第二章 线性空间与线性变换

( j 1, 2, 3)
x13 x23 [ 1 , 2 , 3 ] X x33
即求矩阵方程 AX B 的解 X A1 B ，也就是
1 , 2 , 3 在 1 ,2 ,3 下的坐标表示矩阵。
解：
令 A [1 ,2 ,3 ], B [ 1 , 2 , 3 ]
第二章 线性空间与线性变换
本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的 来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系 中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。 “用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化， 并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显 现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。 “抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维 中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
即
3 6 0 [1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] 1 1 2 [ 1 , 2 , 3 ] X 0 0 1
所以
1 3 1 ( 1) 2 0 3 ,
2 ( 6) 1 1 2 0 3 ,
为原方程组的一个基础解系。
维度之思
1、汽车与火车？ 2、《三体》维度攻击？二向箔? 3、《弯曲的旅行》《平行宇宙》》《四 维旅行》《时空的密码》„ 4、思维的线性化、平面化„ 5、„„
几点说明
（1）若把向量空间 V 看作无穷个向量组成的向量
组，那么 V 的基就是向量组的最大无关组, V 的维 数就是向量组的秩. （2）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间 V 的一
个基，则
V span{1 ,2 ,
, r }
（3）个数与向量空间 V 的维数相等的线性无关组都
是 V 的基.
（4）不存在有限个向量的基的空间称为无限维的。 《线性代数》只研究有限维向量空间，无限维空间在
《泛函分析》等课程中研究。
的 0 维子空间是 { (0,0,0)T } ，1 维子空间 是经过原点的任意直线，2 维子空间是经过原点的任 （ 5）
r23 ( 3) r21 ( 3)
r3 ( 1 4)
r31 ( 2) r32 (3)
1 0 2 3 6 2 0 1 3 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 3 6 0 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 1 0
因为 | A | 0 ，所以 A 可逆，因此 1 ,2 ,3 线性无 关， 且该向量组中向量个数等于向量维数，所以它
是 R 3 的一个基。
因为 A 可逆，因此 AX B 有唯一解。
[AБайду номын сангаас
1 B] 2 1
3 1 0
7 1 2
0 5 3
3 11 6
1 3 2
¡
3
意平面，3 维子空间是它自身。
例10
已知两个3维向量组
1 3 7 1 2 , 2 1 , 3 1 1 0 2
和
证明 1 ,2 ,3 是 R 3 的基,并求 1 , 2 , 3 在此基 下的坐标。
由行最简矩阵，得同解方程组
x1 x2

2 x 3 x4 2 x5 x 3 3 x4 x5
2C1 C 2 2C 3 C1 3C 2 C 3 C1 C2 C3
令 x3 C1 , 得通解 x1 x 2 x4 C 2 , x C , x3 3 5
V 中存在一组向量
11 + +rr
则向量组 1 ,
1 , ,r
,r 就称为 V 的一个基，系数 就称为向量 在此基下的坐标，基中
的向量个数 r 称为向量空间 V 的维数，记为
dim V r .
显然，按定义9， 1 , 2 , 3 是解空间 S 的一个基， S 的维数 dim S 3 ，并且我们称 1 , 2 , 3
空间(称为相应的齐次线性方程组的解空间)，而
例 8
R 3 不是 R 4 的子空间。
R { x [ x1 , x2 , x3 , 0] x1 , x2 , x3 R}
4 T
4
才是 R 4 的一个子空间。 我们生活在三维物理空间里，所以“进不了”其他空 间，除非“变形”。关于二维空间的“方方先生”及
显然，选好“三个代表” 解空间）：
1 , 2 , 3
后，通解即为该
向量组的一切线性组合的集合 （称为该线性方程组的
S { x x C11 C22 C33 , C1、C2、C3 R }
显然集合 S 对向量的线性运算(即加法和数乘)封闭，即
（1 ） （2 ）
n1 S C n1 S.
其后裔如何在“圆球公”或“璐璐蹦”的帮助下理解
高维空间，请看艾勃特1884年出版的《平面国》 （2007年被拍成电影《二维世界》）以及斯图尔特 2001年出版的续书《二维国内外》。
生成解空间 S 的三个代表即向量组 1 , 2 , 3 是否唯一 呢？
定义9
如果给定的向量空间
1, , r ，满足： （1） , , 线性无关； 1 r （2）V 中任意向量 都能由 1 , ,r 线性表 示，即存在数 1 , ,r （这组数是唯一的），使
Z= 1499/1662 -39/2305 736/2633 -96/733 549/725 1966/3479 -477/1187 -728/3855 393/947 -1731/19513 -488/1067 376/2323 278/58473 -682/1601 1628/2561 Z= -2 1 1 0 0 -1 -3 0 1 0 2 1 0 0 1
r23 ( )
1 2
r24 ( 1)
1 1 0 2 0 0 0 0
1 0 0 0
1 4 3 2 6 2 0 0 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0
r2 ( )
1 2
r21 ( 1)
0 2 1 1 0 0 0 0
数形结合是数学自身的需要和数学统一性的体现，
也是处理工程问题的有力手段。
§1、从解空间到向量空间
一、从解方程组出发
例 1
解齐次线性方程组
x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0, (1) x x 3 x 2 x x 0, (2) 1 2 3 4 5 2 x x 3 x 5 x 5 x 0, (3) 1 2 3 4 5 3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0. (4)
x C11 C2 2 C3 3 .
三个代表！！
% exm201.m
A=[1 1 1 4 -3; 1 -1 3 -2 -1;2 1 3 5 -5;3 1 5 6 -7];
%方法一：调用ATLAST程序包 Z=nulbasis(A); %方法二：调用内置函数null Z=null(A) %注意两种调用方式的区别 Z=null(A,'r')
0 3 1 1 5 , 2 11 , 3 3 3 6 2
分析 1 ,2 ,3 是 R 3 的基，说明 1 ,2 ,3 线性无
关，即以它们为列向量的矩阵 A [1 , 2 , 3 ]
找一组数 xi j ,1 i , j 3 ，使得
可逆。
至于求 1 , 2 , 3 在 1 ,2 ,3 下的坐标，也就是寻
j x1 j1 x2 j2 x3 j3
x11 即 [ 1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] x21 x31 x12 x22 x32
r12 ( 2) r13 (1)
1 3 7 0 3 1 0 5 15 5 5 5 0 3 5 3 3 1
1 0 2 3 6 2 0 1 3 1 1 1 0 4 0 0 4 0
r2 ( 1 5)
s s 1 , 2 , , s R
x 1 1 2 2
定义7
设有向量空间 V1 及 V2 。如果 V V 1 2
则称 V1 是 V2 的子空间。 例如例4中的投影空间 T1 就是 R 3 的一个子空间。 再如前述的集合 S 即 span(1 , 2 ) 且是 R 5 的一个子空间。 就是一个向量
x 4 x5
即通解为
x1 2 1 2 x 1 3 1 2 x 3 C1 1 C 2 0 C 3 0 . x4 0 1 0 0 0 1 x5
解：
1 1 1 1 A 2 1 3 1
1 4 3 2 3 5 5 6
3 1 5 7
r12 ( 1)
r13 ( 2) r14 ( 3)
1 1 1 4 3 0 2 2 6 2 0 1 1 3 1 0 2 2 6 2
-1 0 1 0
0 2 1
显然， B 0 所以 1 , 2 , 3 线性无关，因 此 1 , 2 , 3 也是 R 3 的基。这说明基不唯一。 而且 1 , 2 , 3 在 1 , 2 , 3 下的坐标表示矩阵为
集合 T1 { x x [ x1 , x2 , 0] , x1 , x2 R} T 3 x [ x , x , x ] 是一个向量空间。它是 R 中的向量 1 2 3
例 4
T
在 ox1 x2 平面上的投影空间。
例 5 集合 V { x x [ x1 , x2 ,1]T , x1 , x2 R}
不是一个向量空间。因为加法不封闭。
n 、 R 例 6 已知 ，则集合
span( , ) x , R
是由向量 、 （称为生成元）所生成的向量空间。
一般地，向量组 1 , , s 所生成的向量空间是
span1 , 2 ,
, s
3 0 1 2 2 1 3 .
% exm202.m
a1=[1 2 -1 ]';a2=[3 1 0 ]';a3=[-7 1 2 ]'; b1=[0 5 -3 ]'; b2=[-3 -11 6 ]';b3=[-1 3 2 ]'; A=[a1 a2 a3 ];B=[b1 b2 b3]; if(rank(A)==size(A)) format rat %用近似有理数表示实数 [UC,ip]=rref([A B]) UC(:,ip)=[ ]; %注意这个技巧 P=U %矩阵P就是A到B的过渡矩阵， P= %并且P=A^(-1)*B 3 -6 end
n1 S, n2 S n1 n2 S.
二、向量空间
形如 S 的集合显然大量存在，因此有必要研究它们的 公共性质。这样我们抽象出向量空间的概念。
定义2 如果 n 维向量的非空集合 V 对于加法及数 乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。 例 3 3维向量的全体 R 3 显然是一个向量空间。一 般地， n 维向量的全体 R n 是一个向量空间。