九年级数学上册 第21章 二次根式解码专训 (新版)华东

二次根式

解码专训一：巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值

名师点金：本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一是被开方数中不含分母；二是被开方数中所有因数(或因式的幂的指数都小于2)；被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方数是否相同．

利用二次根式的定义判定二次根式

1．下列式子不一定是二次根式的是( )

A.3a2

B.x2＋1

C.－3x(x≤0)

D.－x2＋8x－16

利用二次根式有意义的条件求字母的范围

2．无论x取何实数，代数式x2－4x＋m都有意义，化简式子（m－3）2＋（4－m）2.

利用最简二次根式的定义识别最简二次根式

3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？

412－402，8－x2，22，x2－4x＋4(x>2)，－x 1

2x

，0.75ab，ab2(b>0，a>0)，

9x2＋16y2，（a＋b）2（a－b）(a>b>0)，x

3

，

x

3

.

4．把下列各式化成最简二次根式：

(1) 1.25； (2)4a3b＋8a2b(a≥0，b≥0)；

(3)－n

m2(mn＞0); (4)

x－y

x＋y

(x≠y)．

利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值

5．如果最简根式

b －a

3b 和2b －a ＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么( )

A ．a ＝0，b ＝2

B ．a ＝2，b ＝0

C ．a ＝－1，b ＝1

D ．a ＝1，b ＝－2

6．若最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，则代数式－3a 2b ＋(3a ＋2b)2

的值为________．

7．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值范围．

8．若m ，n 均为有理数，且3＋12＋34

＝m ＋n 3，求(m －n)2

＋2n 的值．

解码专训二：二次根式中常见五种热门考点

名师点金：本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查，二次根式的内容是中考热点之一．

二次根式有意义的条件及性质

1．若式子

x ＋4

x －2

在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________． 2．已知a ＋1＋|b －3|＝0，则1＋a ＋a

b

的值为________．

二次根式的化简及运算

3．(2014·徐州)下列运算中错误的是( ) A .2＋3＝ 5 B .2×3＝ 6 C .8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 4．若最简根式

a ＋b

3a 与a ＋2b 可以合并，则2a ＋3b ＝________.

5．(2014·张家界)计算：(5－1)(5＋1)－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13－2

＋|1－2|－(π－2)0

＋8.

二次根式的化简求值

6．(2015·呼和浩特)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a

5a 2b ＋3b 10ab 2÷72a 3b 2，其中a ＝

52，b ＝－12.

二次根式的综合应用

7．等腰三角形的一边长为23，周长为43＋7，求这个等腰三角形的腰长．

二次根式的规律性探究

8．(2014·滨州)计算下列各式的值：92

＋19；992

＋199；9992

＋1 999；9 9992

＋19 999.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得99…9 2 014个9

2

＋199…9,2 014个9)2

)＝________.

9．(2014·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n(n 是整数，且n≥3)行从左向右数第(n －2)个数是__________．(用含n 的代数式表示)

10．(模拟·金湾区)观察下列各式及验证过程：

①12－13＝1223；②12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＝1338；③13⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＝144

15. 验证：

12－13＝12×3

＝222

×3＝12

23

；12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＝1

2×3×4

＝

32×32

×4＝1

3

3

8

；13⎝ ⎛⎭

⎪⎫14－15＝1

3×4×5＝

43×42

×5＝1

4

415

.

(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想1

4⎝

⎛⎭⎪⎫

1

5

－

1

6

的变形结果并进行验证；

(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥1)表示的等式，并验证．

解码专训三：思想方法荟萃

分类讨论思想

名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式．

1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值．

数形结合思想

名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简．

2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2.

(第2题)

类比思想

名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．

3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)．

转化思想

名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题