静态场特性及方程
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
静态场
因此，We ≠ (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn ) 系统总电能We ： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2
· ·
2·′
··
· a·1′
② 系统总电能We ： We = (W1 ＋ W2 ＋ …＋ Wn )/ 2
场强方向与平板面垂直，如图示。
方法一：
由总电能: We = —2ε∫ Ev2dv = —E2ε2∫dvvr=
由高斯定理:q =∮εE·ds = εEs
E—22εsd = —2dε—s q2
∵∫E·dl= u ∴E = u/d
∵q = εsE = εs u/d = cu
方法二：
= 2—εds u2
= —12 cu2 =—12 qu
整理得：边值条件： ∴φ1 -φ2 = 0
④ 将场强E分解到法向和切向，如图示：
E = En +Et= -( —φn en + —φt et)
则有：En = - —φn
又∵D1n－ D2n = ρs
∴ -e1—φ—n1 + e2 —φn—2 = ρs 整理得：边值条件： e2—φ—n2 －e1 —φ—n1 = ρs
3.1 静电场理论 即：dq/dt = 0 (v=0) ∴J=H=p=0
一、场
方程： ▽×E = 0 ▽·D= ρv
本构关系：D=εE
二边、值位条件：D1n－ D2n = ρs
E1t－ E2t = 0
∮E·dl= 0 ∮D·dS = Q
en ·(D1－ D2 ) = ρs
en ×(E1－ E2 ) = 0
写出微分形式的磁准静态场的麦克斯韦方程组。
写出微分形式的磁准静态场的麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组用来求解磁准静态场的极化问题，它是一组连续的作用于某一特定领域上变量的偏微分方程，可以用来求解物理量在该特定领域上的分布情况。
磁准静态场是一种有序的、自发而无他力生成的电场，主要表现为有序、同向的电压差分。
微分形式的麦克斯韦方程组：
1.守恒方程：
∇·E=ρ/ε , 其中ρ表示电介质中固体物质所形成的电荷密度，ε为介质中相对介电常数。
2.电场不变式：∇×E=0 , 表明E场是完备的无旋的向量场。
3.法曲式：∇×B=μ×J , 其中μ为真对气体中相对磁导率。
J为真对气体中因外
界作用产生回流电流所形成的回流电流密度。
4.磁通闭合不变式：∇·B=0, 表明B场是完备无旋向量场。
由以上几个偏微分方程，我们可以求解磁准静态场的物理量在指定区域内的分布情况。
可以看出，磁准静态场的微分形式的麦克斯韦方程是一组复杂的偏微分方程。
此外，我们还可以求解电场、磁场及其他相关物理量在空间上的分布情况，从而更好地理解磁准静态场中的物理本质。
1.2系统静态特性
MTBF A= MTBF+MTTR
系统静态特性
1.3 检测系统动态特性与性能指标
对理想的测试系统，输出与输入具有相同时间函数。
对于测量动态信号的测试系统，要求能够迅速而准确的测 出信号的大小并真实再现信号的波形变化，但是在实际系 统中，由于存在弹簧、阻尼、质量（惯性）等元件，只能 在一定频率范围内、对应一定动态误差条件下保持输出与 输入一致。
传感器的输出输入关系或多或少地存在非线性。在 不考虑迟滞、蠕变、不稳定性等因素的情况下，其静态 特性可用下列多项式代数方程表示： y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 式中：y—输出量； x—输入量； a0—零点输出； a1—理论灵敏度； a2、a3、 … 、 an—非线性项系数。
各项系数不同，决定了特性曲线的具体形式。
A
L yFS H yFS R yFS
yFS
L H R
c）用不确定度表示： 测量不确定度即在规定的条件下测试系统或装置测 量所得结果不确定的程度，是测量误差极限估计值的评 价。不确定度越小，测量结果可信度越高，即精度越高。
量程选择应使测量值尽可能接近仪表的满刻度值，并尽 量避免让测量仪表在小于1/3量程范围内工作。
传递函数：
H s K 1 2 2 s s 1 2
0
频率特性：
0
H
K 2 1 2 j 2 0 0
F
m
y(t)
dy d2y F 向下 F 弹 F 阻 F ky b m 2 dt dt
b
k
Da
111 110 101 100 011 010
Da
电磁场与电磁波第四章静态场分析
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
《电磁》第三章 静态场及其边值问题的解
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。
两点间电位差有定值
应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无
限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
例 3.1.1 求电偶极子的电位. 解 在球坐标系中
(P) E0 r
P
r
O
z E0
在球坐标系中，取极轴与 的E方0 向一致，
即
，E则0 有 ez E0
(P) E0 r ez r E0 E0r cos
在圆柱坐标系中，取 E0与x 轴方向一致，即 E0 exE0 ，而 r e ez z ，故 (P) E0 r ex E0(e ez z) E0 cos
(6) 求比值 C q U，即得出所求电容。
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
22
例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其 间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间
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电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
20
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
C q
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
静态模型静态特性指标
特点： 动态响应特性主要取决于时间常数；
小 阶跃响应迅速 截止频率高 惯性小 惯性环节
实例： 带阻尼弹簧测力传感器
运动方程： c dy ky bx k-弹簧刚度
dt
c-阻尼系数
时间常数： c / k
静态灵敏度系数： K b / k
21
检测系统的动态特性
c) 二阶环节：
微分方程：
定义: 检测系统输入输出曲线与理想直线的偏离程度
亦称非线性误差 ( non-linearity )
y
表达: 相对误差
eL
Lm a x yF.S.
100 %
Lmax 输出值与理想直线的最大偏差值
yF.S. 理论满量程输出值
理想直线： 一般不存在或很难获得准确结果
Δ
x
利用测量数据，通过计算获得
a0 y(t) b0x(t)
一阶系统：
例: 无质量单自由度振动系统、无源积分电路、
液位温度计
a1
dy(t) dt
a0
y(t)
b0
x(t
)
dy(t) y(t) Kx(t)
dt
12
检测系统的动态特性
二阶系统：
a2
d 2 y(t) dt2
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
b0x(t)
7
检测系统的静态特性
(3) 分辨力:
定义：能够检测出的被测量的最小变化量 表征测量系统的分辨能力 ( resolution )
说明： 1、分辨力 --- 是绝对数值，如 0.01mm，0.1g，10ms，…… 2、分辨率 --- 是相对数值： 能检测的最小被测量的变 换量相对于 满量程的百分 数，如： 0.1%, 0.02% 3、阀值 --- 在系统输入零点附近的分辨力
检测系统的静态和动态特性-精选文档
N N N xi yi xi yi i 1 i 1 a1 i 1 2 N N N xi2 xi i 1 i 1
M T B F A M T B FM T T R
（1-55）
检测系统使用方面的指标有：操作维修是否方便， 能否可靠安全运行以及抗干扰与防护能力的强弱、 重量、体积的大小、自动化程度的高低等。
3.7 检测系统的动态特性
当被测（输入量、激励）随时间变化时， 因系统总是存在着机械的、电气的和磁的各种 惯性，而使检测系统（仪器）不能实时无失真 的反映被测量值。这时的测量过程就称为动态 测量。测量系统的动态特性是指在动态测量时， 输出量与随时间变化的输入量之间的关系，而 研究动态特性时必须建立测量系统的动态数学 模型。
R
式中 R －－重复性误差； Ｚ——为置信系数, 对正态分布，当Z取2 时 , 置 信 概 率 为 0.95 即 95% ， Z 取 3 时 , 概 率 为 99.73% ；对测量点和样本数较少时，可按 t 分布 根据表 1.2 选取所需置信概率所对应的置信系数。
zmax 100% Y F.S
X e d t s xt
s t 0
s t Ys yt e d t （1-57） 0
满足上述初始条件，对（1-56）式两边取拉氏 变换，这样就得测量系统的传递函数为；
m m 1 Y s b s bs … b sb m m 1 1 0 H s n n 1 X s a s a s … a sa n n 1 1 0 （1-58）
2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)04静态电磁场求解：静态场的唯一性定理(共10张PPT
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
第四章 静态电磁场求解
主要内容：
静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
M
n
r r
2 唯一性定理
设在区域V内源已知，在区域的边界S上：
r
| 边界
M
或
r
n
|边界
M
已知（M为边界上
的变点）。则在区域V内存在唯一的解，
它在该区域内满足Poisson方程；在区域
的边界上满给定的边界条件。称为静态电
磁场的唯一性定理。
设
E1 r
A1
r r3
E2
r
A2
r r3
两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内
导体带电，电荷量为Q，
外导体球壳接地。
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
2r r
κ为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即
Fr r
③ 在介质的分界面上，位函数满足
1
r
| S
2
r
| S
第8章-静态场分析
A dS
A dl
B dS
l
A dl A1t A2t 0
(8-31) (8-32)
从而得到 A 的切向分量连续，即
A1t A2t
又因为 A 0 ，故有 V AdV S A dS 0 A1n A2 n 同理可得 (8-33)
B H ( m ) 0
2 m 0 由此可以推知
（8-36）
2. 标量磁位 m 的边界条件 在两种不同媒质的分界面上，由恒定磁场的磁场强度和磁
感应强度的边界条件 H 1 H 2 0 和 n B1 B2 0 ，可得到 标量位 m 的边界条件为 m1 m 2 （8-37）
A A
E dl dl dl d l
AB A B d E dl
B
B
3. 静电位的泊松方程和拉普拉斯方程 因为 又由于 E ，则有
E
2
（8-12）
这就是静电位 满足的标量泊松方程。 在无电荷分布的区域， 由于 0 ， 则电位 满足拉普拉 斯方程
H2 的大小为：
H2
H 2 sin 2 2 H 2 cos n 2 1 cos1 2
8.1.3 标量磁位 1. 标量磁位 m 及其微分方程 在没有传导电流的区域中，即 J 0 的区域中，有 H 0 。 因此在这个区域中可以把 H 用一个标量函数的梯 度来表示，即 H m （8-35） 式中 m 称为磁场的标量位，简称为标量磁位，式中的负号 是人为加的，目的是与静电场相对应。 在均匀介质中可得
静态电磁场
1.46×10 3.54×10 4.10×10 10
-2
注：
随温度变化，常温下变化忽略不计
2.2.3 焦耳定律
一、焦耳热
带电粒子定向运动时不断与媒质中的分子或 离子碰撞并将能量传给它们，使它们热运动加 剧，媒质温度升高，这就是电流的热效应，这 种由电能转化而来的热能称为焦耳热。
正电荷
负电荷
正电荷
S 静电场是有散场
四、环路定律 •积分形式
静电场没有旋涡源，因此：
•微分形式
L
E r dl 0
E r 0
静电场是无旋场
静电场的场方程总结
ρ r E r ε0
QS S E r ds ε0
空气(1大气压)： 3 10 V/m
6
6 V/m 12 10 油：
纸：14 106 V/m
玻璃： 10 ~ 25106 V/m
2.1.5
静电场的能量
一、静电场具有能量的表现：
不受其他外力的静止带电体，会在电 场力作用下开始运动，其动能来自于电 场力对其做的功。电场力做功的能量就 来自静电场中蓄积的能量。
二、能量来源
•任何形式的静电荷系统，都要经过从没有电荷到某 个最终电荷分布的建立过程（或者称充电过程）。 在此过程中，外加电源必须克服电场力做功。 • 如果充电过程足够缓慢，就没有能量辐射损耗，外 力所做的功全部转化为静电场能量。 • 当电荷分布稳定之后，其电场能量就等于外力所做 的总功，并储存在整个静电场占据的空间中。
•介质分类： r 值处处相等：均匀电介质 r 值与 E 无关：线性电介质 r 为标量：各向同性电介质， D 与 E 总是同向
第三章 静态场
对应物理量
r E
恒定电场
r E
r D
r J
ϕ ϕ
q I
ε C σ G
求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 例3.2.1 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为 、b， 长度为l 长度为 ，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。 解：直接用恒定电场的计算方法 设由内导体流向外导体的电流为I 设由内导体流向外导体的电流为 。
1. 基本方程
rr r r • 恒定电场的基本场矢量是电流密度J (r ) 和电场强度E(r )
•
r r J ⋅ dS = 0 积分形式： S 积分形式：∫ r r dl ∫ E ⋅ dl = 0 C r r • 线性各向同性导电媒质的本构关系 J = σE
恒定电场的基本方程为
r ∇⋅ J = 0 微分形式： 微分形式： r ∇× E = 0
ϕ1 −ϕ2 = lim ∫P
∆l →0
P 2
1
r r E ⋅ dl = 0
媒质1 媒质 ε 1 媒质2 ε 2 媒质
r r r r 由 en ⋅ (D − D2 ) = ρS 和 D = −ε∇ϕ 1
∂ϕ2 ∂ϕ1 ε2 −ε1 = ρS ∂n ∂n
ϕ1 =ϕ2
1 ϕ1 P ϕ2 ∆ l
P2
∂ϕ2 ∂ϕ1 ε2 = ε1 • 若介质分界面上无自由电荷，即ρS = 0 若介质分界面上无自由电荷， ∂n ∂n ∂ϕ • 导体表面上电位的边界条件： ϕ =常数， ε 导体表面上电位的边界条件： 常数， = −ρS ∂n
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
本节内容
3.2.1 恒定电场的基本方程 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 可知，导体中若存在恒定电流， 由J＝σE 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流 的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电 的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动， 荷分布是一种不随时间变化的恒定分布， 荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生 的电场称为恒定电场。 的电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别： 恒定电场与静电场的重要区别： （1）恒定电场可以存在于导体内部。 恒定电场可以存在于导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电 恒定电场中有电场能量的损耗, 流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。
检测系统静态特性方程与特性曲线
检测系统静态特性方程与特性曲线摘要: 一般检测系统的静态特性均可用一个统一（但具体系数各异）的代数方程，即静态特性方程来描述，表示检测系统对被测参量的输出与输入间的关系，即（1）式中，x 为输入量；y（x）为输出量；a0，a1，…，an为常系数项...一般检测系统的静态特性均可用一个统一（但具体系数各异）的代数方程，即静态特性方程来描述，表示检测系统对被测参量的输出与输入间的关系，即（1）式中，x 为输入量；y（x）为输出量；a0，a1，…，an 为常系数项。
如果方程（1）中除a0、a1 不为零外，其余各项常数均为零，这时式（1）就成为一个线性方程，对应的检测系统就是一个线性系统。
以输入量为横坐标，输出量为纵坐标，在直角平面坐标系中画出的静态特性曲线是一条直线。
如果方程（1）右边仅有一次项的系数a1 不为零而其余各项系数均为零，这时检测系统的静态特性曲线为过坐标原点的一条直线，对应的检测系统成为没有零位误差的理想测量系统。
但实际上检测系统难以做到除一次项系数外，二次以上高次项系数均绝对为零。
由此可见，方程（1）通常总是一个非线性方程，式中各常数项决定输出特性曲线的形状。
通常，检测系统的设计者和使用者都希望检测系统输出和输入能保持这种较理想的线性关系，因为线性特性不仅能使系统设计简化，而且也有利于提高检测系统的测量精度。
当a0≠0时，表示即使输入信号为0，检测系统也仍有输出，该输出值工程上通常称为零位误差或零点偏移。
对于相对固定的零位输出，可当作简单的系统误差进行处理。
检测系统的实际静态特性曲线是在静态标准条件下，采用更高精度等级（其测量精度误差小于被校检测系统允许误差的1／3）的标准设备，同时对同一输入量进行对比测量，重复多次（不少于3 次）进行全量程逐级地加载和卸载测量，全量程的逐级加载是指输入值从最小值逐渐等间隔地加大到满量程值：逐级卸载是指输入值从满量程值逐渐等间隔减小到最小值。
加载测量又称为正行程或进程，卸载测量称为反行程或回程。
静态场特性及方程
4.2 静态场的特性及方程1.静态场的基本概念2.静态场的泊松方程和拉普拉斯方程静态场：是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
0,0,0V D Bt t tρ∂∂∂===∂∂∂1. 静态场的基本概念静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场。
静电场：由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。
恒定电场：导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场。
c d d d 0d d d 0lSlV SVSH l J SE l D S VB S ρ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰c 0V H J E D B ρ∇⨯=∇⨯=∇⋅=∇⋅=静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
2.静态场的麦克斯韦方程组c d +)d d d d d d 0l Sl S V S VSDH l J S t BE l St D S VB S ρ∂⋅=⋅∂∂⋅=-⋅∂⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（一般形式：静态场方程：(1) 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程3. 泊松方程和拉普拉斯方程E φ=-∇VD E ερ∇⋅=∇⋅=()Vεφρ∇⋅-∇=2Vρφε∇=-20φ∇=静电场基本方程：d 0d d l V SVE l D S V ρ⋅=⋅=⎰⎰⎰VE D ρ∇⨯=∇⋅=D Eε=——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
——泊松方程——拉普拉斯方程V ρ=无源区域E φ=-∇c 0J E σ∇⋅=∇⋅=()0σφ∇⋅-∇=2φ∇=恒定电场基本方程：c d 0d 0l SE l J S ⋅=⋅=⎰⎰00c E J ∇⨯=∇⋅=c J Eσ=——恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场。
——拉普拉斯方程(2) 恒定电场的拉普拉斯方程(3) 恒定磁场的矢量泊松方程B A=∇⨯cB H J μμ∇⨯=∇⨯=cA J μ∇⨯∇⨯=2c()A A A J μ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=0A ∇⋅=洛仑兹规范：——矢量泊松方程2c A J μ∇=-cd d d 0lSSH l J SB S ⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰c 0H J B ∇⨯=∇⋅=B Hμ=恒定磁场基本方程：——恒定磁场是无散有旋场。
工程电磁场 倪光正第3章静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场
例 3.1 一接地系统
i
2
土壤 J线
1 a
接地体
等位面
[解] 15106 S/m钢
2102 S/m土 壤
1 895950
2 8 0
3.良导体与理想介质 ( 2 0 ) 分界面上的边界条件
1
+
+
+
+
J c1
+
+ E2t + 2 +
2 0 J1n J2n 0
U
E2n E2
E线
E2t
J c1n 0 J c2n 0
2I
R半球
接地器
I
1
a
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高压大厅网状接地电阻（深度1米）
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3.2.3 跨步电压
I
o
a 土壤
~r
E dl
AB
r
r
I
o
a 土壤
~r E dl
r
I dr
rb r 2
I
r
1 b
1 r
r b
bI r2
U 0 (安全电压)
AB r
r
bI
(3) 推广到其他学科，即可籍以用电测法求得非电 量的相似解答。
3.2.2 接地电阻
1.基本概念
接地——将电气设备的某一部分与大地在电气上相联结。 接地器——埋于地中的导体系统 ( 球、棒、网及其组合 ) 。 接地的工程意义：
• 保护性接地 • 工作接地
ⅰ 电子电路中 ⅱ 电力工程中
A
o
B
短路点
第3章 静态电磁场Ⅱ： 恒定电流的电场和磁场
微分形式的磁准静态场的麦克斯韦方程组
微分形式的磁准静态场的麦克斯韦方程组微观上，v ：带电粒子漂移速度。
单位时间内流入孤立系统边界的电荷量等于该孤立系统单位时间的电荷增量。
又称电流连续性方程。
（1）库仑定律满足线性叠加定理1.电场和电场强度2.静电场的特性①有散场。
散度源是电荷——静电场高斯定理；高斯定理积分形式：闭合面的电场通量等于此闭合面内包围的电荷量的和（常数因子）表明静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷，没有电荷的位置力线连续。
②无旋场③力和能量属性点电荷的：与距离平方反比，球面等电位。
无限均匀带电平面:垂直于带电平面，是均匀场，即与到平面的距离无关。
无限长均匀带电线：垂直电线指向（或远离）场点，与距离反比。
静电场在电荷之间，静磁场在电流元之间。
1.无散。
磁通连续性定理/磁场高斯定理2.有旋。
安培环路定理表述：磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的倍。
（真空）典型磁场——无限长圆柱线电流：圆柱电流内部，随半径增加，磁场线性增强；外部则反比。
•位移电流:电位移矢量的变化率，加上传导电流，构成全电流。
位移电流的引入解决了时变电磁场中电流的连续性问题。
•安培定律（磁场对其中的电流的作用力）和毕奥-萨法尔定律（两电流回路之间的作用力）•法拉第电磁感应定律——动磁生电感应电流激发的磁场总是阻抗原磁通量的改变。
（楞次定律）1）电场高斯定律（直接推广）：电场（强度）的散度等于该处电荷体密度/电场的通量等于包围的电荷数（忽略常数因子）2）磁场高斯定律（直接推广）：磁场的散度/通量等于0，无散场3）电磁感应定律（直接推广）：感生电场的环量等于穿过这个环路包围面的磁通量的变化率（负值）4）安培环路定理。
增加了一个位移电流。
全电流等于磁场强度的旋度•电场和磁场的统一➪电磁场：电场与磁场可以脱离最初产生它们的电荷和电流而相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复。
电磁场的基本运动形态是波动——电磁波。
电磁场对带电粒子的作用——洛伦兹力，是电场力与磁场力的和qE+qv×B。
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§方・d7二L*•丞
£.dS = O
B=VxA Vx^ = #Vx^ = #"c -- VxVx 麟
VxH = Jc V B = piH
・ --恒定磁R场=是无散有旋场。
O
VxWx^ = V(v3) —伊冒=Wc 一 ？2^ = —«"c——矢量泊松方程 L 洛仑兹规范：▽•/ = ()
矢量泊松方程可以分解为三个标量泊松方程:
小结:
1. 静态场的基本概念 2. 静态场的泊松方程和拉普拉斯方程
无源区 有源区
静电场 vF=o vp=-堕
恒定电场 vV=o
恒定磁场v -2冒=0 V2A = -JUJC
恒定磁场：由恒定电流或永久磁体产生的磁场。
2.静态场的麦克斯韦方程组
般形式:
=3 dD
+ dt
)・dS
E・d，= -[
is
静态场方程： 抄.d，
= L"c・d£§E・d，= O
玄ad"]"对 久 B • dS
=0
"B • dS = 0
静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
VxH = Jc
VxE=0
(2)恒定电场的拉普拉斯方程
恒定电场基本方程: 护.d，= 0
£'c・dS = 0
VxE = 0 v
・Z=o
二=危
恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场。
昌—
N • Jc= oV • E = 0
。 oV • （—V
）=0
a v=0 ——拉普拉斯方程
(3)恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程:
♦拉普拉斯算子 V2
直角坐标系： V8 =气+气+气 dx dy dz
圆柱坐标系：V2© =号（号）+丄鶴+ * r or or r g dz
^ 距 球坐标系：V2 R=2弗-1 — （R冬）+ ——-（sin。
）+ 2.2 2
。 zf dR R sin dO dO R sin2 0 g
櫟 1 合
4.2静态场的特性及方程 1. 静态场的基本概念 2. 静态场的泊松方程和拉普拉斯方程
1.静态场的基=本概念
静态场：是指电磁场中的源量和场量都不随时间 发生变化的场。
岑= 岑 °,
=。唔=0
静态场包括：静电场、恒定电场及恒定磁场。 静电场：由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷
产生的电场。 恒定电场：导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
N ・B =
Pv V-B = O
3.泊松方程和拉普拉斯方程
(1)静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
静电场基本方程：
争E・d，= O
。 V x E =
vB = Pv
D = eE
静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
V-D = s\/-E = pv
时PL
无源区域
° pv =
v F=_ Pv
8
VF = °
泊松方程 拉普拉斯方程
▽2冒=一以
无源
区域 人=0
V
▽2 2 = 0
分解V 2 A
]V2 Ax =
-y =_卩右
y2 A,=M
矢量拉普拉斯方程
标量泊松方程
无源区域：丿C = °
VxH = O
引入标量磁位徧，令 序=-Wm
・ V E = O 一 ▽.序=0—V试=0--标量拉普拉斯方程
注意：标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。