轴，则 A a,0 , P a, , a
1 ，作 1 B b,0 , Q b, , T ab , ab b
b a
ab 曲边梯形AUTP a
S矩形ABNM，
x
=
1 1 (ln b - ln a) = S曲边梯形ABQP 2 2
1 ÷ ab - a ÷ ÷ ab
1骣 1 S梯形AUTP = ç + ç 2ç 桫 a
=
(
)
1 b- a ? 2 ab
1 S梯形ABCD 2
S曲边梯形AUTP < S梯形AUTP ， 如图可wenku.baidu.com： b- a 所以 ln b - ln a < ,L ②
三、不等式链的证明
评注：涉及两个变量的不等式的证明，其解题策略耐人 寻味: 证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其 中的两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值 （或和、或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新 的一元函数，再通过对新的一元函数求导，判断其单调性、 确定极值（或最值），达到解决问题的目的，可归结为 “化归-换元-构造-求导”； 证法2将地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一 个变量视为常量来处理，构造出一元函数，可归结为 “化归-主元-构造-求导”.
即 b>
a+ b b- a > > 2 ln b - ln a
ab >
2 1 1 + a b
二、对数平均值的不等式链
设 b a 0, a b，则
a+ b b- a b> > > 2 ln b - ln a
ab >
2 1 1 + a b
>a
三、不等式链的证明
a+ b b- a > 下面以 为例加以证明。 2 ln b - ln a
思路1：由于 a , b 为两个独立的变量，如果能 够变形为一个整体，那么就可以构造两个变量的 比值（或差值）通过换元转化为一元变量，再利 用导数这个工具证明此不等式.
令 u x x ln x ln a 1 x a x a , 则
u x ln x 1 ln a 1 ln x ln a 0,
所以 u x 在 a, 单调递增，u x u a 0, 所以 h x 0, h x 在 a, 单调递增，h x h a 0, 故待证不等式成立。
f x ln x
x 1 x ln x x 1 2 , x x
令 g x x ln x x 1 x 1 , 则 g x ln x 0,
所以 g x 在 1, 单调递增，g x g 1 0,
三、不等式链的证明
设函数 f x 1 x ln x 2 x 1 x 1 , 则
证法1：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a
ab
四、对数平均值的几何解释
（3）又 S矩形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP ， < S矩形ABYP , 1 1骣 1 1÷ 1 ç + ÷ (b - a) < (b - a),L ③ 所以 b (b - a) < ln b - ln a < 2 ç ÷ ç 桫 a b a
综上可知：
ab 2 , f x 在点 K 处 2 ab
的切线分别与 AP, BQ交于 E , F，
四、对数平均值的几何解释
（1）因为 S曲边梯形ABQP > S梯形ABFE = 1 2 dx = ln b ln a > (b - a ),L ① 所以 ò x a+ b 1 （2） S = ò dx = ln ab - ln a
三、不等式链的证明
证法2：设 b a 0, a b ，则不等式等价于 骣 骣 b 鼢 b b 珑 1鼢 ln > 2 - 1 (a + b)(ln b - ln a) > 2(b - a) ? 珑 鼢 珑 桫 桫 a a a 设函数 h(x) = (a + x)(ln x - ln a)- 2(x - a)(x > a), 则 x ln x ln a 1 x a a h x ln x ln a 1 , x x
所以 f x 0, f
x
在 1, 单调递增， f x f 1 0,
故待证不等式成立。
三、不等式链的证明
思路2：因为要证的不等式中含有两个变量，地位均衡. 如果我们辩证的看到它们，将其中某一个变量作为主元，另 外的一个变量视作为常量来处理，那么往往问题就可破解.
高考压轴题与对数平均值
一、对数平均值的概念
中学数学教育专家安振平在剖析2013年 陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景 是： 设 a, b 0, 则
ab a b ab 2 ln a ln b
其中
，
a b ln a ln b
被称之为对数平均值.
一、对数平均值的概念
对数平均值在现行高中教材没有出现， 但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考 压轴题中，频频出现。 安振平老师构造函数，借助于导数证明 了对数平均数的有关不等式，难度较大，为 此，本人作了一些探讨，以期对2016年的复 习迎考有所启发。
四、对数平均值的几何解释 1
反比例函数 f x
x
x 0 的图象，
如图所示，作 AP
BC TU KV ，
1 MN CD x轴，则 A a,0 , P a, , a
1 ，作 1 B b,0 , Q b, , T ab , ab b
b a
ab 曲边梯形AUTP a
S矩形ABNM，
x
=
1 1 (ln b - ln a) = S曲边梯形ABQP 2 2
1 ÷ ab - a ÷ ÷ ab
1骣 1 S梯形AUTP = ç + ç 2ç 桫 a
=
(
)
1 b- a ? 2 ab
1 S梯形ABCD 2
S曲边梯形AUTP < S梯形AUTP ， 如图可wenku.baidu.com： b- a 所以 ln b - ln a < ,L ②
三、不等式链的证明
评注：涉及两个变量的不等式的证明，其解题策略耐人 寻味: 证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其 中的两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值 （或和、或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新 的一元函数，再通过对新的一元函数求导，判断其单调性、 确定极值（或最值），达到解决问题的目的，可归结为 “化归-换元-构造-求导”； 证法2将地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一 个变量视为常量来处理，构造出一元函数，可归结为 “化归-主元-构造-求导”.