九年级数学上册专题十+有关切线的辅助线作法同步测试+新人教版

有关切线的辅助线作法

切线的性质 日泌却/ （教材P101习题24.2第5题）

如图1,以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB 是小圆的切线，点 P 为切点，求证:

AP = BP.

证明：连接 OP.： AB 是小圆的切线，OP± AB.在大圆中由垂径定理得 AP = BP. ⑴求证：AE 平分Z CAB;

（2）探求图中/ 1与Z C 的数量关系，并求当 AE = EC 时Z C 的值.

变形2答图

解：(1)证明：如图，连接 OE, •.•BC 是。O 的切线，且切点为 E, • •• OE±BC, ZOEC = 90° .又.. A ABC 是直角三角，形，Z B= 90° , Z OEC = Z B, . . OE // AB , . . Z BAE = Z OEA.L OA = OE, . •』1=Z OEA, •••Z BAE = Z 1, ••• AE 平分Z CAB.

(2)." ABC 是直角三角形，•••/ BAC+Z C= 90° ..• AE 平分 Z CAB, Z BAC = 2Z 1 , .. 2

1 . .

Z1 + Z C= 90 ，即Z 1 = 2(90 — Z C).当 AE = EC 时，Z 1 = Z C ，贝U 2Z C+Z C = 90 , •.•Z C= 30 ° .

图4

民形3 如图4, AB 是③O 的直径，D 为③O 上一点，AT 平分Z BAD 交。O 于点T,过点 T 作AD 的延长线于点C.

⑴求证：CT 为③。的切线；

（2）若。O 半径为2, CT= 扃求AD 的长.

解：（1）证明：连接OT

. OA = OT, OAT=Z OTA

图2

【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径， 辅助线作法.

匣形1 如图2,两个同心圆的半径分别为 则弦AB 的长为（C ） A . 3 cm B . 4 cm C. 6 cm D.

庭抽业 如图3,已知点O 为RtA ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的O O 与BC 相切于点E,与AC 相交于点D,连接AE.

所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的

4 cm 和

5 cm ，大圆的一条弦 AB 与小圆相切,

8 cm

又.AT 平分Z BAD, DAT=Z OAT

••• Z DAT =Z OTA, OT // AC

又••• CT± AT, . . CT J_ OT

•••CT为。O的切线.

（2）解：过O作OEL AD于E,贝U E为AD中点

又.. CT±AC, OE// CT

四边形OTCE为矩形

CT = V3, ••- OE= yJ3

又.• OA= 2

.••在Rt△ OAE 中，AE= [OA2—OE2=寸22-（的2 = 1

••• AD = 2AE= 2.

二切线的判定

iiUiDLJ ►（教材P101 习题24.2 第4 题）

如图5,直线AB经过③O上的点C,并且OA = OB, CA = CB.求证：直线AB是③O的切线. 证明：连接OC. OA= OB , CA = CB, OAB是等腰三角形， OC是底边AB上的中线.OCX AB.

••• AB是。O的切线.

图5

【思想方法】证明某直线为圆的切线时，

(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过

该点的半径，证明直线垂直于该半径，即

连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已

知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”.注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角.

同宾1，如图6,四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D , E是③。上一点，且/ AED = 45° .判断CD与OO的位置关系，并说明理由.

图6

解：CD与③O相切.理由如下：

连接DO, AED = 45° , / AOD = 90°二•四边形ABC D 是平行四边形，.二AB// CD, CDO = Z AOD = 90°又.• OD 是OO 的半径，CD 经过点D,

•••CD是③O的切线.

庭1固2 [2012温州]如图7, △ ABC中，/ ACB = 90° , D是边AB上的一点，且/ A= 2Z

DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的O O经过点D.

⑴求证：AB是OO的切线；

⑵若CD的弦心距为1 , BE= EO,求BD的长.

变形2答图

解：（1）证明：如图，连接OD, DOB = 2 / DCB,

又.•』A= 2Z DCB, .•』A=Z DOB.

又.•』A+Z B= 90° , Z DOB +Z B = 90° ,

•••Z BDO = 90° , ... OD ± AB, . . AB 是③。的切线.

(2)解法一：如图，过点O作OM ± CD于点M, 1 ■

-OD = OE = BE= 2BO , Z BDO = 90 , . . Z B = 30 , . . Z DOB = 60 , . . Z DCB = 30 , •••OC = 2OM = 2, ••• OD = 2, BO = 4,BD = 2成.

解法二：如图，过点O作OM ±CD于点M,连接DE, . OM ± CD, CM = DM .

又••• OC = OE, ..DE = 2OM = 2.

. • Rt △ BDO 中，OE = BE, . . DE = 1BO ,

•••BO = 4, ••• OD = OE= 2, ••• BD = 2g

D C A 图8

庭矗3 如图8,已知O O的半径为1 , DE是③O的直径，过D作③O的切线，C是AD的中点，AE交③O于B点，四边形BCOE是平行四边形.

⑴求AD的长；

(2)BC是③。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由.

解：(1)连接BD,贝UZ DBE = 90° .

..•四边形BCOE是平行四边形，