(完整版)2018年河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2018年河南全省 含所有市 高考数学一模试卷 汇总 (2
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通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!（８套）2018年河南全省含所有市高考数学一模试卷汇总2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴,则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣, ﹣）, 位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行, 可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意, S=+++…==1﹣≥0.99, 可得：2k≥100, 解得：k≥7,即当n=8时, S的值不满足条件, 退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,=•π•=,∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切, 切点为（x0, y0）, 则,解得x0=0, k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切, 切点为（x1, y1）, 则,解得x1=e2, k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1, t2, t3, t4, 且t1＜t2＜t3＜t4,由图象可知t1＜0, t2=0, 0＜t3＜1, t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解, f（x）=t2有1解, f（x）=t3有3解, f（x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••,令6﹣=0, 解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0,转化为：x2+（y﹣1）2=1,则：圆心（0, 1）到直线y=x﹣1的距离d=,由于AB为圆的直径,则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6,故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体,∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9n, n可取5, 6, 7, 8, 9, 代入中,得, a=0.15．销售量在[50, 60）, [60, 70）, [70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率分别是0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.3,销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率之比为2：3：3,所以各组抽取的天数分别为2, 3, 3．X的所有可能值为1, 2, 3,,,．X的分布列为：X123P数学期望．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA, 可得OA=OB=OC．设OA=a, 则, A（a, 0, 0）, B（0, a, 0）, C（0, 0, a）,设D点的坐标为（x, y, z）, 则由,可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2,解得x=y=z=a,∴．又平面OAB的一个法向量为,∴,∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点, 连接CF, DF,则CF⊥AB, DF⊥AB, ∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知, 在△CFD中, , ,则由余弦定理知,即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 函数,,令f'（x）=0得．当且x≠0时, f'（x）＜0；当时, f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增．（Ⅱ）根据题意, 注意到f（e）=g（e）=3e, 则ae+b=3e, b=3e﹣ae①．于是, ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0,则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx）, ,若a≤0, 则h'（x）＜0, 得h（x）在（0, +∞）上单调递减, 则当x＞e时, 有h （x）＜h（e）=0, 不合题意；若a＞0, 易知h（x）在上单调递减, 在上单调递增,得h（x）在（0, +∞）上的最小值．记, 则, 得m（a）有最大值m（3）=0, 即m （a）≤m（3）=0,又m（a）≥0, 故a=3, 代入①得b=0．当a=3, b=0时, f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3, 则φ'（x）=6x（x﹣e）, 得φ（x）在（0, +∞）上有最小值φ（e）=0, 即φ（x）≥0, 符合题意．综上, 存在a=3, b=0, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴复数所对应的点的坐标为（）, 位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1, s=0, 满足条件s＜0.8, s==0.5, n=2,第二次运行n=2, s=0.5, 满足条件s＜0.8, s=+=0.75, n=3,第三次运行n=3, s=0.75, 满足条件s＜0.8, s=0.75+=0.75+0.125=0.875, n=4, 此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出, n=4,故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,∴S阴影=•π•=,∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{an}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根,即函数y=a, g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞, ﹣3）, （2, +∞）时, g（x）递增, x∈（﹣3, 2）递减,函数g（x）图如下, 结合图象, 只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可,即﹣＜＜,故选：B．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R, 使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题, 可得命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R, 使得”．故答案为：∃x0∈R, 使得．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上,∴球半径R==,∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是[0, 3]．【解答】解：设点M（x, y）, 由|MA|=2|MO|,得到：,整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0,∴点M在圆心为D（0, 1）, 半径为2的圆上．又点M在圆C上, ∴圆C与圆D有公共点,∴1≤|CD|≤3,∴1≤≤3,解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0, 3]．故答案为：[0, 3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9, n可取5, 6, 7, 8, 9,代入中,得,解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3,则抽取的5天中, 滞销日有2天, 记为a, b, 畅销日有3天, 记为C, D, E,再从这5天中抽出2天, 基本事件有ab, aC, aD, aE, bC, bD, bE, CD, CE, DE, 共10个,2天中恰有1天为畅销日的事件有aC, aD, aE, bC, bD, bE, 共6个,则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F, 连接BF, EF．在△PAD中, EF为中位线,则, 又, 故,则四边形BCEF为平行四边形, 得CE∥BF,又BF⊂平面PAB, CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点, 知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍, 则．由题意知, 四边形ABCD为等腰梯形, 且AB=BC=CD=2, AD=4, 其高为,则．取AD的中点O, 在等腰直角△PAD中, 有, PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD, 故PO⊥平面ABCD,则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．,故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由, 得,令f′（x）=0, 得．当且x≠0时, f′（x）＜0；当时, f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线, 且切点横坐标为x0＞0,则, 即, 其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3, x∈（0, +∞）, 则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e）,得h（x）在上单调递减, 在上单调递增,又h（0）=﹣e3, , h（e）=0,故方程h（x0）=0在（0, +∞）上有唯一实数根x0=e, 经验证也满足（1）式．于是, f（x0）=g（x0）=3e, f′（x0）=g'（x0）=3,曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e）,即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R, 复数z=, 若=z, 则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}, N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}, 则M∩N=（）A．[1, ] B．（, 3] C．（1, ）D．（, 2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据, 绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{an}中, 若a2=, a3=, 则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题：“今有阳马, 广五尺, 褒七尺, 高八尺, 问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 它的底面长, 宽分别为7尺和5尺, 高为8尺, 问它的体积是多少？”若以上条件不变,。
河南省八市重点高中2018届高三下学期4月质检数学试卷理科 含解析
2018-2018学年河南省八市重点高中高三（下）4月质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=}，B={x|a≤x≤a+1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪C． D． B． C．[，] D．[，]8．已知平面向量，，满足===1，=2，则||的取值范围为（）A．，则不等式f（lgx）＞0的解集为．15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ= ．16．已知曲线y=e x+a与y=（x﹣1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．数列{a n}满足a n=6﹣（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a1=6，求数列{|lga n|}的前999项的和．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠PAD=60°，求直线AB与平面PBM所成角的正弦值．19．某人经营一个抽奖游戏，顾客花费2元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3个球（除颜色外其他都相同），根据摸出的球的颜色情况进行兑奖，顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金a元、10元、5元、1元，若经营者将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：A：1个黑球2个红球；B：3个红球；C：恰有1个白球；D：恰有2个白球；E：3个白球．且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次．（1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）；（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求a的最大值；（3）若a=50，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值．20．已知椭圆E： +y2=1的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C 和B，D四点．（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由．（2）求|AC|+|BD|的最小值．21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，不等式成立，求实数a的取值范围．22．已知，△ABC内接于圆，延长AB到D点，使得DC=2DB，DC交圆于E点．（1）求证：AD=2DE；（2）若AC=DC，求证：DB=BE．23．在极坐标系中，已知曲线C：ρcos（θ+）=1，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|=．（1）求点P的轨迹C1的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线l：y=﹣x与（1）中的曲线C1相交于点E（异于点O），与曲线C2：（t为参数）相交于点F，求|EF|的值．24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．2018-2018学年河南省八市重点高中高三（下）4月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=}，B={x|a≤x≤a+1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪C． D．．∵A∪B=A，∴，解得﹣2≤a≤1．故选：C．2．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.18，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.18=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.18，∴有1﹣0.18=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．3．已知函数f（x）=﹣x|x|+2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，﹣1）C．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，﹣1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣1，1）【考点】函数奇偶性的判断；函数的单调性及单调区间．【分析】由奇偶性的定义可得函数为奇函数，取绝对值结合二次函数可得单调性．【解答】解：由题意可得函数定义域为R，∵函数f（x）=﹣x|x|+2x，∴f（﹣x）=x|﹣x|﹣2x=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，由二次函数可知，函数在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；由奇函数的性质可得函数在（﹣1，0）单调递增，在（﹣∞，﹣1）单调递减；综合可得函数的递增区间为（﹣1，1）故选：D4．过点（1，﹣2）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【考点】圆的切线方程．【分析】求出以（1，﹣2）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减即得公共弦AB 的方程．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，以（1，﹣2）、C（1，0）为直径的圆的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=1，将两圆的方程相减，即得公共弦AB的方程为2y+1=0．即y=﹣．故选：B．5．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是（）A．m∥l，m⊥αB．m∥l，m∥αC．m⊥l，m⊥αD．m⊥l，m∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据平移不改变夹角的大小可知A，B错误．由m⊥α，l为α的斜线可知m与l的夹角小于90°，故C错误．【解答】解：若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故A，B错误．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故C错误．设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β且m⊄α时，有m⊥l，m∥α，故D正确．故选：D．6．已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=•…•=3，…；若a1•a2•a3•…•a m=2018（m∈N*），则m的值为（）A．22018+2 B．22018C．22018﹣2 D．22018﹣4【考点】归纳推理．【分析】由已知得lg（m+2）=lg 22018，由此能求出m．【解答】解：由已知得a1•a2•a3•…•a m==2 016，lg（m+2）=lg 22018，解得m=22018﹣2．故选：C．7．已知函数f（x）=cos（4x﹣）+2cos2（2x），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A． B． C．[，] D．[，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用和差角公式和降次升角公式，化简函数f（x）的解析式，再根据函数图象的周期变换及相位变换法则，求出函数y=g（x）的解析式，结合正弦型函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：函数f（x）=cos（4x﹣）+2cos2（2x）=cos（4x﹣）+cos4x+1=cos4x+sin4x+cos4x+1=sin4x+cos4x+1=sin（4x+）+1，将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得：y=sin（2x+）+1的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin（2x）+1的图象，由2x∈，k∈Z得：x∈，k∈Z，当k=0时，是函数y=g（x）的一个单凋递增区间，故选：B．8．已知平面向量，，满足===1，=2，则||的取值范围为（）A．上的两个数a，b，求2b＞（2a﹣1）2+1=4a2﹣4a+2的概率，然后利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到：该程序的功能是利用随机模拟实验的方法任取上的两个数a，b，求2b＞（2a﹣1）2+1=4a2﹣4a+2的概率，由于，a∈，b∈，令y=2x2﹣2x+1，x∈对应的平面区域的面积为图形中阴影部分面积：1﹣（2x2﹣2x+1）dx=1﹣（x3﹣x2+x）|=1﹣=．故p=故选：A．11．已知x5（x+3）3=a8（x+1）8+a7（x+1）7+…+a1（x+1）+a0，则7a7+5a5+3a3+a1=（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【考点】二项式定理的应用．【分析】根据x5（x+3）3 =5•3，按照二项式定理展开，求得a7、a5、a3、a1的值，可得7a7+5a5+3a3+ a1的值．【解答】解：∵x5（x+3）3=a8（x+1）8+a7（x+1）7+…+a1（x+1）+a0 =5•3=[•（x+1）5﹣•（x﹣1）4+•（x﹣1）3﹣•（x﹣1）2+•（x﹣1）﹣]•[•（x+1）3+2•（x+1）2+4•（x+1）+8]，∴a 7 =•2﹣•=6﹣5=1，a 5=•8﹣•4+•2﹣•=8﹣60+60﹣10=﹣2，a 3 =•8﹣•4+•2﹣•=80﹣120+30﹣1=﹣11，a 1=•8﹣•4=40﹣12=28，∴7a 7+5a 5+3a 3+a 1=7﹣10﹣33+28=﹣8， 故选：B ．12．F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ，b ＞0）的左右焦点，点P 在双曲线上，满足=0，若△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．+1 D ．+1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P 为双曲线的右支上一点，由向量垂直的条件，运用勾股定理和双曲线的定义，可得|PF 1|+|PF 2|，|PF 1|•|PF 2|，再由三角形的面积公式，可得内切圆的半径，再由直角三角形的外接圆的半径即为斜边的一半，由条件结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：设P 为双曲线的右支上一点，=0，即为⊥，由勾股定理可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2，① 由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，② ①﹣②2，可得|PF 1|•|PF 2|=2（c 2﹣a 2），可得|PF 1|+|PF 2|=，由题意可得△PF 1F 2的外接圆的半径为|F 1F 2|=c ，设△PF 1F 2的内切圆的半径为r ，可得|PF 1|•|PF 2|=r （|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|），解得r=（﹣2c ），即有=，化简可得8c2﹣4a2=（4+2）c2，即有c2=a2，则e===+1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13．若复数（b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b= 0 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为0求得b值．【解答】解：∵=，又复数的实部与虚部互为相反数，∴4+b+b﹣4=0，即b=0．故答案为：0．14．若不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为，则不等式f（lgx）＞0的解集为（0，）∪．【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意可得lgx＜﹣1或lgx＞2，解得即可．【解答】解：∵不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为，∴不等式f（x）＞0（x∈R）的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∵f（lgx）＞0，∴lgx＜﹣1或lgx＞2，解得0＜x＜，或x＞100，∴不等式f（lgx）＞0的解集为（0，）∪．故答案为：（0，）∪．15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ= ﹣1 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，则cosθ=sin （π﹣∠BCD）=sin∠BCD．【解答】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴BD=25（）．在△BCD中，由正弦定理得，即，∴sin∠BCD=．∴cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD=．故答案为：．16．已知曲线y=e x+a与y=（x﹣1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（﹣∞，2ln2﹣3）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得m=（s＞1），则有a=ln2（s﹣1）﹣（s＞1），令f（s）=ln2（s﹣1）﹣（s＞1），运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：y=（x﹣1）2的导数y′=2（x﹣1），y=e x+a的导数为y′=e x+a，设与曲线y=e x+a相切的切点为（m，n），y=（x﹣1）2相切的切点为（s，t），则有公共切线斜率为2（s﹣1）=e m+a=，又t=（s﹣1）2，n=e m+a，即有2（s﹣1）==即为s﹣m=﹣1，即有m=（s＞1），则有e m+a=2（s﹣1），即为a=ln2（s﹣1）﹣（s＞1），令f（s）=ln2（s﹣1）﹣（s＞1），则f′（s）=﹣，当s＞3时，f′（s）＜0，f（s）递减，当1＜s＜3时，f′（s）＞0，f（s）递增．即有s=3处f（s）取得极大值，也为最大值，且为2ln2﹣3，由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的范围是a＜2ln2﹣3．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣3）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．数列{a n}满足a n=6﹣（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a1=6，求数列{|lga n|}的前999项的和．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）利用a n=6﹣（n∈N*，n≥2），对﹣变形、化简即得结论；（2）提供（1）及a1=6可知a n=（n∈N*），进而可知lga n=lg（n+1）﹣lgn+lg3，利用并项相消法计算即得结论．【解答】（1）证明：∵a n=6﹣（n∈N*，n≥2），∴﹣=﹣==（n∈N*，n≥2），∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）可知=+（n﹣1），又∵a1=6，∴=，即a n=3+=（n∈N*），∴lga n=lg（n+1）﹣lgn+lg3，于是所求值为999lg3+（lg2﹣lg1+lg3﹣lg2+…+lg1000﹣lg999）=999lg3+lg1000=3+999lg3．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠PAD=60°，求直线AB与平面PBM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AD的中点E，连结PE，EM，AC．则AC∥EM，由菱形性质得BD⊥EM，又BD⊥PM，故而BD⊥平面PEM，于是BD⊥PE，又PE⊥AD，故而PE⊥平面ABCD，从而得出结论；（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBM的法向量和的坐标，计算出|cos＜，＞|即为答案．【解答】解：（1）证明：取AD的中点E，连接PE，EM，AC．∵PA=PD，∴PE⊥AD．∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又EM∥AC，∴EM⊥BD．又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，则BD⊥PE．∴PE⊥平面ABCD．又PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：设PA=PD=2a，由∠APD=60°可得AD=2a，．可建立如图空间直角坐标系E﹣xyz，则．∴，，．设n=（x，y，z）为平面PBM的法向量，则即取，可得为平面PBM的一个法向量．又=．则AB与平面PBM所成角的正弦值为．19．某人经营一个抽奖游戏，顾客花费2元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3个球（除颜色外其他都相同），根据摸出的球的颜色情况进行兑奖，顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金a元、10元、5元、1元，若经营者将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：A：1个黑球2个红球；B：3个红球；C：恰有1个白球；D：恰有2个白球；E：3个白球．且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次．（1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）；（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求a的最大值；（3）若a=50，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）求出一至四等奖的概率，即可写出分别对应的类别；（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求出分布列得到期望，即可求a的最大值；（3）若a=50，当顾客摸出的第一个球是红球，求出他领取的奖金的期望即可．【解答】解：（Ⅰ）；；；；；∵P（B）＜P（A）＜P（E）＜P（C）＜P（D），∴中一至四等奖分别对应的类别是B，A，E，C．（Ⅱ）设顾客进行一次游戏经营者可盈利X元，则∴（﹣a+2﹣24﹣60+36+120）≥0．∴a≤74．即a的最大值为74元．（Ⅲ）此时中一等奖的概率；中二等奖的概率；中三等奖的概率P3=0；中四等奖的概率；∴（50×1+10×2+0+1×18）=元．即此时顾客领取的奖金的平均值为元．20．已知椭圆E： +y2=1的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点．（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由．（2）求|AC|+|BD|的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，由椭圆的对称性知AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，从而得到四边形ABCD不可能成为平行四边形．（2）当直线AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y=k（x﹣1），与椭圆联立，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、弦长公式得到|AC|+|BD|≥，当直线AC的斜率不存在或直线AC的斜率为0时，|AC|+|BD|=3．由此能求出|AC|+|BD|的最小值为．【解答】解：（1）四边形ABCD不可能成为平行四边形，理由如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，∴AC与BD在点F处互相平分，又F的坐标为（1，0），∴y1+y2=0，由椭圆的对称性知AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，由题意知这时ABCD不是平行四边形，∴四边形ABCD不可能成为平行四边形．（2）当直线AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，△＞0，，x1x2=，∴|AC|=，同理，得|BD|=，∴|AC|+|BD|=6×，令k2+1=t，则S=≥，当直线AC的斜率不存在时，|AC|=，|BD|=2，∴|AC|+|BD|=3；当直线AC的斜率为0时，|AC|=2，|BD|=，∴|AC|+|BD|=3．∵3，∴|AC|+|BD|的最小值为．21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，不等式成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）代入a=﹣1可知f（x）的解析式，通过求导，分1＜x＜2、x＞2两种情况讨论即可；（2）一方面通过定义域及x≥1可知a＞﹣1，另一方面通过变形可知只需，进而设，只需通过求导证明h（x）在（1，+∞）上单调递增，计算可知ae x x﹣x+1﹣a＞0．结合两方面即得结论．【解答】解：（1）当a=﹣1，f（x）=ln（x﹣1）﹣x，x＞1．．当1＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（2，+∞）．（2）由题意得，x≥1时，x+a＞0恒成立，可得a＞﹣1．①由题意得，不等式对于任意的x≥1恒成立．设，x≥1．则．当a≤0时，，不满足题意；当a＞0时，要使x≥1时，不等式成立，须，即；当时，，设，则．显然h'（x）在（1，+∞）上单调递增，所以．所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，．即ae x x﹣x+1﹣a＞0．…②由①②可知时，满足题意．22．已知，△ABC内接于圆，延长AB到D点，使得DC=2DB，DC交圆于E点．（1）求证：AD=2DE；（2）若AC=DC，求证：DB=BE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接BE，由切割线定理可得DB•DA=DE•DC，结合已知条件，即可得到DA=2DE；（2）运用等腰三角形的性质，等边对等角，圆的内接四边形的性质：四边形的一个外角等于它的内对角，结合条件，即可得到DB=BE．【解答】证明：（1）连接BE，由切割线定理可得DB•DA=DE•DC，即=，由DC=2DB，可得DA=2DE；（2）由AC=DC，可得∠D=∠A，又∠BED=∠A，可得∠BED=∠D，即有BD=BE．23．在极坐标系中，已知曲线C：ρcos（θ+）=1，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|=．（1）求点P的轨迹C1的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线l：y=﹣x与（1）中的曲线C1相交于点E（异于点O），与曲线C2：（t为参数）相交于点F，求|EF|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）设P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），则ρ•ρ′=，又曲线C：ρ′cos（θ+）=1，代入化简即可得出．（2）由曲线C2的参数方程消去参数t化为普通方程：x+y=，利用互化公式可得极坐标方程．由直线l：y=﹣x可得：极坐标方程：（ρ∈R）．分别与曲线C2及其曲线C1的极坐标方程联立解出即可得出．【解答】解；（1）设P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），则ρ•ρ′=，又曲线C：ρ′cos（θ+）=1，∴×（cosθ+sinθ）=1，∴ρ=cosθ+sinθ．即为点P的轨迹C1的极坐标方程．（2）曲线C2：（t为参数），消去参数t化为普通方程：x+y=，可得极坐标方程：ρ（cosθ+sinθ）=．由直线l：y=﹣x可得：极坐标方程：或．把代入曲线C2可得：ρ2==（+1）．把代入曲线C 1可得：ρ1=+sin =．∴|EF|=ρ2﹣ρ1=1．24．设f （x ）=|x ﹣1|+|x+1|，（x ∈R ） （1）求证：f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）≥对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）利用三角不等式证明：f （x ）≥2；（2）g （b ）=≤=3，可得f （x ）≥3，即|x ﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求x 的取值范围．【解答】（1）证明：f （x ）=|x ﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2；（2）解：g （b ）=≤=3，∴f （x ）≥3，即|x ﹣1|+|x+1|≥3，x ≤﹣1时，﹣2x ≥3，∴x ≤﹣1.5，∴x ≤﹣1.5； ﹣1＜x ≤1时，2≥3不成立；x ＞1时，2x ≥3，∴x ≥1.5，∴x ≥1.5． 综上所述x ≤﹣1.5或x ≥1.5．2018年10月28日。
河南省郑州市2018届高三高考模拟预测理数试题(WORD档含答题卡和答案评分解析)
绝密★启用前河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,{|ln 1}P x y x N Q x x ==∈=<，则P Q ⋂=（ ） A ． {}012，， B ． {}12， C ． 02]（， D ． ()0e ， 2．若复数521iz i +=-,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为( )A ． []21,2,320x x x ∀∈-+> B ． []21,2,320x x x ∀∉-+> C ． []20001,2,320x x x ∃-+> D ． []20001,2,320x x x ∃∉-+>4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．B ．3C ．D ． 5．运行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）2A ． 1009B ． -1008C ． 1007D ． -1009 6．已知()()()214,1{,(1)x a x x f x a x -+≤=>的定义域为R ，数列{}()*n a n N ∈满足()n a f n =,且{}n a 是递增数列，则a 的取值范围是( )A ． ()1+∞，B ． 12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ． ()13， D ． ()3+∞， 7．已知平面向量,,a b c 满足1a b c ===,若12a b =,则()()2a b b c +-的最小值为( )A ． -2B ．C ． -1D ． 08．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事．撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E F 、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A ． 240种B ． 188种C ． 156种D ． 120种 9．已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( )A ． 向左平移6π个单位长度 B ． 向右平移6π个单位长度 C ． 向左平移12π个单位长度 D ． 向右平移12π个单位长度10．函数()y sin 1cos2x x =+在区间[]ππ-，上的大致图象为()A ．B ．C ．D ．11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A ． 23B ． 42C ． 12D ． 5212．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ． 214(,e e ⎤⎥⎦ B ． 214(, e e ⎤⎥⎦C ． 242[, e e ⎫⎪⎭D ． 3242[, e e ⎫⎪⎭二、填空题13．已知二项式()23nx -的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中2x 的系数为________．14．已知实数,x y 满足条件2,{22, 1,y x x y x ≤+≥≤则3yx +的最大值为_________．15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．16．已知椭圆()2222r :10x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ,且离心率为12，ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条4边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0． O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1．则123111k k k ++=__________．三、解答题 17．ABC 内接于半径为R 的圆， ,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且()()222R sin sin b c sin ,3B A C c -=-=．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若AD 是BC 边上的中线，AD =，求ABC 的面积． 18．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X 的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0．8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19．如图所示四棱锥,P ABCD PA -⊥平面,,ABCD DAB DCB E ≌为线段BD 上的一点，且EB ED EC BC ===,连接CE 并延长交AD 于F ． (Ⅰ)若G 为PD 的中点，求证：平面PAD ⊥平面CGF ；(Ⅱ)若BC 2,PA 3==，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值．20．已知圆22O :4x y +=,点()1,0,F P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ,设动点P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ) ,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由． 21．已知函数()2xf x e x =-．(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程； (Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程为2cos ,{,x y θθ== (θ为参数)．(Ⅰ)求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值；(Ⅱ)过点()1,1B -与直线l 平行的直线1l 与曲线 1C 交于,M N 两点，求BM BN ⋅的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈．(Ⅰ)若不等式()12f x x +-≥对R x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -,求实数a 的值．6河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测数学（理）试题答题卡姓名：______________班级：______________810121．B【解析】由题意可得{}()0,1,3,0,P Q e ==，所以{}12P Q ⋂=，，选B ． 2．C【解析】由题意可得521i z i +=- 2122i i +==---，对应点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以在复平面对应的点在第三象限，选C ． 3．C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C ． 4．B【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B ． 5．D【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 6．D【解析】由于{}n a 是递增数列，所以1a >，且()21f f >（），即223a a >+，解得1a <-或3a >，所以3a >，选D ．学#科网 7．B8．D【解析】当E,F 排在前三位时， ()2231223N A A A ==24,当E,F 排后三位时， ()()122223322N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时， ()112232322N C A A A ==24，N=120种，选D ．9．C【解析】由题意可得，函数f(x)=cos22sin 26x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设平移量为θ，得到函数()2s i n 226g x x πθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，又g(x)为奇函数，所以2,,6k k Z πθπ-=∈即,,122k k Z ππθ=+∈，所以选C 【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移| φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的14图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 10．A【解析】当0x +→， 0y +→，排除选项C,D ，当2x π=， 0y =，所以排除选项B,选A ．学%科网【点睛】识图问题，根据函数的性质，由整体性质到局部性质，再结合函数图像的差异性进行分析。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数i为虚数单位是纯虚数，则实数a的值为A. B. 13 C. D.3.已知，命题p：，，则A. p是假命题，￢：，B. p是假命题，￢：，C. p是真命题，￢：，D. p是真命题，￢：，4.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A.B.C.D.7.设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A. B.C. D.8.若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A. B. C. 2 D.9.关于函数，下列命题正确的是A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称10.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数和分别满足，，，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.13.设，则二项式的展开式中含项的系数为______．14.若函数为奇函数，则的值为______．15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域Ⅱ，点C在上，，，其中，半径OC 及线段CD需要用渔网制成若，，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；若对，，求数列的前2n项的和．18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩均为整数的频率分布直方图如图所示．估计这次考试数学成绩的平均分和众数；假设在段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上求椭圆的方程；已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．23.设函数．当时，解不等式；已知的最小值为3，且，求的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214.15.16.17. 解：，．时，，化为：，，，时，，且，解得．数列是等差数列，首项为1，公差为3．．．．数列的前2n项的和．18. 证明：，，，，E为AD的中点，，≌ ，，，，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知 ∽ ，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．19. 解：分，众数为75分．分以上的人数为人．的可能取值为2，3，4，，，．的数学期望是．20. 解：点在抛物线上，，解得，椭圆的右焦点为，，椭圆：的离心率为，，，，椭圆的方程为，设直线l的方程为，设，，由，消y可得，，，，直线AM与BM的斜率乘积为，，解得，直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得，，垂直平分线段AB，当时，设直线ON的方程为，同理可得，，当时，的面积也适合上式，令，，，则，当时，即时，的最小值为．21. 解：当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调弟增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，由题意得当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则有，即，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，bngidnuu，不存在实数使得成立．22. 解：，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以，所以的值为．23. 解：当时，，得，故，当时，，得，故，综上，不等式的解集是；的最小值是3，，故，，当且仅当即，时取“”．【解析】1. 解：，或；；1，2，．可先求出集合，或，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数是纯虚数，则，解得．故选：A．利用复数的除法运算化简为的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：，，当时，，命题p：，，是真命题，命题p：，，则￢：，．故选：C．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4. 解：当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，满足退出循环的条件，故输出的，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面ABCD，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为．底面故选：C．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7. 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆C：表示以为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足或时，圆C不经过区域D上的点，，当或时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，而圆C表示以为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径或时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC的边长为3；；；；，；．故选：B．根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数，周期，对于A：由，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时不是的整数倍；不对．对于B：由诱导公式，不对．对于C：令，可得，不对，对于D：当时，可得，的图象关于直线对称．故选：D．根据函数，结合三角函数的性质即可判断各选项．本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，，可得．当时，，不等式等价于．当时，的最小值为，若要不等式恒成立，则必须，因此，实数m的取值范围为，故选：D．利用分离参数法，再求出对应函数在上的最大值，即可求m的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆M：，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：，令，则．，令，则，解得．．，．令，，，函数在R上单调递减，，，可得：．．故选：C．，令，则由，令，可得进而得出，，令，及其已知，可得，利用函数在R上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于，的通项公式为，令，求得，故含项的系数为．故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：函数为奇函数，故恒成立，故即，，，故答案为：．由已知中函数为奇函数，恒成立，可得a，b的值，进而可得的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15. 解：由题意，的外接圆即为球的大圆，，设底面外接圆圆心G，即，从而正三角形ABC边长，设球心O，由题意，E、F在球面上，，F为DE中点，则，，在中，，，，，．故答案为：．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由，，，得，，；在中，由正弦定理，得，，设渔网的长度为，可得，所以，因为，所以，令，得，所以，所以．所以故所需渔网长度的最大值为．确定，在中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. ，时，，化为，由，可得，时，，且，解得利用等差数列的通项公式可得．利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 推导出 ≌ ，，从而，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEC，从而．推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. 先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，设直线l的方程为，设，，由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. 当时，，，，，由题意，令，则，解得，由此能求出当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化重点都是消去参数t．利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. 通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
河南省濮阳市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
2018届河南省濮阳市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|05}A x N x =∈≤≤，{1,3,5}U C B =，则集合B =（ ）A ．{2,4}B ．{0,2,4}C ．{0,1,3}D ．{2,3,4}2.复数4312i z i+=+的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．-13.在如图的程序框图中，若输入77m =，33n =，则输出的n 值是（ ）A ．3B ．7C ．11D ．334.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，A ，B ，C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．5.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．-5C ．13 D ．13- 6.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A ．116B ．316C ．14D ．13167.设1x ，2x ，3x 均为实数，且121log (1)x x π-=+，232log x x π-=，323log x x π-=，则（ ）A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<8.设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1n n b a =+，若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中，则q 的值为（ ）A ．43-B ．32-C ．-2D ．94- 9.已知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1()()3g x f x =-，1x ，2x 是()g x 在[0,]π上的相异零点，则12cos()x x -的值为（ ）A ．223B ．223-C ．13D ．13- 10.已知1F ，2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠的值为（ ）A ．14B ．35C ．34D ．4511.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()()xf x f x >恒成立（其中'()f x 为函数()f x 的导函数），对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是（ ）A ．1212()()()f x f x f x x ⋅≥B ．1212()()()f x f x f x x ⋅≤C ．1212()()()f x f x f x x +>+D ．1212()()()f x f x f x x +<+12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N ：第2017行的第N 项为2的正整数幂.已知1021024=，那么该款软件的激活码是（ ）A ．1040B ．1045C ．1060D ．1065二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，有5个全等的小正方形，BD x AE y AF =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的值是 ．14.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数是 ． 15.已知三棱锥P ABC -的底面为等边三角形，PA ，PB ，PC 两两相等且互相垂直，若该三棱锥的外接球半径为3，则球心到截面ABC 的距离为 ．16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求CD 的长.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =.（Ⅰ）求证：PQ AB ⊥；（Ⅱ）求二面角P QB M --的余弦值.19.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年双十一的广告策略，随机调查1000名淘宝客户在2017年双十一前后10天内网购所花时间，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从2(,)N μσ，其中μ用样本平均值代替，20.24σ=.（Ⅰ）计算样本的平均值μ，并利用该正态分布求(1.51 2.49)P T <<.（Ⅱ）利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10000名淘宝客户，记X 为这10000人中目标客户的人数.（i ）求EX ；（ii ）问：10000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大？附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=0.240.49≈.20.已知椭圆Ω：22143x y +=，点A 是椭圆Ω内且在x 轴上的一个动点，过点A 的直线与椭圆Ω交于B ，C 两点（B 在第一象限），且3AB AC =.（Ⅰ）若点C 为椭圆Ω的下顶点，求点A 的坐标；（Ⅱ）当OBC ∆（O 为坐标原点）的面积最大时，求点A 的坐标.21.已知函数2()4x x f x e ae =-(42)a x +-，其中1a ≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在x 使得()()0f x f x +-=，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若当0x ≥时恒有()()f x f x ≥-，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的任一点向圆C 引切线，求切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.濮阳市2018届高三毕业班第二次模拟考试数学（理科）·答案一、选择题1-5: BDCAB 6-10: DABCC 11、12：DA二、填空题13. 1 14. -20 15. 316. 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，4cos 5A =，(0,)A π∈，所以sin A =35==. 同理可得，12sin 13ACB ∠=. 所以cos cos[()]B A ACB π=-+∠cos()A ACB =-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=. （Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AB ACB A=∠1312203135=⨯=. 又3AD DB =，所以154BD AB ==. 在BCD ∆中，由余弦定理得，CD ===18.【解析】（Ⅰ）在PAD ∆中，PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥.因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD I 底面ABCD AD =，所以PQ ⊥底面ABCD .又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ AB ⊥.（Ⅱ）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， 所以//BC QD ，所以四边形BCDQ 为平行四边形. 因为AD DC ⊥，所以AD QB ⊥，由（Ⅰ）可知PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Q xyz -.则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A ，3)P ，(3,0)C -，(1,0,0)D -，3,0)B .因为AQ PQ ⊥，AQ BQ ⊥，所以AQ ⊥平面PQB ，即OA u u u r 为平面PQB 的一个法向量，且(1,0,0)OA =u u u r .因为M 是棱PC 的中点，所以点M 的坐标为133,222⎛- ⎝⎭，又3,0)QB =u u u r ，设平面MQB 的法向量为(,,)m x y z =u r . 则00m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，即301330222x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩， 令1z =，得3x =0y =，所以(3,0,1)m =u r .从而cos ,OA m <>u u u r u r 32OA m OA m⋅==u u u r u r u u u r u r .由题知，二面角P QB M --为锐角，所以二面角P QB M --19. 【解析】（Ⅰ）因为0.4(0.0500.80.225 1.2μ=⨯⨯+⨯0.550 1.60.825 2.00.600 2.4+⨯+⨯+⨯0.200 2.80.050 3.2)2+⨯+⨯=，从而T 服从(2,0.24)N，因为0.49σ=≈，从而(1.51 2.49)P T <<()0.6826P T μσμσ=-<<+=.（Ⅱ）（i ）任抽1个淘宝客户，该客户是目标客户的概率为(2 2.98)(2)P T P T μμσ<<=<<+1(22)2P T μσμσ=-<<+10.95440.47722=⨯=. 现若随机抽取10000名淘宝客户，记X 为这10000人中目标客户的人数，从而X 服从(10000,0.4772)B ，所以100000.47724772EX =⨯=.（ii ）X 服从(10000,0.4772)B ，()P X k =10000100000.4772(10.4772)k k k C --10000100000.47720.5228k k k C -=⋅. 若当X k =时概率最大，则有()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =>=+⎧⎨=>=-⎩，即11000010000110000100000.52280.47720.47720.5228k k k k C C C C +-⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得4772k =， 故10000人中目标客户的人数X 为4772的概率最大.20.【解析】（Ⅰ）由题易知(0,C ，由3AB AC =知B的纵坐标为3， 代入椭圆Ω的方程得223143x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，解得3x =（负值舍去），即此时33B ⎛ ⎝⎭. 从而直线BC的方程为y =0y =，得x =A . （Ⅱ）设11(,)B x y ，22(,)C x y ，由3AB AC =，知1230y y +=.易知直线l 与y 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 的方程为x my n =+，联立22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去x 可得22(34)6m y mny ++23120n +-=，∴122634mn y y m -+=+，212231234n y y m -⋅=+. ∵1230y y +=，∴12334mn y m =+，2212434n y m -=+， ∴22222294(34)34m n n m m -=++，从而2223431m n m +=+. ∴1212OBC S n y y ∆=⋅-2126234m n n y m ==+2631m m =+. ∵B 在第一象限，∴11x my n =+223034m n n m =+>+，∴0n >. ∵10y >，∴0m >. ∴2631OBC m S m ∆=+613m m≤=+，当且仅当m =时取等号，此时n =.即此时,02A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.21.【解析】（Ⅰ）2'()24x x f x e ae =-(42)2(1)x a e +-=-(12)x e a +-.令'()0f x =得0x =或ln(21)x a =-.当1a =时，2'()2(1)0x f x e =-≥，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，令'()0f x >得0x <或ln(21)x a >-，从而()f x 在(,0)-∞，(ln(21),)a -+∞上单调递增，在(0,ln(21))a -上单调递减.（Ⅱ）2()()x f x f x e+-=24()0x x x e a e e --+-+=，令x x t e e -=+， 则x x t e e -=+2≥=，当且仅当0x =取得等号.注意到222()2x x x x e e e e --+=+-22t =-，原问题转化为2240t at --=在[2,)+∞上有解，即24a t t =-在[2,)+∞上有解，又2t t -关于t 单调递增，从而24212a ≥-=， 又1a ≥，综合得[1,)a ∈+∞.（Ⅲ）令()()()g x f x f x =--224()x x x x e e a e e --=---(84)a x +-，22'()2()x x g x e e -=+4()(84)x x a e e a --++-22(2)484t at a =--+-，得'()2(2)(22)g x t t a =-+-，由（Ⅱ）知2t ≥.当2220a +-≥，即2a ≤时，'()0g x ≥，又(0)0g =，从而当0x ≥时恒有()()f x f x ≥-， 当2a >时，存在22t a =-使得'()0g x =，即22x x e e a -+=-，即2(22)10x x ea e --+=，解得1x e a =-ln(1x a =-，（ln(10x a =-<舍去）.从而当[0,ln(1x a ∈-时'()0g x ≤，此时()(0)0g x g ≤=，矛盾.综上[1,2]a ∈.22.【解析】（Ⅰ）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C 的直角坐标方程为220x y ++=，即22122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴圆心C 的直角坐标为22⎛- ⎝⎭. （Ⅱ）方法一：由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长是==≥，∴由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值是.方法二：∵直线l 的普通方程为0x y -+=，圆心C 到直线l|5+=， ∴由直线l 上的任一点向圆C=.23.【解析】（Ⅰ）因为(2)f x m x +=-，所以(2)0f x +≥等价于x m ≤. 由x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤. 又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知111123a b c++=， 又,,a b c R +∈， 23(23)a b c a b c ++=++11123a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 21123a a b b c a =++++233132b c c c a b++++ 2323a b a b a c =+++32332c b c a c b+++3≥+9+=， 当且仅当3a =，32b =，1c =时等号成立.。
2018年河南省高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)
2018年河南省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•＝（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年河南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2018年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0 B．C．1 D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2 C．3 D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3 C．2 D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年河南省高考数学一诊试卷(理科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E ⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，∴===．故选：A．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=﹣5．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=2．【解答】解：当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，）=﹣S，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1化为﹣=，可得=1+，可得S n=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z 1=1，得．同理，设平面BB 1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）e ax（a≠0）的导数f′（x）=e ax+a（x+1）e ax=（ax+a+1）e ax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．所以，对任意x1，x2∈（0，1），．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。
2018年河南省六市高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|lg(x−2)<1}，集合B={x|x2−2x−3<0}，则A∪B等于（）A.(2, 12)B.(−1, 3)C.(−1, 12)D.(2, 3)2. 已知i为虚数单位，若复数1+i1−i=a+bi(a, b∈R)，则a+b=()A.−iB.iC.−1D.13. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A.1 10B.15C.310D.254. 汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A.5mB.112m C.6m D.132m5. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图，如图所示．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A、B对该疾病均没有预防效果6. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A.2√15B.√15C.2D.47. 已知数列{a n}满足a n+1+(−1)n+1a n=2，则其前100项和为（）8. 已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=a(a+c)，则sin2Asin(B−A)的取值范围是（）A.(0, 1)B.(12,√22) C.(0,√22) D.(12,1)9. 设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A.2015B.2016C.2017D.201810. 在三棱锥S−ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，AB=12SC，且三棱锥S−ABC的体积为9√32，则该三棱锥的外接球的半径为（）A.1B.2C.3D.411. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与函数y=√x的图象交于点P，若函数y=√x的图象在点P处的切线过椭圆的左焦点F(−1, 0)，则椭圆的离心率是( )A.√3−12B.√5−12C.√3−√22D.√5−√2212. 若关于x的方程xe +e xx−e+m=0有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1<0<x2<x3，其中m∈R，e=2.71828……，则(x1e x1−1)2(x2e x2−1)(x3e x3−1)的值为（）A.1B.1−mC.1+mD.e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）→→→→已知二项式(x 2+1x )n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是________(用数字作答)．已知P 是双曲线C:x 22−y 2=1右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线的左焦点，则|PF 1|+|PQ|的最小值是________．已知动点P(x, y)满足{2x +y ≤4,x ≥1,(x +√x 2+1)(√y 2+1−y)≤1，则x 2+y 2−6x 的最小值是________．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且满足a n =2S n 22S n −1(n ≥2)．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）证明：当n ≥2时，S 1+12S 2+13S 3+⋯+1n S n <32．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．小数）如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60∘，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若PD // 平面EAC ，并且二面角B −AE −C 的大小为45∘，求PD:AD 的值．已知抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，当直线l 的倾斜角是45∘时，AB 的中垂线交y 轴于点Q(0, 5)． （1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点M ，N ，记劣弧MN ^的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，求S|AB|的最大值．已知函数f(x)=lnx +12x 2−2kx(k ∈R)． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f(x 2)<−32． [选修4-4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)．(1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；[选修4-5：不等式选讲]已知关于x的不等式|2x|+|2x−1|≤m有解．(I)求实数m的取值范围；(II)已知a>0，b>0，a+b=m，证明：a2a+2b +b22a+b≥13．参考答案与试题解析2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】解不等式化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 【解答】集合A ={x|lg(x −2)<1}={x|0<x −2<10}={x|2<x <12}， 集合B ={x|x 2−2x −3<0}={x|−1<x <3}， 则A ∪B ={x|−1<x <12}=(−1, 12)． 2.【答案】 D【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】利用复数的运算法则和复数相等即可得出． 【解答】∵ a +bi =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，∴ a =0，b =1． ∴ a +b =1． 3.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】本题考查了排列数公式及应用． 【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A 55A 33⋅A 22=10种不同的情形，若恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到两张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有3种情形，所以概率为P =310． 故选C ．【答案】D【考点】微积分基本定理定积分【解析】此题暂无解析【解答】解：在第1s至2s之间的1s内经过的路程为s=∫(213t+2)dt=(3t22+2t)|12=6+4−3 2−2=132．故选D．5.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图表可知，药物A服用之后，患病人数与未患病人数对比明显，故药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B．6.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，分别求出各个面的面积，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD=DC=BD=2，∠ADC=120∘，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB=BC=2√2，AC=2√3，底面△BCD的面积为：12×2×2=2，侧面△ABD的面积为：12×2×2=2，侧面△ADC的面积为：12×2×2×√32=√3，侧面△ACB是腰长为2√2，底长2√3的等腰三角形，故底边上的高为√8−3=√5，其面积为：12×2 √3×√5=√15，综上可知，最大的面的面积为√15，7.【答案】D【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知n=2k−1(k∈N∗)时，a2k+a2k−1=2．∴S100=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a99+a100)=2×50=100．故选D．8.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由b2=a(a+c)利用余弦定理，可得c−a=2acosB，正弦定理边化角，在消去C，可得sin(B−A)=sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sin2Asin(B−A)的取值范围．【解答】由b2=a(a+c)，利用余弦定理，可得：c−a=2acosB，利用正弦定理边化角，得：sinC−sinA=2sinAcosB，∵A+B+C=π，∴sin(B+A)−sinA=2sinAcosB，∴sin(B−A)=sinA，∵ABC是锐角三角形，∴B−A=A，即B=2A．∵0<B<π2，π2<A+B<π，那么：π6<A<π4，则sin 2Asin(B−A)=sinA∈(12, √22)．9.【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量F的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：此题的程序框图的功能就是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F=b+sin bπ2；因为b=max{1, 2, ..., 2 017}=2 017，所以F=2 017+sin20172π=2 018．故选D．10.【答案】C【考点】球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：取SC的中点O，∵SB⊥BC，SA⊥SC，SB=BC，SA=AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB=12SC，OA=12SC，∴SC⊥平面OAB，且OA=OB=OC=OS，即点O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB=12SC=R，∴△AOB为正三角形，∴∠BOA=60∘，∴VS−ABC =V S−OAB+V C−OAB=2×12R2sin60∘×13×R=9√32，解得R=3．故选C．11.【答案】B椭圆的离心率椭圆的定义【解析】设P点坐标，根据斜率公式求得直线PF的斜率，根据导数的几何意义，即可求得P点坐标，根据椭圆的定义及离心率公式，即可求得答案．【解答】解：由题意，左焦点F为(−1, 0)，设P(t, √t)，k PF=√tt+1，由y=√x，求导y′=2√x，则k PF=2√t ，即√tt+1=2√t，解得t=1，即P(1, 1)，设椭圆M的右焦点为F2(1, 0)，则2a=|PF1|+|PF2|=1+√5，∴椭圆M的离心率为e=ca =1+√5=√5−12，故选B.12.【答案】A【考点】函数与方程的综合运用【解析】此题暂无解析【解答】解：令t=xe x −1，则方程xe x+e xx−e x+m=0有3个不相等的实数解，即转化为方程t2+(m+1)t+1=0有2个不等的实数根t1,t2，且t1t2=1，由于x1<0，则x1e x1−1<0−1=−1，则至少有1个跟小于0，而t1t2=1，故t1<0且t2<0，由于x3>x2>0，则x2 e x2−1>0−1=−1,x3e x3−1>0−1=−1，由于3个不等的x值只对应2个t值，侧设t1<−1,−1<t2<0，则有t1=x1e x1−1,t2=x2e x2−1=x3e x3−1，∴(x1e1−1)2(x2e2−1)(x3e3−1)=t12t22=1．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】5【考点】向量的概念与向量的模【解析】【解答】解：∵b→=(a+b)−a=(0,2)−(3,−2)=(−3,4)，∴|b→|=√(−3)2+42=5．故答案为：5．【答案】10【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得2n=32，即n=5，所以二项式(x2+1x )5的通项为T r+1=C5r(x2)5−r(1x )r=C5r x10−3r．令10−3r=1，得r=3，所以展开式中含x项的系数是C53=10．故答案为：10．【答案】1+2√2【考点】双曲线的特性【解析】此题暂无解析【解答】解：设双曲线C的右焦点为F2，则|PF1|−|PF2|=2a=2√2，∴|PF1|=|PF2|+2√2，∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2√2+|PQ|，当且仅当Q,P,F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，易知渐近线l的方程为y=√2F2(√3,0)，则F2到l的距离d=√3|√3=1，|PQ|+|PF1|的最小值为2√2+1．故答案为：1+2√2．【答案】−40 9【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：∵(x+√x2+1)(√y2+1−y)≤1，√y2+1−y>|y|−y≥0，∴ x+√x2+1≤2≤√y2+1+y，∵函数f(x)=√x2+1+x是增函数，∴ x≤y，∴原不等式组化简为{2x+y≤4, x≥1,x≤y该不等式组表示的平面区域如图所示，因此可行域为△ABC及其内部，其中A(43,43),B(1,1),C(1,2)，令z=x2+y2−6x=(x−3)2+y2−9，表示动点P(x,y)到(3,0)的距离的平方减去9，由图知点A(43,43)到(3,0)的距离的最小，故z min=(4 3−3)2+(43)2−9=−409．故答案为：−409．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】当n≥2时，S n−S n−1=2S n22S n−1，S n−1−S n=2S n S n−11 S n −1S n−1=2，从而{1Sn}构成以1为首项，2为公差的等差数列．由（1）可知，1S n =1S1+(n−1)×2=2n−1，∴S n=12n−1，∴当n≥2时，1n S n=1n(2n−1)<1n(2n−2)=12(1n−1−1n)，从而S1+12S2+13S3+⋯+1nS n<1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)<32−12n<32．【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】（1）利用已知条件推出S n−1−S n=2S n S n−1，转化求解数列{1Sn}是等差数列；（2）求出数列的前n项和，利用裂项消项法求解即可．【解答】当n≥2时，S n−S n−1=2S n22S n−1，S n−1−S n=2S n S n−11 S n −1S n−1=2，从而{1Sn}构成以1为首项，2为公差的等差数列．由（1）可知，1S n =1S1+(n−1)×2=2n−1，∴S n=12n−1，∴当n≥2时，1n S n=1n(2n−1)<1n(2n−2)=12(1n−1−1n)，从而S1+12S2+13S3+⋯+1nS n<1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)<32−12n<32．【答案】数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×1515+25=3人，80岁以下应抽取：8×2515+25=5人在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：15+20+45+20600=16用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×16=11万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11400×100%=2.75%．用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，P(X=0)=45，P(X=120)=15×475600=95600，P(X=200)=15×85600=17600，P(X=220)=15×25600=5600，P(X=300)=15×15600=3600，则随机变量X的分布列为：EX=0+120×95+200×17+220×5+300×3600=28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．【考点】分层抽样方法【解析】（1）先把数据整理列表，采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，利用列举法能求出80岁及以上和80岁以下应抽取人数．（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为16，由此能估算80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列，从而估计政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．【解答】数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×1515+25=3人，80岁以下应抽取：8×2515+25=5人在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：15+20+45+20600=16用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×16=11万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11400×100%=2.75%．用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，P(X=0)=45，P(X=120)=15×475600=95600，P(X=200)=15×85600=17600，P(X=220)=15×25600=5600，P(X=300)=15×15600=3600，则随机变量X的分布列为：EX =0+120×95+200×17+220×5+300×3600=28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元 政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元． 【答案】（1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD , ∴ PD ⊥AC ，又∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥AC ，又∵ PD ∩BD =D ，故AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面EAC ，∴ 平面EAC ⊥平面PBD ．（2）解：连结OE ，∵ PD//平面EAC ，PD ⊥平面ABCD ， ∴ PD//OE,OE ⊥平面ABCD ，此时OA,OB,OE 两两垂直，又∵ O 是BD 的中点，故E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OA,OB,OE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设OB =m,OE =ℎ，则OA =√3m ， ∴ A(√3m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,ℎ)，则AB →=(−√3m,m,0),BE →=(0,−m,ℎ),易知向量n →1=(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量， 设平面ABE 的一个法向量为n →2=(x,y,z)，则n 2→⋅AB →=0，且n 2→⋅BE →=0， 即−√3mx +my =0且my −ℎz =0， 取x =1，则y =√3,z =√3m ℎ，n 2→=(1,√3,√3mℎ)，∴ |cos45∘=cos ⟨n 1→,n 2⟩|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√3√1+3+3m2ℎ2=√22，解得ℎm=√62，故PD:AD =2ℎ:2m =ℎ:m =√6:2．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD , ∴ PD ⊥AC ，又∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥AC ，又∵ PD ∩BD =D ，故AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面EAC ，∴ 平面EAC ⊥平面PBD ．（2）解：连结OE ，∵ PD//平面EAC ，PD ⊥平面ABCD ， ∴ PD//OE,OE ⊥平面ABCD ，此时OA,OB,OE 两两垂直，又∵ O 是BD 的中点，故E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OA,OB,OE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设OB =m,OE =ℎ，则OA =√3m ， ∴ A(√3m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,ℎ)，则AB →=(−√3m,m,0),BE →=(0,−m,ℎ),易知向量n →1=(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量， 设平面ABE 的一个法向量为n →2=(x,y,z)，则n 2→⋅AB →=0，且n 2→⋅BE →=0， 即−√3mx +my =0且my −ℎz =0， 取x =1，则y =√3,z =√3m ℎ，n 2→=(1,√3,√3mℎ)，∴ |cos45∘=cos ⟨n 1→,n 2⟩|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√3√1+3+2ℎ2=√22，解得ℎm=√62，故PD:AD =2ℎ:2m =ℎ:m =√6:2．【答案】抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ，F(0,p2)， 当l 的倾斜角为45∘时，l 的方程为y =x +p2 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =x +p2x 2=2py，得x 2−2px −p 2=0， x 1+x 2=2p ，y 1+y 2=x 1+x 2+p =3p ，得AB 中点为D(p,32p) AB 中垂线为y −32p =−(x −p)，x =0代入得y =52p =5．∴ p =2设l 的方程为y =kx +1，代入x 2=4y 得x 2−4kx −4=0， |AB|=y 1+y 2+2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4， AB 中点为D(2k, 2k 2+1)令∠MDN =2α，S =2α∗12|AB|=α∗|AB|， ∴ S|AB|=αD 到x 轴的距离|DE|=2k 2+1， cosα=|DE|12|AB|=2k 2+12k 2+2 当k 2=0时cosα取最小值12，α的最大值为π3． 故S |AB|的最大值为π3． 【考点】直线与圆的位置关系直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）求出l 的方程为y =x +p2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB 中点坐标，推出中垂线方程，结合AB 的中垂线交y 轴于点Q(0, 5)．求出p 即可．（2）设l 的方程为y =kx +1，代入x 2=4y ，求出AB 的距离以及AB 中点为D(2k, 2k 2+1)，令∠MDN =2α，求出S 的表达式，推出关系式S|AB|=α，利用D 到x 轴的距离|DE|=2k 2+1，求出cosα=|DE|12|AB|=2k 2+12k 2+2，然后求解S|AB|的最大值．【解答】抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ，F(0,p2)， 当l 的倾斜角为45∘时，l 的方程为y =x +p2 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =x +p2x 2=2py，得x 2−2px −p 2=0， x 1+x 2=2p ，y 1+y 2=x 1+x 2+p =3p ，得AB 中点为D(p,32p) AB 中垂线为y −32p =−(x −p)， x =0代入得y =52p =5．∴ p =2设l 的方程为y =kx +1，代入x 2=4y 得x 2−4kx −4=0， |AB|=y 1+y 2+2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4，AB 中点为D(2k, 2k 2+1)令∠MDN =2α，S =2α∗12|AB|=α∗|AB|， ∴ S|AB|=αD 到x 轴的距离|DE|=2k 2+1， cosα=|DE|12|AB|=2k 2+12k 2+2 当k 2=0时cosα取最小值12，α的最大值为π3． 故S|AB|的最大值为π3． 【答案】f(x)=lnx +12x 2−2kx ，x ∈(0, +∞) 所以f ′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x①当k ≤0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增 ②当k >0时，令t(x)=x 2−2kx +1，当△=4k 2−4≤0即0<k ≤1时，t(x)≥0恒成立，即f ′(x)≥0恒成立 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增当△=4k 2−4>0，即k >1时，x 2−2kx +1=0，两根x 1,2=k ±√k 2−1所以x ∈(0,k −√k 2−1)，f ′(x)>0x ∈(k −√k 2−1,k +√k 2−1)，f ′(x)<0x ∈(k +√k 2−1,+∞)，f ′(x)>0故当k ∈(−∞, 1)时，f(x)在(0, +∞)上单调递增当k ∈(1, +∞)时，f(x)在(0,k −√k 2−1)和(k +√k 2−1,+∞)上单调递增f(x)在(k −√k 2−1,k +√k 2−1)上单调递减．证明：f(x)=lnx +12x 2−2kx(x >0)，f ′(x)=1x +x −2k ， 由（1）知k ≤1时，f(x)(0, +∞)上单调递增，此时f(x)无极值 当k >1时，f ′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x由f ′(x)=0得x 2−2kx +1=0，△=4k 2−4>0，设两根x 1，x 2，则x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=1其中0<x 1=k −√k 2−1<1<x 2=k +√k 2−1f(x)在(0, x 1)上递增，在(x 1, x 2)上递减，在(x 2, +∞)上递增，=lnx 2+12x 22−(x 1+x 2)x 2=lnx 2−12x 22−1．令t(x)=lnx −12x 2−1(x >1)t ′(x)=1x −x <0，所以t(x)在(1, +∞)上单调递减，且t(1)=−32 故f(x 2)<−32． 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，通过k 与0，1的大小比较，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．（2）求出函数的导数，利用（1）的结果，通过极值点的大小以及韦达定理，结合函数的单调性区间即可． 【解答】f(x)=lnx +12x 2−2kx ，x ∈(0, +∞) 所以f ′(x)=1x+x −2k =x 2−2kx+1x①当k ≤0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增 ②当k >0时，令t(x)=x 2−2kx +1，当△=4k 2−4≤0即0<k ≤1时，t(x)≥0恒成立，即f ′(x)≥0恒成立 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增当△=4k 2−4>0，即k >1时，x 2−2kx +1=0，两根x 1,2=k ±√k 2−1所以x ∈(0,k −√k 2−1)，f ′(x)>0x ∈(k −√k 2−1,k +√k 2−1)，f ′(x)<0x ∈(k +√k 2−1,+∞)，f ′(x)>0故当k ∈(−∞, 1)时，f(x)在(0, +∞)上单调递增当k ∈(1, +∞)时，f(x)在(0,k −√k 2−1)和(k +√k 2−1,+∞)上单调递增f(x)在(k −√k 2−1,k +√k 2−1)上单调递减．证明：f(x)=lnx +12x 2−2kx(x >0)，f ′(x)=1x +x −2k ， 由（1）知k ≤1时，f(x)(0, +∞)上单调递增，此时f(x)无极值 当k >1时，f ′(x)=1x +x −2k =x 2−2kx+1x由f ′(x)=0得x 2−2kx +1=0，△=4k 2−4>0，设两根x 1，x 2，则x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=1其中0<x 1=k −√k 2−1<1<x 2=k +√k 2−1f(x)在(0, x 1)上递增，在(x 1, x 2)上递减，在(x 2, +∞)上递增，=lnx 2+12x 22−(x 1+x 2)x 2=lnx 2−12x 22−1．令t(x)=lnx −12x 2−1(x >1)t ′(x)=1x −x <0，所以t(x)在(1, +∞)上单调递减，且t(1)=−32故f(x 2)<−32．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+t （t 为参数），∴ 直线l 的普通方程为y =x −1，∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)=4sinθ+4cosθ， ∴ ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −4y =0． (2)点P(2, 1)在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是{x =2+√22ty =1+√22t（t 为参数） 代入x 2+y 2−4x −4y =0，得t 2−√2t −7=0，设两个实根为t 1，t 2， 则t 1+t 2=√2,t 1t 2=−7<0，即t 1，t 2异号所以||PA|−|PB||=||t 1|−|t 2||=|t 1+t 2|=√2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）直线l 的参数方程消去参数，能求出直线l 的普通方程；圆C 的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程．（2）点P(2, 1)在直线l 上，且在圆C 内，直线l 的参数方程是{x =2+√22ty =1+√22t （t 为参数）代入x 2+y 2−4x −4y =0，得t 2−√2t −7=0，由此能求出||PA|−|PB||的值． 【解答】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+t （t 为参数），∴ 直线l 的普通方程为y =x −1，∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)=4sinθ+4cosθ， ∴ ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −4y =0． (2)点P(2, 1)在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是{x =2+√22ty =1+√22t （t 为参数） 代入x 2+y 2−4x −4y =0，得t 2−√2t −7=0，设两个实根为t 1，t 2， 则t 1+t 2=√2,t 1t 2=−7<0，即t 1，t 2异号所以||PA|−|PB||=||t 1|−|t 2||=|t 1+t 2|=√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】（本小题满分1(Ⅰ)|2x|+|2x −1|≥|2x −(2x −1)|=1，故m ≥1； (Ⅱ)∵ a >0，b >0，∴ a +2b >0，2a +b >0故(a 2a+2b+b 22a+b )[(a +2b)+(2a +b)brack =a 2+b 2+a 2(2a+b)a+2b+b 2(a+2b)2a+b≥a 2+b 2+2√a 2(2a+b)a+2bb 2(a+2b)2a+b=a 2+b 2+2ab =(a +b)2，即(a 2a+2b+b 22a+b )∗3(a +b)≥(a +b)2由(Ⅰ)知a +b =m ≥1，∴a 2a+2b+b 22a+b ≥13(a +b)≥13．【考点】绝对值三角不等式【解析】(Ⅰ)绝对值三角不等式的运用：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(Ⅱ)均值不等式使用条件：一正二定三相等、不等式有解问题【解答】（本小题满分1(Ⅰ)|2x|+|2x−1|≥|2x−(2x−1)|=1，故m≥1；(Ⅱ)∵a>0，b>0，∴a+2b>0，2a+b>0故(a2a+2b +b22a+b)[(a+2b)+(2a+b)brack=a2+b2+a2(2a+b)a+2b +b2(a+2b)2a+b≥a2+b2+2√a2(2a+b)a+2b b2(a+2b)2a+b=a2+b2+2ab=(a+b)2，即(a2a+2b+b22a+b)∗3(a+b)≥(a+b)2由(Ⅰ)知a+b=m≥1，∴a2a+2b +b22a+b≥13(a+b)≥13．试卷第21页，总21页。
2018年河南全省 含所有市 高考数学一模试卷 汇总
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通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!（８套）2018年河南全省含所有市高考数学一模试卷汇总2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴,则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣, ﹣）, 位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行, 可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意, S=+++…==1﹣≥0.99, 可得：2k≥100, 解得：k≥7,即当n=8时, S的值不满足条件, 退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,=•π•=,∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切, 切点为（x0, y0）, 则,解得x0=0, k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切, 切点为（x1, y1）, 则,解得x1=e2, k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点,不妨设4个交点横坐标为t1, t2, t3, t4, 且t1＜t2＜t3＜t4,由图象可知t1＜0, t2=0, 0＜t3＜1, t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解, f（x）=t2有1解, f（x）=t3有3解, f（x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••,令6﹣=0, 解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0,转化为：x2+（y﹣1）2=1,则：圆心（0, 1）到直线y=x﹣1的距离d=,由于AB为圆的直径,则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6,故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体,∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9n, n可取5, 6, 7, 8, 9, 代入中,得, a=0.15．销售量在[50, 60）, [60, 70）, [70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率分别是0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.3,销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率之比为2：3：3,所以各组抽取的天数分别为2, 3, 3．X的所有可能值为1, 2, 3,,,．X的分布列为：X123P数学期望．19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA, 可得OA=OB=OC．设OA=a, 则, A（a, 0, 0）, B（0, a, 0）, C（0, 0, a）,设D点的坐标为（x, y, z）, 则由,可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2,解得x=y=z=a,∴．又平面OAB的一个法向量为,∴,∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点, 连接CF, DF,则CF⊥AB, DF⊥AB, ∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知, 在△CFD中, , ,则由余弦定理知,即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 函数,,令f'（x）=0得．当且x≠0时, f'（x）＜0；当时, f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增．（Ⅱ）根据题意, 注意到f（e）=g（e）=3e, 则ae+b=3e, b=3e﹣ae①．于是, ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0,则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx）, ,若a≤0, 则h'（x）＜0, 得h（x）在（0, +∞）上单调递减, 则当x＞e时, 有h （x）＜h（e）=0, 不合题意；若a＞0, 易知h（x）在上单调递减, 在上单调递增,得h（x）在（0, +∞）上的最小值．记, 则, 得m（a）有最大值m（3）=0, 即m （a）≤m（3）=0,又m（a）≥0, 故a=3, 代入①得b=0．当a=3, b=0时, f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3, 则φ'（x）=6x（x﹣e）, 得φ（x）在（0, +∞）上有最小值φ（e）=0, 即φ（x）≥0, 符合题意．综上, 存在a=3, b=0, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=,∴复数所对应的点的坐标为（）, 位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；故选：A．4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,故选：C．5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,∴a3+a5=q2+q4=6,得q4+q2﹣6=0,即（q2﹣2）（q2+3）=0,则q2=2,则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1, s=0, 满足条件s＜0.8, s==0.5, n=2,第二次运行n=2, s=0.5, 满足条件s＜0.8, s=+=0.75, n=3,第三次运行n=3, s=0.75, 满足条件s＜0.8, s=0.75+=0.75+0.125=0.875, n=4, 此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出, n=4,故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B． C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a,其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域,如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,∴S阴影=•π•=,∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{an}的公差为d, ∵a3+7=2a5,∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根,即函数y=a, g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞, ﹣3）, （2, +∞）时, g（x）递增, x∈（﹣3, 2）递减,函数g（x）图如下, 结合图象, 只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可,即﹣＜＜,故选：B．12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,∴2=+, =,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（﹣1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,∴=9﹣6=（﹣）2,∴e=﹣,故选：A二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R, 使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题, 可得命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R, 使得”．故答案为：∃x0∈R, 使得．14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上,∴球半径R==,∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立, 解得A（）,∵=（2, 3）, =（x, y）,∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是[0, 3]．【解答】解：设点M（x, y）, 由|MA|=2|MO|,得到：,整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0,∴点M在圆心为D（0, 1）, 半径为2的圆上．又点M在圆C上, ∴圆C与圆D有公共点,∴1≤|CD|≤3,∴1≤≤3,解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0, 3]．故答案为：[0, 3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A, B∈（0, π）,所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,所以A=B﹣A, B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．由△ABC为锐角三角形得,得, 则0＜cosB＜,由a+2acosB=2得,又由0＜cosB＜,则．18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9, n可取5, 6, 7, 8, 9,代入中,得,解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3,则抽取的5天中, 滞销日有2天, 记为a, b, 畅销日有3天, 记为C, D, E,再从这5天中抽出2天, 基本事件有ab, aC, aD, aE, bC, bD, bE, CD, CE, DE, 共10个,2天中恰有1天为畅销日的事件有aC, aD, aE, bC, bD, bE, 共6个,则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F, 连接BF, EF．在△PAD中, EF为中位线,则, 又, 故,则四边形BCEF为平行四边形, 得CE∥BF,又BF⊂平面PAB, CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点, 知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍, 则．由题意知, 四边形ABCD为等腰梯形, 且AB=BC=CD=2, AD=4, 其高为,则．取AD的中点O, 在等腰直角△PAD中, 有, PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD, 故PO⊥平面ABCD,则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．,故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．所以=．综上, △OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由, 得,令f′（x）=0, 得．当且x≠0时, f′（x）＜0；当时, f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线, 且切点横坐标为x0＞0,则, 即, 其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3, x∈（0, +∞）, 则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e）,得h（x）在上单调递减, 在上单调递增,又h（0）=﹣e3, , h（e）=0,故方程h（x0）=0在（0, +∞）上有唯一实数根x0=e, 经验证也满足（1）式．于是, f（x0）=g（x0）=3e, f′（x0）=g'（x0）=3,曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e）,即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,代入y2=4x,并整理得4x2﹣8x+1=0,所以,=,=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时, ,∴, ∴．∴,∴, 当且仅当m=n时等号成立,∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1, +∞）．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R, 复数z=, 若=z, 则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}, N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}, 则M∩N=（）A．[1, ] B．（, 3] C．（1, ）D．（, 2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据, 绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{an}中, 若a2=, a3=, 则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题：“今有阳马, 广五尺, 褒七尺, 高八尺, 问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 它的底面长, 宽分别为7尺和5尺, 高为8尺, 问它的体积是多少？”若以上条件不变,。
(完整word版)2018年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
2018年河南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣3，3）B．（﹣3，6）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）2．（5分）若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣2+2i B．﹣2﹣2i C．2+2i D．2﹣2i3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=﹣3x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣3B．0C．﹣1D．15．（5分）已知函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为l，动点（a，b）在直线l上，则2a+2﹣b的最小值是（）A．4B．2C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．14B．13C．12D．117．（5分）函数y=sin（2x﹣）的图象与函数y=cos（x﹣）的图象（）A．有相同的对称轴但无相同的对称中心B．有相同的对称中心但无相同的对称轴C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴8．（5分）三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sinα+cosα=，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD是三视图如图所示，则围成四棱锥P﹣ABCD的五个面中的最大面积是（）A．3B．6C．8D．1010．（5分）设F1、F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0 11．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}}内为递增数列，则实数λ的取值范围为（）在{n|n≥5，n∈N+A．（﹣3，+∞）B．（﹣10，+∞）C．[﹣11，+∞）D．（﹣12，+∞）12．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）的图象的两个端点分别为A（a，f （a）），B（b，f（b）），M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（0＜λ＜1），向量．若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上为“k函数”．若函数在[1，2]上为“k函数”，则实数k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．C．[1，+∞）D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣y﹣1的最小值为．14．（5分）已知点A（0，1），B（1，﹣2），向量，则=．15．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点的横坐标为．16．（5分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知a2+4S=b2+c2．（1）求角A；（2）若，，求角C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD=2PD=2．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求点N到平面PAB的距离．19．（12分）进入12月以来，在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同银行不赞同银行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220（I）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（II）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人没有私家车的概率，附：，其中n=a+b+c+dP（k2k2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（3，0）的直线交椭圆C于不同两点A，B．N为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=a（x2﹣x）﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l：，曲线C：（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|≥3，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a．（1）求解不等式f（x）＞3；（2）对于∀x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．2018年河南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：C．【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，则=﹣2﹣2i．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．【分析】A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．4．【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全负相关，其相关系数为﹣1．【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在一条直线y=﹣3x+1上，那么这组样本数据完全负相关，且相关系数为﹣1．故选：C．【点评】本题考查了线性相关的判断问题，也考查了线性相关系数的应用问题，是基础题．5．【分析】根据题意，由函数的解析式以及导数的几何意义计算可得切线l的方程，将动点（a，b）的坐标代入切线的方程可得b=a+1，进而可得2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x，有f（0）=e0=1，即切点的坐标为（0，1），f（x）=e x，则f′（x）=e x，有f′（0）=e0=1，即切线的斜率为1，则函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为y﹣1=x，即y=x+1，若动点（a，b）在直线l上，则b=a+1，2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+≥2=，即2a+2﹣b的最小值是，故选：D．【点评】本题考查曲线的切线方程以及基本不等式的性质，关键是分析a、b的关系．6．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=，n=5，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=，n=7，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=，n=9，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S=，n=11，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S=，n=13，满足退出循环的条件；帮输出的n=13，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2x﹣=k，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣）的对称轴为：x=+，k∈Z．由x﹣=kπ，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣）的对称轴为：x=kπ，k∈Z．k=0时，二者有相同的对称轴．由2x﹣=kπ，k∈Z，可解得函数y=sin（2x﹣）的对称中心为：（，0），k∈Z．由x﹣=k，k∈Z，可解得函数y=cos（x﹣）的对称中心为：（kπ+，0），k∈Z．设+=k2π+，k1，k2∈Z，解得：k1=2k2+，与k1，k2∈Z矛盾．故2函数没有相同的对称中心．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．8．【分析】求出sinα，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，求商即可．【解答】解：由，解得：sinα=，（sinα=舍），不妨，三角形斜边的长即正方形的边长是5，则较小直角边的长是3，较大直角边的长是4，故小正方形的边长是1，故大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，故满足条件的概率p=，故选：A．【点评】本题考查了几何概型问题，考查三角函数，是一道中档题．9．【分析】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2、4，底面面积=2×4=8；由正视图可得四棱锥的高为=，△SAD的面积为×4×=2，侧面SAB与侧面SCD为直角三角形，其面积为3×2×=3，侧面SBC为等腰三角形，底边上的高为=3，∴△SBC的面积为×4×3=6．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的各面的面积，根据三视图判断几何体的结构特征是关键．10．【分析】设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=，进而求出b=，由此能求出双曲线C：=1的渐近线方程．【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，同时除以a2，化简e2﹣2e+3=0，解得e=，∴c=，∴b==，∴双曲线C：=1的渐近线方程为y==±，即=0．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．11．【分析】由等差数列的通项公式求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，由关于n的二次函数的对称轴的位置求得λ的范围．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a n=2n+λ，得：a1=2+λ，d=2．∴==n2+（λ+1）n．其对称轴方程为n=，要使数列{S n}在{n|n≥5，n∈N+}内为递增数列，则，即λ＞﹣12．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了数列的函数特性，是基础题．12．【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，||≤k恒成立，即||max≤k，由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x+3）∴||═|y1﹣y2|=|x+﹣（x+3）|=|+﹣|，∵+≥2=，且+≤，∴||=|+﹣|=﹣（+）≤﹣，即||的最大值为﹣，∴k≥﹣．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到使目标函数取得最小值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足不等式组作可行域如图，由z=x﹣y﹣1 可得y=x﹣z﹣1．有图形可知，当直线y=x﹣z过可行域内的点A（0，3）时，直线在y轴上的截距最大，即z最小．∴z min=0﹣3﹣1=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．【分析】设出C（x，y），求出x，y的值，求出，从而求出其模即可．【解答】解：设C（x，y），则=（x，y﹣1）=（4，﹣1），故x=4，y=0，故C（4，0），故=（3，2），故||==，故答案为：．【点评】本题考查了向量的运算，考查向量求模，是一道基础题．15．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出x1+x2=4，即可求出MN中点的横坐标．【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段MN的中点横坐标为2，故答案为2．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．16．【分析】根据题意知函数f（x）图象的对称中心坐标为（1，﹣1），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣2，再利用倒序相加，即可得到结果．【解答】解：函数，f（1）=2﹣3=﹣1，当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=2x1+2x2+3cos（x1）+3cos（x2）﹣6=2×2+0﹣6=﹣2，∴f（x）的对称中心为（1，﹣1），∴=f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）=﹣2×（2017）﹣1=﹣4035．故答案为：﹣4035．【点评】本题考查了函数对称性应用问题，是中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【分析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出sinA=cosA，从而得出A的值；（2）利用正弦定理求出B，再根据内角和求出C．【解答】解：（1）∵，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2+4S=b2+c2﹣2bccosA+2bcsinA=b2+c2，∴tanA=1．又∵A∈（0，π），∴．（2）在△ABC中，由正弦定理，得，即．∵b＞a，0＜B＜π，∴或，∴或．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．18．【分析】（1）取AD中点E，连接ME，NE，推导出ME∥平面PCD，NE∥平面PCD，从而平面MNE∥平面PCD，由此能证明MN∥平面PCD．=V P﹣NAB，能求出点N到平面PAB （2）设点N到平面PAB的距离为h，由V N﹣PAB的距离．【解答】证明：（1）取AD中点E，连接ME，NE，因为M，N是PA，BC的中点，在△PAD与正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD，所以ME∥平面PCD，NE∥平面PCD，所以平面MNE∥平面PCD，所以MN∥平面PCD．解：（2）设点N到平面PAB的距离为h，∵V N=V P﹣NAB，﹣PAB∴．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BA．∵BA⊥DA，∴BA⊥平面PAD，∴BA⊥PA，，∴．又∵，PD=1，∴，∴．∴点N到平面PAB的距离为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）求出K2=，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．（Ⅱ）设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人，由分层抽样的定义知，从而得x=2，y=4，在抽取的6人中，没有私家车有2人，有私家车的有4人，由此能求出3人中至少有1人没有私家车的概率．【解答】解：（Ⅰ）K2==，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．（Ⅱ）设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人，由分层抽样的定义知，解得x=2，y=4，在抽取的6人中，没有私家车有2人，有私家车的有4人，则所有的基本事件个数n=，3人中至少有1人没有私家车包含的基本事件个数m==16，∴3人中至少有1人没有私家车的概率p===．【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．【分析】（1）利用已知条件，求出a，b，即可得到椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），AB的方程为y=k（x﹣3），由，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0．利用判别式以及韦达定理，结合=t（x，y），求出N的坐标，代入椭圆方程，利用弦长公式，化简不等式，求出K的范围，然后求解t的范围．【解答】解：（1）∵，∴a2=4b2．又∵4a=8，∴a=2，∴b2=1，∴椭圆C的方程是．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），AB的方程为y=k（x﹣3），由，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0．由△=242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，得．∵，，∴=t（x，y），则，==．由点N在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）．①又由，即，将x1+x2，x1x2代入得，化简，得（8k2﹣1）（16k2+13）＞0，则8k2﹣1＞0，，∴．②由①，得，联立②，解得3＜t2＜4．∴或，即．【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，范围问题的解决方法，考查函数与方程的思想，转化思想的应用，考查计算能力，难度比较大．21．【分析】（1）求出，利用f（x）在x=1处取到极值，列出方程求出a，即可．（2），令g（x）=2ax2﹣ax﹣1（x≥1），通过①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时，判断导函数的符号以及函数的单调性，求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1），∵f（x）在x=1处取到极值，∴f'（1）=0，即a﹣1=0，∴a=1．经检验，a=1时，f（x）在x=1处取到极小值．（2），令g（x）=2ax2﹣ax﹣1（x≥1），①当a=0时，，f（x）在[1，+∞）上单调递减．又∵f（1）=0，∴x≥1时，f（x）≤0，不满足f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．②当a＞0时，二次函数g（x）开口向上，对称轴为，过（0，﹣1）．a．当g（1）≥0，即a≥1时，g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴f'（x）≥0，从而f（x）在[1，+∞）上单调递增．又∵f（1）=0，∴x≥1时，f（x）≥0成立，满足f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．b．当g（1）＜0，即0＜a＜1时，存在x0＞1，使x∈（1，x0）时，g（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x0）＜f（1）．又∵f（1）=0，∴f（x0）＜0，故不满足题意．③当a＜0时，二次函数g（x）开口向下，对称轴为，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（1）=a﹣1＜0，∴g（x）＜0，f（x）在[1，+∞）上单调递减．又∵f（1）=0，∴x≥1时，f（x）≤0，故不满足题意．综上所述，a≥1．【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：（1）直线l：，展开可得，化为直角坐标方程为，曲线C：，可化为（x﹣1）2+y2=3．（2）∵曲线C是以（1，0）为圆心的圆，圆心到直线l的距离，∴，∴，解得0≤m≤2．∴实数m的取值范围为[0，2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由或或，解得：x＜0或x ＞，∴不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；（2）当x=时，f（x）min =；g（x）max=|a+1|+a，由题意得f（x）min≥g（x）max，得|a+1|+a ≤，即|a+1|≤﹣a，∴，解得：a ≤．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．第21页（共21页）。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＞0} ，B=N，则会合（ ?R A）∩ B 中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（ 5 分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣ 6B．13C．D．3．（ 5 分）已知 f（x）=sinx﹣tanx，命题 p：? x0∈（ 0，），f （x0）＜0，则（）A．p 是假命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 0C．p 是真命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 04．（5 分）已知程序框图如图，则输出i 的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5 分） 2018 年元旦假期，高三的8 名同学准备拼车去旅行，此中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑地点），此中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A．18 种B．24 种C．48 种D．36 种6．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．（5 分）设不等式组表示的平面地区为D，若圆 C：（x+1）2+y2=r2（r ＞0）不经过地区 D 上的点，则 r 的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．[，]8．（5 分）若等边三角形ABC的边长为 3，平面内一点 M 知足 6﹣3=2，则?的值为（）A．﹣B．﹣ 2C．2D．9．（ 5 分）对于函数 f（x）=3sin（ 2x﹣）+1（x∈R），以下命题正确的选项是（）A．由 f（ x1）=f（ x2） =1 可得 x1﹣ x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成f（ x） =3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象对于点（，1）对称D．y=f（x）的图象对于直线x=﹣对称10．（ 5 分）设函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，若对于 x∈[ 1， 3] ，f （x）＜﹣ m+4 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．（﹣∞， 0]B．C．D．11．（ 5 分）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆 M ：x2+y2﹣10x=0 所截得的两条弦长之和为12，已知△ ABP的极点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，极点 P 在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知定义在R 上的函数 f（ x）和 g（x）分别知足 f（x）=，e2x﹣2+x2﹣ 2f（0）?x，g′（x）+2g（ x）＜ 0，则以下不等式恒成立的是（）A．g（2016）＜ f（2）?g（ 2018）B．f （2）?g（ 2016）＜ g（ 2018）C．g（2016）＞ f （2）?g（ 2018）D．f（2）?g（ 2016）＞ g（2018）二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设 a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的睁开式中含x2项的系数为．14．（ 5 分）若函数 f （x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．15．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面 ABC，如有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．（ 5 分）如图， OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣地区I 和地区Ⅱ，点 C 在上，∠ COA=θ，CD∥OA，其中，半径 OC及线段 CD 需要用渔网制成．若∠ AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70 分）17．（ 12 分）已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且 a1＜2，a n＞0， 6S n=+3a n+2，n∈N* ．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若对 ? n∈ N* ，b n（﹣）n ，求数列 { b n 的前2n 项的和2n ．=1 } T18．（12 分）如下图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2 ，点 E 为 AD 的中点，BD∩ CE=H，PH⊥平面 ABCD，且 PH=4．（1）求证： PC⊥BD；（ 2）线段 PC上能否存在一点 F，使二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是？若存在，请找出点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 12 分）某地域为认识学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出 160 名，其数学构成绩（均为整数）的频次散布直方图如下图．（ 1）预计此次考试数学成绩的均匀分和众数；（ 2）假定在（ 90，100] 段的学生中有 3 人得满分 100 分，有 2 人得 99 分，其他学生的数学成绩都不同样．现从 90 分以上的学生中任取 4 人，不一样分数的个数为 ξ，求 ξ的散布列及数学希望 E （ξ）．20．（12 分）已知椭圆 C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，右焦点 F 是抛物线 C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点（ 2，4）在抛物线 C 2 上．（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 1 于 A ，B 两点， M （ 0，2），直线 AM 与 BM的斜率乘积为﹣ ，若在椭圆上存在点 N ，使| AN| =| BN| ，求△ ABN 的面积的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f （x ）=ae x +x 2﹣bx （a ，b ∈ R ），其导函数为 y=f ′（ x ）．（ 1）当 b=2 时，若函数 y=f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点，务实数 a 的取值范围；（ 2）设 a ≠0，点 P （m ， n ）（m ， n ∈ R ）是曲线 y=f （x ）上的一个定点，能否存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立？并证明你x xx的结论．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 1：（ t 为参数）， l 2：（t 为参数），此中 α∈（ 0，），以原点 O 为极点， x 轴第 5页（共 25页）非负半轴为极轴，取同样长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出 l1， l2的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 l1，l 2分别与曲线 C 交于点 A，B（非坐标原点），求 | AB| 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=| x﹣a| （ a＞ 0）．（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥ 1﹣ 2x；（2）已知 f（x）+| x﹣1| 的最小值为 3，且 m2n=a（ m＞0，n＞0），求 m+n 的最小值．2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．【剖析】可先求出会合A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ，而后进行交集、补集的运算即可．【解答】解： A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ；∴?R A={ x| ﹣1≤x≤3} ；∴（ ?R A）∩ B={ 0，1，2，3} ．应选： C．【评论】考察一元二次不等式的解法，以及描绘法、列举法表示会合的观点，交集和补集的运算．2．【剖析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0 且虚部不等于求解 a 的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得 a=﹣6．应选： A．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础的计算题．3．第 7页（共 25页）否认是全称命题写出结果．【解答】解：f（ x）=sinx﹣tanx，x∈（ 0，），当x=时，∴ f（x）=，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，是真命题，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，则￢p：? x∈（0，），f（x）≥ 0．应选： C．【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．4．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当 S=1时，不知足退出循环的条件，故S=1，i=3；当 S=1时，不知足退出循环的条件，故 S=3，i=5；当S=3时，不知足退出循环的条件，故 S=15， i=7；当S=15时，不知足退出循环的条件，故 S=105，i=9；当 S=105时，不知足退出循环的条件，故 S=945， i=11；当S=945时，不知足退出循环的条件，故 S=10395，i=13；当S=10395时，知足退出循环的条件，故输出的 i=13，应选： D．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．5．【剖析】分类议论，第一类，一班的 2 名同学在甲车上；第二类，一班的2 名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不一样的班级，从三个班级中选两个为C2=3，而后分别从选择的班级中再选第 8页（共 25页）择一个学生为 C21C21=4，故有 3×4=12 种．第二类，一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 C31=3，而后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有 3×4=12 种，依据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不一样的搭车方式，应选： B．【评论】此题考察计数原理的应用，考察组合知识，考察学生的计算能力，属于中档题．6．【剖析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形联合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图；正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，此中一条侧棱 PD⊥底面 ABCD，且侧棱 AD=1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且 PA=PC= ，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．应选： C．【评论】此题考察了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，获得如图的△MNP 及其内部，而圆 C 表示以（﹣ 1，﹣1）为圆心且半径为 r 的圆．察看图形，可得半径r ＜CM或 r＞CP 时，圆 C 不经过地区 D 上的点，由此联合平面内两点之间的距离公式，即可获得 r 的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ MNP 及其内部，此中M（1，1）， N（2，2），P（1，3）∵圆 C：（x+1）2 +y2=r2（r ＞0）表示以 C（﹣ 1，0）为圆心，半径为r的圆，∴由图可得，当半径知足r＜ CM 或 r＞CP时，圆 C 不经过地区 D 上的点，∵CM==，CP==．∴当 0＜r ＜或r＞时，圆C不经过地区D上的点，应选： A．【评论】此题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面地区，求半径r的取值范围．侧重考察了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面地区等知识，属于中档题．8．【剖析】依据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，而后进行数目积的运算即可．【解答】 解：等边三角形 ABC 的边长为 3；∴；；∴；∴==，=；∴= ==﹣2．应选： B ．【评论】考察向量数目积的运算及计算公式， 以及向量的数乘运算， 向量加法的几何意义．9．【剖析】依据函数 f （ x ）=3sin （ 2x ﹣ ）+1（ x ∈ R ），联合三角函数的性质即可 判断各选项．【解答】 解：函数 f （x ） =3sin （2x ﹣ ）+1（x ∈R ），周期 T=，对于 A ：由 f （ x 1） =f （ 2） ，x =1可能 x 1 与 x 2 对于此中一条对称轴是对称的，此时 x 1﹣x 2 不是 π的整数倍；∴ A不对．对于 B ：由引诱公式， 3sin （2x ﹣ ） +1=3cos[ ﹣（ 2x ﹣ ） ]+ 1=3cos （ 2x﹣）+1．∴ B 不对．第11页（共 25页）∴C不对，对于 D：当 x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f（x）的图象对于直线x=﹣对称．应选： D．【评论】此题主要考察利用y=Asin（ωx+φ）的信息特点，判断各选项的正误，属于中档题．10．【剖析】利用分别参数法，再求出对应函数在x∈ [ 1，3] 上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意， f（x）＜﹣ m+4，可得 m（ x2﹣x+1）＜ 5．∵当 x∈[ 1， 3] 时， x2﹣x+1∈[ 1，7] ，∴不等式 f（ x）＜ 0 等价于 m＜．∵当 x=3 时，的最小值为，∴若要不等式 m＜恒成立，则一定 m＜，所以，实数 m 的取值范围为（﹣∞，），应选： D．【评论】此题考察恒成立问题，考察分别参数法的运用，解题的要点是分别参数，正确求最值，属于中档题．11．【剖析】依据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再依据点到直线的距离公式可得=4，获得5b=4c，即可求出a= c ，依据正弦定理可得第12页（共 25页）== =【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M ：x2+y2﹣ 10x=0，即（x﹣ 5）2+y2=25 所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则 d==4，∴=4，即 5b=4c，即 b= c∵ a2=c2﹣ b2=c2，∴a= c，∴| AP﹣BP| =2a，由正弦定理可得∴sinB= ， sinA====2R，，sinP=，∴== =，应选： C．【评论】此题考察了双曲线的简单性质以及圆的相关性质和正弦定理，属于中档题12．【剖析】 f（x）=2x﹣2 2﹣ 2f（0）?x，令 x=0，则 f （0）= ．由 f ′e +x（x）=f （′1）?e2x﹣2+2x﹣2f（0），令 x=1，可得 f（0）．从而得出 f （′1），f（ x），（）．令（）2x （），及其已知2x[ g′f 2h x =e g x g′（x）+2g（x）＜0，可得 h′（x）=e （x）+2g（x）] ＜0，利用函数 h（ x）在 R 上单一递减，即可得出．【解答】解： f（x） =2x﹣ 2 2e +x ﹣2f（ 0） ?x，令 x=0，则 f（0）=．∵f （′ x）=f ′（1）?e2x﹣2+2x﹣ 2f（0），令 x=1，则 f ′（ 1） =f ′（1）+2﹣2f（0），解得 f（ 0） =1．∴ f （′ 1） =2e2．∴ f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2）=e4．令 h（x） =e2x g（x），∵ g′（x） +2g（x）＜ 0，∴h′（x） =e2x g′（x）+2e2x g（ x） =e2x[ g′（ x）+2g（ x） ] ＜ 0，∴函数 h（ x）在 R 上单一递减，∴ h（2016）＞ h（ 2018），∴e2016×2g（2016）＞ e2018×2g（ 2018），可得： g（2016）＞ e4g（2018）．∴g（ 2016）＞ f（ 2）g（2018）．应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性极值与最值、结构法、方程与不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．第14页（共 25页）出 r 的值，问题得以解决．【解答】解：因为 a= （cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx）| =﹣ 1﹣ 1=﹣2，∴（﹣2 ﹣）6+ ）6的通项公式为r+1 6﹣r 6r 3﹣r ，=（2 T =2 C ?x令 3﹣r=2，求得 r=1，故含 x2项的系数为 26﹣1C61=192．故答案为： 192【评论】此题主要考察定积分、二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，属于基础题．14．【剖析】由已知中函数f（ x）为奇函数， f（﹣ x）=﹣f（ x）恒成立，可得 a，b 的值，从而可得 f （a+b）的值．【解答】解：∵函数 f （x）==为奇函数，故 f（﹣ x） =﹣ f（ x）恒成立，故．即，∴ f（x）=，∴f（a+b） =f（1）=1﹣ 2=﹣1，故答案为：﹣ 1．【评论】此题考察的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15．【剖析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度．【解答】解：由题意，△ ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ ABC外接圆圆心 G，即 GA=GB=GC=2，从而正三角形 ABC边长 2 ，设球心 O，由题意， E、D 在球面上， OE=OD=2，F 为 DE中点，则 OF⊥DE， OF=GD= GC=1，在 Rt△OEF中， OE=2， OF=1，∴EF= ，∴ DE=2 ，∴AA1=2 ．故答案为： 2 ．【评论】此题考察正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，经过两者的关系求出正三棱柱的体积，考察计算能力，逻辑推理能力．16．【剖析】确立∠ COD，在△ OCD中利用正弦定理求得CD 的长度，依据所需渔网长度，即图中弧 AC、半径 OC和线段 CD长度之和，确立函数的分析式，利用导数确立函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由 CD∥OA，∠ AOB=，∠ AOC=θ，得∠ OCD=θ，∠ ODC=，∠COD=﹣θ；在△ OCD中，由正弦定理，得CD= sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ），可得 f （θ）=θ+1+ sin（﹣θ），所以 f ′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（ 0，），第16页（共 25页）令 f ′（θ）=0，得 cos（﹣θ）=，所以﹣θ= ，所以θ= ．θ（0，）（，）f （′θ）+0﹣f（θ）极大值所以 f （θ）∈（ 2，] ．故所需渔网长度的最大值为．【评论】此题考察了正弦定理的应用问题，也考察了函数模型的建立与最值应用问题，是难题．三、解答题（共70 分）17．【剖析】（1）6S n=+3a n+2，n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（ a n+a n﹣1）（a n﹣ a n﹣1﹣3）=0，由 a n＞0，可得 a n﹣a n﹣1=3，n=1 时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得 a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2） b n=（﹣ 1）n =（﹣ 1）n（3n﹣2）2． b2n﹣1+b2n=﹣（ 6n﹣ 5）2+（6n﹣ 2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组乞降即可得出．【解答】解：（1）6S n =+3a n+2， n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1= +3a n +2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴ a n﹣ a n﹣1=3，n=1 时， 6a1= +3a1+2，且 a1＜2，解得 a1=1．∴数列 { a n} 是等差数列，首项为1，公差为 3．∴a n=1+3（ n﹣ 1）=3n﹣2．=（﹣ 1）n（3n﹣ 2）2．（ 2） b n =（﹣ 1）n∴b+b=﹣（ 6n﹣5）2+（6n﹣ 2）2=3（ 12n﹣7）=36n﹣21．第17页（共 25页）∴数列 { b n 的前2n 项的和 2n （）﹣21n=﹣ 2} T =36 1+2+ +n 21n=18n ﹣3n．【评论】此题考察了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与乞降公式、分组乞降方法，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【剖析】（1）推导出△ BAD≌△ EDC，∠ DBA=∠DEH，从而 BD⊥EC，由 PH⊥平面 ABCD，得 BD⊥PH，由此能证明 BD⊥平面 PEC，从而 PC⊥ BD．（2）推导出 PH、 EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为 x，y， z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：（1）∵ AB∥CD，∠ BAD=90°，∴∠ EDC=∠BAD=90°，∵DC=DA=2AB，E 为 AD 的中点，∴ AB=ED，∴△ BAD≌△ EDC，∴∠ DBA=∠DEH，∵∠ DBA+∠ADB=90°，∴∠ DEH+∠ADB=90°，∴ BD⊥EC，又∵ PH⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥PH，又∵ PH∩ EC=H，且 PH，EC? 平面 PEC，∴ BD⊥平面PEC，又∵ PC? 平面 PEC，∴ PC⊥BD．解：（ 2）由（ 1）可知△ DHE∽△ DAB，由题意得 BD=EC=5，AB=DE= ，∴，∴EH=1， HC=4，DH=2，HB=3，∵ PH、EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（﹣ 2，0，0），P（0，0，4），假定线段 PC上存在一点 F 知足题意，∵与共线，∴存在独一实数λ，（0≤λ≤ 1），知足 =λ，解得F（0，4﹣4λ， 4λ），设向量=（x，y， z）为平面 CPD的一个法向量，且=（0，﹣ 4，4），=（﹣2，﹣4，0），∴，取 x=2，得=（2，﹣ 1，﹣ 1），同理得平面 CPD的一个法向量=（0，λ，λ﹣1），∵二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是，∴ | cos＜＞| ===，由 0≤λ≤ 1，解得λ=，∴=，∵CP=4 ，∴线段 PC上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【评论】此题考察线线垂直垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．【剖析】（1）把组中值看作各小组的均匀数，依据加权均匀数公式计算；（ 2）依据组合数公式计算各样状况的概率，得出散布列．【解答】解：（1） =45×0.005×10+55×0.015×10+65× 0.02×10+75× 0.03×10+85×0.025×10+95× 0.005×10=72（分），众数为 75 分．（2） 90 分以上的人数为 160×0.005×10=8人．∴ξ的可能取值为 2， 3， 4，P（ξ =2）==，P（ξ =3）==，P（ξ =4）==．∴ξ的散布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学希望是 E（ξ）=2× +3×+4×=．【评论】此题考察了频次散布直方图，失散型随机变量的散布列和数学希望，属于中档题．20．【剖析】（1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，依据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆方程，（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（ x1，1），（2，2），由，yB x y依据直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，求出m=0，再依据弦长公式求出| AB|和| ON| ，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：（1）∵点（ 2， 4）在抛物线 y2=2px 上，∴16=4p，第20页（共 25页）∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆 C1：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，∴= ，∴a=2 ，∴b2=a2﹣ c2=8﹣4=4，∴椭圆 C1的方程为+，=1（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，1 ），（ 2 ， 2 ），y B x y 由，消 y 可得（ 1+2k2） x2 +4kmx+2m2﹣8=0，∴ x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =∴ y1 2 （ 1 2 ）+2m= ，12 212 （ 1 2） 2=+y =k x +x y y =k x x +km x +x +m∵ M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，∴ k1?k2=?===﹣，解得 m=0，∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得 | AB| ==，∵| AN| =| BN| ，∴ ON 垂直均分线段 AB，当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x，同理可得|ON|== ，∴ S △ ABN = | ON| ?| AB| =8，当 k=0 时，△ ABN 的面积也合适上式，令 t=k 2+1， t ≥1，0＜ ≤ 1，则S =8=8=8，△ABN∴当 = 时，即 k=±1 时， S △ABN 的最小值为 ．【评论】此题考察椭圆的标准方程， 直线与椭圆的地点关系， 考察椭圆与二次函数函数的应用，考察计算能力，属于难题．21．【剖析】（1）当 b=2 时，f （ x ）=ae x +x 2﹣ 2x ，（ a ∈ R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣2，（ a ∈ R ），由题意 a=，令 h （ x ）= ，则 =0，解得 x=2，由此能求出当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2 ）由f （ x ） =ae x +x 2 ﹣ bx ， 得 f ′（ x ） =ae x +2x ﹣ b ， 假定 存在 x 0 ，则，利用导数性质推导出不存在实数x （0 x 0≠m ）使得 f （x 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立．x【解答】 解：（1）当 b=2 时， f （x ）=ae x +x 2﹣2x ，（a ∈R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣ 2，（a ∈R ）， 由题意得 ae x +2x ﹣ 2=0，即 a= ，令 h （x ） =，则=0，解得 x=2，当 x ＜2 时， h ′（ x ）＜ 0，h （x ）单一递减，当 x ＞2 时， h ′（ x ）＞ 0，h （x ）单一递加， ∴ h （ x ）min =h （ 2）=﹣ ，∵当 x=﹣ 1 时， h （﹣ 1） =4e ＞0，当 x ＞2 时， h （x ）=＜0，由题意适当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2）由 f （x ）=ae x +x 2﹣bx ，得 f ′（x ）=ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0，则有 f （x 0）==，即，∵ f （′）= +2 ﹣b ，==+（x 0+m ）﹣ b ，∴+2?﹣ b=+（x 0 +m ）﹣ ，b即 = ，∵ a ≠0，∴，令 t=x 0﹣ m ＞ ，则，两边同时除以 e m ，得，即 ，令 g （t ） =，∴ ，令 h （t ） =﹣ ﹣1 在（ 0，+∞）上单一递加，且 h （0）=0，∴ h （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，即 g ′（t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴ g （ e ）在（ 0，+∞）上单一递加， g （0）=0，∴ g （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴= 不可立，同理， t=x 0﹣ m ＜0 时，∴不存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f ′（）（0﹣ m ）成立． x xx【评论】此题考察利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、 知足条件的实数能否存在的判断与证明，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察运算求解能力、推理论证能力，考察创新意识，是中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．【剖析】（1）考察直线 l 1，l 2 参数方程与极坐标方程的互化，曲线 C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化．要点都是消去参数t ．（ 2）利用 l 1， l 2 极坐标方程，联合余弦定理，计算出 | AB| 的长度．【解答】 解：（1）l 1，l 2 的极坐标方程为 θ1=α（ρ∈R ）， θ2=α+ （ρ∈R ）．曲线 C 的极坐标方程方程为 ρ﹣4cos θ=0．即得 ρ2﹣4ρcos θ=0，222利用 ρ x +y ，x=ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为（ x ﹣2）2+y 2=4． （ 2）因为 ρ1=4cos α， ρ2=4cos （α+ ），所以|AB|2﹣ ρ1． ρ222（ ）﹣ cos αcos=+2 cos=16[ cos α+cos（）]=16[ cos 2α+ （cos α﹣ sin α）2﹣cos α（ cos α﹣ sin α）] =8，所以| AB| 的值为 2 ．【评论】考察极坐标方程与参数方程， 一般方程的互化． 记准互化公式和原则是要点，属于中档题目．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]第24页（共 25页）23．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）依据绝对值不等式的性质求出 a 的值，联合基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可．【解答】解：（1）当 x≥2 时， x﹣ 2≥ 1﹣ 2x，得 x≥1，故 x≥2，当 x＜2 时， 2﹣x≥1﹣2x，得 x≥﹣ 1，故﹣ 1≤x＜2，综上，不等式的解集是 { x| x≥﹣ 1} ；（ 2）∵ f（ x）+| x﹣ 1| 的最小值是 3，∴ f（x）+| x﹣1| ≥| x﹣ a﹣（ x﹣ 1） | =| a﹣ 1|=3，故 a=4，∵ m+n= + +n≥3 =3，当且仅当=n 即 m=2， n=1 时取“=．”【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．第25页（共 25页）。
2018届河南省最后一次模拟高三数学理科考试卷(解析版)
高三数学考试卷(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|320}P x x x =-≥,{|4323}Q x x =-<+≤,则()R C P Q = （ ） A ．2(,0)3-B ．2(0,]3C ．1(0,]3D ．1[0,]32. 已知复数21i(1i)z +=-,z 是它的共轭复数,则z z ⋅=（ ）A ．2 B ．12C ．1D 3. 如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12B ．25C.35D ．5124. 已知点(0,(,0)6A B π是函数()4sin()f x x ωϕ=+ (06,)2πωϕπ<<<<的图象上的两个点,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．12x π=B ．6x π=C. 3x π=D ．512x π=5.设数列{}n a 得前n 项和为n S ，若114,24n n a a S +==-，则10S =（ ） A ．102(31)- B ．102(31)+ C. 92(31)+ D ．94(31)-6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳[开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的i =（ ）A ．4.5B ．5C. 6 D ．6.57. 如图为一个半圆柱, ADE ∆是等腰直角三角形, F 是线段CD 的中点, 4AB =,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB 与EF 所成角的正弦值为（ ）A ．11B ．11 C. 11 D ．38. 函数22(1)sin 6()1x xf x x-=+的部分图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A．34+．34+ C.32+．36+10. 在平面直角坐标系中,已知三点(,1),(3,),(4,5)A a B b C ,O 为坐标原点若向量OA 与OC 在向量OB方向上的投影相等,则22a b +的最小值为( ) A ．125B ．14425C.12 D ．14411. 已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点OM 与MA的夹角为θ,且|tan |3θ=，则b =( )A ．1B12.若函数()1n xf x e a x =-21ax +-在(0,)+∞上恰有两个极值点，则a 的取值范围为（ ）A. 2(e ,e)--B. e (,)2-∞-C. 1(,)2-∞-D. (,e)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.13. 设实数,x y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为 ．14.在42(1)(12)x x --的展开式中，含3x 项的系数是 ． 15. 设数列{}n a 对*n N ∈都满足1n n a a n a +=++，且11a =，则1211a a +++ 282911a a += ． 16. 设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点, AB 为过1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),若11||3||BF AF =,223||||||AB AF BF =+,则此双曲线的离心率为 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对于边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B ++sin sin A c C =.(1)求C ；(2)若2,a b ==线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.18. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系 (i)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z (单位:万台)表示日销量, [0.18,0.2)z ∈,则每位员工每日奖励200元；[0.2,0.21)z ∈,则每位员工每日奖励300元；[0.21,)z ∈+∞,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z (万台)服从正态分布(0.2,0.0001)N ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据:81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑.参考公式:对于一组数据1122(,),(,)x y x y ,(,)n n x y ,其回归直线 y bxa =+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: 1221ni ii nii x y nx ybxnx ==-=-∑∑ ， ay bx =- . 若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则()P X μσμσ-<≤+0.6826,(2P X μσ=-<≤2)0.9544μσ+=.19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 是矩形, 11AB B C ⊥,平面1A BC ⊥平面11AB C .(1)证明: 1AA AB =；(2)若113,4BC AB ==, 160ABB ∠= ，求二面角1A ACB --的余弦值. 20. 设O 是坐标原点, F 是抛物线22(0)x py p =>的焦点, C 是该抛物线上的任意一点,当FC与y 轴正方向的夹角为60时,||OC(1)求抛物线的方程；(2)已知(0,)A p ,设B 是该抛物线上的任意一点, ,M N 是x 轴上的两个动点,且||2MN p =，||||BM BN =,当||||||||AM AN AN AM +计取得最大大值时，求BMN ∆的面积. 21. 已知函数21()1n 22f x m x x x =+-. (1)若0m <,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求m 的值； (2)若对于任意的1[,1]2m ∈及任意的1212,[2,e],x x x x ∈≠,总有121212()()||f x f x tx x x x ->- 成立,求t 的取值范围.（二）选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为α的直线l 经过点(2,1)A -.以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12sin 3p p θ+=. (1)写出曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ，求||||AM AN +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 知函数()|24||2|f x x x a =++-.(1)当6a =时,求()12f x ≥的解集; (2)已知22,()a g x x >-=724ax ++，若对于[1,]2ax ∈-,都有()()f x g x ≥成立,求a 的取值范围.高三数学考试卷参考答案(理科)1.C 【解析】本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力.因为2{|0}3R C P x x =<<,1{|2}3Q x x =-<≤,所以1(){|0}3R C P Q x x =<≤ . 2.A 【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力. 因为21i 1i (1i)2iz ++==--1i 22=-+,所以22111()()222z z ⋅=-+=. 3.D 【解析】本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为2,AC 与BE 的交点为G ,易知21AB BG ==，,2AG CG CD ===,所以,所112512⨯=. 4.A 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为(0)4sin f ϕ==2πϕπ<<,所以23πϕ=.由2()4sin()0663f πππω=+=，得263k ππωπ+=，64(Z)k k ω=-∈，所以2ω=.又()4sin[2(g x x =-2)]4sin(2)633x πππ+=+,将选项代入验证可知12x π=是一条对称轴方程.5.C 【解析】本题考查等差数列的求和公式,考查化归与转化的思想. 因为114,24n n a a S +==-①,所以21244a a =-=,而当2n ≥时, 124n n a S -=-②,两式相减得12n n n a a a +-=，13n n a a +=， 所以, {}n a 从第二项起构成公比为3的等比数列，10123(S a a a =+++ 9104(31))431a -+=+-92(31)=+.6.D 【解析】本题考查数学文化以及程序框图问题,考查运算求解能力.3,7.54; 3.5,85;i i =≠=≠4,8.56; 4.5,97;i i =≠=≠5,9.58; 5.5,109;i i =≠=≠6,10.510;i =≠6.5,1111i ==.输出 6.5i =.7.B 【解析】本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力. 设上底半圆的半径为r ,由24182r ππ⨯=,得3r =.因为2DE DF ==,所以EF =又异面直线AB 与EF 所成的角为EFD ∠所以sin 11EFD ∠=. 8.C 【解析】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力. 因为()()f x f x -=-,所以()f x -是奇函数,排除,A D .当06x π<<时, 201,sin60x x <<>,所以()0f x >；当64x ππ<<时, 22116x π<<，sin 60x <,所以()0f x <.9.A 【解析】本题考查三视图以及简单几何体的体积与表面积,考查空间想象能力和运算求解能力. 该几何体的形状如图所示，于是，=(22)2S ⨯⨯=左右 18,=422S ⨯-⨯上下(21214⨯⨯)=， 428,=S S =⨯=后前(1222)⨯⨯+）24⨯=+，所以表面积8148(4S =++++34=+10.B 【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量OA 与OC 在向量OB 市方向上的投影相同,所以OA OB OB OC ⋅=⋅，3125a b b +=+,即点(,)a b 在直线34120x y --=上22a b +的最小值为原点到直线34120x y --=的距离d 的平方,因为125d ==，所以22a b +的最小值为14425.11.B 【解析】本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设1122(,),(,)A x y B x y ,M 00(,)M x y ,则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得1212()()4x x x x -++12122()()0y y y y b-+=. 因为12121y y x x -=--,所以00204x y b -=.即2004y b x =.设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或34πθα=-，tan 1tan 1tan αθα+=±-. 又200tan 4y b x α==,由22|1|43|1|4b b +=-，解得22b =,即b =12.D 【解析】本题考查导数与极值问题,考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力.因为()1n 21xf x e a x ax =-+-,所以()2xa f x e a x '=-+.令20xa e a x -+=,得12x xe a x=-,再令()(0)12xxe g x x x =>-,因为函数()1n 21x f x e a x ax =-+-在(0,)+∞上恰有两个极值点,所以()g x a =有两个零点.又2(21)(1)()(12)x e x x g x x +-'=--(0)x >，令()0g x '>，得01x <<,所以12x ≠；令()0g x '<，得1x >，所以函数()g x 在11(0,),(,1)22上单调递增,在(1,)+∞上单调递减.由于(0)0,(1)e g g ==-,根据数形结合法可得e a <-,即(,e)a ∈-∞-.13. 11【解析】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.作出约束条件表示的可行域,当直线2z x y =+过点(5,3)时, z 取得最大值11. 14. 44-【解析】本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力.42(1)(12)x x --=42(1)(144)x x x --+，依题意有1314C (1)1x -⋅+2224C (1)(4)x x -⋅-3234C (1)x +-⋅23(4)44x x =-.15.2915【解标】本题考查等差数列的前n 项和的计算以及用裂项法求和的方法. 因为11a =,且11n n a a n a +=++,则11n n a a n +-=+,那么1(2)n n a a n n --=≥,1()n n n a a a -=-+12()n n a a ---++ 211()(1)a a a n n -+=+-(1)212n n ++++=， 因此12(1)n a n n ==+ 112()1n n -+. 所以1228111a a a ++++ 291112(122a =⨯-+-11129)3293015++-=.16.本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力和化归与转化的思想.因为21||||2AF AF a =+,21||||2BF BF a =+,所以221||||||AF BF AF +=1||4,||2BF a AB a ++=. 设11||3||3BF AF m ==,12AF F θ∠=,则2224(2)cos 22m c a m m c θ+-+=⋅,cos()πθ-=22294(2)232m c a m m c+-+⋅⋅，两式相加并化简得2230b am -=,即223b m a =.又||24AB a m ==,所以2a m =.由2232b a a =得2234b a =,从而2e ==.17.解:(1) 因为sin sin sin a A b B + sin A c C =,所以222a b c +=.由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-= 2=-又0C π<<，所以34C π=. （2）由（1）知34C π=,根据余弦定理可得2222cos c a b ab =+-2222C =+-2(202⨯⨯-=，所以c =由正弦定理得sin sin c b C B =sin B=，解得sin 5B =.从而cos 5B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E ,因为在Rt BDE ∆中, cos BE B BD =，所以cos BE BD B ===， 因为DE 为线段BC 的中垂线，所以2CD BD ==18解:(1)(i)因为11,3x y ==,所以1221ni ii nii x y nx ybxnx ==-==-∑∑ 347811313088121-⨯⨯=-⨯830.244340≈，833340ay bx =-=-110.315⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为 0.2440.315y x =+. (ii)当25x =时, 0.24425y =⨯+0.315 6.415= (万台).（注:若 30.24411a =-⨯= 0.316,0.2440.316y x =+，当25x =时, 0.24425y =⨯0.136 6.416+=(万台).(2)由题知9月份日销量z (万台)服从正态分布(0.2,0.0001)N ,则20.2,0.0001μσ==, 0.01σ=,日销量[0.18,0.2)z ∈的概率为0.95440.47722=, 日销量[0.2,0.21)z ∈的概率为0.68260.34132=， 日销量[0.21,)z ∈+∞的概率为10.68260.15872-=， 所以每位员工当月的奖励金额总数为(2000.47723000.3413⨯+⨯+4000.1587)307839.3⨯⨯=元. 19. (1)证明: 在三棱柱111ABC A B C -中,1111,BC B C AB B C ⊥∥，AB BC ∴⊥.又11,BC BB AB BB B ⊥= .BC ∴⊥平面11AA B B .设1AB 与1A B 相交于点E ,1AC 与1AC 相交于点F ,连接EF ， 四边形11AA B B 与11AAC C 均是平行四边形，EF BC ∴∥,EF ⊥平面11AA B B ，1EF AB ∴⊥，1EF A B ⊥，1AEA ∴∠是平面1A BC 与平面11AB C 所成其中一个二面角的平面角.又平面1A BC ⊥平面11AB C ,11AB A B ∴⊥∴四边形11AA B B 是菱形,从而1AA AB =.(2)解:由(1)及题设可知四边形11AA B B 是菱形, 160ABB ∠=，14AB AB ∴==.以E 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -,(0,0,0),(2,0,0)E A ∴,1(0,A -,C ，1(2,AA ∴=--，(AC =-.设平面1AAC 的法向量(,,)m x y z =， 10,0,m AA m AC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即0,230.x x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令y =可得(3,m =. 又由(1)可知1AB ⊥平面1A BC ,∴可取平面1A BC 的法向量为(2,0,0)n EA ==，∴cos ,m n=||||14m n m n ⋅=。
【高三数学试题精选】河南省2018届高三数学高考押题卷1(理科含答案)
河南省2018届高三数学高考押题卷1（理科含答案）
5 c
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1已知全集，集合，，则集合（）
A． B． c． D．
2已知i是虚数单位，若，则z的共轭复数为（）
A．1-2i B．2-4i c．1+2i D．2+4i
3某书法社团有男生30名，女生4或4
7执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为（）
A． B． c． D．
8设函数的图象关于直线x=0对称，则（）
A．=f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．=f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
c．=f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．=f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
9若关于x的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（）A． B． c． D．
10某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有（）
A．150种 B．300种 c．600种 D．900种
11已知双曲线的右焦点为，设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，的中点分别为、N，已知以N为直径的圆经过原点，且直线。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．1008．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．201810．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）【解答】解：集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}＝{x|0＜x﹣2＜10}＝{x|2＜x＜12}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜12}＝（﹣1，12）．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：∵a+bi＝＝＝＝i，∴a＝0，b＝1．∴a+b＝1．故选：D．3．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A＝36种取法，∴P＝＝．故选：C．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．【解答】解：根据题意，汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，则汽车在第1s至2s之间的1s内经过的路程S＝（3t+2）dt＝（+2t）＝；故选：D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果【解答】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．7．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．100【解答】解；n＝2k﹣1（k∈N*）时，a2k+a2k﹣1＝2．∴其前100项和＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2×50＝100．故选：D．8．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：由b2＝a（a+c），利用余弦定理，可得：c﹣a＝2a cos B，利用正弦定理边化角，得：sin C﹣sin A＝2sin A cos B，∵A+B+C＝π，∴sin（B+A）﹣sin A＝2sin A cos B，∴sin（B﹣A）＝sin A，∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A＝A，即B＝2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，那么：＜A＜，则＝sin A∈（，）．故选：B．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．2018【解答】解：分析题中程序框图的功能是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F＝b+sin；因为b＝max{1，2，…，2 017}＝2 017，所以F＝2 017+sin＝2 018．故选：D．10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB＝SC，OA＝SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB＝SC＝R，∴△AOB为正三角形，则∠BOA＝60°，∴V S﹣ABC ＝V S﹣OAB+V C﹣OAB＝，解得R＝3．故选：C．11．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，左焦点F为（﹣1，0），设P（t，），k PF＝，由y＝，求导y′＝，则k PF＝，即＝，解得t＝1，即P（1，1），设椭圆M的右焦点为F2（1，0），则2a＝|PF1|+|PF2|＝1+，∴椭圆M的离心率为e＝＝＝，故选：B．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝5．【解答】解：∵，，∴＝＝（﹣3，4），∴．故答案为：5．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10【解答】解：由题意可得2n＝32，n＝5，展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•x ﹣r＝•x10﹣3r．令10﹣3r＝1，r＝3，故展开式中含x项的系数是＝10，故答案为10．15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|＝|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y＝±x，F2（，0），F2到l的距离d＝1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故答案为：1+2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是﹣．【解答】解：动点P（x，y）满足，x≥1时，x+≥1+；∴要使（x+）（﹣y）≤1，只要﹣y≤，﹣y≤﹣x（*），设f（x）＝﹣x，x∈R，则f（x）是单调减函数，（*）可化为y≥x；∴动点P满足，该不等式组表示的平面区域如图所示：又x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9，由两点间的距离公式可得，M（3，0）到区域中A的距离最小，由，解得A（，）；∴x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9≥|AM|2﹣9＝+﹣9＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．【解答】证明：（1）当n≥2时，，S n﹣1﹣S n＝2S n S n﹣1，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，∴，∴当n≥2时，，从而．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老：人每月发放生活补贴，标准如下①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）【解答】解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，，，，，，则随机变量X的分布列为：，全市老人的总预算为28×12×66×104＝2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．【解答】解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD＝D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO＝45°设AD＝BD＝a，则OB＝a，OA＝a，在Rt△BOF中，tan∠BFO＝，可得OF＝Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE＝OF•AE即a•OE＝a•，解之得OE＝∴PD＝2OE＝，可得PD：AD＝：2即PD：AD的值为．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2＝0，x1+x2＝2p，y1+y2＝x1+x2+p＝3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x＝0代入得．∴p＝2…（6分）（2）设l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN＝2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|＝2k2+1，…（10分）当k2＝0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．【解答】解：（1），x∈（0，+∞）所以①当k≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增②当k＞0时，令t（x）＝x2﹣2kx+1，当△＝4k2﹣4≤0即0＜k≤1时，t（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立所以f（x）在（0，+∞）上单调递增当△＝4k2﹣4＞0，即k＞1时，x2﹣2kx+1＝0，两根所以，f'（x）＞0，f'（x）＜0，f'（x）＞0故当k∈（﹣∞，1）时，f（x）在（0，+∞）上单调递增当k∈（1，+∞）时，f（x）在和上单调递增f （x）在上单调递减．（2）证明：，，由（1）知k≤1时，f（x）（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值当k＞1时，由f'（x）＝0得x2﹣2kx+1＝0，△＝4k2﹣4＞0，设两根x1，x2，则x1+x2＝2k，x1•x2＝1其中f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，＝＝．令，所以t（x）在（1，+∞）上单调递减，且故．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
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2018年河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B=（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]2．（5分）已知i为虚数单位，若，则a b=（）A．1B．C．D．23．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．（5分）已知函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为l，动点（a，b）在直线l上，则2a+2﹣b的最小值是（）A．4B．2C．D．5．（5分）展开式中x2的系数为（）A．20B．15C．6D．16．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．14B．13C．12D．117．（5分）三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sinα+cosα=，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，，则f（x）的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）9．（5分）设F1、F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0 10．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积是（）A．20πB．C．25πD．22π11．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，，若，则实数=（）A．B．C．D．312．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）的图象的两个端点分别为A（a，f （a）），B（b，f（b）），M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（0＜λ＜1），向量．若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上为“k函数”．已知函数y=x3﹣6x2+11x﹣5在[0，3]上为“k函数”，则实数k的最小值是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）如图，已知点A（0，1），点P（x0，y0）（x0＞0）在曲线y=x2上移动，过P点作PB垂直x轴于B，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的，则P点的坐标为．15．（5分）已知抛物线x2=4y，斜率为的直线交抛物线于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，则点P到直线AB的距离为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且a n+S n=3n﹣1，则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知a2+4S=b2+c2．（1）求角A；（2）若，，求角C．18．（12分）某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行．统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元．在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元．若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为40%．（1）求这两天中恰有1天下雨的概率；（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由．19．（12分）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：PO⊥平面ABD；（2）当PB与平面ABD所成的角为45°时，求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C，过点E（1，0）的直线交曲线C于M，N两点．（1）求曲线C的方程；（2）若直线MA，NB的斜率分别为k1，k2，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数g（x）的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l：，曲线C：（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|≥3，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a．（1）求解不等式f（x）＞3；（2）对于∀x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．2018年河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的不等式解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]；由集合B中的不等式解得：x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，以及不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴=，∴．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．【分析】A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．4．【分析】根据题意，由函数的解析式以及导数的几何意义计算可得切线l的方程，将动点（a，b）的坐标代入切线的方程可得b=a+1，进而可得2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x，有f（0）=e0=1，即切点的坐标为（0，1），f（x）=e x，则f′（x）=e x，有f′（0）=e0=1，即切线的斜率为1，则函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为y﹣1=x，即y=x+1，若动点（a，b）在直线l上，则b=a+1，2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+≥2=，即2a+2﹣b的最小值是，故选：D．【点评】本题考查曲线的切线方程以及基本不等式的性质，关键是分析a、b的关系．5．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：=展开式中x2的系数=+=20．故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=，n=5，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=，n=7，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=，n=9，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S=，n=11，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S=，n=13，满足退出循环的条件；帮输出的n=13，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．【分析】求出sinα，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，求商即可．【解答】解：由，解得：sinα=，（sinα=舍），不妨，三角形斜边的长即正方形的边长是5，则较小直角边的长是3，较大直角边的长是4，故小正方形的边长是1，故大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，故满足条件的概率p=，故选：A．【点评】本题考查了几何概型问题，考查三角函数，是一道中档题．8．【分析】先利用二次函数求出内层函数u=sinx+cos2x﹣1=sinx﹣sin2x在的值域，然后利用对数函数的单调性可求出函数f（x）的取值范围．【解答】解：令u=sinx+cos2x﹣1=sinx﹣sin2x=，由于，则0＜sinx＜1，所以，0＜u，所以，log0.5u≥log0.5=2，因此，函数f（x）的取值范围是[2，+∞），故选：C．【点评】本题考察三角函数与对数函数的值域，问题的关键在于求出内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性来求原函数的取值范围，属于中等题．9．【分析】设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=，进而求出b=，由此能求出双曲线C：=1的渐近线方程．【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，同时除以a2，化简e2﹣2e+3=0，解得e=，∴c=，∴b==，∴双曲线C：=1的渐近线方程为y==±，即=0．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．10．【分析】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出外接球的半径，可得答案．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，满足侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且高为，可知底面外接圆心为对角线的交点，三角形PAB的外接圆O′半径为r，则（﹣r）2+4=r2．解得r=，底面外接圆E的半径为AE==．可求得球O的半径为：R==．外接球O的表面积为：=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求四棱锥外接球的半径，根据三视图判断几何体的结构特征是关键．11．【分析】由题意可设，，（k≠0）．由此求得a12，b6，则答案可求．【解答】解：由题意可设，，，（k ≠0）．则a12=S12﹣S11=288k﹣12k﹣242k+11k=45k．b6=T6﹣T5=36k+6k﹣25k﹣5k=12k．∴实数=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和的应用，是中档题．12．【分析】本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，||≤k恒成立，即k恒大于等于||，则k≥||的最大值，所以本题即求||的最大值．由N在AB线段上，得A（0，﹣5），B（3，1），AB方程y=2x﹣5，由图象可知，MN=y1﹣y2=x3﹣6x2+11x﹣5﹣（2x﹣5）=x3﹣6x2+9x，x∈[0，3]，设f（x）=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），x∈[0，3]，由f′（x）＞0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0，得1＜x＜3，∴f（x）在[0，3]上的最大值为f（1）=4．∴||的最大值为4．∴实数k的最小值是4．故选：D．【点评】本题考查实数的最小值的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=x﹣2y知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得A（0，3），∴z的最小值为0﹣2×3=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题．14．【分析】由P点的坐标求出梯形AOBP的面积与阴影部分的面积，再根据面积比列方程求得结果．【解答】解：由题意点P（x0，y0），则梯形AOBP的面积为（1+y0）x0=（1+）x0，且阴影部分的面积为S=x2dx=x3=；又阴影部分的面积是梯形AOBP面积的，∴=•（1+）x0，解得x0=0或x0=±1；取x0=1，则y0=1，∴P点的坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查了利用定积分求面积的应用问题，是基础题．15．【分析】设直线AB斜率为k，求出AB的中点，根据切线的性质得出k的值，从而求出P点坐标和AB的方程，得出答案．【解答】解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入x2=4y可得：y2﹣（2b+1）y+b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则y0=（y1+y2）=，y1+y2=2b+1，y1y2=b2，∴|AB|==•．∵线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，∴2（+1）=•．解得：b=1．∴直线AB的方程为y=﹣x+1，即x+2y﹣2=0．∴P点坐标为（﹣1，﹣1），∴P到直线AB的距离为d==．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，点到直线的距离计算，直线与圆的位置关系，属于中档题．16．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}的前n项和是S n，且a n+S n=3n﹣1①，+S n﹣1=3（n﹣1）﹣1②，当n≥2时，a n﹣1①﹣②得：2a n﹣a n﹣1=3．则：，所以：，所以：（常数）．a1+S1=3﹣1，解得：a1=1．所以：数列{a n﹣3}是以a1﹣3=﹣2为首项，以为公比的等比数列．所以：，整理得：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【分析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出sinA=cosA，从而得出A的值；（2）利用正弦定理求出B，再根据内角和求出C．【解答】解：（1）∵，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2+4S=b2+c2﹣2bccosA+2bcsinA=b2+c2，∴tanA=1．又∵A∈（0，π），∴．（2）在△ABC中，由正弦定理，得，即．∵b＞a，0＜B＜π，∴或，∴或．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．18．【分析】（1）设事件A为“这两天中恰有1天下雨”，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出这两天中恰有1天下雨的概率．（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元．设某一天在广场宣传产生的经济效益为X万元，分别求出P（X=﹣10）=0.4，P（X=20）=0.6，从而求出X的分布列和E（X），从而选择“2天都在室内宣传”．【解答】解：（1）设事件A为“这两天中恰有1天下雨”，则P（A）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．所以这两天中恰有1天下雨的概率为0.48．（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元．设某一天在广场宣传产生的经济效益为X万元，P（X=﹣10）=0.4，P（X=20）=0.6，∴X的分布列为：X﹣1020P0.40.6所以E（X）=（﹣10）×0.4+20×0.6=8（万元）．所以两天都在广场宣传产生的经济效益的数学期望为16万元．因为两种方案产生经济效益的数学期望相同，但在室内活动收益确定，无风险，在广场宣传虽然冒着亏本的风险，但有产生更大收益的可能，故选择“2天都在广场宣传”【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【分析】（1）由EF⊥AC，得PO⊥EF．再由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABD；（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，连接BO，可得∠PBO为PB与平面ABD所成的角，即∠PBO=45°，则PO=BO．设AO∩BD=H，求解三角形可得BD、HB、HC的长度．进一步求得PO、OH的长度．得到所用点的坐标，分别求出平面PAD、平面PBF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABD；（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，连接BO，∵PO⊥平面ABD，∴∠PBO为PB与平面ABD所成的角，即∠PBO=45°，∴PO=BO．设AO∩BD=H，∵∠DAB=60°，∴△BDC为等边三角形，∴，，HC=3．设PO=x，则OH=3﹣x，由PO2=OH2+HB2，得x=2，即PO=2，OH=1．∴P（0，0，2），A（4，0，0），，，．设平面PAD、平面PBF的法向量分别为，，由，取a=1，得．同理，得，∴，∴平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．20．【分析】（1）设点P（x，y）（x≠±2），由动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，能求出曲线C的方程．（2）设MN：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MB的斜率为k3，由题知，A（﹣2，0），B（2，0），由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出为定值．【解答】解：（1）设点P（x，y）（x≠±2），∵动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，∴由题知，，整理，得曲线C的方程为：．（2）由题意，知直线MN的斜率不为0，故可设MN：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MB的斜率为k3，由题知，A（﹣2，0），B（2，0），由，消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，∴，∴==．又∵点M在椭圆上，∴，∴，为定值．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．【分析】（1）令，由题意知y=ϕ（x）的图象与y=a的图象有两个交点，求出函数Φ（x）的导数，分析函数的单调性，由数形结合法分析可得答案；（2）根据题意，求出函数g（x）的导数g′（x），分析可得g′（x）=有两个不同的根，结合导数与函数单调性的关系，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，令，由题意知y=ϕ（x）的图象与y=a 的图象有两个交点．又由．当0＜x＜1时，ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，ϕ'（x）＜0，∴ϕ（x）在（1，+∞）上单调递减．∴ϕ（x）max=ϕ（1）=1．又∵x→0时，ϕ（x）→﹣∞，∴x∈（0，1）时，ϕ（x）∈（﹣∞，1）．又∵x＞1时，ϕ（x）∈（0，1）．综上可知，当且仅当a∈（0，1）时，y=a与y=ϕ（x）的图象有两个交点，即函数f（x）有两个零点．（2）因为函数g（x）有两个极值点，由g'（x）=lnx+1﹣ax=0，得有两个不同的根x1，x2（设x1＜x2）．由（1）知，0＜x1＜1＜x2，0＜a＜1，且，且函数g（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，则=．令，则=，所以函数h（t）在（0，+∞）上单调递增，故g（x1）＜g（1）=0，g（x2）＞g（1）=0．又x→0，；x→+∞，g （x）→﹣∞，所以函数g（x）恰有三个零点．【点评】本题考查利用函数的导数分析函数的性质，注意正确计算函数的导数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：（1）直线l：，展开可得，化为直角坐标方程为，曲线C：，可化为（x﹣1）2+y2=3．（2）∵曲线C是以（1，0）为圆心的圆，圆心到直线l的距离，∴，∴，解得0≤m≤2．∴实数m的取值范围为[0，2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由或或，解得：x＜0或x＞，∴不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；（2）当x=时，f（x）min=；g（x）max=|a+1|+a，由题意得f（x）min≥g（x）max，得|a+1|+a≤，即|a+1|≤﹣a，∴，解得：a≤．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．。