第二章线性空间与线性变换

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线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。

本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。

一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。

具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。

即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。

2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。

3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。

4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。

线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。

零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。

线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。

二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。

具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。

2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。

线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。

零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。

恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。

可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。

三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。

线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。

线性空间与线性变换

个实际得 R元n 素对应起来,从而将抽象具体化进行
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们得维数相同。同构保持线性关系不变。应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为线性空间？
1、子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定得矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列向量;

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。

2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。

3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。

4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。

5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。

6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。

7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。

8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。

9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。

线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。

它们满足上述定义中的所有条件。

二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。

2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。

3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。

线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。

它们保持向量空间的线性结构和线性关系。

三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。

给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。

《线性代数》教案

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。

2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。

3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。

二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。

2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。

2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。

3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。

五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。

2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。

3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。

4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。

矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

线性空间与线性变换

映射：设M 和M'是两个非空集合，如果对M 中的每个元素，按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T 是从M 到M'中的一个映射，记作T ：M →M'称M 为T 的定义域。

如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应，则称β是α在映射T 下的象，而称α为β的一个原象，记作T （α）=β（α∈M ）集合M 到自身的映射称为M 上的变换。

设T 和S 都是集合M 到M'的映射。

如果对任一元素α∈M 都有T （α）=S （α），则称T 和S 相等，记作T=S如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M 使T （α）=β，则称T 是一个满射。

如果对于任意α1，α2∈M ，当α1≠α2时，都有T （α1）≠T （α2），则称T 是单射。

如果映射T 既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域（或象集合），记作R （T ），即R(T)={ T （α）︱α∈M}显然R(T)⊂ M'，一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R （T ）= M'；而T 是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M ，由T （α1）= T （α2）可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合，定义E （α）=α（α∈M ）则E 是M 上的变换，称为M 的单位映射（或恒等映射）,记作M I 。

E 是一一映射。

对于映射，定义它的乘积如下（ST ）（α）﹦S （T （α））（α∈M ）所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。

映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。

由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。

例1 设M=K n ×n .定义 T 1（A ）=det A （A ∈K ）则T 是K n ×n 到K 的一个映射，它是满射，但不是单射。

01.线性空间与线性变换

线性空间的维数就是基中所含基向量个数
称线性空间Vn 的一个基 x1, x2, , xn 为Vn的一个坐标系，设向量 x V n ，在该基下的线性
表示为 x 1x1 2 x2 n xn
则称1, 2 ,
分量，记为
,n1是,2x,在该,坐n T标系下的坐标或
定理:设 x1, x2, , xn是V n 的一个基，x V n ，则x可以唯一的表示为 x1, x2, , xn 的线性组合
过渡矩阵的性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 x1, x2 , , xn; y1, y2, , yn 为V的两组基,
且由基 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的过渡矩阵为C，
即 ( y1, y2 , , yn ) ( x1, x2, , xn )C
2）若由基 x1, x2 , , xn到基y1, y2 , , yn 过渡矩阵为C, 则由基 y1, y2 , , yn到基x1, x2 , , xn 过渡矩阵为C-1.
3）若由基 x1, x2 , , xn到基y1, y2 , , y过n 渡矩阵为C, 由基 y1, y2 , , yn到基z1, z2 , , zn过渡矩阵为B，则由基 x1, x2 , , xn到基z1, z2 , , zn过渡矩阵为CB.
y1, y2,
y1 c11x1 c21x2
,yy2n
c12
x1 c22 x1, x2 ,
x2 ,
xn
c1c1n1 xcn12 c2c1n2 xcn22
c1n
c2n
yn c1n x1 c2n x2 cnc1 nn xcnn2
cnn

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。

它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。

线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。

线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。

一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。

即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。

2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。

3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。

4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。

5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。

6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。

7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。

8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。

二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。

线性变换也被称为线性映射或线性算子。

线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。

2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。

3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。

线性空间与线性变换解析

线性空间与线性变换解析线性空间和线性变换是线性代数中重要的概念。

线性空间是指具备了特定性质的向量集合，而线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射关系。

通过分析线性空间与线性变换的特点和性质，可以深入理解线性代数的基本概念与应用。

一、线性空间的定义与性质1.1 线性空间的定义线性空间，也称为向量空间，是指一个非空集合V及其上的两种运算：加法和标量乘法，满足以下八个条件：（1）加法交换律：对于任意的u和v，u+v=v+u；（2）加法结合律：对于任意的u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)；（3）零向量存在：存在一个向量0，使得对于任意的u，u+0=u；（4）负向量存在：对于任意的u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；（5）标量乘法结合律：对于任意的标量a和b，以及向量u，(ab)u=a(bu)；（6）分配律1：对于任意的标量a和向量u、v，a(u+v)=au+av；（7）分配律2：对于任意的标量a和b，以及向量u，(a+b)u=au+bu；（8）单位元存在：对于任意的向量u，1u=u。

1.2 线性空间的基本性质（1）线性空间中的向量可以进行加法和标量乘法运算；（2）线性空间中的向量满足向量加法的封闭性和标量乘法的封闭性；（3）线性空间中的向量满足加法交换律、加法结合律和分配律；（4）线性空间中存在唯一的零向量和负向量；（5）线性空间中存在多个基向量，它们可以线性组合得到任意向量；（6）线性空间中的向量存在唯一的零向量和唯一的负向量。

二、线性变换的定义与性质2.1 线性变换的定义线性变换，也称为线性映射，是指将一个向量空间V映射为另一个向量空间W的一种映射关系。

若对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，满足以下两个条件，则称该映射关系为线性变换：（1）保持加法运算：T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）保持标量乘法：T(au) = aT(u)。

2.2 线性变换的基本性质（1）线性变换保持零向量：T(0) = 0；（2）线性变换保持向量的加法和标量乘法运算；（3）线性变换保持向量的线性组合关系；（4）线性变换将线性无关向量映射为线性无关向量；（5）线性变换的核和像是向量空间。

线性空间与线性变换

定义设 V是一个非空的集合， P是一个数域，在V中定义两种代数运算, 一种是加法运算，即对于 V中任意两个元素a与b，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为a与b的和，记为y=a+b; 另一种是数乘运算, 即对于P中任一数k与V中任一元素a，在V中都有唯一的元素m与它们对应，称为k与a的数乘，记为m=ka。并且这两种运算满足下列八条运算律：
p a0p1 a1p2 a npn1 因此，p在这个基下的坐标为 p (a0, a1, , an )
取另一个基
p1' 1, p2 ' x a,, pn1' (x a)n p p(a) p'(a)(x a) p(n)(a) (x a)n
n! p ( p(a), p'(a),, p(n) (a))
1.1.2 基、维数和坐标
定义
设线性空间V中，有n个元素1 , 2 ,
满足
n
(1)1,2 ,
线性无关；
n
(2)V中任一元素总可由1 , 2 ,
线性表示；
n
则1,2 , n称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数，
记为dim(V ) n. 维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为Vn.
定义设1,2 , n为线性空间Vn的一个基，对于任一过渡矩阵pn1
pn2
pnn
矩阵P称为基1,2, ,n到基1, 2, , n的过渡矩阵。由于1, 2, , n线性无关，故过渡矩阵P为可逆矩阵。
定理
设元素
Vn，它在基1
,
，
2
,
下的坐标为
n
(x1, x2，
,
xn
)，在基1
,
，

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中非常重要的两个概念。

它们是研究向量空间和所谓的线性方程组等问题的基础。

线性空间，是一个用于描述向量的抽象数学结构。

一个线性空间可以想象成一个由有限或无限个向量组成的集合，在该集合中，向量之间可以进行加法和数量乘法操作，同时满足若干条公理。

这些公理包括向量加法的交换律和结合律、数量乘法与向量加法的结合律以及分配律等，这些公理确保了线性空间可以执行向量的相加和数乘等操作。

线性变换，是一种将一个线性空间映射到它自身或另一个线性空间的函数。

线性变换使向量的属性得到保持，包括相对强度、方向和距离等。

例如，一个平面上的向量可以被平移、旋转、缩放或倾斜，这些操作可以表示为线性变换。

在应用线性变换时，我们可以将其表示为矩阵形式。

如果有一个线性变换L，将向量x映射到向量y，它可以表示为以下方程：Lx = y这个方程也可以表示为矩阵形式：[L]x = yL表示线性变换的矩阵，x和y分别是输入和输出向量。

矩阵[L]是一个m×n的矩阵，其中m和n分别是输入向量和输出向量的维数。

在对线性空间进行操作时，使用线性变换可以实现多种功能。

例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性变换来实现几何变换，例如旋转、缩放和平移。

另外，在信号处理和时间序列分析领域中，我们可以使用线性变换对信号进行变换，例如傅里叶变换和小波变换等。

另一个很重要的概念是线性方程组。

线性方程组是一个关于未知量的一组线性方程。

线性方程组通常可以表示为以下形式：a1x1 + a2x2 + … + anxN = b其中，a1，a2，an是已知系数，b是已知常数，x1，x2，xn是未知变量。

线性方程组可以求解出未知变量的值，这也是线性代数的核心问题之一。

总而言之，线性空间和线性变换是线性代数中的两个基础概念，它们在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中都得到了广泛应用。

对线性空间和线性变换的深入理解，有助于理解向量空间与线性方程组等相关问题，进而更好地解决实际问题。

02南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换

1 1
P
1
1
1 0
使得 P-1AP=
1
0
( p1, p2 , p3 )
1
因此所求基为
f1(t) (1, t, t2 ) p1 1 t t2 f2(t) (1, t, t2 ) p2 1 t f3(t) (1, t, t2 ) p3 1 t2
R(D )=Im(D)={D( a)|aV}
Ker(D )=N(D)={aV|D ( a)=0}
称R(D )是线性变换D 的值域，而Ker(D )是线性变换的核。R(D )的维数称为D 的秩，Ker(D )的维数称为D 的零度。
定理2.3.2 设D 是数域 P上的线性空间V上的线性变
换。令D 在V的一组基1,2,…n下的矩阵表示为A，
()= ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ) 求在自然基底 1, 2 , 3 下的矩阵. 解： Q (1) (1,0,0) (1,0,1)
(2 ) (0,1,0) (0,1,1) (3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
得到一个基础解系： 2 1 0T , 2 0 1T
从而 A 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是
1 21 2 , 2 21 3
于是A 属于 3的全部特征向量是
k11 k22 , k1, k2 K
这里 k1k2≠0 。对于特征值 -6，解齐次线性方程组
(6I A)X 0
得到一个基础解系：
线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。
借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。

线性代数中的向量空间与线性变换

线性代数中的向量空间与线性变换线性代数是数学的一个重要分支，研究的是向量空间及其上的线性变换。

向量空间是线性代数的基本概念之一，了解向量空间的性质和线性变换的特点，对于解决各种实际问题和推导数学定理都具有重要意义。

一、向量空间向量空间是指由一组向量构成的集合，满足一定的条件。

这里的向量并不仅仅局限于几何向量，还包括矩阵、多项式等。

向量空间的基本性质包括封闭性、线性组合性和加法逆元性。

1. 封闭性：向量空间中的任意两个向量的线性组合仍然是该向量空间中的向量。

例如，在二维平面上的所有向量构成一个向量空间，任意两个向量的线性组合仍然位于二维平面上。

2. 线性组合性：向量空间中的向量可以通过线性组合得到。

线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加。

例如，在三维空间中，向量(1,0,0)和(0,1,0)的线性组合可以表示为a(1,0,0) + b(0,1,0)，其中a和b 为实数。

3. 加法逆元性：向量空间中的每个向量都有一个对应的加法逆元，使得向量与其加法逆元相加得到零向量。

例如，在二维平面上的向量(1,2)的加法逆元为(-1,-2)。

二、线性变换线性变换又称为线性映射或线性算子，是指保持向量空间中的加法和数乘运算不变的映射。

线性变换可以用矩阵表示，也可以用公式表示。

线性变换的特点是保持原有向量空间的结构不变。

1. 线性变换的定义：设V和W为两个向量空间，如果存在一个映射T，使得对于V中任意两个向量u和v，以及任意实数k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)，则称T为从V到W的线性变换。

2. 线性变换的特点：线性变换具有保持加法和数乘运算不变的特性。

即对于线性变换T，对于任意的向量u和v，以及任意的实数k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)。

线性变换在实际问题中具有广泛的应用，例如在工程领域中，矩阵的变换可以描述物体的旋转、缩放和平移等操作；在金融领域中，线性变换可以用来建立风险管理模型和优化投资组合；在图像处理领域中，线性变换可以用来实现图像的增强和压缩等操作。

第二章线性映射与线性变换 ppt课件

（2）线性变换的数乘：( k T ) ( ) k T ( ) ;
（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2())
则可以验证，T1+T2,kT, T1T2都是线性变换，因此L (V,V ) 是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数pp乘t课件运算是两个不同的概念. 23
ppt课件
15
解在R [x] n中取基1=1， 2=x, … n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基 1=1， 2=x, … n-1=xn-2，则
D( 1)=0= 01+0 2+ …+0 n-1 D( 2)=1= 1+0 2+ …+0 n-1 D( 3)=2x= 01+2 2+ …+0 n-1
④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
于逆矩阵.
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L(V,V)与Pnn同构；
例2 设线性空间R3 的线性变换为
()= ( x1 , x 2 , x 3 ) ( x1 , x 2 , x1 x 2 )
求在自然基底 1 , 2 , 3下的矩阵.
解： ( 1 ) (1, 0, 0) (1, 0,1)
,
nn
矩阵A称为线性变换T在基 1 , 2 , , n下的矩阵.
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注：
A的第i 列是 T ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.
单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为

第二章线性变换

... an 1
T ( X ) XN , S ( X ) MX ,
(X R
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1 0 1 1 ,M , N 2 0 1 1
求（1） T S , TS
在自然基下的矩阵。
（2） T与S是否可逆？若可逆，求其逆变换。
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第二章
线性变换
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3 T R 则不是的一个线性变换．
证明 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 R3 ,
T T a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
a1 b1 , a2 a3 b2 b3 ,0
1 , 2 ,, n 1 , 2 ,, n 1 , 2 ,, n A
21
第二章
线性变换
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11 12 1n 其中 21 22 2 n A , nn n1 n 2 矩阵A称为线性变换在基 1 , 2 , , n 下的矩阵.
3．负变换
设为线性空间V的线性变换，定义变换为：
,
V
则也为V的线性变换，称之为的负变换.
注： ( ) 0
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第二章
线性变换
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三、线性变换的数量乘法
1．定义
设为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与
一、特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
三、特征子空间
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第二章
线性变换
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南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换

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线性变换的表示
设α是V中任意元素，则T(α)表示α在T下的像。
线性变换的性质
线性变换的封闭性
线性变换将线性空间V中的元素映射到线性空间W中，保持了加法和标量乘法的封闭性。
线性变换的数乘性
质对于Leabharlann 意标量k和任意元素α，有 T(kα)=kT(α)。
线性变换的结合性
质
对于任意元素α，β和γ，有 T(α+β)=T(α)+T(β)和 T(α+γ)=T(α)+T(γ)。
线性变换可以视为线性映射的特例，即当映射函数为恒等映射时。
线性映射与线性变换的区别
线性映射强调的是映射关系，即从一个向量空间到另一个向量空间的映射，注重的是映射的性质和规则。
线性变换则更注重的是变换过程，即对向量空间中的向量进行变换，改变其形式或大小，但保持其线性性质不变。
线性映射与线性变换的应用场景
考虑三维空间中的一个点 $(x, y, z)$，通过一个线性映射 $T: (x, y, z) rightarrow (2x+3yz, x+2y+z, 3x-y)$，得到新的点 $(x', y', z')$。
线性变换实例
在三维空间中，绕 $z$-轴旋转一个角度 $theta$，将点 $(x, y, z)$ 变换到 $(x', y', z')$，其中 $x' = x cos theta - y sin theta$， $y' = x sin theta + y cos theta$，$z' = z$。
线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘以及向量的数量积、向量积和混合积不变。

第二章 线性空间与线性变换

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换

《线性代数》教案

矩阵分析课后习题解答(整理版)

线性空间与线性变换

01.线性空间与线性变换

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换解析

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换

02南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换

线性代数中的向量空间与线性变换

第二章线性映射与线性变换 ppt课件

第二章 线性变换

南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换

第二章线性空间与线性变换

第二章线性变换