探索性因子分析中统计方法的比对研究_王娜

使其达到最小的 F 就是因子得分的加权最小二乘估
计F赞 B =(A′D-1A）-1 A′D-1X
Bartlett 得分是无偏估计，因为 E(F赞 B│F)=F。
Anderson-Rubin 法是修正的 Bartlett 法，此时被估计
的因子得分与其他因子，还有因子与因子之间均是正交
成分分析法的一种修正，如果因子分析的主要目的是确定
数据结构，则主轴因子法是比较适合的，该方法从样本约
相关系数阵 R*=R-D 出发，由 R* 的前 m 个正特征值 λ1*叟
λ2*叟…叟λm*叟0
和正交单位特征向量
*
l1
*
,l2
*
,…,lm
，有近似分
解式 R*=AA′。
m
姨姨 姨 姨 姨 Σ 其中 A=
映像因子分解法实际上是使用多元回归的方法提取 因子，该方法由 Harman 于 1976 年提出，它将变量的公共 部分定义为其对剩余变量的线性回归，而非假设因子的 函数。
通过上述的分析，不难发现，一般情况下，在选择因子 提取方法的时候，主轴因子法和极大似然法是最佳的选 择，尽管在一些特殊的情况下，其他的方法可能会给出更 佳的结果。因此，建议当样本来自正态总体时选择极大似 然法，否则选择主轴因子法。
（沈阳工程学院，沈阳 110036） （Shenyang Institute of Engineering，Shenyang 110036，China）
摘要： 本文以探索性因子分析中统计方法的选择为目标，针对在许多应用探索性因子分析的文献中存在的统计方法选择不当致
使计算结果失真这一现象，对探索性因子分析中的 15 种统计方法进行了比对研究，并给出了建议。
Abstract: Taking the selection of statistical method in exploratory factor analysis as the target, and in view of the distortion of
calculation result due to improper selection of statistical methods in many literature using exploratory factor analysis, comparison research is
DOI:10.14018/13-1085/n.2014.17.002
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价值工程
探索性因子分析中统计方法的比对研究
Comparison Research of Statistical Method in Exploratory Factor Analysis
王娜 WANG Na
1.2 因子旋转方法比对 上述因子提取方法得出的因 子载荷矩阵往往不能满足简单结构准则，也就使得各个公 因子的典型代表变量不突出，不利于对因子进行解释，不 方便了解每个公共因子的实际意义，往往需要对因子载荷 矩阵进行因子旋转，以达到因子载荷矩阵每一列各元素的 平方，也就是因子载荷值按列向 0 或 1 两级转化，进而简 化其结构的目的。
分。它是利用回归的思想对因子得分函数进行估计，如果
公因子 F 对变量 X 的回归方程为
Fj=bj1X1+bj2X2+…+bjpXp+εj(j=1,2,…,m) 只要估计出回归系数就可以计算因子得分了，但是，
此时的回归问题中 F 为不可观测的，由因子载荷的意义
aij=E(XiFj)(i=1,2,…,p)，可以得出计算因子得分的函数
未加权最小平方法和综合最小平方法是最小二乘法 在因子提取中的应用，它们可以使观察的相关系数矩阵和 再生的相关系数矩阵之间的差的平方值之和最小，不同之 处在于综合最小平方法要对相关系数进行加权，权重为相 关系数单值的倒数。
Alpha 法是由 Rummel 于 1970 年，在他的《Applied Factor Analysis》一书中提出，他将分析中的变量视为来自 潜在变量全体的一个样本，使因子的 α 可靠性最大。
要求因子之间是相关的，实际上，因子之间是不相关的也
可以选择斜交因子模型。在斜交因子模型中，没有哪一种
斜交旋转是最好的。
Promax 旋转也称最优斜交旋转，该方法具有计算速
度快，原理简单的特点。只需要在通过方差最大的因子旋
转计算得到的因子载荷阵和一个具有最简结构的目标矩
阵，二者之间应用最小二乘法即可。
2 ┆┆ p┆
=AA′+D。
从而得到因子载荷矩阵 A。
如果因子分析的目的是用最少的因子最大程度解释
原始数据的方差，那么则应用主成分分析法就是最佳选
择，此方法用于形成原始变量的不相关的线性组合，其中
第一个成分具有最大的方差，后面的成分对方差的解释的
比例逐渐变小，它们相互之间均不相关。
另一个常用的提取因子的方法是主轴因子法，它是主
在实际研究中，研究者大量使用的是主成分分析法， 出现这一结果的最直接可能就是 SPSS 软件的缺省设置即 为主成分分析法。显然，因为主轴因子法使用迭代主因子 的方法，通过不断迭代，直至最后得到稳定的公因子方差 的值，所以，比起主成分分析法，主轴因子分析法得到的因 子载荷就相对更加准确。
当样本 X 来自多元正态总体 Np(μ,Σ)的情况下，因子 提取的方法要选择极大似然法。设Σ=AA′+D，取 μ=X，使 似然函数 L(X,AA′+D)达到最大的 A,D 即为所求的估计， 它生成的参数估计最有可能生成观察到的相关矩阵，极大 似然估计的计算一般也要使用迭代算法。
作 者 简 介 ：王娜（1979-），女，辽宁辽阳人，硕士研究生，副教授，从 事数学教育、应用统计研究等。
然法、主轴因子分解法、Alpha 法和映像因子分解法等 7
种方法；因子旋转的方法包括最大方差法、直接 Oblimin
法、最大四次方值法、最大平衡值法、Promax 法等 5 种方
法；计算因子得分的方法主 要 有 回 归 法 、Bartlett 法 和
对于因子模型 X=AF+ε 对公因子向量 F 实施任一正交变换：Z=Γ′F，则 X=（AΓ）Z+ε 进而 D（Z）=I,COV(Z,ε)=O,D(X)=AA′+D 也就是，对于任一正交变换，Z=Γ′F 也是公因子，AΓ 是公因子 Z 的载荷矩阵，只要反复进行正交变换，便可以 使因子载荷矩阵具有更加明显的实际意义。如果因子载荷 阵的方差尽可能大，那么因子载荷列向量的数值就越分 散，如果此时载荷值按列向 0 或 1 两级转化，那么相应的 公因子就具有简化结构了。 方差最大的因子旋转是一种正交旋转法，由 Kaiser 于 1958 年提出，它通过迭代的方式，在满足因子载等 3 种方法。
1.1 因子提取方法比对 探索性因子分析中最常用的
提取因子的方法是主成分分析法，该方法从样本协方差阵
S 出发，由的谱分解式
p
Σ′
S= λi li li
i=1
其中 λ1 叟λ2 叟…λp叟0 为 S 的特征值，l1,l2,…,lp 为对应
的单位正交特征向量，当最后 p-m 个特征值较小时，可将
尽可能大的情况下，使具有高载荷的因子数目达到最小。
方差最大的因子旋转是目前正交旋转方法中效果最好的
一种。
最大四次方值旋转，又称最大正交旋转法，该方法使
得每个变量中需要解释的因子数目最少。
最大平衡值旋转，该方法是最大方差旋转和最大四次
值旋转的结合，可以使高度依赖因子的变量的个数以及解
释变量所需的因子个数最少
直接 Oblimin 旋转，也是斜交旋转中的最大方差法，
当参数 δ=0 时，解是最斜交的，当参数 δ 负的程度越大时，
因子的斜交程度越低。
虽然，斜交旋转没有正交旋转使用普遍，但是建议研
究者们使用斜交旋转，以便得到最真实的计算结果。
1.3 计算因子得分方法比对 计算因子得分的回归法
是由 Thompson 于 1939 年提出的，也常称为 Thompson 得
在正交因子模型中，公共因子之间是正交的，进行的
因子旋转也是正交旋转，在旋转的过程中始终保持公共因
子之间不相关的特点。但是在实际问题中，往往公共因子
之间存在相互关系，因子之间是相互关联的，也就是斜交
公因子，如果错误的选择了正交旋转，会给研究结果带来
偏差，此时的正交旋转只能作为斜交因子模型的一种近
似。在研究者中普遍存在一种误解，那就是斜交因子模型
**
**
λ1 l1 ， λ2 l2 ,…,
**
λm lm
，σ赞
2
i =1-
2
ai（t i=
t=1
2
2
1,2,…，p）。实际上，公因子方差 hi =1-σi 往往是未知的，经
Value Engineering
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常取 hi 为第 i 个变量与其他所有变量的多元相关系数的 平方作为公因子方差的初始估计值，采用迭代主因子的方 法，直到某次迭代和下次迭代之间公因子方差的改变幅度 能满足抽取的收敛条件，得到稳定的解。
F赞 T
-1
=A′R
X
又因为 E(F赞 T│F)=(I+A′D-1A)-1A′D-1AF，说明 Thompson
得分是有偏估计。
Bartlett 法是利用加权最小二乘法估计因子 F 的得分
的，选择误差方差的倒数作为误差平方和的权重，有
Σp
2
εi
2
-1
-1
ε′D ε=（X-AF）′D （X-AF）
σ i = 1 i
done to the 15 statistical methods and suggestions are presented.
关键词： 探索性因子分析；统计方法；比对研究