高考数学一本通第一轮复习参考答案

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高考第一轮复习数学单元测试卷排列、组合、二项式定理参考答案-数学试题

高考第一轮复习数学单元测试卷排列、组合、二项式定理参考答案-数学试题
一、选择题：（每题5分，共60分）
1、C
2、C
3、B
4、D
5、B
6、B
7、C8、D9、C10、C
11、C12、B
二、填空题：（每题4分，共16分
13、14、1415、17916、96
三、解答题（共六个小题，满分74分）
17、（10分）设原来站在第i个位置的人是（i=1，2，3，4，5）。

重新站队时，站在第2个位置的站法有种，其中不符合要求的有：站第3位的种，站第4位的种，但有的站法在考虑的情形时已经减去了，故只应再算（）种，同理，站第5位的应再算[]种。

站在第3，4，5位的情形与站在第2位的情形时对等的，故所有符合要求的站法有：
=44（种）
18、（12分）设取个红球，个白球，于是：
，其中，
因此所求的取法种数是：=186（种）
19、（12分）假设满足要求的等差数列存在，由于所给等式对一切自然数n均成立，故当n=1，2，3时等式成立，从而可解得=1，=2，=3，因此若满足要求的等差数列存在，则必须是=n。

.然后再证明当=n时所给等式确实成立即可。

答案是肯定的。

20、（12分）注意到即可。

21、（14分）由已知得：。

注意到，从而等差数列的通项公式是：，设其前k项之和最大，则
，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，。

22（14分）先求出的常数项是27，从而可得中n=7，对于由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35。

北师大版高考数学(文)大一轮复习---第七章 7.4--(附答案)

§7.4基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0B.12 C ．1D.32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． ∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对任意x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对任意x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y的最小值为________．答案23＋23解析 y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.题型二基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则a 2＋(b i )2a －b (i 是虚数单位)的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1，所以a 2＋(b i )2a －b ＝a 2－b 2a －b＝a ＋b ＝a ＋1a >2，故选C.(2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 答案 D解析由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有4a 2＋b 2＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋1b2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋4＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2时，等号成立，∴1a 2＋1b 2的最小值为9.命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 答案 B解析由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________．答案 13解析在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，可知sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，化简得－2sin B cos C ＝sin B ，∵sin B >0，∴cos C ＝－12，∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴ab ≥13，则ab 的最小值为13.(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，∴A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上(m ，n >0)，∴m ＋n ＝1(m ，n >0)，∴1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴1m ＋1n的最小值为4.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．错解展示(1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42，∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x ≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26]．错误答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)．答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．(2017·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立，故选A.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝12时，等号成立，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 答案 C解析依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16 答案 B解析由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B. 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.6．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15答案 A解析因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15.7．已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为_______________．解析 2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥22a ＋2b ，2a ＋2b ≤1＝20，a ＋2b ≤0，当a ＝2b 时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为0.8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________．答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2，∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋2y＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y的最小值为92.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12．某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2. (1)求f (x )的解析式，并写出其定义域； (2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？解 (1)因为t 1＝9 000x ，t 2＝ 3 0003(100－x )＝1 000100－x，所以f (x )＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N ＋}．(2)f (x )＝9 000x ＋1 000100－x＝10[x ＋(100－x )]⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1100－x＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9(100－x )x ＋x 100－x ，因为1≤x ≤99，x ∈N ＋，所以9(100－x )x >0，x100－x>0，所以9(100－x )x ＋x100－x≥29(100－x )x ·x100－x＝6，当且仅当9(100－x )x ＝x100－x，即当x ＝75时取等号．即当x ＝75时，f (x )取得最小值．13．(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1 答案 C解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C.14．(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值是( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B解析xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案 27解析因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。

2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-随机事件的概率及其计算(含答案)

随机事件的概率及其计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A. B. C. D.2.北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A，B两队报名参加，A，B两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是A. B. C. D.3.梅森素数是指形如2 p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天、乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A. B. C. D.5.下列命题中正确的是（）A. 事件A发生的概率P（A）等于事件A发生的频率f n（A）B. 一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C. 掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“第一枚正面朝上，第二枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P（A）=2P（B）D. 对于两个事件A、B，若P（A∪B）=P（A）+P（B），则事件A与事件B互斥6.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2-2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是( )A. B. C. D.7.袋子中有9个材质与大小都相同的小球,其中6个白球,3个红球.每次从袋子中随机摸出1个球且不放回,则两次都摸到白球的概率是( )A. B. C. D.8.从幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x-1中任意选取2个函数，其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的概率等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。

2021年高考数学第一轮复习课后练习册子及其答案和详细解析

高考Байду номын сангаас复习课程--2021 年高考数学第一轮总复习
强化练习题
目录
第 1 讲集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式答案

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合及其运算链教材·夯基固本激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性互异性无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】－1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】－2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)．由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)．因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1，所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．课堂评价1. BCD 【解析】对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误；对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点，集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4，所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ，所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }．又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要必要【解析】因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分必要非充分非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通分类解析(1) 【答案】 A【解析】因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2，故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}，因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0，因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)．又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立；若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |，即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲全称量词和存在量词链教材·夯基固本激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是不一定是不都是小于或等于大于或等于或一个也没有至多有n －1个至少有两个存在一个x 不成立研题型·融会贯通分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题．当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意．当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通分类解析(1) 【答案】 AC【解析】因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a 0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0，此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0，此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅；当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立，则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])．令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6，所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a 0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确；当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0，所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确；对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲基本不等式链教材·夯基固本激活思维1. C 【解析】因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0，所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】方法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ，得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12，则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )，得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数，所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)．所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31093二项式定理.

g3.1093 二项式定理一、知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.二、基础训练1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29 B.49 C.39D.12.（2004年江苏，7）（2x+x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6 B.12 C.24D.483.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x1）7的展开式中常数项是A.14B.－14C.42D.－424.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x 31-）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）5.若（x+1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx+1（n ∈N *），且a ∶b=3∶1，那么n=_____________. 三、例题分析例1. 如果在（x +421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例2. 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项.思考讨论（1）求（1+x+x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；（2）求（x+x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x+x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键. 例3. 设a n =1+q+q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C nn a n . （1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3<q<1时，求lim ∞→n nnA 2. 例4 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.四、同步练习 g3.1093 二项式定理1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1 2.（2004年福建，文9）已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是( )(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 104.(05山东)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（）（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-5.(05重庆卷)8. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为，则n等于( )(A) 4；(B) 5； (C) 6； (D) 10。

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31029数学归纳法.

g3.1029数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n 有关的数学1.用数学归纳法证明①验证当n 取第一个值0n 时②假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时○3结论. 2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时二．基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该A 4=n 时该命题成立B 6=n 时该C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该2．用数学归纳法证明2n >n 2 (n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ;3．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .三、例题分析例1:已知*N n ∈,证明:n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-nn n 212111+⋅⋅⋅++++=. 例2、求证：n n n +≤++++≤+21213121121 例3.是否存在正整数m 使得()()9372+⋅+=n n n f 对任意自然数n 都能被m 整除，若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论。

若不存在说明理由。

例4.平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分. 例5.设f(k)满足不等式()()*-∈-≥-⋅+Nk k x x k 1223log log 122的自然数x 的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(n f f f S n +++= ，求n S 的解析式；（3）令()*∈-+=N n n n P n 12，试比较n S 与n P 的大小。

北师大版高考数学(文)大一轮复习---第一章 1.3--(附答案)

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情考向分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q綈p綈q p或q p且q 真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(5)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．3．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析由綈p 为真知，p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A.5．下列命题中，为真命题的是( ) A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0 B ．存在x ∈R ，x 2＋x ＝－1 C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0 答案 A6．若“任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1.依题意知，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为()A．p且q B．p或qC．p且(綈q) D．綈q答案B解析函数y＝log2(x2－2x)的递增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得0<1<1，3x＋1的值域为(0,1)，所以函数y＝13x＋1故命题q为真命题．所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B. 2．(2017·山东)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p且q B．p且(綈q)C．(綈p)且q D．(綈p)且(綈q)答案B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p且q为假命题，p且(綈q)为真命题，(綈p)且q为假命题，(綈p)且(綈q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④(綈p)或(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．任意x ∈R,2x －1>0 B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析当x ∈N ＋时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“任意x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．存在x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 B ．任意x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．任意x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．存在x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0答案 D解析全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“存在x ∈R,1＜f (x )≤2”的否定形式是( )A ．任意x ∈R,1＜f (x )≤2B ．存在x ∈R,1＜f (x )≤2C ．存在x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2D ．任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．任意x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．存在x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0，∴任意x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x 的图像上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D错误．故选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p：“存在x∈R，e x－x－1≤0”，则綈p为()A．存在x∈R，e x－x－1≥0B．存在x∈R，e x－x－1>0C．任意x∈R，e x－x－1>0D．任意x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“任意x∈R，e x－x－1>0”，故选C.题型三含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)答案 B解析原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例(1)(2017·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“ln a＞ln b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p：任意x∈R，3x<5x；命题q：存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p且q B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．(綈p)且(綈q)解析(1)由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )且q 是真命题．答案 (1)B (2)B 二、充要条件的判断典例 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，又不是乙的必要条件(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C.答案 (1)B (2)C 三、求参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)命题“p 且q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (1)[e ,4] (2)(－∞，0]1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是()A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p或q为假答案D解析∵p假，q假，∴p或q为假．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真答案 C解析函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p 且q 为假．故选C.3．(2017·唐山一模)已知命题p ：存在x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：任意a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，则下列判断正确的是( ) A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真答案 A解析对任意x ∈N ，x 3≥x 2，∴p 假，又当x ＝2时，f (2)＝log a 1＝0，∴f (x )的图像过点(2,0)，∴q 真．4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．任意x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )D ．存在x ∈R ，f (－x )＝－f (x ) 答案 C解析由题意知任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x ＞3；命题q ：任意x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．p 且qD ．(綈p )或q答案 A解析对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即存在x ∈(2，＋∞)，使得2x ＝x 2成立，故命题q 为假命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.6．已知命题p ：存在α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋1＞0，则下列结论正确的是( ) A ．p 且q 是真命题B ．p 且q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题答案 A解析对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 是真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 是真命题．由此可得p 且q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( ) A ．存在x ∈R ，e x ≤0 B ．任意x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“ab＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：存在x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.9．命题“存在n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是________________．答案任意n ∈N ，n 2≤2n10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞解析由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞.13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．答案 [－1,6]解析 p ：－4<x －a <4等价于a －4<x <a ＋4；q ：(x －2)(3－x )>0等价于2<x <3.又綈p 是綈q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4>3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案①③解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：存在x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析若p 或(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e xx，x ≠0，设f (x )＝e xx，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p 或(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为_______________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3]．。

高考数学第一轮复习资料(详细答案)精品。

2013高考数学第一轮复习资料（教师版）第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．。

解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．。

解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N ＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1.答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－1 5．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1. 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎨⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B . 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2.(3)若A =B ，则必有a =2 第二节集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩∁U B ＝____.解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，∁U (A ∩B )＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.解析：由题意知，N ＝{0,2,4}，故M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A ＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0} 2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2. 9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98. 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98. (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98. 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0.答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32. (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1. 当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22. ∴a ＝2或±22. B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_. 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)， ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0). 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． ②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1. (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1. 又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x (0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2. 答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a e x |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a e x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数； ∵f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎨⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0. ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0. ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2. 若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2. B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤43．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916. 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14. 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1. μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log31＋a＋b1＝1.即a＋b＝2.设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即x12＋ax1＋bx1＞x22＋ax2＋bx2恒成立．由此得(x1－x2)(x1x2－b)x1x2＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴(x3－x4)(x3x4－b)x3x4＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f(x)＝log a|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝log a|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0<a<1,1<a＋1<2，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(b ＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R 上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为 2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________. 解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． ∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎨⎧0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎨⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 36．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且01且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－11⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R )6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e xe －x －e x ＝－e x＋e －xe x －e －x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________．解析：函数y ＝2|x |的图象如图．当a ＝－4时，0≤b ≤4，当b ＝4时，－4≤a ≤0，答案：②10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －。

【2022高考数学一轮复习(步步高)】第一章 §1.5 一元二次不等式及其解法

§1.5一元二次不等式及其解法考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.微思考1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？提示二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )(4)x －a x －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )题组二教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,3) B ．(1,3) C ．(3,4) D ．(－2,4)答案 B解析由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝(1,3)．3．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1.4．函数y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是____________________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三易错自纠5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案－14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4,1,3,5}，则A ∩B 等于( ) A ．{－4,1} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 答案 D解析 ∵A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |(x ＋1)(x －4)<0}＝{x |－1<x <4}，B ＝{－4,1,3,5}， ∴A ∩B ＝{1,3}．(2)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案 B解析原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．解当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．解原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]答案 D解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]．命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，则实数x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32解析设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．跟踪训练2 (1)若不等式ax 2－x ＋a >0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．a <－12或a >12B ．a >12或a <0C ．a >12D ．－12<a <12答案 C解析当a ＝0时，－x >0不恒成立，故a ＝0不合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0. 解得a >12.(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x 1<0，x 2<0)两个正根即两根都大于0(x 1>0，x 2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，f (0)>0f (0)<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <0，f (0)<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >0，f (0)<0f (0)>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，a ·f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，a ·f (0)>0a ·f (0)<0表二：(两根与k 的大小比较)分布情况两根都小于k 即x 1<k ，x 2<k两根都大于k 即x 1>k ，x 2>k一个根小于k ，一个根大于k 即x 1<k <x 2大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，f (k )>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >k ，f (k )<0f (k )>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，a ·f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，a ·f (k )>0a ·f (k )<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n 0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )>0，f (n )>0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )>0，f (n )<0，f (p )<0，f (q )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0 大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )<0，f (n )<0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )>0，f (p )>0，f (q )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )·f (n )>0，m <－b 2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1.例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．解设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)，由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0，解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1.例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．解设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0 ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <3－22或m >3＋22，m >0 ⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．解由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 课时精练1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3) 答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ t <x <1t 答案 D解析原不等式可化为(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0， ∵0<t <1，∴t <1t， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t . 3．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析由题设，产量为x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则( )A ．a 2－b 2≤4B ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0. 对于A ，a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0，显然(b －2)2≥0，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ×1b ＝4，当且仅当4b ＝1b >0，即b ＝12时，等号成立，故B 正确；对于C ，因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，故x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4.7．不等式x ＋2x －1>2的解集为________．答案 {x |1<x <4}解析原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即(x ＋2)－2(x －1)x －1>0，即4－x x －1>0，即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4，∴原不等式的解集为{x |1<x <4}．8．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－4(k ＋1)>0，k ＋1<0，解得k <－1.9．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4>0 ⇒x <1或x >3.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，－1)∪(3,4]解析不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，可化为(x －1)(x －a )<0，当a ＝1时，不等式为(x －1)2<0，解集为∅，舍去，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，则3<a ≤4，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，则－2≤a <－1，综上有－2≤a <－1或3<a ≤4.11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 021，又f (a )＝f (b )＝2 021，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.14．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．答案－5解析不等式f (x )≥m 可化为x 2－2x －3＋m ≤0，令x 2－2x －3＋m ≤0的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，则x 2－x 1＝6，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －3，又∵(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，∴4－4(m －3)＝36，即m ＝－5.16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0，综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31001集合的概念与运算(1).

2006高三数学总复习第一章集合、不等式的解法与简易逻辑一、本章复习建议：解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将第六章“不等式”拆开，把不等式的解法安排在第一章.二、考试内容：(1) 集合、子集、补集、交集、并集．(2)不等式的解法．含绝对值的不等式．三、 (3)逻辑联结词．四种考试要求：（1）理解集合、子集、补订、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）掌握简单不等式的解法．（3）理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义．理解四种g3.1001集合的概念和运算（1）一、知识回顾：1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C5. 主要性质和运算律（1）包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C （2）等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3）集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A UA A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ U A=φ A ∪ U A=U U U=φ U φ=U U ( U A)=A反演律： U (A ∩B)= ( U A)∪( U B) U (A ∪B)= ( U A)∩( U B)6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card CA card ABC =+-=++---+ (3) card( U A)= card(U)- card(A)（4）设有限集合A, card(A)=n,则(ⅰ)A 的子集个数为n 2； (ⅱ)A 的真子集个数为12-n ；(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n .（5）设有限集合A 、B 、C ， card(A)=n ，card(B)=m,m<n,则(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为m n -2；(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m n ；(ⅲ) 若A C B ⊆⊂,则C 的个数为12--m n ； (ⅳ) 若A C B ⊂⊂,则C 的个数为22--m n .二、基础训练1.（04年全国Ⅰ理）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则下列各式中错误的是（）（A ）I B A C I =⋃)( (B) I B C A C I I =⋃)()( (C) Φ=⋂)(B C A I (D) B C B C A C I I I =⋂)()(2.（05全国卷Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是(C)（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（）（C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（） 3.（05湖北卷）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ B ）A ．9B ．8C ．7D ．64.设集合A 和B 都是坐标平面上点集{（x,y ）︳x ∈R,y ∈R},映射f: A →B 把集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( ) (A)(3,1) (B) (21,23) (C)(21,23-) (D)(1,3) f(P)={y ︱y=f(x),x ∈P}5.（04年北京理）函数⎩⎨⎧∈-∈=M x x P x x x f )(，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f(P)={y ︱y=f(x),x ∈P}, f(M)={y ︱y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若P ∩M=Φ则f(P)∩f(M)=Φ②若P ∩M ≠Φ则f(P)∩f(M)≠Φ③若P ∪M=R 则f(P)∪f(M)=R ④若P ∪M ≠R 则f(P)∪f(M)≠R(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、例题分析例1．已知集合A={}xy y x y x ,,+-，B={}0,,2222y x y x -+，A=B ，求x ，y 的值。

数学第一轮答案

参考答案1．1．1 集合的概念1～5 ＣＢＢＤＣ 6～10 ＤＤＡＣＢ11．⑴∈ ⑵∉ ⑶∈ ⑷∉ ⑸∈ ⑹∈； 12．{-1，0，1，2，3}； 13．{-21，2}；14．{x|0＜x ＜9，x ∈N}； 15．2； 16．⑴{x|x ＝12n ，n ∈N ＋}，是无限集；⑵{x|x ＝2n,n ∈Z}，是无限集；⑶{x|x ＞2}，是无限集；⑷{x|x 2-2x ＋1＝0}，是有限集．17．⑴{123，132，213，231，312，321}； ⑵{1}； ⑶{2，3，5，7，11，13，17，19} ⑷{4，5，6，7} 18． x ＝0 19．解：⑴当a ＝0或1时，A 中只有一个元素； ⑵当a ＜1时，A 中有两个元素； ⑶当a ≥1或a ＝0时，A 中至多有一个元素．1．1．2 子集、真子集1～5 ＡＢＣＣＣ 6～10 ＡＣＣＢＤ 11．A ≠⊂B ； 12．16； 13．6或2； 14．A ＝B ； 15．-2，0，2； 16． a ＝1或a ＝-21； 17． x ＝±1，y ＝0； 18．1＜a ＜2；19．满足条件的实数a 的值组成的集合为{0，21}．1．2．1集合的运算（1）1～5 ＢＣＤＣＣ 6～10 ＤＣＤＢＣ 11．｛0，1，3，5，6｝； 12．｛（-1，1）｝； 13．8，6，｛2，3，5｝； 14．｛x ｜x 为等腰直角三角形｝； 15． 4．16．A ∩B ＝｛5，8｝，A ∪B ＝｛3，4，5，6，7，8｝． 17．S ∩T ＝｛x ｜x ＜1｝＝T ，S ∪T ＝｛x ｜x ≤3｝＝S ．（数轴略） 18．a ＝-4，b ＝4，c ＝-5．19．满足条件的集合B 为：｛4｝，｛1，4｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，4｝，｛1，3，4｝，｛2，3，4｝，｛1，2，3，4｝，共8个．1．2．2 集合的运算（2）1～5 ＡＤＢＣＤ 6～10 ＣＤＣＡＣ11．⑴N ，⑵{整数}，⑶Q ； 12．∅，Ｕ，∅； 13．{x|1≤x ＜2或2＜x ＜5}； 14． C ＵA ＝{x|x=2n,n ∈Z}； 15．{x|2≤x ＜5}； 16．略；17．⑴{x|-3≤x ≤-1}，⑵{x|-7＜x ≤-1或4≤x ≤9}； 18．a ＝4或a ＝-2,b ＝3； 19．⑴{x|x ＜-3或x ＞4}， ⑵{x|x ＜2或x ＞3}， ⑶{x|x ＜-3或x ＞4}， ⑷{x|x ＜2或x ＞3}．1．2．3集合的运算（3）1～5 ＡＤＤＣＣ 6～10 ＤＣＢＣＤ11．A ，B ； 12．-1或3； 13．0或±3； 14．②④； 15． t ＝0． 16．由所有满足条件的实数m 构成的集合M ＝｛0，21，31｝．1．3 逻辑用语1～5 ＣＢＤＢＤ 6～10 ＣＡＡＢＡ11．假，假，真； 12．若a 2≠1,则a ≠1；13．⑴充分不必要条件；⑵必要不充分条件；⑶充要条件；⑷必要不充分条件． 14．⑴真命题；⑵真命题；⑶假命题；⑷假命题．15．否命题：若x ≠1，则x 2≠1；（假命题）逆命题：若x 2＝1，则x ＝1；（假命题）逆否命题：若x 2≠1，则x ≠1．（真命题）16．证明略（提示：用反证法）2．1．1 不等式的性质（1）1～5 ＤＡＣＢＣ 6～10 ＤＡＢＡＤ11．＞； 12．2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ； 13．＞； 14．-3＜x ＋y ≤5，-4≤x-y ＜4．15．⑵⑶； 16．x 4＋x 2＋1≤（x 2＋1）2； 17．6＜a ＋b ＜14，-2＜a-b ＜6，32＜ba ＜4； 18．10＜3a ＋b ＜34．2．1．2 不等式的性质（2）1～5 ＣＢＡＣＡ 6～10 ＣＢＤＢＤ11．小，16； 12．大，256； 13．2，大，2； 14．2b a +； 15．小，12；16．x ＝1时，y 的最小值为3；17．最大值为2-43； 18．证明略（提示：a ＋b ＋c ＝1）； 19．每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使面积最大．2．1．2不等式的性质（3）1～5 ＡＣＤＢＣ 6～10 ＤＡＣＤＢ 11．2-3＜3-2＜2-1； 12．ba -1＜a1； 13．a1＜b1． 14．P ＞Q ；15．⑶、⑷； 16．略； 17．略； 18．略； 19．提示：1--a a ＝11++a a ，2-a -3-a ＝321-+-a a ， ∵1++a a ＞32-+-a a ，∴11++a a ＜321-+-a a ，∴1--a a ＜2-a -3-a ．2．2．1 不等式组及绝对值不等式1～5 ＡＤＣＣＣ 6～10 ＤＢＡＤＡ11．x ＜-2； 12．2x ＋3； 13．(-3，9)； 14．3，6； 15．13 16．⑴(-23，-1)∪(31，＋∞)；⑵[2，4]∪[8，10]；17．m ＝1，n ＝2； 18． 0＜a ≤7．2．2．2 一元两次不等式的解法1～5 ＤＣＤＣＣ 6～10 ＤＣＡＤＢ11．(-∞,1]； 12．-4，-5； 13．{x ｜x ＝3}； 14．（-∞，-3）∪[1，＋∞）；15．（251-，251+）； 16．⑴（-∞，1）∪[12，＋∞）；⑵(-5，8）．17．⑴（-2，1）；⑵（-∞，-3]∪[3，＋∞）； 18．a ＝-12，b ＝2，解集为（-41，32）； 19．[0，1）．2．3 不等式的运用1～5 ＤＤＣＤＢ 6～10 ＤＣＡＣＢ11．7000元； 12．10辆； 13．14； 14．5cm ； 15．24； 16．⑴这种商品售价每提高1元,销量降低1件，⑵160； 17．2.5元．3．1 映射1～5 ＤＣＣＤＡ 6～10 ＡＣＣＢＡ11．7； 12．0或-1； 13．不能； 14．(3,31)； 15．{4，7，10，13}；16．(2,2)； 17．(1,0)； 18．略．3．2 函数1～5 ＤＤＡＤＢ 6～10 ＣＣＤＣＢ 11．[0,2)∪(2,+∞)； 12．[23,2)∪(2,+∞)； 13．x 2-2x+3 ； 14．(3,4) ；15．3； 16．⑴(-∞,1)∪(1,2] ⑵{x|x ≠0且x ≠1}； 17．⑴[-3,3]， ⑵(-∞,-2]∪[2,+∞)； 18．f(2)＝0 ，f(a)＝a 2-2a ，f(a+2)＝a 2+2a19．⑴f(0)=0， ⑵f(x)=x 2-x ， ⑶[-1,2]．3．3．1函数的表示法与分段函数1～5 ＣＢＣＣＣ 6～10 ＤＣＢＤＢ 11．（-∞，-2）∪（2，＋∞），{3，-3}； 12． x 2＋2，(x ＋2)2； 13．x 2＋2； 14．7； 15．[-21，21]； 16．f(x)＝313432++-xx ； 17．略； 18．略19．⑴f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤<7,8373,1230,5x x x x x ，⑵需付12元．3．3．2 一次函数与二次函数1～5 ＢＢＢＤＤ 6～10 ＣＣＤＣＢ11．f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6； 12．[2006，2010]； 13．21，21，0； 14．-1；15．[-2，2]； 16．f(x)=-x 2+4x+12； 17．⑴ m=0或m=2；⑵ m=1；18．f(x)=x 2-2x+3，[2，+∞)； 19．⑴ a=1 b=2，⑵ c=5．3．4．1 函数的性质(1)1～5 ＣＢＢＡＢ 6～10 ＡＢＡＤＢ11．a=-4； 12．既不是奇函数也不是偶函数； 13．⑴m=0,n ∈R ；⑵b ＝0 14．-10； 15．f(-2)=f(2)；16．若a=0，b ≠0，则f(x)=ax+b 为偶函数；若a ≠0，b=0，则f(x)=ax+b 为奇函数；若a ≠0，b ≠0，则f(x)=ax+b 为非奇非偶函数；若a=0，b=0，则f(x)=ax+b 既是奇函数也是偶函数； 17．非奇非偶函数； 18．f(x)=x-1； 19．-3．3．4．2 函数的性质(2)1～5 ＣＢＢＤＣ 6～10 ＢＢＡＡＤ 11．上升，下降； 12．（-6，2）； 13．减函数，增函数； 14．（-∞，0）； 15．a ≤4； 16．证明略； 17．x ＞1； 18．-2≤m ≤2； 19．⑴a 2＋a ＋1≥43，⑵f(a 2＋a ＋1)≤f(43)．3．5 反函数1～5 ＡＤＢＣＡ 6～10 ＡＢＣＤＢ11．1-f (x)＝-x 2-2(x ≥0)； 12．m ；13．f(x)＝x+2； 14． a ＝1； 15． a ＝-3，b ＝7； 16．(-∞，6)∪(6，+∞)； 17．3； 18．⑴1-f(x)＝743-+x x (x ∈R ，且x ≠7)；⑵1-f(x)＝1-4--x （x ≤-4）；19．a ＝3，b ＝5，c ＝-2．4．1 有理指数幂1～5 ＤＢＡＤＤ 6～10 ＤＤＢＡＡ 11．0； 12．3-2； 13．0； 14．34； 15．|3a-2b|16．32＋１； 17．3-2； 18．（1）2，（2）3； 19．（1）619，（2）1015．4．2 指数函数1～5 ＣＡＣＢＤ 6～10 ＢＣＡＢＤ 11．c ＜a ＜b ； 12．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,； 13．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,； 14．6； 15．⑴⑷；16．0.53 ＞ 0.53．1 ， 20．1＞2-0．1 ， 100．5＞1＞0.510 ． 17．解：⑴定义域为｛x| x ≠21｝，值域为｛y|y ≠1｝，⑵定义域为｛x| x ≥4或x ≤0｝，值域为｛y|y ≥1｝； 18.(－∞，１]．4．3 对数1～5 ＤＣＡＣＤ 6～10 ＢＤＡＢＡ 11．-29； 12．lg2； 13．(1，2)； 14．3； 15．ba ； 16．⑴1，⑵3；17．-7 18．3 19．略4．4 对数函数的性质1～5 ＤＣＢＤＢ 6～10 ＤＡＣＡＢ 11．1； 12．(-∞，-2)∪(2，＋∞)； 13．a ＝2，b ＝2； 14．(0，＋∞)；15．(0，＋∞)； 16．(0，1)∪(1，＋∞)； 17．)(1x f -＝23x18．(4，+∞)； 19．⑴(-1，1)，⑵奇函数．高一上学期期末考试模拟试题1～5 ＣＤＡＤＣ 6～10 ＢＣＡＣＡ11．[-2,3]； 12．81； 13．-2； 14．(1，2)∪(2，3]； 15．x 2-x ； 16．⑴a ＝-1、b=6，⑵(-∞，-5]∪[-1，+∞)； 17.⑴(-∞，-1)∪(1，+∞)，⑵(-∞，-1)； 18．⑴325，⑵4； 19．y ＝23-+x x ； 20．6＜x ＜8； 21．⑴P=225-5x ，⑵y=-5(x-30)2+1225，⑶定价为30元时，最大利润是1225元.5．1．1 角的概念的推广1～5 ＡＡＣＤＢ 6～10 ＣＢＤＤＢ11．第二,三或四象限角，第二,四象限角； 12．{α|α＝40°＋k ²360°，k ∈Z}； 13．{α|α＝135°＋k ²180°，k ∈Z}； 14．210°＋2³360°15．α＋β＝k ²360°，ｋ∈Z ． 16．⑴145°,第二象限角；⑵20°,第一象限角；⑶320°,第四象限角；⑷325°15′,第四象限角．17．⑴S ＝{β|β＝15°＋k ²360°，k ∈Ｚ}，-705°,-345°,15°,375°，⑵S ＝{β|β＝-560°＋k ²360°，k ∈Ｚ}，-560°,-200°,160°,520°； 18．A ∩B ＝A ；A ∩C ＝A ；A ∪C ＝C ．19．⑴{α|60°＋k ²180°＜α＜90°＋k ²180°，k ∈Z}， ⑵{α|-120°＋k ²360°＜α＜120°＋k ²360°，k ∈Ｚ}．5．1．2 弧度制1～5 ＢＣＤＡＢ 6～10 ＢＤＣＢＣ 11．｛α|2k π＜α＜2π＋2k π，k ∈Z ｝； 12.α＜β＜γ 13.35π-10π；14.π15cm ； 15．32π； 16．⑴619π＝67π＋2π,第三象限角，⑵-325π＝35π-10π,第四象限角，⑶-45°＝47π-2π,第四象限角； 17．三内角的度数分别为30°,60°,90°；弧度数分别为6π,3π,2π； 18．625cm ；19．125πcm ，2425πcm 2．5．2．1 任意角的三角函数1～5 ＢＣＣＤＢ 6～10 ＣＡＢＣＣ 11．{α|α≠k π＋π,k ∈Z}； 12．y 轴上； 13．充分不必要； 14．＜；16．f(4π)＝-4，f(4π-)＝6； 17．cos α＝135-，sin α＝1312-，tan α＝512，sec α＝513-，csc α＝1213-，cot α＝125； 18．略； 19．略．5．2．2 同角三角函数的基本关系式1～5 ＣＡＢＢＣ 6～10 ＤＡＢＢＣ 11．-54； 12．21-； 13．-1或-3； 14．2； 15．⑴1，⑵1；16．⑴ sin α＝1715，tan α＝-815，⑵若α为第三象限角，cos α＝21-，tan α＝3；若α为第四象限角，cos α＝21，tan α＝-3； 17．⑴22，⑵-1； 18．⑴8，⑵1．5．3．三角函数的化简公式1～5 ＣＡＢＢＡ 6～10 ＣＤＡＣＢ 11．0； 12．-sin α； 13．-31； 14．21； 15．-21； 16．-1；17．25； 18．552； 19．42．5．4．1 和差公式（1）1～5 ＢＢＣＡＢ 6～10 ＡＢＡＤＡ 11．1； 12．tan3α； 13．81-； 14．329； 15．2cos α； 16．4π；17．12544-； 18．1395．4．2 和差公式（2）1～5 ＡＤＣＤＣ 6～10 ＢＡＣＣＡ 11．23； 12．2627； 13．71-； 14．33； 15．3π；16．cos(α-β)＝221220，sin(α-β)＝22121； 17．sin(α-β)＝7259-；18．⑴略，⑵223 ．5．4．3 二倍角1～5 ＢＢＣＡＢ 6～10 ＤＡＢＣＢ 11．23，63； 12．54-； 13．四； 14．cos2α； 15．51；16．sin2α＝-23，cos2α＝-21，tan2α＝3； 17．略； 18．略； 19．161．5．5．1 正弦、余弦函数的图象与性质1～5 ＣＢＢＣＤ 6～10 ＣＤＡＣＡ 11．＞，＜； 12．π，[0，1]，[k π,k π＋2π]，k ∈Z ；13．（0，0），（2π，2），（π，0），（23π，-2），（2π，0）；14．[-5，35-]； 15．3，43； 16．略； 17．[-1，2]；18．⑴[-3，3]，⑵±2π；19．当cosx ＝1，即x ＝2k π，k ∈Z 时f(x)取最大值，且最大值为6；当cosx ＝-1时，即x ＝2k π＋π,k ∈Z 时f(x)取最小值，且最小值为-2．5．5．2正弦型函数的图象与性质（1）1～5 ＤＣＣＣＤ 6～10 ＣＡＢＢＡ11．ϕ＝2k π＋ π4 ，k ∈Z ； 12． π4 ， π8 ； 13．y ＝2sin （3x- π2 ）；14．向右平移 2π5个单位； 15．y ＝3sin2x ； 16．y ＝-cos3x ＋1； 17．略；18．略．5．5．3 正弦型函数的图象与性质⑵1～5 ＡＢＡＡＢ 6～10 ＡＤＡＢＤ11． 12 ，π， 1π ，- π9 ； 12．{x|2k π＋ 5π12 ≤x ≤2k π＋ 13π12，k ∈Z}；13．[6k π-3π，6k π]（k ∈Z ）； 14．3， 12 ； 15． π2，1；16．函数的定义域是R ，值域是[-3，1]．函数取最大值1时， x 值的集合是{x|x ＝2k π＋ 7π12 ，k ∈Z}；函数取最小值-3时，x 值的集合是{x|x ＝2k π- 5π12 ，k ∈Z}；17．T ＝ 2π2 ＝π，f （x ）的单调增区间是[k π- π3 ，k π＋ π6]，k ∈Z ；18．振幅A ＝3，频率f ＝ 22π ＝ 1π ，初相ϕ＝ 2π3 ，对称轴是x ＝ k π2 - π12（k ∈Z ），对称中心是（ k π2 - π3，0）．5．6 已知三角函数值求指定区间内对应的角 1～5 ＣＡＤＣＤ 6～10 ＡＤＣＢＣ 11．-arctan21； 12．1，65π； 13．23π，1，32π； 14．2，{π-arctan4，2π-arctan4}； 15．略； 16．-arcsin135； 17．-π＋arctan2；18．{-arccos43,arccos43}．5．7．1 余弦定理1～5 ＣＣＣＡＡ 6～10 ＣＢＣＣＡ11．直角； 12．120°； 13．8； 14．60°； 15．914； 16．30°；17．10，55； 18．4132-．5．7．2 正弦定理1～5 ＤＢＡＢＣ 6～10 ＡＤＤＣＢ11．3； 12．120°； 13．45°； 14．等腰； 15．3或6；16．∠B ＝45°； 17．∠C ＝45°，∠A ＝120°，a ＝6，或∠C ＝135°，∠A ＝30°，a ＝2； 18．b ＝8， S △ABC ＝310.6．1向量1～5 ＤＡＣＣＣ 6～10 ＤＣＡＤＢ11．向量； 12．圆； 13．充分不必要； 14．0； 15．菱形； 16．FO 、OC 、FC 、ED ； 17．⑴BA 、OF 、FO 、OC 、CO 、ED 、DE ， ⑵FO 、OC 、ED ； 18．⑴略，⑵100米．6．2向量的加法与减法1～5 ＣＢＣＤＣ 6～10 ＣＣＣＤＡ11．0→，|b →|； 12．DC →，AB →； 13．82km ，东北； 14．相反； 15．2；16．⑴ BA →，⑵0→，⑶AD →； 17．⑴AB →，⑵AB →，⑶0→； 18．略．6．3 数乘向量1～5 ＣＤＡＤＣ 6～10 ＢＢＣＢＣ11．7a →＋b →； 12． 34 a →＋b →； 13．- 57 ； 14． 4711 ， 1611； 15．c →-a →，-d →-a →，-d →-b →； 16．略； 17．⑴ -a →＋2b →，⑵x →＝3a →＋4b →，y →＝2a →-3b →；18．提示：证出EF →＝HG →即可．6．4 平面向量的基本定理及坐标表示1～5 ＣＡＤＢＢ 6～10 ＡＣＤＣＢ 11．(-11，11)； 12．23； 13．(-2,-3)； 14．(5453，-)； 15．±1；16．PQ ＝(5，5)，|PQ |＝25，M(2121-，)； 17.λ1＝1，λ2＝-4，B(23-，7)；18．OP ＝32OA＋31OB； 19．P(314,5)．6．5平面向量的数量积1～5 ＢＣＢＡＣ 6～10 ＤＣＢＡＤ 11．3,32； 12．7； 13．±21； 14．0； 15．6；16．b a⋅＝-12，b a-＝219，b a+＝72；17．a∥b 时，b a ⋅＝±15，b a⊥时，ba ⋅＝0； 18．略．6．6 平面向量数量积的坐标运算1～5 ＢＡＣＤＢ 6～10 ＡＣＡＢＡ 11．45°； 12．（-2，0）； 13．-5； 14．λ＞8； 15．6； 16．a²b＝21； 17．AB 与AC 的夹角的余弦值为53； 18．λ＝-1．高一下学期期末考试模拟试题1～5 ＤＢＣＣＤ 6～10 ＡＣＡＢＢ 11．81-； 12．[2k π-2π，2k π＋2π]，k ∈Z ； 13．1:3:2 ； 14．(-4,2)；15．(37-,310)； 16．cos α=21-，tan α=3-，csc α=332，sec α=-2，cot α=33-； 17．⑴-1，⑵4； 18．-8； 19．(311，37)； 20．⑴120°，⑵10，⑶23； 21．⑴[4π，2π]，⑵最大值为1，最小值为21．7．1 直线的倾斜角与斜率1～5 ＤＣＤＢＣ 6～10 ＢＡＤＣＣ 11．33； 12．-4； 13．90°，不存在； 14．-49； 15．l 1⊥l 2；16．A(-2，0)； 17．-125； 18．[0，4π]∪(2π，π)； 19．⑴ 31，⑵［６，＋∞）∪（-∞，-１］．7．2．1 直线的方程（1）1～5 ＢＢＣＡＣ 6～10 ＡＣＡＤＤ11．x ＝1； 12，2x ＋y-6＝0； 13．(2，3)； 14．23； 15．x ＋2y-2＝0或x-2y-2＝0； 16．提示：求得k ＡＢ＝k ＡＣ＝1； 17．3x-y-3-32＝0； 18．4x ＋y-2＝0； 19．⑴7x ＋y-5＝0，⑵7x ＋y ＋38＝0．7．2．2 直线的方程（2）1～5 ＡＢＢＣＢ 6～10 ＢＢＣＢＤ11．4x ＋3y-12＝0； 12．-ka ； 13．m ≠0； 14．必要不充分；15．C ＝0且A 、B 不同时为0； 16．x ＋y-5＝0； 17．2x-y ＝0或x ＋y-3＝0或x-y ＋1＝0； 18．b ＝24±； 19．3x ＋4y-12＝0，3x ＋4y ＋12＝0，3x-4y ＋12＝0，3x-4y-12＝0．7．3．1 两直线的位置关系——平行1～5 ＣＢＤＢＡ 6～10 ＣＣＢＣＡ 11．0或61； 12．2x -y -2＝0； 13．m ＝-4,n ＝-3； 14．x ＋2y -5＝0；15．x ＋2y ＋５＝0； 16．⑴⎩⎨⎧≠=12b a 或⎩⎨⎧-≠-=12b a ；⑵⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=12b a ；17．mx ＋ny -mx 0-n y 0＝0； 18．3x ＋4y ＋1＝0； 19．x -4y ＋4＝0或x -4y ＋4＝0．7．3．2 两条直线垂直1～5 ＣＤＢＢＡ 6～10 ＤＣＢＢＢ11．平行垂直； 12．±1； 13 ．3x ＋2y ＋4＝0； 14．⑵⑶； 15．a ＝10，c ＝-12，m ＝-2； 16．5x-2y-16＝0； 17．x ＝3； 18．(58，-54)；19．(101，0）．7．4 两条直线的夹角和交点1～5 ＡＣＡＢＤ 6～10 ＢＣＢＡＤ 11．y ＝33x 或x ＝0； 12．y ＝3x ； 13．（2，1）； 14．45°；15．90°； 16．x -y ＋4＝0； 17．72＜k ＜1； 18．(9,-4)；19．3x ＋y ＋1＝0．7．5 点到直线的距离1～5 ＣＡＢＣＡ 6～10 ＤＤＢＢＡ 11．334； 12．2x -3y -1＝0； 13．Ａ2＋Ｂ2＝Ｃ2； 14．x -2＝0或3x ＋4y -10＝0； 15．4x ＋3y -14＝0或8x -y -14＝0； 16．2x+y-7=0或2x+y+3=0； 17．4 或74； 18．x -y ＋1＝0 ； 19．直线l 的方程为:3x ＋4y ＝0或x ＋y -3-22＝0或x ＋y -3＋22＝0．8．1 曲线和方程1～5 ＤＣＤＤＢ 6～10 ＢＤＣＣＡ11．2； 12．x ＝0(0≤y ≤4)； 13．y 2-8x -8＝0； 14．|x -y |＝510|2x ＋y |（x 2＋6xy -y 2＝0）； 15．±55； 16．不能，线段AB 的方程应为x ＋y -2＝0(0≤x ≤2)； 17．(x -1)2＋(y -1)2＝29(x ≠3且x ≠-1，)；18．有两个公共点时，k ＞36或k ＜-36；有一个公共点时，k ＝±36，没有公共点时，-36＜k ＜36．8．2．1 圆的方程1～5 ＡＢＣＢＢ 6～10 ＤＡＣＡＢ11．x 2＋(y -1)2＝1； 12．x 2＋y 2-8x -6y -40＝0； 13．x -2y -2＝0；14．(x ＋1)2＋(y -1)2＝16； 15．x 2＋(y -1)2＝25； 16．轨迹是以点(7，2)为圆心，以42为半径的圆； 17．圆Ｃ的的方程为(x ＋21)2＋(y -21)2＝100； 18．圆的方程为(x -2)2＋(y -5)2＝20； 19．圆的方程为(x -5)2＋(y -10)2＝65．8．2．2 圆的 1～5 ＤＡＡＢＡ 6～10 ＢＣＡＤＡ11．2或4； 12．4x -3y ＋5＝0或x ＝1； 13． (x -3)2＋y 2＝9； 14．4x ＋3y ＋5＝0； 15．2； 16．(x -1)2＋(y -3)2＝4；17．①k ＝3±10．②3-10＜k ＜3＋10； 18．切线的方程为3x -4y ＋6＝0或x ＝2； 19．(x -1)2＋(y -1)2＝2，或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2．8．3．1 椭圆1～5 ＤＣＣＤＢ 6～10 ＤＣＣＤＢ 11．54； 12．162y＋72x＝1； 13．152x＋102y＝1； 14．x ＋2y -8＝0；15．(3，4)∪(4，5)；16．⑴252x＋92y＝1，⑵812y＋452x＝1； 17．92x＋3652y＝1；18．332； 19．812x＋362y＝1(x ≠0)．8．3．2 椭圆的几何性质1～5 ＡＤＤＢＡ 6～10 ＣＢＣＣＤ 11．(0，-1)与(0，1)；(±3，0)， (0， ±2)；21； 12．122x＋92y＝1； 13．5；14．21；15．5384； 16．长轴长为8，短轴长为6，离心率为47焦点坐标为(±7，0)，顶点坐标为(±4，0)，(0，±3)； 17． 92x＋y 2＝1，或812y＋92x＝1；18．⑴92x＋y 2＝1，⑵线段AB 的中点的坐标为(-59，51)； 19．162x＋82y＝1．8．4．1 双曲线1～5 ＣＤＣＡＢ 6～10 ＤＢＢＤＢ11．F 1(0，-7)、F 2(0，7)； 12．3； 13．16； 14．22，217，F 1(-17，0)、F 2(17，0)； 15．1； 16．18822=-yx； 17．1752522=-yx；18．116922=-yx，x ≥3； 19．m ＜2．8．4．2 双曲线的几何性质1～5 ＢＣＣＡＣ 6～10 ＡＤＤＢＢ11．F 1(-7，0)、F 1(7，0)，A 1(-3，0)、A 2(3，0)，321； 12．1322=-yx；13．2，y ＝±x ； 14．1； 15．3； 16．116922=-yx；17．112422=-xy；18．152022=-yx； 19．12．8．5．1抛物线及其标准方程1～5 ＢＣＤＡＢ 6～10 ＢＡＤＣＣ11．y 2＝±4x 或x 2＝±4y ； 12．y 2＝-12x ； 13．（±6，9）； 14．(4a ，0)，x ＝-4a ； 15．25； 16．解：⑴x 2＝-8y 或y 2＝16x ，⑵y 2＝29x 或x 2＝-34y ；17．24； 18．y 2＝6x 或y 2＝-2x ； 19．（4，4）（提示：|PA|＋|PF|最小值等于由A 点向抛物线准线x ＝-1所作垂线段的长度）8．5．2 抛物线的几何性质1～5 ＡＤＣＣＤ 6～10 ＣＡＢＣＢ 11．x ≥0，x 轴，(0，0)，1； 12．2； 13．（21，1）； 14．x ＝0或y ＝-1或y ＝-43x -1；15．y 2＝20x ； 16．y 2＝±63a x ； 17．直线方程为5x -4y ＋3＝0；18．k ＝-1时，l 与c 相切；k ＞-1时，l 与c 相交l ；k ＜-1时，l 与c 相离．9．1 平面的基本性质1～5 ＣＢＤＣＣ 6～10 ＣＡＤＢＤ11．⑶； 12．3； 13．平行四边形； 14．2，3或4，8； 15．7个； 16．略； 17．略； 18．略．9．2．1 空间直线——平行1～5 ＣＤＢＡＢ 6～10 ＢＣＢＢＣ11．相交或异面； 12．相交或异面； 13．相等； 14．1个或3个； 15．平行或相交或异面；16．证明略； 17．证明略； 18．证明略； 19．△ABC 与 △A ′B ′C ′面积之比为1：9．9．2．2 空间直线——异面1～5 ＤＣＣＤＤ 6～10 ＢＢＣＤＣ11．90°； 12．510； 13．90°； 14．2； 15．60°； 16．略；17．60°； 18．51； 19．⑴略，⑵22．9．3．1 直线与平面的位置关系——平行 1～5 ＡＡＣＤＤ 6～10 ＣＤＣＣＢ11．相等； 12．平行、相交、在面内； 13．有且只有一条； 14．＝； 15．无数； 16．证明略； 17．证明略； 18．证明略； 19．证明略．9．3．2 直线与平面垂直1～5 ＣＤＤＢＤ 6～10 ＣＤＤＡＢ 11．1，无数； 12．1或4； 13．136013； 14．3，7212； 15．①④；16．略； 17．略； 18．⑴略，⑵6．9．4．1 斜线和平面所成的角1～5 ＢＤＣＡＤ 6～10 ＡＡＢＢＣ11．60°； 12．45°； 13．充分不必要； 14．90°； 15．1； 16．2；17．33； 18．（1）|PO|＝a ，（2）在α内以O 为圆心，a 为半径的圆．9．4．2 三垂线定理及逆定理1～5 ＡＢＣＣＤ 6～10 ＣＡＣＡＤ11．略； 12．略； 13．60°； 14．外心； 15．11．9．5．1 两平面的位置关系——平行1～5 ＢＣＤＡＤ 6～10 ＤＣＢＢＣ11．平行； 12．平行； 13．13或5； 14．平行或相交； 15．12cm ；16．略； 17．3； 18．⑴略，⑵9； 19．略．9．5．2 二面角1～5 ＢＢＣＢＡ 6～10 ＢＢＡＡＣ11．[0，π]； 12．垂直； 13．120 ，13； 14．2； 15． 33； 16．105°； 17．⑴证明略，⑵A 1O ＝OC 1＝63a ．9．5．3 平面与平面垂直1～5 ＤＢＤＤＡ 6～10 ＣＤＣＤＢ11．1； 12．两两垂直； 13．5； 14．7cm ； 15．4； 16．证明略； 17．证明略； 18．CD 长为14或10．高二上学期期末考试模拟试题1～5 ＢＢＣＢＣ 6～10 ＤＣＤＤＢ11．x+y-5=0； 12．4或9； 13．2，y=±x ； 14．相离； 15．37；16．x-y+1=0或x+y-5=0； 17．3x+4y-20=0； 18．18422=-yx； 19．略；20．⑴略，⑵2； 21．⑴（1+p ，p)，⑵2110．1．1 数列的概念1～5 ＣＤＡＡＢ 6～10 ＡＡＤＣＢ 11．nnn a n24342--=； 12．5； 13．16； 14．23； 15．)110(95-=nna ； 16．113+-=n a n ； 17．⑴a 1＝a 2，⑵n 的取值集合为{1,2,3,4,5}； 18．⑴21++=n n a n ，⑵数列｛a n ｝是递增数列．10．1．2 数列的前n 项和1～5 ＢＤＢＤＢ 6～10 ＣＤＤＡＣ 11．11-+n ； 12．81100； 13．132-⨯n ； 14．1029； 15．671；16．1，2，5，26，677； 17．(1)⎩⎨⎧-=361n a n2,1,≥=n n ，(2)273； 18．12+n n ；19．(1)400，(2)a n ＋1＝0.96a n ＋0.16b n ，(3)略.10．2．1 等差数列1～5 ＣＣＤＤＣ 6～10 ＣＡＢＣＤ11．4，7，10或10，7，4； 12．36 ； 13．9 ； 14．23-3 ， 23， 23＋3； 15． 4或16； 16．有34项； 17． a n ＝31(n ＋1)或a n ＝31(11-n)18．这三个数分别是1121,1149,7 ．10．2．2 等差数列的前n 项和1～5 ＢＡＣＢＢ 6～10 ＤＡＡＣＣ 11．44； 12．20； 13．232nn+； 14．30； 15．1或20； 16．495；17．43； 18．a 1＝-1，d ＝-2，n ＝5．10．3．1 等比数列1～5 ＤＡＤＣＤ 6～10 ＣＡＤＢＣ 11．3； 12．4，6，9或-4， 6，-9； 13．1)32(3--∙=n na ； 14．1，3，9；15．±2； 16．4； 17．32； 18．a 4＝1； 19．这三个数为18，-6，2或2，-6，18．10．3．2 等比数列的前n 项和公式1～5 ＢＤＢＡＤ 6～10 ＤＣＢＤＢ 11．88或248； 12．nnn n21222-++； 13． 2046； 14．15； 15．17； 16．S 6＝1663； 17．S n ＝24(1-)21n或S n ＝12(12-n)；18．a 1＝1，q ＝1，S 10＝1023； 19．S n ＝n 2+2n+1-2．10．4 数列的运用1～5 ＢＣＣＢＡ 6～10 ＡＢＣＢＣ11．61cm ； 12．1140； 13．146.1； 14．2700； 15．1700m ；16．总共要付1205元．17．⑴第10个正方形面积为2048cm 2，⑵这10个正方形的总面积为4092cm 2； 18．⑴第3年可以盈利；⑵总盈利为110万元； 19．第一年产量为3a ，第二年产量为6a ，第三年的产量为9a ，a n ＝[1＋(21)n-2]，⑵第6年产量不如上一年．11．1两个基本计数原理1～5 ＡＢＤＤＣ 6～10 ＤＡＢＢＤ11．45； 12．870； 13．64； 14．36，20； 15．180； 16．10条； 17．10000； 18． 14种； 19．⑴12种，⑵60种．11．2 排列与排列数1～5 ＣＢＣＤＢ 6～10 ＣＣＢＢＤ11．P 88（或8！或43020）； 12．840； 13．96，18； 14．2160； 15．2400； 16．516； 17．（n ＋1）!－1； 18．n ＝3．11．3．1 组合与组合数1～5 ＤＢＡＣＡ 6～10 ＡＢＢＣＢ 11．⑴4950，⑵23n n -，⑶ 4950； 12．10； 13．⑴165，⑵2； 14．31； 15．675；16．⑴ ①24P ＝12，②24C ＝6； ⑵ ①310P ＝720，②310C ＝120； 17．⑴816，⑵6936，⑶14656； 18．22种； 19．⑴x ＝3或x ＝5，⑵n ＝8，⑶x ＝1或x ＝3．11．3．2 排列与组合的应用(1)1～5 ＢＣＣＣＤ 6～10 ＢＡＢＤＡ11．3； 12．120； 13．60； 14．1260； 15．60； 16．445516P P +=504（个）； 17．20种； 18．211（个）； 19．⑴66，⑵1440．11．3．3 排列与组合的应用(2)1～5 ＢＢＣＣＣ 6～10 ＡＣＢＢＤ11．126； 12．540； 13．144； 14．58； 15．90；16．⑴47C ²55P ＝4200（种），⑵（55C ＋45C ²13C ＋35C ²23C ）²55P ＝5520（种）； 17．⑴55＝3125（种），⑵25C ²45P ＝1200（种）；18．⑴412C -47C ＝460（种），⑵49C ＋13C ²39C ＋23C ²29C ＝486（种）；19．2255510P C C ∙²15C ²15C ＝3150（种）．11．4．1 二项式定理及通项公式1～5 ＣＢＢＡＡ 6～10 ＣＢＤＢＣ11．23； 12．40，10； 13．±2； 14．11； 15．1，10；16．原式＝x 12+6x 9+15x 6+20x 3+15+6x -3+x -6； 17．T 1＝x 5,T 7＝26615C ,T 13＝212315C x -5； 18．略； 19．120．11．4．2 二项式定理的运用1～5 ＣＤＣＡＤ 6～10 ＢＤＢＣＢ11．2n -1； 12．2； 13．-126x 2； 14．63； 15．1； 16．展开式的中间项为280x 2； 17．n ＝11；各项系数和为1； 18．⑴2186，⑵39062，⑶57＝78125； 19．略12．1 随机事件1～5 ＡＣＡＣＣ 6～10 ＢＤＢＣＢ11．随机事件； 12．A ＝“向上点数之和大于6点小于13点”； 13．⑴A ∩B ＝∅，B A ＝Ω；⑵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝Ω； 14．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}； 15．互斥； 16．⑴不可能事件，⑵是随机事件，⑶是随机事件； 17．Ω＝{(正，正)， (正，反)，(反，正)，(反，反)}，⑵A ＝{(反，正)，(反，反)}，B ＝{(正，反)，(反，正)，(反，反)}； 18．1470； 19．⑴Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A ＝{2，4，6，8，10}，B ＝{3，6，9}；⑵A ∪B ＝{2，3，4，6，8，9，10}，A ∩B ＝{6}，A ∩B ＝{2，4，8，10}．12．2 等可能事件的概率1～5 ＤＤＣＣＢ 6～10 ＡＢＤＢＡ 11．43； 12．3512； 13 ．157； 14．1813； 15．301； 16．254；17．1611； 18．⑴597，⑵5915，⑶1711300； 19．31.12．3 概率的加法公式与乘法公式1～5 ＤＣＢＡＡ 6～10 ＢＣＣＢＣ 11．0.3； 12．21； 13 ．31； 14．0.096； 15．31，32； 16．2417；17．⑴0.52，⑵0.29； 18．0.21048； 19．⑴0.56，⑵0.94，⑶0.44．12．4 独立重复试验1～5 ＤＢＣＤＡ 6～10 ＢＡＣＡＢ11．P n (k)＝kn k k n p p C --)1(，第k+1项，a ＝1-p,b ＝p ； 12．0．992； 13．35C ³0．93³0．12+45C 0．94³0．1+0．95； 14．12C ³（53）2³52+（53）2＝12581；15．（1-p ）5＝1-243211,p ＝31； 16．24C ³0．82³0．22＝0．1536；17．⑴0.6³0.43＝0.0384，⑵34C ³0.63³0.4＝0.3456； 18．57C ³0.955³0.052+67C ³0.956³0.05+0.957；19．274⎪⎭⎫ ⎝⎛+12C ³⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛747374＝343208．高二下学期期末考试模拟试题1～5 ＣＡＤＢＤ 6～10 ＢＣＣＤＣ11．180； 12．540； 13．2880； 14．1.021； 15．512135；16．n=6,q=2或21； 17．两数列相同项共有25项； 18．他们要过１１０年后才能吃上免费午餐，我想他们等不到那个时候； 19．常数项是10； 20．三位都过该高度的概率是151； 21．⑴略，⑵a n =2+n2.。

高考数学第一轮总复习7-1(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版

121.( 文)(2012 ·天津文，5) 设x∈ R，则“x>2”是“2x＋x－1>0”的 () A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不必需条件[答案]A[ 分析 ]此题考察充要条件，解一元二次不等式的知识．由 2x2＋x－ 1>0 得( x＋ 1)(2 x－ 1)>0 ，即 x112＋x－1>0，<－ 1 或x> ，又因为x>? 2x22而 2x 2－ 1>0?/x1＋>，选A. x2( 理 )(2012·河北保定模拟 ) 若a>0 且a≠1，b>0，则“ log a b>0”是“(a－1)( b－ 1) ＞0”的()A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件[答案]C[ 分析 ] ∵a>0 且a≠1，b>0，∴ log b>0?0<a<1，或a>1，? ( a－ 1)( b－ 1)>0.0< <1，>1.ab b2．( 文 )(2 011·甘肃天水一中期末) 已知a、b为非零实数，且a<b，则以下不等式建立的是()22 1 1A．a b1 111C.ab2<a2bD.a－b>a[答案] C[分析]∵，b 为非零实数，且< ，∴当＝－ 5，＝ 1 时， A、 B 不建立，当＝ 1，ba ab a b a＝2 时， D不建立，应选 C.2 2 a b 1 1[评论] C 可证明以下：∵a、b为非零实数，∴a b >0，∵a<b，∴a2b2<a2b2，∴ab2<a2b.( 理)(2011 ·泉州质检 ) 已知a、a∈ (0,1)，记 M＝ a a ，N＝ a ＋ a －1，则 M与 N 的大121212小关系是 ()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确立[答案]B[分析]由题意得－＝－－＋1＝(－ 1)(－1)>0，故>，选B.3．(2011 ·山东临沂模拟 ) 已知 0<a 0B ． 2<2b aa ＋b 1C ． 2< 2D ． log 2a ＋ log 2b <－ 2[答案]D13[ 分析 ]当 a ＝ 4， b ＝ 4时 A 不建立；a － b1a －b － 1a －b <－ 1，对B 有2 <2? 2<2 ? 又 a ＋b ＝ 1，可得 a <0，与 a >0 矛盾；b ab aa ＋b 1a ＋b－ 1b a b a对C 有2< 2? 2<2 ? a ＋ b <－ 1，与 a ＋ b >2( ∵ a ≠ b ，且 a >0，b >0) 矛盾，故选 D.4．(2011 ·海南三亚联考22－ 2mx ＋ 1>0，若) 已知 p ：? x ∈ R ， mx ＋2≤0， q ：? x ∈ R ，x p ∨ q 为假命题，则实数 m 的取值范围是 ()A ． m ≥1B ． m ≤－ 1C ． m ≤－ 1 或 m ≥1D ．－ 1≤ m ≤1[答案] A[ 分析 ] ∵ p ∨ q 为假命题，∴ p 和 q 都是假命题．22由 p ：? x ∈ R ， mx ＋2≤2 为假，得 ? x ∈ R ， mx ＋2>0，∴ m ≥0. ①由 q ：?x ∈ R ，x 2＋ 1>0 为假，得 ?x 0∈ R ，2－ 2 0＋1≤0，－2mxxmx22②∴Δ＝ ( － 2m ) －4≥0? m ≥1? m ≤－ 1 或 m ≥1.由①和②得 m ≥1，应选 A.5．( 文)(2011 ·吉林长春模拟 ) 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ( －∞， 0] 上是减函数，1且 f 2 ＝ 2，则不等式 f (log 4x )>2 的解集为 ()1A ．(0， 2) ∪(2 ，＋∞ )B ． (2 ，＋∞)C ．(0，22 ))∪( 2，＋∞) D． (0，2 2[答案 ] A[分析]作出函数f ( x ) 的表示图如图，则log 4 x 1或 log 41 x >2或0<x 1> <－，解得< . 故2 x 22选 A.x －1， x <2，2e( 理)(2011 ·河南郑州第二次模拟) 设 f ( x ) ＝ log 3x 2－ 1 ，x ≥2，则不等式f ( x )<2 的解集为 ()A ． ( 10，＋∞ )B ． (－∞， 1)∪[2 ， 10)C ． (1,2) ∪( 10，＋∞ )D ． (1， 10)[答案]Bx <2 ，≥ ，x <2，x ≥2，[ 分析 ] f ( x )<2 ?或x2或x － 1log2 <2.?x <10.?2e<2，3x － 1x <1，x <1 或 2≤ x < 10，应选 B.6．(2012 ·哈尔滨三中模拟 ) 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，当 0< <1 时， f ( x ) ＝lg x .x635设 a ＝ f ( 5) ， b ＝ f ( 2) ， c ＝ f ( 2) ，则 ()A ． a <b <cB ． b <a <cC ． c <b <aD ． c <a <b[答案] D[分析] ∵ f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，51 3 1 6 4∴ f ( 2) ＝ f ( 2) ， f ( 2) ＝－ f ( 2) ， f ( 5) ＝－ f ( 5) ，14∵ 0<x <1 时， f ( x ) ＝ lg x ，∴ f ( 2)< f ( 5)<0 ，14 1∴ f ( 2)<0< － f ( 5)< － f ( 2) ，即 c <a x2－x的解集为 {x|1<x<2} ，则实数的值为 ________．m x m[答案]2[分析]解法 1：由m( x－ 1)> x2－x整理得 ( x－ 1)(m－ x)>0，即( x－1)( x－ m)<0，又 m( x －1)> x2－x的解集为 { x|1< x<2} ，因此m＝2.解法 2：由条件知，x＝2是方程 m( x－1)＝ x2－x 的根，∴m＝2.9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙＝＋＋ ( 、为正实数 )，若 1⊙<3，b ab a b a b k则 k 的取值范围为________．[ 答案 ] (0,1)[ 分析 ]由题意得1⊙k＝k＋1＋k<3，即(k＋2)(k－1)<0，因此0<k<1.10．欣园食品加工厂要为员工每人配一身工作服和若干帮手套，市场价每套工作服53元，手套 3 元一副，该工厂联系了两家商铺，因为用货量大，这两家商铺都给出了优惠方法．商铺甲：买一赠一，买一套工作服赠予一帮手套；商铺乙：打折，按总价的95%收款．现该工厂需要工作服75 套，手套若干( 许多于 75 套 ) ，若你是厂长，你选择哪一家？[ 分析 ]设需要手套x 副，付款数为 y 元，按商铺甲的优惠方法付款：y1＝75×53＋3( x －75) ＝ 3x＋ 3750( x≥75) ；按商铺乙的优惠方法付款：y2＝(75×53＋3x)×95%＝2.85 x＋3776.25( x≥75)．令 y1＝ y2，即3x＋3750＝2.85 x＋3776.25，解得 x＝175，即购置175帮手套时，两商铺优惠同样．当 75≤x<175 时，y1<y2，选商铺甲省钱；当 x>175时， y1>y2，选商铺乙省钱．综上所述，当买175 帮手套时，两商铺的价钱同样，选择哪个商铺都能够；当买的手套数多于75 套少于 175 套时，选商铺甲优惠；当买的手套数多于175 副时，选商铺乙优惠.能力拓展提高11.( 文 ) 若对于x 的不等式( m－1) x<4x－x2的解集为 { x|0< x<2} ，则实数m 的值是()1A. 2B． 1C．2 D ．0[答案]C[分析]在同一平面直角坐标系中画出函数y＝4x－x2和y＝ ( m－ 1) x的图象，联合题意及图象可知，函数y ＝( －1)x的图象必经过点(2,2)，即有 2(－1) ＝ 2，求得＝2. 应选m m mC.( 理)(2011 ·杭州二模 ) 对于实数x，规定 [ x] 表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[ x]2－ 36[ x] ＋ 45<0 建立的x的取值范围是 ()315A．( 2，2 ) B ．[2,8]C． [2,8)D ． [2,7][答案]C[分析]由 4[ ] 2－36[x ] ＋45<0，得3<[x]<15，x22又 [ x] 表示不大于x的最大整数，因此2≤x<8.12．( 文 ) (2012 ·延边州质检 ) 函数f (x) 的定义域为 R， (1)＝ 8，对随意x∈R，′( )>6 ，f fx设 F( x)＝ f ( x)－6x－2，则 F( x)>0的解集为()A．(1，＋∞) B ． ( －1,1)C． ( －∞，－ 1) D ． ( －1，＋∞)[答案]A[ 分析 ] ∵f′(x)> 6，∴ F′(x)＝f′(x)－6>0，∴F( x)为增函数，又 F(1)＝ f (1)－6－2＝8－6－2＝0，∴ F( x)>0，即 F( x)> F(1)，∴ x>1，应选 A.( 理)(2012 ·包头一中期末) 设偶函数 f ( x)知足 f ( x)＝2x－4( x≥0)，则{ x| f ( x－2)>0}＝()A． { x| x<－ 2 或x>4} B ． { x| x<0 或x>4}C． { x| x<0 或x>6} D ． { x| x<－ 2 或x>2}[答案]B[ 分析 ]令t＝x－2，则f(x－2)>0化为f(t)>0，∴ t≥0时，2t－4>0，∴t>2，又f(x)为偶函数，∴ t <0时， f ( t )>0的解为 t <－2，∴ x－2>2或 x－2<－2，∴ x>4或 x<0，应选B.[评论]也能够先由偶函数定义求出 f ( x)在R上的分析式，再代入 f ( x－2)>0中化为对于 x 的不等式组求解．13．(2011 ·海淀抽检 ) 若对于x的不等式 4x－ 2x＋1－a≥0在 [1,2]上恒建立，则实数 a 的取值范围为 ________．[答案]( －∞， 0][ 分析 ] ∵ 4x－ 2x＋1－a≥0在[1,2]上恒建立，x x ＋1∴4 － 2 ≥a在[1,2] 上恒建立．令 y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴ 2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当x＝ 2，即x＝ 1 时，y有最小值 0，∴a∈ ( －∞， 0]．26*14．(2012 ·重庆市期末 ) 已知a>1，若不等式 log a＋1x－ log a x＋5<n＋n对随意n∈N 恒成立，则实数 x 的取值范围是________．[答案](1 ，＋∞)6*[ 分析 ] ∵n>0，n＋n≥26，当n＝6时取等号，但n∈N，∴ n＝2或3，当 n＝2时， n 666＋n＝ 5，当n＝ 3 时，n＋n＝ 5，∴n＋n≥5，由条件知， log a＋1x－log a x＋ 5<5，∴log a＋1x<log a x，又 a>1，∴ x>1.ax－515．已知对于x 的不等式x2－a<0的解集为 M.(1 ) 当a＝ 4 时，求会合M；(2)若 3∈M且 5?M，务实数a的取值范围．4x－ 55 [分析](1) a＝4 时，不等式化为x2－4<0，解得M＝(－∞，－2)∪4，2 .3a－ 5<0，3∈ ，9－aM(2) a≠25 时，由得5a－55?M，25－a≥0.∴∈1，5∪ (9,25) ；a3当 a＝25时，不等式化为25x－ 5 2<0，x －251∴M＝(－∞，－5)∪5，5 .知足 3∈M且 5?M，∴a＝25 知足条件．综上得 a 的取值范围是1，5．3∪ (9,25]16． ( 文 ) 已知向量a ＝ (， ) ，＝(1－，) ，此中∈R. 若f() ＝·.x m b x x m x a b(1)当 m＝3时解不等式 f ( x)< x；(2) 假如f ( x) 在( － 2，＋∞ ) 上单一递减，务实数m的取值范围．[ 分析 ]因为a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，因此 f ( x)＝ a·b＝－ x2＋( m＋1) x.(1)当 m＝3时， f ( x)＝－ x2＋4x，不等式 f ( x)< x，即－ x2＋4x<x，解得 x>3或 x<0，因此 m＝3时，不等式 f ( x)< x 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．2m＋1(2) 假如f ( x) ＝－x＋ ( m＋1) x在 ( －2，＋∞ ) 上单一递减，则有2≤－2，解得m≤－5，因此实数 m的取值范围是m≤－5.( 理 ) 某产品生产厂家依据过去的生产销售经验获得下边相关生产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为G( x)(万元)，此中固定成本为 2 万元，而且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元 ( 总成本＝固定成本＋生产成本) ；销售收入R( x)(万元)知足：－ 0.4 x2＋4.2 x－ 0.80≤x≤ 5，R( x)＝10.2x>5.假设该产品产销均衡，那么依据上述统计规律．(1)要使工厂有盈利，产量 x 应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？[分析]依题意， G( x)＝x＋2设收益函数为 f ( x)，则f ( x)＝－ 0.4 x2＋3.2 x－ 2.80≤x≤5，8.2 －xx>5 .(1)要使工厂有盈利，即解不等式f ( x)>0，当0≤ x≤5时，解不等式－0.4 x2＋3.2 x－2.8>0即x2－8x＋7<0，得1<x<7，∴ 1<x≤5.当 x>5时，解不等式8.2 －x>0，得x<8.2，∴5<x<8.2综上所述，要使工厂盈利， x 应知足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100 台，小于820台的范围内．(2)0 ≤x≤5时，f ( x) ＝－ 0.4( x－4) 2＋ 3.6 ，故当 x＝4时， f ( x)有最大值 3.6，而当 x>5时， f ( x)<8.2－5＝3.2.因此，当工厂生产400 台产品时，盈利最多．π2x<1”是“ x sin x<1”的()1．设 0<x< 2，则“x sinA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件[答案]Bπ2[ 分析 ] ∵ 0<x< 2，∴ 0<sin x<1，∴ 0<sin x<sin x<1∴sin2<s inxx x x则 x·sin x<1? x·sin2x<1建立，但 x sin2x<1建即刻，得不出 x sin x<1建立，∵ x sin2x<1 11? x sin x<sin x，但sin x<1 必定不建立．应选 B.2．已知> ≥2，有以下不等式：①b 2>3－；②1＋4>211；③ >＋；④＋a b b aab a b ab a blog 3>log3，此中正确的选项是 ()a bA．②④ B．①②C．③④ D．①③[答案] D224 [ 分析 ] ∵a>b≥2，∴b－ (3 b－a) ＝b( b－ 2) ＋ ( a－b)>0，∴ b >3b－ a，①正确；1＋ab－2222a＋b＝a－ 1b－ 1 ≥0，当b＝ 2 时，取等号，∴②错；ab－( a＋ b)＝ a( b－1)－ b≥a－11，即 log a3<log b3，b>0，故③正确； y＝log3x 为增函数，∴log3a>log3b≥log32>0，∴<log a log3b3故④错，∴选 D.3．已知实数x知足x2＋x<0，则x2、x、－x的大小关系是 () A．－x<x<x2B．x<－x<x222C．x <x<－x D．x<x <－x[答案]D[ 分析 ] ∵x2＋x<0，∴－ 1<x<0，∴0<x2<1,0< －x<1，又 x2－(－ x)＝ x2＋ x<0，∴ x2<－ x，故 x<x2<－x.212[评论]可取特值查验，由x＋ x<0得－ 1<x<0，取x＝－3知，x<x <－x.1x≥0，4．已知f ( x) ＝x<0 .则不等式 xf ( x)＋ x≤2的解集是________．0 [答案]( －∞， 1][分析]2x≤2，x≤2，原不等式化为①或②x≥0，x<0.它们的解集分别为[0,1] ， ( －∞， 0) ，取并集得原不等式的解集为(－∞， 1] ．5．(2012 ·山东青岛市检测 ) 已知函数y＝ax2＋ 2ax＋1的定义域为R，解对于x的不等式 x2－ x－ a2＋a>0.[剖析]函数 y＝ f x的定义域为 R，即f ( x) ≥0恒建立，ax2＋ 2ax＋1≥0恒建立，a＝0，a>0，不等式 x2－ x－ a2＋ a>0，可利用分组分解因式得，( x－a)( x＋a 即或1≥0，Δ≤ 0.－1)>0.[分析]因为函数y ＝ax2＋ 2＋ 1的定义域为 R，ax因此 ax2＋2ax＋1≥0恒建立(*)．当 a＝0时，1≥0恒建立，知足题意，当a ≠0时，为知足 (*) 必有>0 且＝ 4a2－ 4 ≤0，解得0< ≤1，a a a综上可知： a 的取值范围是0≤a≤1，原不等式可化为( x－a)[ x－ (1 －a)]>0 ，1当 0≤a<2时，解得x<a，或 x>1－ a；11当 a＝2时，解得 x≠2；1当2<a≤1时，解得x<1－ a，或 x>a，1综上，当 0≤a< 时，不等式的解集为{ x| x<a或x>1－a} ，29当 a＝1{ x| x∈R，x≠12时，不等式的解集为2} ，1当2<a≤1时，不等式的解集为{ x| x<1－a或x>a} ．10。

2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）

2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_同步练习g31006简易逻辑1.

同步练习g3.1006简易逻辑11、设M={x|x 2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M 的关系是A 、{a}=MB 、M ≠⊆{a}C 、M ≠⊇{a}D 、M ⊇{a}2、已知全集U=R ，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A ∩B=φ，则a 的取值范围是A 、 [0，2]B 、（-2，2）C 、（0，2]D 、（0，2）3、已知集合M={x|x=a 2-3a+2，a ∈R}，N 、{x|x=b 2-b ，b ∈R}，则M ，N 的关系是A 、 M ≠⊆NB 、M ≠⊇NC 、M=ND 、不确定4、设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x|x ∈Z ，且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是A 、11B 、10C 、16D 、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A 、15B 、16C 、31D 、326、对于A 、所给C 、它的逆7、“α≠β”是cos α≠cos β”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、集合A={x|x=3k-2，k ∈Z}，B={1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m ∈Z}之间的关系是A 、S ≠⊆B ≠⊆A B 、S=B ≠⊆AC 、S ≠⊆B=AD 、S ≠⊇B=A9、方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A 、0<m ≤1或m<0B 、0<m ≤1C 、m<1D 、m ≤110、已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件充要条件 D 、既不充分又不必要条件11、已知M={Z 24m |m ∈-}，N={x|}N 23x ∈+，则M ∩N=__________。

12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。

人教版高考数学第一轮总复习试卷附参考答案

高考数学第一轮总复习试卷(附参考答案)立体几何综合训练第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题正确的是（）A ．直线a ，b 与直线l 所成角相等，则a//bB ．直线a ，b 与平面α成相等角，则a//bC ．平面α，β与平面γ所成角均为直二面角，则α//βD ．直线a ，b 在平面α外，且a ⊥α，a ⊥b ，则b//α2．空间四边形ABCD ，M ，N 分别是AB 、CD 的中点，且AC=4，BD=6，则（） A ．1<MN<5 B ．2<MN<10 C ．1≤MN ≤5 D ．2<MN<53．已知AO 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在α内的射影，直线OC 在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．不确定4．甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为θ，则cos θ值为（）A ．31-B ．31C ．21D ．21-5．对已知直线a ，有直线b 同时满足下面三个条件：①与a 异面；②与a 成定角；③与a 距离为定值d ，则这样的直线b 有（）A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条6．α，β是不重合两平面，l ，m 是两条不重合直线，α//β的一个充分不必要条件是（） A ．α⊂α⊂m l ，，且l//β，m//β B ．β⊂α⊂m l ，，且l//mC ．l ⊥α，m ⊥β，且l//mD ．l//α，m//β，且l//m7．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为AB ，1CC 的中点，则异面直线C A 1与EF 所成角的余弦值为（）A ．33 B ．32 C ．31 D ．618．对于任一个长方体，都一定存在一点：①这点到长方体的各顶点距离相等；②这点到长方体的各条棱距离相等；③这点到长方体的各面距离相等，以上三个结论中正确的是（）A ．①②B ．①C ．②D ．①③ 9．在斜棱柱的侧面中，矩形最多有几个？A ．2B ．3C ．4D ．610．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为52，则它的侧面积为（） A ．24 B ．12 C ．224 D ．21211．异面直线a ，b 成80°角，P 为a ，b 外的一个定点，若过P 有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于α，则角α属于集合（）A ．{α|0°<α<40°}B ．{α|40°<α<50°}C ．{α|40°<α<90°}D ．{α|50°<α<90°}12．从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器中水面的高度与注水时间t 之间的关系用图象表示应为（）第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．正四棱锥S-ABCD 侧棱长与底面边长相等，E 为SC 中点，BE 与SA 所成角的余弦值为_____________。

高考数学第一轮总复习2-6(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版

1. 已知点 ( 3 3) 在幂函数 f ( x ) 的图象上，则 f ( x )()3 ，A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数[答案]A1 α1α3 α － 22[分析 ]设 f ( x ) ＝x ，则 (3 )＝3，即 3＝ 3 ，故 α＝－ 1，所以 f ( x ) ＝ x－1，所以 f ( x ) 是奇函数．应选 A.35在[ － 1,1] 上是 ( )2． ( 文) 函数 y ＝ x A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数[答案] A3 3 35 5[ 分析 ] ∵5的分子分母都是奇数，∴f ( －x ) ＝ ( －x ) ＝－ x ＝－ f ( x ) ，∴ f ( x ) 为奇函数，3又 5>0，∴ f ( x ) 在第一象限内是增函数，又 f ( x ) 为奇函数，∴ f ( x ) 在 [ － 1,1] 上是增函数．1α( 理 ) 设 a ∈ { －1,1 ， 2， 3} ，则使函数 y ＝ x 的定义域为 R 且该函数为奇函数的全部α值为()A ． 1,3B ．－ 1,1C ．－ 1,3D ．－ 1,1,3 [答案]A1[分析]在函数 y ＝ x －1， y ＝ x ， y ＝ x 2， y ＝ x 3 中，只有函数 y ＝ x 和 y ＝ x 3 的定义域是R ，且是奇函数，故 α＝ 1 或 3.3．设 a ＝ 0.5 0.5 ， b ＝0.3 0.5 ， c ＝ log 0.3 0.2 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系是 ( )A ． a >b >cB ． a <b <cC ． b <a <cD ． a <c <b[ 剖析 ]a 、b 的指数同样，能够建立幂函数，使用幂函数的单一性比较大小，再结构对数函数以确立c 与 1 的大小关系，而后综合作出判断．[ 分析 ] 依据幂函数 y ＝ x 0.5 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加，可得 0.3 0.5 <0.5 0.5 <10.5 ＝ 1，即b <a <1；依据对数函数 y ＝ log 0.3 x 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递减，可得log 0.3 0.2>log 0.3 0.3 ＝1，即c>1.所以 < <.应选 C.b a c4．幂函数 y ＝ x －1 及直线 y ＝ x 、y ＝ 1、x ＝ 1 将平面直角坐标系的第一象限分红八个“区32域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧( 以下图 ) ，那么幂函数 y ＝ x 的图象经过的“区域”是()A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，②D ．⑤，①[答案] C323[ 分析 ] y ＝ x 是增函数，∵ 2 >1，∴其图象向下凸，过点 (0,0) ，(1,1) ，故经过地区②，⑥ .1225．给出以下几个幂函数f( x )( i ＝ 1,2,3,4) ，此中 f 1( )＝， 2( x ) ＝ x f 3( x ) ＝ x ，，if 4 1g i ( x ) ＝ f i ( x ) ＋ 3 x ( i ＝ 1,2,3,4) ．则能使函数g i ( x ) 有两个零点的幂函数有( x ) ＝ . 若x ()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[分析]函数 g ( x ) 的零点就是方程 g ( x ) ＝ 0 的根，亦即方程 f ( x ) ＋ 3x ＝ 0 的根，也就ii i是函数 f i ( x ) 与 y ＝－ 3x 的图象的交点，作出函数 f i ( x )( i ＝ 1,2,3,4) 的图象，可知只有 f 2( x )的图象与 y ＝－ 3x 的图象有两个不一样的交点，故能使g i ( x ) 有两个零点的幂函数只有 f 2( x ) ，选 B.2 26．(2011 ·青岛一中模拟 xm － 2m － 3是幂函数，且在 (0 ，＋∞ ) 上是) 函数 f ( x ) ＝ ( m － m － 1)减函数，则实数 m 的值为 ()A ．2B ．3C ．4D ．5[答案]A[分析]由题意知2－－ 1＝ 1，得＝－1或＝ 2，又由题意知 2－2 － 3<0，得＝mmmmm mm2. 应选 A.17． ( 文) 幂函数 y ＝ f ( x ) 的图象过点 4， 2 ，那么 f ′(8) 的值为 ________． [答案]2－64α1 α1[分析]设 f ( x ) ＝ x ，由条件知 2＝ 4 ，∴ α＝－ 2，1 3∴ () ＝－ 2，∴′()＝－1 －2 ，∴ 2f x x f2xf′(8) ＝－.x6411( 理 ) 若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A 4， 2 ，设它在 A 点处的切线为 l ，则过点 A 与 l 垂直的直线方程为 ________．[答案] 4x ＋ 4y － 3＝ 0[分析]α，∵ f ( x ) 图象过点 A ，设 f ( x ) ＝ x1 ∴ 1 α 11∴ f ( x ) ＝x 2，＝，∴ α＝ .42211∴ f ′(x ) ＝ 2x ，∴ f ′ 4 ＝ 1，故切线的斜率为 1，进而与 l 垂直的直线斜率为－ 1，故过 A 与 l 垂直的直线方程为1 1，y －＝－ 1× x －42即 4x ＋ 4y － 3＝0.1－ a8．已知函数 f ( x ) ＝ x3的定义域是非零实数，且在 ( －∞， 0) 上是增函数，在 (0 ，＋∞) 上是减函数，则最小的自然数a ＝ ________.[答案]3f x x x x1－a∴3<0，∴a>1.又∵ f ( x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f ( x)为偶函数，∵a∈N，∴a 的最小值为 3.9．( 文)(2011 ·淮北模拟) 已知函数f ( x) ＝x－1，若f ( a＋ 1)< f (10 － 2a) ，则a的取值范围是 ________．[答案]( －∞，－ 1) ∪ (3,5)[分析]由题意，得a＋1<0，10－ 2 >0，aa＋1>0，a＋1<0，或10－ 2 >0，或10－ 2 <0，a aa＋1>10－2a，a＋1>10－2a，∴ a<－1或3<a<5.d( 理 ) 若函数f ( x) ＝ax2＋bx＋c( a、b、c，d∈R) ，其图象以下图，则a: b: c: d＝ ________.[答案]1:(－6):5:( －8)[分析]由图象知， x≠1且 x≠5，故 ax2＋ bx＋ c＝0的两根为1,5.b＝－，－a＝ 6，b6a∴∴c c＝5a，a＝ 5，又 f (3)＝2，∴ d＝18a＋6b＋2c＝－8a.故 a: b: c: d＝1:(－6):5:(－8)．x3设两函数的图象交于点A( x1，10．函数f ( x) ＝2和 g( x)＝x 的图象的表示图以下图．y1)、 B( x2， y2)，且 x1<x2.(1)请指出表示图中曲线 C1、 C2分别对应哪一个函数？(2) 若x1∈[ a，a＋ 1] ，x2∈ [ b，b＋ 1] ，且a、b∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出 a、 b 的值，并说明原因；(3)联合函数图象表示图，请把 f (8)、 g(8)、f (2012)、g(2012)四个数按从小到大的次序摆列．[分析](1) 1对应函数() ＝3， 2 对应函数f (xx)＝2.C g x x C(2) 因为交点A( x，y ) ，B( x，y ) ，令h( x) ＝f ( x) －g( x) ，明显有h(1)＝ f (1)－ g(1)1122＝1>0，h(2)＝ f (2)－ g(2)＝－ 4<0，h(9)＝ 29－ 93＝－ 217<0，h(10) ＝ 24>0，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴ a＝1，b＝9.(3) 由幂函数及指数函数增加率可知， f (8)< g(8)< g(2012)< f (2012).能力拓展提高111.( 文) y＝ | x－3| 的图象为 ()[答案] A1[ 分析 ] y＝ | x－3| 为偶函数，应选 A.( 理)(2012 ·潍坊市高三模拟a a≥ b，f ( x)＝) 定义一种运算：a?b＝a<b已知函数b，2x ?(3 －x) ，那么函数y＝ f ( x＋1)的大概图象是()[答案]B[ 分析 ]如图．在同一坐标系内分别作出y＝2x与 y＝3－ x 的图象，据已知函数 f ( x)的定义知，同样x 对应的上方图象即为函数 f ( x)的图象(照实线部分所示) ，而后将其图象左平移 1 个单位即得函数y＝f ( x＋1)的图象，应选 B.12．(文 )幂函数 y＝ xα(α≠0)，当α取不一样的正数时，在区间[0,1] 上它们的图象是一族漂亮的曲线 ( 如图 ) ．设点A(1,0)，B(0,1)，连结 AB，线段 AB恰巧被此中的两个幂函数y＝ xα，y ＝β 的图象三平分，即有＝＝. 那么，αβ＝()x BM MN NAA． 1B． 2C． 3D．没法确立[答案]A1221[分析]由条件知， M 3，3、N 3，3，1 2 α2 1 β1αβ1β α 2 α1∴3＝3，3＝3，∴ 3＝3＝3＝3，∴αβ＝1.应选A.x1( 理 ) 函数y＝a＋ b 的图象以下图，则函数y＝ b＋x＋a的大概图象为()[答案] C[ 分析 ]由函数y＝a x＋b的图象知0<a<1，b<－ 1，11∵函数 y＝ b＋x＋a的图象可视作函数y＝x的图象，向左平移 a 个单位，向下平移－b 个单位获得的图象，即此中心( －a，b) 应位于第三象限，应选 C.11111 13．(2012 ·湖北要点中学联考) 已知a＝ ln 2010－2010，b＝ ln 2011－2011，c＝ln 2012 1－2012，则 ()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a[ 答案 ]A[ 分析 ]记f(x)＝ln x－x，则11－xf′(x)＝x－1＝x，当 0<x<1 时，f′(x)>0 ，所以函数 f ( x)在(0,1)上是增函数．11 1∵1>2010>2011>2012>0，∴ a >b >c ，选 A.2－x － 1x ≤0 ，14．( 文) 函数f ( x ) ＝1若 f ( x 0)>1 ，则 x 0 的取值范围是2x >0 .x________．[答案] x 0<－ 1 或 x 0>1[分析]当 x 0≤0时，不等式可化为 2－ x 0－ 1>1，即 2－x 0>2，解得 x 0<－ 1；当 x 0>0 时，12不等式可化为 x 0>1，解得 x 0>1，故 x 0 的取值范围是 x 0<－ 1 或 x 0>1.1 x22( 理 ) 在 y ＝ ( 2) ， y ＝ log 2x ， y ＝ x ， y ＝ x 3四个函数中，当 0<x 1<x 2<1 时，使 f (x 1＋ x 2 f x 1 ＋ f x 2)>2恒建立的函数个数是 ________．2 [答案] 2 个[分析]当0<1 < 2<1 时，使f x 1＋ x 2 f x 1 ＋ f x 2( )>恒建立，说明函数图形是向上xx222＝ log3凸的，而所考察函数图象只有2 ，＝x 两个切合要求．yx y15．已知 f ( x ) ＝ x α( 此中 α＝21， n 是偶数 ) 的图象在 [0 ，＋∞ ) 上单一递加，－ n ＋ 2n ＋ 3解不等式 f ( x 2－ x )> f ( x ＋ 3) ．[分析]12由条件知－ n 2＋ 2 n ＋ 3>0，即－ n ＋ 2n ＋3>0，解得－ 1<n <3. 又 n 是偶数，∴ n ＝ 0,2.1 3当 n ＝0,2 时， f ( x ) ＝ x . ∴ f ( x ) 在 R 上单一递加． ∴ f ( x 2－x )> f ( x ＋3) 转变为 x 2－ x >x ＋ 3，解得 x <－ 1 或 x >3，∴原不等式的解集为 ( －∞，－ 1) ∪ (3 ，＋∞ ) ．11 113- 33 - 3 x － xx + x16． ( 文 ) 已知函数f ( x ) ＝， g ( x ) ＝.55(1) 证明 f ( x ) 是奇函数，并求其单一区间；(2) 分别计算 f (4)－5f(2) g(2) 和f (9)－ 5f (3) g(3) 的值，并由此归纳一个波及函数f (x) 、 () 的对全部非零实数x都建立的等式，并证明．g x[分析] (1)证明：因为 f ( x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)对于原点对称，113- 3又 f (－ x)＝＝－x－ x＝－ f ( x)，5所以 f ( x)是奇函数．设 x1<x2， x1， x2∈(0，＋∞)，则 f ( x1)－ f ( x2)＝，∵，∴ f ( x1)－ f ( x2)<0.故 f ( x)在(0，＋∞)上是单一递加函数．又因为 f ( x)是奇函数，所以 f ( x)在(－∞，0)上也是单一递加函数，即 f ( x)的单一递加区间是( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) ．(2)经过计算可得 f (4)－5f (2) g(2)＝0，f (9)－5f (3) g(3)＝0，由此可得对全部非零实数x 都建立的一个等式是 f ( x2)－5f ( x) g( x)＝0.证明以下：( 理 ) 已知二次函数 f ( x)＝ax2＋ bx＋ c( a≠0)且知足 f (－1)＝0，对随意实数x，恒有 f ( x)－x≥0，而且当 x∈(0,2)时，有 f ( x)≤x＋12. 2(1)求 f (1)的值；(2)证明 a>0， c>0；(3) 当x∈ [ － 1,1] 时，函数g( x)＝ f ( x)－ mx( x∈R)是单一函数，求证：m≤0或 m≥1.[分析] (1)对x ∈ R，f( ) －≥0恒建立，x x当 x＝1时， f (1)≥1，又∵ 1∈ (0,2)，由已知得 f(1) ≤1＋1 2＝ 1，2(2)证明：∵ f (1)＝1， f (－1)＝0，∴ a＋ b＋ c＝1，11a－ b＋c＝0，∴ b＝2.∴ a＋ c＝2.∵ f ( x)－ x≥0对 x∈R恒建立，21∴ax －2x＋ c≥0对 x∈R恒建立，>0，a>0，a1∴ c>0，故 a>0， c>0.∴∴Δ≤ 0.ac≥16.1111(3)证明：∵ a＋c＝2， ac≥16，由 a>0， c>0及 a＋ c≥2 ac，得 ac≤16，∴ ac＝16，1当且仅当 a＝ c＝4时，取“＝”．121 1 ∴ f ( x)＝4x ＋2x＋4.1 2∴ g( x)＝ f ( x)－mx＝4x ＋111[x2＋ (2 －4m) x＋ 1] ．－ m x＋＝244∵ g( x)在[－1,1]上是单一函数，∴ 2m－1≤－ 1 或 2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.1．(2011 ·山东济南调研) 下边给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大概对应是()11A．①y＝x 32，③ y＝ x2，② y＝ x，④ y＝ x－112，④ y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④ y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x1 1 3，② y ＝ x 2D ．① y ＝ x ，③ y ＝ x 2，④ y ＝ x －1 [答案] B1 [ 分析 ] y ＝ x2 为偶函数，对应②； 2 定义域 x ≥0，对应③； y ＝ x －1y ＝x 为奇函数，且图11象与坐标轴不订交，对应④；y ＝ x 3 与 y ＝ x 3 均为奇函数，但 y ＝ x 3 比 y ＝ x 3 增加率大，故①对应 y ＝x 3.2．有 min{ ， } 表示a 、b 两数中的最小值，若函数f ( ) ＝ min{| x | ，| x ＋ |} 的图象关a bxt1 t 的值为()于直线 x ＝－对称，则2A ．－2B ．2C ．－1D ．1 [答案]D1[分析] 如图，要使 f ( x ) ＝ min{| x | ， | x ＋ t |} 的图象对于直线x ＝－ 2对称，则 t ＝1.3．(2011 ·新课标全国文， 12) 已知函数 y ＝ f ( x ) 的周期为 2，当 x ∈ [ － 1,1] 时 f ( x ) ＝x 2，那么函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ |lg x | 的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[答案]A[ 分析 ]由 y ＝f ( x ) 与 y ＝ |lg x | 图象 ( 如图 ) 可知，选 A.122－x－1≤0 ，4．已知函数f ( x) ＝x若方程 f ( x)＝x＋ a 有且只有两个不相等f x－1x>0 .的实数根，则实数 a 的取值范围是________．[答案]( －∞， 1)[分析]在同向来角坐标系内画出函数y＝ f ( x)和 y＝ x＋ a 的图象如图可知 a<1.5．(2012 ·浙江余姚中学模拟) 已知实数a、b知足等式 log a＝log b，给出以下五个关23系式：① > >1；② > >1；③< <1；④ < <1；⑤ ＝. 此中可能的关系式是________．a b b a a b b a a b[答案]②④⑤[分析]由已知 log a＝ log3b，在同一坐标系中作出函数y＝log x，y＝log x 的图象，223当纵坐标相等时，能够获得相应横坐标的大小关系，进而得出②④⑤可能建立．6．已知幂函数f ( x) 的图象过点 (2， 2) 且幂函数2x g( x)＝ xm－ m－2( m∈Z)的图象与轴、 y 轴都无公共点，且对于y 轴对称．(1)求 f ( x)、 g( x)的分析式；(2)当 x 为什么值时① f ( x)> g( x)；② f ( x)＝ g( x)；③ f ( x)< g( x)．[分析](1) 设f ( x) ＝xα，∵f ( x) 的图象过点 (2，2)，∴2＝(2) α，∴α＝ 2，∴f ( x) ＝x2；又 g( x)＝ xm2－ m－2的图象与 x 轴、 y 轴都无公共点，2∴ m－ m－2≤0，∴－1≤ m≤2.∵ m∈Z，∴ m＝0或±1或2，当 m＝0或1时，g( x)＝ x－2是偶函数，图象对于 y 轴对称，当 m＝－1或2时， y＝ x0也知足，故 g( x)＝ x－2或 g( x)＝ x0.(2)若 g( x)＝ x0＝1，则由 f ( x)> g( x)得， x2>1，∴ x>1或 x<－1.故 x>1或 x<－1时，f ( x)> g( x)，x＝±1 时，f ( x)＝ g( x)，－1<x<0或0<x<1时，f ( x)< g( x)．－2214若 g( x)＝ x，则由f(x)>g(x)得，x>x2，∴ x>1，∴ x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有 f ( x)> g( x)；当 x＝±1时， f ( x)＝ g( x)；当－1<x<0或0<x<1时， f ( x)< g( x)．综上知， x>1或 x<－1时， f ( x)> g( x)；x＝±1时， f ( x)＝g( x)；－1<x<0或0<x<1时，f ( x)< g( x)．。

2024年高考数学一轮复习第1章第1讲：集合(附答案解析)

第1页共23页2024年高考数学一轮复习第1章第1讲：集合学生版考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn
图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法集合
非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N *(或N ＋)Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．
(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )．
(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .
(4)
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算表示
运算
集合语言图形语言记法并集{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B。

人教版高考数学复习一本全附参考答案

人教版高考数学复习一本全附参考答案目录前言 (2)第一章高中数学解题基本方法 (3)一、配方法 (3)二、换元法 (7)三、待定系数法 (14)四、定义法 (19)五、数学归纳法 (23)六、参数法 (28)七、反证法 (32)八、消去法………………………………………九、分析与综合法………………………………十、特殊与一般法………………………………十一、类比与归纳法…………………………十二、观察与实验法…………………………第二章高中数学常用的数学思想 (35)一、数形结合思想 (35)二、分类讨论思想 (41)三、函数与方程思想 (47)四、转化（化归）思想 (54)第三章高考热点问题和解题策略 (59)一、应用问题 (59)二、探索性问题 (65)三、选择题解答策略 (71)四、填空题解答策略 (77)附录………………………………………………………一、高考数学试卷分析…………………………二、两套高考模拟试卷…………………………三、参考答案……………………………………前言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。

而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。

我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

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