人教版数学九年级上册切线的概念、切线的判定与性质PPT精品课件
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人教版数学九年级上册切线的判定PPT精品课件
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
3.知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
.O
A
L
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何应用: ∵OA⊥L ,OA是半径 ∴L是⊙O的切线
注意 圆的切线有无数条．
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定课件
小练习
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
人教版九年级上册切线的判定与性质PPT
第2课时 切线的判定与性质
一、教学目标
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的 切线． 2．掌握切线的性质定理． 3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
二、教学重难点 重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
难点 探索圆的切线的判定方法．
三、教学设计 活动1 新课导入 在上面三个图中，直线 l 和圆的三种位置关系分别是 相__交__、_相__切_、_相__离_．
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和 过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分 ∠DAB. 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB.
提出问题： (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的 切线？能画几条？ (2)观察下面两个图形，直线 l 是圆的切线吗？判定直 线是圆的切线的两个关键点是什么？ (3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD， ∴直线PB与⊙O相切．
一、教学目标
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的 切线． 2．掌握切线的性质定理． 3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
二、教学重难点 重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
难点 探索圆的切线的判定方法．
三、教学设计 活动1 新课导入 在上面三个图中，直线 l 和圆的三种位置关系分别是 相__交__、_相__切_、_相__离_．
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和 过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分 ∠DAB. 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB.
提出问题： (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的 切线？能画几条？ (2)观察下面两个图形，直线 l 是圆的切线吗？判定直 线是圆的切线的两个关键点是什么？ (3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD， ∴直线PB与⊙O相切．
《切线的判定与性质》PPT课件 人教版九年级数学
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一 不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
人教版数学九年级上册切线的判定与性质完美课件
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线．P97 ①
②
问题3：定理中的两个条件缺少一个行不行？ 定理中的两个条件缺一不可．
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
判断
并且垂直于这条半径的直线
运用切线的性质与判定定理解决简单问题
P98例1 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D.
求证： AC 是⊙O 的切线． A
D
E （无公共点， 作垂直，证半径）
B
O
C
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
变式： 人教版数学九年级上册24.2.2 切线的判定与性质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
探究切线的性质定理
P97思考：反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一 定垂直呢？
九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质
回顾复习
点与圆的位置关系
点A在圆内，
A
· 点B在圆上， O
C
r
点C在圆外.
B
设⊙O半径为r， 点到圆心O的距离为 d
d < r 点A在圆内 d= r 点B在圆上 d> r 点C在圆外
直线和圆的位置关系
c .O
b a
点与圆的位置关系
人教版九年级上24.2切线的判定与性质 (共15张PPT)
连接圆心和切点的半径是常见辅助线
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
人教版数学九年级上册..切线的概念、切线的判定与性质PPT精品课件
E C
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
小结
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
例1与例2的证法有何不同?
O A
D
B
O
E
(A1)如果C 已知B直线经过圆上一点,则连结C这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：有交点,连半径,证垂直。
归纳：
切线的判定定理
文字叙述： 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
几何语言： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
y
A P
·· C2 O
B x
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
③设当C运动到C3时圆与直线OA相切于O点，于是有OC3=7 ∴C3（7，0） ∴C3C=7－（－10）=17 t3=17÷2=8.5（秒）
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
练习
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
1.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。
初中数学九年级上册《切线的概念、切线的判定和性质》PPT课件(共12张PPT)
直线和⊙O相离
d＞r (没有公共点)
直线和⊙O相切
d = r (一个公共点)
直线和⊙O相交
d＜r (两个公共点)
第2页，共12页。
如图在⊙O中经过半径OA的外端点A 做直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
A
l
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
·O
∵ l2切⊙O于B，OB是半径
∴ l2⊥OB.
又∵ AB为直径，
l2
B
∴ l1∥ l2 .
第8页，共12页。
知识拓展
▪ 例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB
的延长线上，且∠DCB= ∠A．
▪ （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相 切，请说明理由．
▪ （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
1.如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,
求证AT 是⊙O的切线. 证明: ∵ AT=AB,∠ABT = 45°，
∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °.
∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT
B
= 90°.
∴ TA⊥OA.
·O
又∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线.
T
A
第6页，共12页。
▪ 归纳小结
▪ 本节课应掌握： ▪ 1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆
相离等概念． ▪ 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： ▪ 直线L和⊙O相交d<r
▪ 直线L和⊙O相切d=r
▪ 直线L和⊙O相离d>r
《切线的性质和判定》PPT课件
常添辅助线
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
人教部初三九年级数学上册 切线的判定与性质 名师教学PPT课件
教学目标
• 1.理解并熟练运用切线的判定定理 • 2.掌握切线的性质定理
知识回顾
直线和圆的位置关系有几种？
．Ｏ
dr
┐
l
相离
．Ｏ
d ┐r
l
相切
d>r
d=r
交点个数 0
1
．Ｏ
r ┐d
l
相交
d<r
2
预学
思考：如图，已知⊙O上的一点A，如何准确画出过 点A的⊙O的切线，并说明你画法的理由。
O
d=r
rd
l
A
切线的判定条定件理一：经直过线半l径经的过外半端径并O且A 垂直于这条半径的的外直端线点是A 圆的切线。
条件二：直线l 垂直于半径OA
切线的判定定理 经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l 于A ∴ l是⊙O的切线
O l
A
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。
(2)如果已知条件中不知直线与圆 是否有公共点,则过圆心作直线的 垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长。 简记为：无交点,作垂直,证半径。 用数量法（d=r）证。
拓展延伸
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B， 弦AD∥OC．求证：DC是⊙O的切线．
一、切线的判定定理
经过半径外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
O
E
B
C P
有交点,连半径,证垂直
练一练
2、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°， 以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。
证明：过O作OC⊥AB于C
• 1.理解并熟练运用切线的判定定理 • 2.掌握切线的性质定理
知识回顾
直线和圆的位置关系有几种？
．Ｏ
dr
┐
l
相离
．Ｏ
d ┐r
l
相切
d>r
d=r
交点个数 0
1
．Ｏ
r ┐d
l
相交
d<r
2
预学
思考：如图，已知⊙O上的一点A，如何准确画出过 点A的⊙O的切线，并说明你画法的理由。
O
d=r
rd
l
A
切线的判定条定件理一：经直过线半l径经的过外半端径并O且A 垂直于这条半径的的外直端线点是A 圆的切线。
条件二：直线l 垂直于半径OA
切线的判定定理 经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l 于A ∴ l是⊙O的切线
O l
A
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。
(2)如果已知条件中不知直线与圆 是否有公共点,则过圆心作直线的 垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长。 简记为：无交点,作垂直,证半径。 用数量法（d=r）证。
拓展延伸
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B， 弦AD∥OC．求证：DC是⊙O的切线．
一、切线的判定定理
经过半径外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
O
E
B
C P
有交点,连半径,证垂直
练一练
2、如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°， 以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。
证明：过O作OC⊥AB于C
24.2.2切线的概念、切线的判定与性质课件
E C
小结
例1与例2的证法有何不同?
O A
D
B
O
E
(A1)如果C 已知B直线经过圆上一点,则连结C这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：有交点,连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。
y
A
··· C2 O C3
B x
大显身手
③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点， 连C4 Q，则C4 Q⊥AB ∠C4 BQ=30° ∴ B C4 =2 C4 Q=14 ∴ CC4 =10+12+14=36 ∴ t4=36÷2=18（秒）
y
A
· O C3 B
C4
x
Q
心得体会
1、判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点 直线l与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
2、常用的添辅助线方法？
是圆的切线 是圆的切线 是圆的切线
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直 于该直线。（连半径，证垂直）
（2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这 条垂线段为圆的半径。（作垂直，证半径）
人教版数学九年级上册切线的概念、切线的判定与性质精品课件PPT
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
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证明：如解图, 连接OD, ∵∠CDE=90°, F为CE的中点, ∴DF= CE=CF, ∴∠FDC=∠FCD. 又∵O1 D=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠O2 DC+∠FDC=∠OCD+∠FCD, ∴∠ODF=∠OCF, ∵EC⊥AC, ∴∠OCF=90°, ∴∠ODF=90°, ∵OD为⊙O的半径, ∴DF为⊙O切线；
(2)连接 BE 交 AC 于点 F, 若cos∠CAD = 4 , 求 A F
5
FC
的值.
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练习题图
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(1)证明：如解图①, 连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD, ∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠DAC=∠OCA, 又∵OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC平分∠DAB；
点在圆外 d > r, 如右图中点A 点在圆上 d = r, 如右图中点B 点在圆内 d < r, 如右图中点C
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直线与圆的位置关系(设圆的半径为r, 圆心到直线的距 离为d )
∴AC= 2 5 a, CD= a b ,
在Rt△ACD中, 由勾股定理可得：
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证明：如解图, 连接OD, ∵∠CDE=90°, F为CE的中点, ∴DF= CE=CF, ∴∠FDC=∠FCD. 又∵O1 D=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠O2 DC+∠FDC=∠OCD+∠FCD, ∴∠ODF=∠OCF, ∵EC⊥AC, ∴∠OCF=90°, ∴∠ODF=90°, ∵OD为⊙O的半径, ∴DF为⊙O切线；
(2)连接 BE 交 AC 于点 F, 若cos∠CAD = 4 , 求 A F
5
FC
的值.
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练习题图
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(1)证明：如解图①, 连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD, ∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠DAC=∠OCA, 又∵OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC平分∠DAB；
点在圆外 d > r, 如右图中点A 点在圆上 d = r, 如右图中点B 点在圆内 d < r, 如右图中点C
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直线与圆的位置关系(设圆的半径为r, 圆心到直线的距 离为d )
∴AC= 2 5 a, CD= a b ,
在Rt△ACD中, 由勾股定理可得：
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(3)【思维教练】要求tan∠ABD的值, 需将其放在直 角三角形中求解, 由圆周角定理可得∠ACD=∠ABD, 可将求tan∠ABD的值转化为求tan∠ACD的值.即在 Rt△ACD中求DACD 的值, 由已知AC与DE的关系, 从而 考虑证明△ADC∽△CDE得出CD2=AD·DE, 通过设 出DE, AD的值, 表示出AC, CD的值, 在Rt△ACD中, 利用勾股定理即可得解.
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
三
内切圆的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三
角
角形的内切圆
形 三角形内心的定义: 内切圆的圆心是三角形三条
的
角平分线 的交点, 叫做三角
内
形的_内__心__
切 圆
性质：三角形的内心到三角形三边距离_相___等_
重难点突破
一
切线的证明及相关计算(难点)
例 ： 如图, 四边形ABCD内接于⊙O, 对角线AC为 ⊙O的直径, 过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E, 例题图点F为CE的中点, 连接DB, DC, DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证: DF是⊙O的切线； (3)若AC = 2 5 DE, 求tan∠ABD的值.
的
1.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
性
2.圆心到一条直线的距离 等于圆的半径,
质 与
判定
则这条直线是圆的切线 3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
判
线是圆的切线
定 切 定义: 经过圆外一点作圆的切线, 这点和__切__点__之
线
间的线段长叫做点到圆的切线长
长 切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,
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满分技法 计算方法:在根据切线的性质求线段长度的问题 时: 一般是找到直角三角形, 根据直角三角形的三角 函数关系或利用勾股定理使问题得以解决, 有时也会 根据圆中相等的角, 得到相似三角形, 根据相似三角 形对应边成比例建立等式来解决.
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证明：如解图, 连接OD, ∵∠CDE=90°, F为CE的中点, ∴DF= CE=CF, ∴∠FDC=∠FCD. 又∵O1D=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠O2DC+∠FDC=∠OCD+∠FCD, ∴∠ODF=∠OCF, ∵EC⊥AC, ∴∠OCF=90°, ∴∠ODF=90°, ∵OD为⊙O的半径, ∴DF为⊙O切线；
圆复习课
与圆有关的位置关系
考点精讲
与 圆 有 关 的 位 置 关 系
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线的性质与判定
三角形的内切圆
点与圆的位置关系(设圆的半径为r, 平面内任意一 点到圆心的距离为d )
点在圆外 d > r, 如右图中点A
点在圆上 d = r, 如右图中点B
点在圆内 d < r, 如右图中点C
AD
b
b =2.
CD ab a
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满分技法 判定方法: ①利用定义判定, 与圆只有一个公共 点的直线是圆的切线; ②若已知直线与圆有公共点, 连接过这点的半径, 证明这条半径与直线垂直即可, 可简述为:有切点, 连圆心, 证垂直; ③若未知直线与 圆的交点, 过圆心作直线的垂线段, 证明垂线段的长 等于圆的半径.可简述为:无切点, 作垂直, 证相等.最 常考的为第②种方法;
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(1)【思维教练】要求∠CDE的度数, 需先求∠ADC的 度数, 根据直径所对的圆周角为直角, 即可求解.
解：∵对角线AC为⊙O的直径, ∴∠ADC=90°, ∴∠CDE=90°；
(2)【思维教练】要证DF是⊙O的切线, 应先连接切点与圆心, 得 到半径OD, 再设法求证OD⊥DF, 结合∠OCF=90°, 考虑证 ∠ODF=∠OCF, 即证∠ODF=∠ODC+∠CDF=∠OCD+∠DCF=∠OCF=90°, 根 据OD=OC, 可得∠ODC=∠OCD, 则再需证∠CDF=∠DCF, 在 Rt△CDE中, 根据斜边上的中线等于斜边的一半, 即可得证.
CD DE
∵AC= 2 5 DE, ∴令DE=a, AD=b,
∴AC= 2 5 a, CD= ab ,
在Rt△ACD中, 由勾股定理可得：
b2+( ab )2=( 2 5 a)2, 等式两边同时除以a2并整理后得到(
b
)2+
b
例题解图
-20=0,
解得：b =4或 b =-5(舍去).
aa
a
a
∴tan∠ABD=tan∠ACD=
直线与圆的位置关系(设圆的半径为r, 圆心到直线的距 离为d )
位置关系
gt; r
d =r
d <r
交点的个数
没有公 共点
有且只有一 个公共点
有两个 公共点
示意图
定义: 直线和圆有唯一公共点时, 这条直线叫做圆的切线,
切
这个点叫做切点
线 性质: 圆的切线垂直于过切点的半径
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解：由圆周角定理可得∠ABD=∠ACD, 由题中条件
可得∠ADC=∠CDE=90°, ∠CAD=∠ECD,
∴△ADC∽△CDE, ∴ AD DC , ∴CD2=AD·DE,
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(3)【思维教练】要求tan∠ABD的值, 需将其放在直 角三角形中求解, 由圆周角定理可得∠ACD=∠ABD, 可将求tan∠ABD的值转化为求tan∠ACD的值.即在 Rt△ACD中求DACD 的值, 由已知AC与DE的关系, 从而 考虑证明△ADC∽△CDE得出CD2=AD·DE, 通过设 出DE, AD的值, 表示出AC, CD的值, 在Rt△ACD中, 利用勾股定理即可得解.
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
三
内切圆的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三
角
角形的内切圆
形 三角形内心的定义: 内切圆的圆心是三角形三条
的
角平分线 的交点, 叫做三角
内
形的_内__心__
切 圆
性质：三角形的内心到三角形三边距离_相___等_
重难点突破
一
切线的证明及相关计算(难点)
例 ： 如图, 四边形ABCD内接于⊙O, 对角线AC为 ⊙O的直径, 过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E, 例题图点F为CE的中点, 连接DB, DC, DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证: DF是⊙O的切线； (3)若AC = 2 5 DE, 求tan∠ABD的值.
的
1.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
性
2.圆心到一条直线的距离 等于圆的半径,
质 与
判定
则这条直线是圆的切线 3.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
判
线是圆的切线
定 切 定义: 经过圆外一点作圆的切线, 这点和__切__点__之
线
间的线段长叫做点到圆的切线长
长 切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,
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满分技法 计算方法:在根据切线的性质求线段长度的问题 时: 一般是找到直角三角形, 根据直角三角形的三角 函数关系或利用勾股定理使问题得以解决, 有时也会 根据圆中相等的角, 得到相似三角形, 根据相似三角 形对应边成比例建立等式来解决.
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证明：如解图, 连接OD, ∵∠CDE=90°, F为CE的中点, ∴DF= CE=CF, ∴∠FDC=∠FCD. 又∵O1D=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠O2DC+∠FDC=∠OCD+∠FCD, ∴∠ODF=∠OCF, ∵EC⊥AC, ∴∠OCF=90°, ∴∠ODF=90°, ∵OD为⊙O的半径, ∴DF为⊙O切线；
圆复习课
与圆有关的位置关系
考点精讲
与 圆 有 关 的 位 置 关 系
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线的性质与判定
三角形的内切圆
点与圆的位置关系(设圆的半径为r, 平面内任意一 点到圆心的距离为d )
点在圆外 d > r, 如右图中点A
点在圆上 d = r, 如右图中点B
点在圆内 d < r, 如右图中点C
AD
b
b =2.
CD ab a
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满分技法 判定方法: ①利用定义判定, 与圆只有一个公共 点的直线是圆的切线; ②若已知直线与圆有公共点, 连接过这点的半径, 证明这条半径与直线垂直即可, 可简述为:有切点, 连圆心, 证垂直; ③若未知直线与 圆的交点, 过圆心作直线的垂线段, 证明垂线段的长 等于圆的半径.可简述为:无切点, 作垂直, 证相等.最 常考的为第②种方法;
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(1)【思维教练】要求∠CDE的度数, 需先求∠ADC的 度数, 根据直径所对的圆周角为直角, 即可求解.
解：∵对角线AC为⊙O的直径, ∴∠ADC=90°, ∴∠CDE=90°；
(2)【思维教练】要证DF是⊙O的切线, 应先连接切点与圆心, 得 到半径OD, 再设法求证OD⊥DF, 结合∠OCF=90°, 考虑证 ∠ODF=∠OCF, 即证∠ODF=∠ODC+∠CDF=∠OCD+∠DCF=∠OCF=90°, 根 据OD=OC, 可得∠ODC=∠OCD, 则再需证∠CDF=∠DCF, 在 Rt△CDE中, 根据斜边上的中线等于斜边的一半, 即可得证.
CD DE
∵AC= 2 5 DE, ∴令DE=a, AD=b,
∴AC= 2 5 a, CD= ab ,
在Rt△ACD中, 由勾股定理可得：
b2+( ab )2=( 2 5 a)2, 等式两边同时除以a2并整理后得到(
b
)2+
b
例题解图
-20=0,
解得：b =4或 b =-5(舍去).
aa
a
a
∴tan∠ABD=tan∠ACD=
直线与圆的位置关系(设圆的半径为r, 圆心到直线的距 离为d )
位置关系
gt; r
d =r
d <r
交点的个数
没有公 共点
有且只有一 个公共点
有两个 公共点
示意图
定义: 直线和圆有唯一公共点时, 这条直线叫做圆的切线,
切
这个点叫做切点
线 性质: 圆的切线垂直于过切点的半径
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
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解：由圆周角定理可得∠ABD=∠ACD, 由题中条件
可得∠ADC=∠CDE=90°, ∠CAD=∠ECD,
∴△ADC∽△CDE, ∴ AD DC , ∴CD2=AD·DE,