股票价格的马氏链预测模型_孟银凤

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Ｎ
数学理论与应用
ｐ ( Ｎ +1)=ｐ 0516, 0. 1650, 0 . 3266, 0. 2819 , 0. 1061, 0. 0688] , 即 0Ｐ =[ 0. Ｐ( Ｓ 2. 2457, 3. 2457] ) =0. 0516, Ｐ( Ｓ 3. 2457, 3. 7457] ) =0. 1650, Ｎ+ 1 ∈ ( Ｎ+ 1 ∈ ( Ｐ( Ｓ 3. 7457, 4. 2457] ) =0. 3266, Ｐ( Ｓ 4. 2457, 4. 7457] ) =0. 2819, Ｎ+ 1 ∈ ( Ｎ+ 1 ∈ ( Ｐ( Ｓ 4. 7457, 5. 2457] ) =0. 1061, Ｐ ( Ｓ 5. 2457, 8. 2457 ] )= 0. 0688。 Ｎ+ 1 ∈ ( Ｎ+ 1 ∈ (
摘 要 本文探讨了 马尔科夫链的预测技术 , 利 用马氏链 预测方 法分析 了申华 控股 (600653) 价格 的变动 情 况 , 对其价格进行短期预测和长期涨跌趋势 、运动周期的预测 , 研究结果与实际情况 比较一致 。 关键词 股票价格 马氏链 预测模型
Ｓ ｔ ｏ ｃ ｋＰ ｒ ｉ ｃ ｅＰ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎＭｏ ｄ ｅ ｌ ｂ ｙＭａ ｒ ｋ ｏ ｖＣ ｈ ａ ｉ ｎ
1 马氏链预测模型
1. 1 马氏链的基本概念 在考虑随机因素影响的动态系统中 , 经常碰到这种情况 : 系统在每个时期所处的状态都是 随机的 。 从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移 , 并且下一时期的状态只取 决于这个时期的状态和转移概率 , 与以前各时期状态无关 。 这种情况称为无后效性或马尔科 夫性 , 通俗的说就是 : 已知现在 , 将来与历史无关 。 具有无后效性的时间 、 状态均为离散的随机 转移过程通常用马氏链模型描述 , 参见文献 [ 1 6] 。 马氏链模型在经济 、 社会 、生态 、遗传等多种领域中有着广泛的应用 。 1. 2 股票价格的马氏链预测模型 若把每天的股票价格 Ｓ ｔ看成是一随机时间序列 , 首先通过作图识别 Ｓ ｔ是否具有某种趋势 性和随机性特征 , 再通过 Ｍ ａ ｔ Ｌ ａ ｂ画出价格时间图 , 然后通过多项式 ( 或曲线 ) 回归找出拟合曲 线Ｒ 为Ｓ 随时间变化的基本变化趋势 , 它是 ｔ 的确定型函数 , Ｓ 为轴线 ｔ, 此 Ｒ ｔ ｔ ｔ的值随时间以 Ｒ ｔ
服从自由度为 ( ｎ -1) 的 χ分布 。 选定置信度 α , 查表得 χ ( ｎ -1) ) , 如果 χ >χ ( ｎα( α( 1) ) , 则可认为 Ｑ 符合马氏性 , 否则认为不是马尔科夫链 。 如果验证了 Ｑ 为马氏链 , 则可建立 ｔ ｔ 马氏链预测模型 : Ｓ Ｑ Ｒ 。 ｔ = ｔ + ｔ ( 4)
＊ 收稿日期 : 2010年 6月 30 日
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数学理论与应用
上下波动 。 现令 Ｑ Ｓ Ｒ ( ｔ =1, 2, 3, …Ｎ) 。 ｔ = ｔ ｔ ( 1) 那么 Ｑ ｔ可看作是由许多随机因素影响形成的 , 对 Ｑ ｔ所能取到的最小值 ａ 0 和最大值 ａ ｎ所限定 的区间划分成若干小区间 : [ａ , [ａ , …[ ａ , 再记 Ｉ , ｋ =1, 2, … , 0 ,ａ 1) 1, ａ 2) ｎ1, ａ ｎ) ｋ =[ ａ ｋ 1 ,ａ ｋ) ｎ 。 则可视 Ｑ ( ｔ=1, 2, …, Ｎ) 为一个以 Ｉ = Ｉ ｋ =1, 2, …, ｎ ) 为状态空间的随机时间序列 ( 或 ｔ ｋ( 称随机过程 ) 。 接下来再利用 χ统计量来检验 Ｑ 用ｎ ｔ是否具有马氏性 , 具体步骤如下 : ｉ ｊ表示 Ｑ1 , Ｑ 经过一步转移到 Ｉ 的频数 , 并将频数矩阵 ( ｎ ) 列之和除以各行 2 , …, Ｑ Ｎ 从状态 Ｉ ｉ ｊ ｉ ｊ ｎ × ｎ的第 ｊ 各列的总和所得到的值记为 ｐ ,即 0ｊ
0. 6809 0. 0638 0. 0984 0. 9016
∑ｎ
2
ｉ ｊ
ｐ ｉ ｊ ｌ ｏ ｇ ≈ 939。其中自由度为 25, 选取置信度为 0. 01, 查分布表得 ｐ ｏ ｊ
χ ( 25)= 4. 43, χ >χ 25) , 所以 Ｑ ｔ= 1, 2, … , Ｎ) 符合马氏性 , 从而是一个马尔科夫 0. 01 ( ｔ( 链 , 其状态空间是 Ｉ={ 1, 2, …, 6} 。 2. 2 马氏链 { Ｑ , ｔ ∈ Ｎ} 的概率转移矩阵 ｔ 记ｎ 出现的次数 , ｎ 转移到状态 ｊ 的次数 , 那么 , 从状态 ｉ 转移到状态 ｉ为状态 ｉ ｉ ｊ为从状态 ｉ ｎ ｉ ｊ ｊ 的转移概率 ｐ , 其中 ｉ ,ｊ ∈Ｉ , 其一步转移概率矩阵同 ( 5) 。 ｉ ｊ = ｎ ｉ 设( 4) 式的 Ｑ ( Ｑ ｐ 1, 2 , ｔ是时齐马氏链且初始时间 ｔ= 0, 概率分布为 Ｐ 0 ∈ Ｉ ｋ)= 0 , ｋ ={ … , 6} , 其一步转移概率矩阵为 Ｐ =( ｐ ｉ ｊ) 6× 6。 2. 3 马氏链对股票的短期预测 假如由 Ｒ ｔ= 1, 2, …, Ｎ) , 得到了第 Ｎ +1 时刻的预测值 Ｒ ｔ( Ｎ+ 1 , 则可得到 Ｓ Ｎ+ 1 的预测值 Ｓ Ｎ+ 1 的概率分布和均值分别为 :
2
2 实例分析
作为一个实例 , 以下将采用该方法对申华控股 ( 600653) 2005 年 9 月 8 日到 2009 年 4 月 15 日 ( 900 个交易日 ) 的历史行情相关数据进行分析 , 预测该股的趋势 。 设Ｓ 取不同阶次多项式进行拟 ｔ, ｔ= 1, … , 900 是股票价格的时间序列 , 利用多项式拟合 ( 合比较 ) 计算出 Ｓ ｔ随时间变化的基本变化趋势为 : -0. 0000 ｘ +0. 0000 ｘ -0. 0000ｘ +0. 0000 ｘ -0 . 0003 ｘ +0. 0195 ｘ +1. 3478 ( 注: 比较后发现 6 次多项式比较合适 , 多次项系数近似为 0, 但是随着自变量的增大 , 结果不 能忽略 。 令 Ｑ Ｓ Ｒ 6340 , 最小值为 1. 8895, 并把 Ｑ ｔ = ｔｔ, 其最大值为 3. ｔ的值域划分为 6 个 区间 ( 取 ｍ0 =2. 0, ｍ 4. 0, Ｎ = 900 ｄ ) , Ｉ 2, -1] , Ｉ 1 , -0. 5] , Ｉ -0. 5, ｎ = 1 =( 2 =( 3 =( 0] , Ｉ 0. 0. 5] , Ｉ 0. 5, 1] , Ｉ 1 , 4. 0] 。 4 =( 5 =( 6 =( 那么 Ｑ =Ｉ ｋ= 1, 2, …, 6) 为状态空间的随机序列 。 ｔ, 是一个以 Ｉ ｋ( 下面 , 首先验证随机过程 Ｑ ｔ的马氏性 , 然后再利用预测模型预测分析 。 2. 1 { Ｑ 的马氏性 ｔ} 按照上面介绍的方法检验 Ｑ ｔ =1, 2 , …, Ｎ) 得到频数矩 ｔ是否具有马氏性 。 首先利用 Ｑ ｔ( 阵如下 :
6
平稳分布 π ｐ , ｊ ∈Ｉ , 可解出 Ｑ ∈Ｉ 。 ｊ =∑ π ｉ ｉ ｊ ｔ的平稳分布 π ｉ, ｉ
ｉ=来自百度文库1
故可得知 , 当 Ｎ取一个较大值时 , Ｓ Ｒ ａ ａ Ｎ+ 1 的值落在区间 ( Ｎ+ 1 + ｋ1, Ｒ Ｎ+ 1 + ｋ] 的概率为 Ｐ( Ｓ Ｒ ａ ａ ∈Ｉ 。 Ｎ+ 1 ∈ ( Ｎ+ 1 + ｋ1, Ｒ Ｎ+ 1 + ｋ] )≈ π ｋ, ｋ 且Ｓ Ｎ+ 1 的平均值为 :
6 5 4 3 2
股票价格的马氏链预 测模型
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46 2 ( ｎ ) ｉ ｊ 6× 6 = 0 0 0 0
6
2 136 16 0 0 0
0 16 248 35 2 0
0 0 39 181 22 0
0 0 2 21 64 6
0 0 0 0 6 55 。
记ｐ 0 ｊ =
∑ｎ
ｉ =1 6 6 ｉ =1 ｊ = 1
ｋ=1
转移概率矩阵同 ( 5) , 当 ｔ= Ｎ +1 = 901 时 , 多项式的预测值为Ｒ 2457; 若设 Ｐ( Ｑ Ｎ+ 1 =4 . 0 ∈ Ｉ ｐ 0) = ｋ)= ｋ( 1 ,( ｋ =1 , 2, … , 6) ,ｐ ( 0)=( ｐ 0) ,ｐ 0) ,ｐ 0) ,ｐ 0) ,ｐ 0) ,ｐ 0) ) , 则 1( 2( 3( 4( 5( 6( 6
ｉ ｊ
, ｐ ｉ ｊ =
ｉ ｊ
ｎ ｉ ｊ
6
,则
ｉ ｊ
∑ ∑ｎ
∑ｎ
ｊ = 1
( ｐ ) 0. 0534, 0. 1713, 0 . 3393, 0. 2693 , 0. 0968, 0. 0679) ; 0 ｊ 1× 6 =( 0. 9583 0. 0130 ( ｐ ｉ ｊ) 6× 6 = 0 0 0 0 得统计量 χ =2 ∑
2 2 0. 01 6 ｉ =1 ｊ =1 2 6
0. 0417 0. 8831 0. 0525 0 0 0
0 0. 1039
0 0
0 0 0. 0065 0. 0886
0 0 0 0 ; ( 5)
0. 8131 0 . 1279 0. 1477 0 . 7637 0. 0213 0 . 2340 0 0
6
均值为 ＥＳ Ｒ ａ ａ Ｐ Ｎ +1) = 4. 9435。 Ｎ+ 1 = Ｎ+ 1 +∑ ( ｋ ｋ1) ｋ(
ｋ=1
对申华控股在 2009. 4. 16 2009. 5. 16 进行的预测与实际情况相比 , 结果在总体上能反映 该股价格趋势 。 2. 4 马氏链长期预测 2. 4. 1 股票处于稳定状态概率下的趋势 进一步设转移概率矩阵 ( ｐ ) 不可约 ( 当 Ｎ较大时很容易满足 ) , 则可得到下面结论 : 存在 ｉ ｊ
ｎ ｉ =1 ｎ ｎ 2
ｐ 0ｊ =
∑ｎ
ｉ ｊ
, ｐ ｉ ｊ =
ｉ =1 ｊ = 1
ｉ ｊ ∑ ∑ｎ
, ｎ ｊ ∑ ｉ
ｎ ｊ = 1
ｎ ｉ ｊ
( 2)
则 统计量 ( 当ｎ 较大时 )
ｎ ｎ
χ =2 ∑
2 2 2
ｉ =1 ｊ = 1
∑ｎ
ｉ ｊ
ｐ ｉ ｊ ｌ ｏ ｇ , ｐ 0 ｊ
2 2 2 2
( 3)
Ｍ ｅ ｎ ｇＹ ｉ ｎ ｆ ｅ ｎ ｇ Ｌ ｉ Ｒ ｏ ｎ ｇ ｈ ｕ ａ
( Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ , Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ , Ｔ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ , 030006) Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ , ｗ ｅｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅｔ ｈ ｅＭａ ｒ ｋ ｏ ｖｃ ｈ ａ ｉ ｎｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｍｏ ｄ ｅ ｌ , ａ ｎ ｄａ ｐ ｐ ｌ ｙＭａ ｒ ｋ ｏ ｖｃ ｈ ａ ｉ ｎｔ ｏａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅｔ ｈ ｅ Ｓ ｈ ｅ ｎ ｈ ｕ ａＨ ｏ ｌ ｄ ｉ ｎ ｇ ｓ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ , ａ ｎ ｄｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｔ ｓｓ ｈ ｏ ｒ ｔ ｔ ｅ ｒ ｍｐ ｒ ｉ ｃ ｅ ,ｌ ｏ ｎ ｇｔ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｙａ ｎ ｄｍ ｏ ｖ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ .Ｔ ｈ ｅｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｈ ｏ ｗ ｓｔ ｈ ｅｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄｒ ｅ ｆ ｌ ｅ ｃ ｔ ｓｔ ｈ ｅｓ ｔ ｏ ｃ ｋｗ ｅ ｌ ｌ . Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｋｐ ｒ ｉ ｃ ｅ Ｍａ ｒ ｋ ｏ ｖｃ ｈ ａ ｉ ｎ Ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｏ ｄ ｅ ｌ
6
Ｐ( Ｓ Ｒ ａ ａ )= Ｐ( Ｑ ｋ =1, 2, …, 6) , Ｎ+ 1 ∈ ( Ｎ+ 1 + ｋ 1 ,Ｒ Ｎ+ 1 + ｋ) Ｎ+ 1 ∈ Ｉ ｋ)= ∑ｐ 0Ｐ ｉ ｋ , (
ｉ =1 6
( Ｎ)
ＥＳ Ｒ ａ ａ Ｐ Ｎ +1) 。 Ｎ+ 1 = Ｎ+ 1 +∑ ( ｋ ｋ 1) ｋ(
第 30卷 第 3期 2010年 9月
数学理论与应用 Ｍ Ａ Ｔ Ｈ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ Ｃ Ａ ＬＴ Ｈ Ｅ Ｏ Ｒ ＹＡ Ｎ ＤＡ Ｐ Ｐ Ｌ Ｉ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ . 30 Ｎ ｏ . 3 Ｓ ｅ ｐ .2010
股票价格的马氏链预测模型 ＊
孟银凤 李荣华 ( 山西大学数学科学学院 , 太原 , 030006)