空间几何体 综合问题

组合体

【例1】 （2003京春）一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径

为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则

R

r

= ．

【例2】 已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设

四面体EFGH 的表面积为T ，则T

S

等于（ ） A ．19

B ．

49 C ．14

D ．13

【例3】 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆

锥，求余下来的几何体的表面积与体积．

【例4】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截

形体的表面积为（ ） A ．5

π4

B ．7

π8

C ．π

D ．7π4

【例5】 已知正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底

面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120． ⑴求正三棱柱的高； ⑵求正三棱柱的体积；

典例分析

板块四.综合问题

⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．

【例6】 （2008福建15）

的表面积是 ．

A

B

C

D

【例7】 正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积．

【例8】

半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为

，则球的表面积和体积的比为______．

【例9】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．

【例10】 （2007年天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条

棱的长分别为1,2,3则此球的表面积

__________

．

【例11】 （2008浙江卷14）如图，已知球O 的球面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，

AB BC ⊥

，DA AB BC ===O 点体积等于__________

D

C

B

A

【例12】 （2007全国文15）正四棱锥S ABCD -

点S 、A 、

B 、

C 、

D 都在同一球面上，则该球的体积为_______．

O'

O

H D

C

B

A

S

【例13】 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．（等边圆锥是指轴截面是等边三

角形的圆锥）

【例14】 设圆锥的底面半径为2，高为3，求：

⑴内接正方体的棱长； ⑵内切球的表面积．

【例15】 圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为

21

8

，求圆台的上，下底面半径12,r r （12r r <）．

【例16】 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为

r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高

是多少？

【例17】 （2009全国卷I ）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

12AB AC AA ===，120°BAC ∠=，则此球的表面积等于 ．

【例18】 （06四川卷文9）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同

一个大圆上，点P 在球面上，如果16

3

P ABCD V -=

，则球O 的表面积是（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π

O

D C

B

A

P

【例19】 正四面体棱长为a ，求其外接球和内切球的表面积．

【例20】 如图所示，正四面体ABCD

的外接球的体积为，求四面体的体积．

【例21】 （2008新课标海南宁夏文理）

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

8

，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．

【例22】 如图，在等腰梯形ABCD 中，22,60AB DC DAB ︒==∠=，E 为AB 的中点，

将ADE ∆ 与BEC ∆分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积（ ）

D E

C

B

A

A

B

C

D

【例23】 （2008重庆理9）如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球

心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）

A ．12

V

V >

B ．22

V V <

C ．12V V >

D ．12V V <

【例24】

(2005全国Ⅱ，理12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( ) A

B

．2+

C

．4+

D

综合问题

与三视图、直观图综合

【例1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）

A

．

B

． C

．24+

D

．24+