11章因式分解

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2024年第十一章因式分解练习题及答案11.2 提公因式法

【挑战】(2)请用分组分解法将ab-ac+b2-bc因式分解.
解:ab-ac+b2-bc=(ab-ac)+(b2-bc)=a(b-c)+b(b-c)=(b-c)(a+b).
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11.2 提公因式法
基础通关
能力突破
素养达标
素养达标
15. 认真阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
(2)2a(x-y)-6b(y-x);
解:2a(x-y)-6b(y-x)=2a(x-y)+6b(x-y)=2(x-y)(a+3b).
(3)(a-3)2+2a-6.
解:(a-3)2+2a-6=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)=(a-3)(a-1).
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11.2 提公因式法
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11.2 提公因式法
基础通关
能力突破
素养达标
提单项式公因式分解因式
4.[2023·浙江温州中考改编]分解因式2a2-2a的结果是 ( A )
A.2a(a-1)
B.2(a+1)(a-1)
C.2(a2-1)
D.2(a2+1)
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11.2 提公因式法
基础通关
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5.将- a b-ab 提公因式- ab后,另一个因式是

A.a+2b
B.-a+2b

冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》(同步教学设计)

冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》（同步教学设计）单元备课第 11单元本单元所需课时数5课时课标要求1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。

2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。

3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。

4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。

教材分析本章内容主要用于代数式的恒等变形，是数与代数知识后续学习的基础。

因式分解是以整式运算为基础的，是整式的一种恒等变形，也是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础.同时,它还有助于进一步发展学生的观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力。

主要内容本章的主要内容是因式分解的概念和分解因式的两种方法.提公因式法是分解因式最基本的方法,它实质上是单项式和多项式或多项式和多项式相乘的逆过程。

公式法是逆用整式的乘法公式，对某些多项式进行分解因式的方法。

教学目标1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。

2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。

3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。

4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。

课时分配11.1 因式分解 1课时11.2 提公因式法 1课时11.3 公式法 2课时教学活动回顾与反思 1课时教与学建议1.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯。

因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系。

在因式分解概念教学时,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活动中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”，从而培养学生逆向思考。

初中数学冀教版七年级下册第十一章因式分解11.1 因式分解-章节测试习题(2)

章节测试题1.【答题】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. =(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。

选D.2.【答题】下列变形是因式分解的是（）A. xy（x+y）=x 2 y+xy 2B. x 2+2x+1=x（x+1）+1C. （a﹣b）（m﹣n）=（b﹣a）（n﹣m）D. ab﹣a﹣b+1=（a﹣1）（b﹣1）【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A. 等式从左到右是把积化为和差的形式，故不正确；B. 等式的右边仍然是和的形式，故B不正确；C. 等式从左到右属于乘法的交换律，故C不正确；D. 等式从左到右把多项式化为了几个因式积的形式，属于因式分解，故D正确；选D.3.【答题】下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，所以，A、B、C都不符合，选D.4.【答题】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A.是多项式乘法，不是因式分解，错误；B.不是化为几个整式的积的形式，错误；C.是公式法，正确；D.不是化为几个整式的积的形式，错误；选C.5.【答题】下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：A、是整数的乘法，故A错误；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；D、是整数的乘法，故D错误；选C.6.【答题】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解： A.是整式乘法，故A错误；B.是因式分解，故B正确；C.左边不是多项式，不是因式分解，故C错误；D.右边不是整式积的形式，故D错误．选B.7.【答题】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．【解答】解： A.右边不是积的形式，故A选项错误；B.是运用完全平方公式，x2﹣8x+16=（x﹣4）2，故B选项正确；C.是多项式乘法，不是因式分解，故C选项错误；D.不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误．选B.8.【答题】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A. x2+2x+1=x(x+2)+1B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；B.，等式的左边不是多项式，不是因式分解；C.，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；D.，符合因式分解的定义，是因式分解.选D.9.【答题】若分解因式2x2＋mx＋15＝(x－5)(2x－3)，则（）A. m＝－7B. m＝7C. m＝－13D. m＝13【答案】C【分析】先把等式的右边化为2x2﹣13x+15的形式，再求出m的值即可．【解答】解：∵(x－5)(2x－3)= 2x2﹣13x+15，∴m=﹣13选C.10.【答题】下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，由此判断即可．【解答】解： A.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B.属于因式分解，故本选项正确；C.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D.等号左边不是多项式，单项式不涉及因式分解，故本选项错误．选B.11.【答题】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 6a2b3=2a2·3b3D. x2-4x+4=（x-2）2【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、右边不是积的形式，错误；C、不是把多项式化成整式的积，错误；D、是平方差公式，x2-4=（x+2）（x-2），正确．选D.12.【答题】下列从左到右的变形，是分解因式的为（）A. x2－x=x(x－1)B. a(a－b)=a2－abC. (a+3)(a－3)=a2－9D. x2－2x+1=x(x－2)+1【答案】A【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：因式分解是指将几个单项式的和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式,根据定义可知本题选A.13.【答题】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. (a＋5)(a－5)＝a2－25B. mx＋my＋2＝m(x＋y)＋2C. x2－9＝(x＋3)(x－3)D. 2x2＋1＝2x2【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：把一个多项式分解成几个整式积的形式，叫因式分解，选C.14.【答题】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A. a2－5＝(a＋2)(a－2)－1B. (x＋2)(x－2)＝x2－4C. x2＋8x＋16＝(x＋4)2D. a2＋4＝(a＋2)2－4a【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.右边不是整式的乘积，故A错误；B.是整式乘法，故B错误；C.正确；D.右边不是整式的乘积，故D错误．选C.15.【答题】下列由左边到右边的变形，是因式分解是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A. ∵的右边不是积的形式，故不是因式分解；B. ∵的右边有分式，故不是因式分解；C. ∵的左边时积，右边时多项式，故不是因式分解；D. ∵符合因式分解的定义，故是因式分解；选D.16.【答题】下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A. x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1B. x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC. x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D. （x+2）（x﹣2）=x2﹣4【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.右边不是积的形式，故A错误；B.右边不是积的形式，故B错误；C.x2﹣9=（x+3）（x﹣3），故C正确．D.是整式的乘法，不是因式分解．选C.17.【答题】下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A. m（x﹣y）=mx﹣myB. x2+2x+1=x（x+2）+1C. a2+1=a（a+）D. 15x2﹣3x=3x（5x﹣1）【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误；C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；选D.18.【答题】下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是（）A. a(x-y)=ax-ayB. x2+2x+1=x(x+2)+1C. (x+1)(x+3)=x2+4x+3D. x3-x=x(x+1)(x-1)【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A. 从左到右的变形，属于整式的运算，本选项不符合是题意；B. 右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合是题意；C. 从左到右的变形，属于整式的运算，本选项不符合是题意；D. ，从左到右的变形，属于因式分解，本选项符合是题意. 选D.19.【答题】下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A. 6a2b2＝3ab·2abB. 2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1C. a2－3a－4＝(a＋1)(a－4)D. a2－1＝a(a－)【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得选项C属于因式分解，选C.20.【答题】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.B.C. a2－4ab+4b2=(a－2b)2D. ax+ay+a=a(x+y)【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】由因式分解的定义知先排除A,B, 选项D.ax+ay+a=a(x+y+1),D错误.选C.。

冀教版七年级下册数学第11章因式分解提分专项(八) 因式分解的常用方法

解：x(x－4)(x－2)2－45 ＝(x2－4x)(x2－4x＋4)－45 ＝(x2－4x)2＋4(x2－4x)－45 ＝(x2－4x＋9)(x2－4x－5) ＝(x2－4x＋9)(x－5)(x＋1)．
(2)在(1)中，若x2－4x－6＝0，求上式的值.
解：当x2－4x－6＝0，即x2－4x＝6时，原式＝(x2－4x＋9)(x2－4x－5)＝(6＋9)×(6－5)＝15.
(1)x2－6x＋5；解：x2－6x＋5 ＝x2－6x＋9－4 ＝(x－3)2－4 ＝(x－3＋2)(x－3－2) ＝(x－1)(x－5)．
(2)4x2－8xy－5y2.
解：4x2－8xy－5y2 ＝4x2－8xy＋4y2－9y2 ＝4(x－y)2－9y2 ＝[2(x－y)－3y][2(x－y)＋3y] ＝(2x－5y)(2x＋y)．
(3)9(m＋＝n()n2－－m(m)2－. n)2.
解：9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)－(m－n)][3(m＋n)＋(m－n)] ＝4(2m＋n)(m＋2n)．
4.分解因式： (1)(x＋1)(x＋3)－3；
解：(x＋1)(x＋3)－3 ＝x2＋4x＋3－3 ＝x2＋4x ＝x(x＋4)．
6.分解因式： (1)【2021·河北张家口期末】a3b－ab；
解：a3b－ab ＝ab(a2－1) ＝ab(a＋1)(a－1)．
(2)3xy2－6xy＋3x；解：3xy2－6xy＋3x ＝3x(y2－2y＋1) ＝3x(y－1)2.
(3)－4ab－4a2－b2.
解：－4ab－4a2－b2 ＝－(4a2＋4ab＋b2) ＝－(2a＋b)2.
7.【荣德原创】我们在分解因式时，对于一些二次三项式，既没有公因式，也不能利用完全平方公式，经常采用配成完全平方式，再利用平方差公式分解的方法.

七年级数学下册第十一章因式分解11

因式分解与思维能力的培养因式分解是初中教学的重要内容之一，也是代数中重要的恒等变形．熟练掌握和灵活应用因式分解的各种方法，是进一步学好数学的前提．是迅速而正确进行代数运算的必要条件，不仅在稍后的分式通分、约分中有着直接的应用，而且在解方程（组），求二次函数的解析式，二次根式的运算与化简，三角恒等变形中经常用到．因式分解也是培养学生各种思维能力的极好材料．1.通过因式分解的概念，培养学生的逆向思维能力因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式的乘法运算的过程是互逆的．因式分解是恒等变形，在因式分解时首先要保证因式分解前后的值不变，无论采用什么方法进行因式分解，结果均可用整式乘法运算来检验，其次要注意因式分解的目的：使多项式最终化为几个整式的积的形式．例1．已知)2)(1(2+-=+-xxnmxx，求m和n的值．解：因为已知式从左到右是因式分解，所以上式从右到左是整式乘法，由2)2)(1(2-+=+-xxxx，知1=-m，且2-=n．所以1-=m，且2-=n，通过因式分解的概念教学，应着力培养学生的逆向思维能力．2．培养学生的观察分析能力因式分解最基本的方法有四种，可归纳为：一“提”，二“套”，三“十字”，四“分组”．在因式分解时，一般先考虑是否有公因式可提，再考虑用公式法，十字相乘法，最后是分组分解法．用顺口溜可表达为：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分解要合适，以上方法反复试，结果必是连乘式．尽管在新课标中，对十字相乘法和分组分解法已不作要求，但是，无论哪一种方法的运用都需要学生有较强的观察、分析、尝试能力．如在提取公因式时，应先引导学生通过观察、分析、比较，明确得出公因式是多项式的各项系数的最大公约数，相同因式的最低次幂的乘积．在运用公式法对多项式因式分解时，应先引导学生观察分析各公式的结构待征，如观察平方差公式))((22bababa-+=-的特征，左边是二项式，每项都具有平方形式，且符号相反；右边是两数的和与差的积，但学生往往搞不清，右边的两数是指哪两数？通过观察，右边的两数是左边平方后的两个底数．观察完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±的特征．左边是三项式，首平方加上末平方，首末两倍加减中间放，右边是首平方与末平方下的底数的和或差的平方．通过观察、分析、掌握了公式的结构特征，就不会把平方差公式误用完全平方公式．从而为正确应用公式法分解因式打下坚实的基础，提取公因式法中的公因式和公式法中的字母可以代表数，也可代表单项式和多项式．特别是代表多项式时，更需要敏锐的观察能力，灵活应用整体（或换元）的思想．3．培养学生的思维的深刻性在多项式的因式分解中，学生应善于灵活应用四种基本方法，把一个多项式分解因式，从中可以培养学生的思维深刻性．(1)对于二项式，通常可考虑是否可用平方差、立方和（差）公式．使用这些公式时，一般先把多项式化为可用公式的形式．在教学中，必须教会学生通过观察，进行类比．例如：))(()(22222224c b a c b a c b a c b a -+=-=- (2)对于三项式，通常考虑是否可用完全平方公式．应强调公式中字母有时表示多项式．例2．把xy y x y x -+-352分解因式．解 xy y x y x -+-352 )12(24+--=x x xy （提取公因式）22)1(--=x xy （完全平方公式）2)]1)(1[(-+-=x x xy （平方差公式）22)1()1(-+-=x x xy （积的乘方）许多学生把多项式分解到第二步以后，就再也不能分解下去，此时可引导学生观察12-x 有什么特征？可以应用什么公式分解因式？从而把这个多项式分解到不能再分解为止，通过类似的训练，可逐渐培养学生的思维的深刻性．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

冀教版七年级下册数学第11章因式分解用完全平方公式分解因式

2
知3－讲
总结
知2－讲
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法，常用的分析思路是：①提公因式法；②公式法．有时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平方差公式又用到完全平方公式．
知2－练
1 把下列各式分解因式： (1)6xy－x2－9y2；(2)－m3＋2m2－m； (3)3x2－6x＋3； (4)4xy2＋4x2y＋y3.
知2－练
2 把下列各式分解因式： (1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2； (2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2.
解：(1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2＝x2－2·x·3(y－z)＋[3(y －z)]2＝[x－3(y－z)]2＝(x－3y＋3z)2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2＝(a＋b－2c)2.
知2－练
6 把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C ) A．(x－y)2B．(－x－y)2 C．－(x－y)2D．－(x＋y)2
7 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为C( ) A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)2
解：(1) ax2＋2a2x＋a3；
＝a(x2＋2ax＋a2)
＝a(x＋a)2.
(2) (x＋y)2－4(x＋y)＋4.
＝ (x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
＝ (x＋y－2)2.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋1
4 ＝ (3m－1)2－2·(3m－1)·
＝
3m
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1 2
1 2
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．

顺德区第一中学七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法教材说明素材新版冀教版5

公式法第一课时学生经历用平方差公式分解因式的探索过程，学会用平方差公式分解因式，体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。

1．弄清平方差公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

平方差公式：=.这里可以表示数、单项式、多项式.①左侧为两项；②两项都是平方项；③两项的符号相反.2．学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解二项式时，关键的步骤是把看作，把9看作，再把看作a，把3看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：也就得到分解的方法：即3．掌握好运用公式团式分解，首先要学会幂的运算性质的逆方向的应用．由于乘法公式中多处出现（或）和（或），所以被分解的多项式中，必须有可以化归为一个式子的平方成立方的项．这时，就要逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：，①．②例如，前例中，把看作的过程，依据的是：只有弄清这些变形的细节，了解每步变形的依据，才是真正理解了分解变形的逻辑，掌握了分解的方法．第二课时类比第一课时，学生经历用完全平方公式分解因式的探索过程，学会用完全平方公式分解因式，再次体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。

1．弄清完全平方公式的形式和特点，熟练地掌握公式.完全平方公式:这里可以表示数、单项式、多项式.公式的特点是:①左侧为三项:②首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；③中间项是首末两项的底数的积的2倍。

2．继续学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解时，关键的步骤是把看作，把看作，从而中间“项”就可以看作；再把看作a，把看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：于是就可以依公式直接写出分解的结果也就是有3．怎样处理分数系数的多项式的因式分解？一般地说，多项式的因式分解是在系数是整数的多项式中进行的，但有时，对系数中含有分数（或小数）的多项式也可以进行这样的变形．这时，将有多种处理方法，分解结果也可能有不同的形式．例如，把下列多项式分解因式：（1）（2）解：（1）提出分数，使括号内的多项式是整数系数，再作分解，有（2）解法一：由于，提出分数，使括号内的多项式是整数系数的多项式，再作分解，有解法二：直接运用公式得可以看到，当多项式含有分数系数时，可以把一个适当分数提到括号外，使括号内是整数系数的多项式，然后作分解；如果可能，也可以直接作分解的变形，在第（1）小题中，事实上，有这两种解法的结果是相同的．由分析可知，当把分数提到括号里面时，只需把原多项式各项的系数分别乘以（即的倒数），就是括号内多项式相应各项的系数．一般地，为了使系数是分数的多项式的分解有唯一的结果，我们不妨规定，首先提一个适当的分数于括号外，使得括号内化为整系数的多项式，再作进一步的分解．例如，把多项式分解因式：解：有理数的除法6789.3 一元一次不等式组一、选择题1．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．若不等式组530xx m-≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m的取值范围是 ( )A．53m≤ B．53m< C．53m> D．53m≥3．若关于x的不等式组3(2)432x xx a x--<⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．1 D．a≥14．关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤75．某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（）A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．20人或19人6．某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（）A．10km B．9 km C．8km D．7 km二、填空题7.已知24221x y kx y k +=⎧⎨+=+⎩，且10x y -<-<，则k 的取值范围是________．8．如果不等式组无解，则a 的取值范围是．9．如果不等式组2223xa xb ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩的解集是0≤x ＜1，那么a+b 的值为_______．10．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_______个儿童，_______个橘子．11．对于整数a 、b 、c 、d ，规定符号a b ac bd dc=-．已知，则b+d 的值是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,（1）如果3a x =，4b x =，28c =，那么x 的取值范围是；（2）已知△ABC 的周长是12，若b 是最大边，则b 的取值范围是；（3）=--++-----++c a b b a c a c b c b a ．三、解答题13.解下列不等式组．(1) 231313(1)6x x x x-⎧+<-⎪⎨⎪-+≥-⎩(2)2121x >-（3）210 310 320xxx-≥⎧⎪+>⎨⎪-<⎩（4）2153x-+≤14.已知：关于x，y的方程组27243x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解是正数，且x的值小于y的值．（1）求a的范围；（2）化简|8a+11|-|10a+1|．15.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】解：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选D.2. 【答案】A；【解析】原不等式组可化为53xx m⎧≤⎪⎨⎪≥⎩而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m≤53．3. 【答案】B；【解析】原不等式组可化为1,.xx a>⎧⎨<⎩根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1．4. 【答案】D；【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6＜m ≤7．5. 【答案】D；6. 【答案】B；【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9.二、填空题7. 【答案】12＜k＜1；【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k的关系，然后再代入不等式求解即可．8. 【答案】a≤1；【解析】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式组无解，∴a≤1．9.【答案】1；【解析】由不等式22x a +≥解得x ≥4—2a ．由不等式2x-b ＜3，解得32b x +<． ∵ 0≤x ＜1，∴ 4-2a ＝0，且312b +=，∴ a ＝2，b ＝-1．∴ a+b ＝1． 10．【答案】7， 37；【解析】设有x 个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3．11.【答案】3或-3 ；【解析】根据新规定的运算可知bd ＝2，所以b 、d 的值有四种情况：①b ＝2，d ＝1；②b ＝1，d ＝2；③b ＝-2，d ＝-1；④b ＝-1，d ＝-2．所以b+d 的值是3或-3．12.【答案】(1) 4＜x ＜28 (2)4＜b ＜6 (3)2a ；【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．三、解答题13.【解析】解：（1）解不等式组231313(1)6x x x x -⎧+<-⎪⎨⎪-+≥-⎩①②解不等式①，得x ＞5，解不等式②，得x ≤-4．因此，原不等式组无解．(2)把不等式121x x >-进行整理，得1021x x ->-，即1021x x ->-，则有①10210x x ->⎧⎨->⎩或②10210x x -<⎧⎨-<⎩解不等式组①得112x <<；解不等式组②知其无解，故原不等式的解集为112x <<.（3）解不等式组210310320x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪-<⎩①②③解①得：12x ≥，解②得：13x >-，解③得：23x <，将三个解集表示在数轴上可得公共部分为：12≤x ＜23所以不等式组的解集为：12≤x ＜23(4) 原不等式等价于不等式组：21532153x x -+⎧≤⎪⎪⎨-+⎪≥-⎪⎩①②解①得：7x ≥-，解②得：8x ≤，所以不等式组的解集为：78x -≤≤14.【解析】解：（1）解方程组27243x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，得81131023a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩根据题意，得8113102381110233aaa a+⎧>⎪⎪-⎪>⎨⎪+-⎪<⎪⎩①②③解不等式①得118a>-．解不等式②得a＜5，解不等式③得110a<-，①②③的解集在数轴上表示如图．∴上面的不等式组的解集是111 810a-<<-．（2）∵111 810a-<<-．∴ 8a+11＞0，10a+1＜0．∴ |8a+11|-|10a+1|＝8a+11-[-(10a+1)]＝8a+11+10a+1＝18a+12．15.【解析】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据题意得：解得：所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200解得x≥26，又∵排球的个数小于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．29×50+21×80=1450+1680=3130元．。

初中数学冀教版七年级下册第十一章因式分解11.1 因式分解-章节测试习题(3)

章节测试题1.【答题】下列各式从左到右的变形（1）15x2y=；（2）(x+y)(x-y)=x2-y2；（3）x2-6x+9=(x-3)2；（4）x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得只有（3）符合要求，选A.2.【答题】下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（）A. x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6xB. (x+5)(x-2)＝x2+3x-10C. x2-8x+16＝(x-4)2D. (x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2)【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得，只有选项C符合因式分解的形式，选C.3.【答题】下列从左到右的变形哪个是分解因式（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】根据因式分解的定义，可知因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式，可知A是因式分解.选A.4.【答题】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】选项A. .不是因式分解.选项B. （x+y）(x+y)=x2-y2.不是因式分解.选项C. x2－xy＋y2＝(x－y)2 ,等式两边不成立，不是因式分解. 选项D. 2x-2y=2(x-y),是因式分解.选D.5.【答题】下列从左到右的变形是因式分解的是（）A. （﹣a+b）2=a2﹣2ab+b2B. m2﹣4m+3=（m﹣2）2﹣1C. ﹣a2+9b2=﹣（a+3b）（a﹣3b）D. （x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.是整式的乘法，故A错误；B.没把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故B错误；C.把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故C正确；D.没把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故D错误；选C.6.【答题】（上海松江区期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. x·（x-y）=x2-xyB. x2+3x-1=x（x+3）-1C. （x-y）2-y2=x（x-2y）D.【答案】C【分析】【解答】7.【答题】一次课堂练习，小敏同学做了如下4道分解因式题，你认为小敏做得不够完整的一题是（）A. x3-x=x（x2-1）B. x2-2xy+y2=（x-y）2C. x2y-xy2=xy（x-y）D. x2-y2=（x-y）（x+y）【答案】A【分析】【解答】8.【答题】在①6a2b=2a2·3b；②x2-4-3x=（x+2）（x-2）-3x；③ab2-2ab=ab（b-2）；④-a2+4=（2-a）（2+a）这四个式子中，从左到右的变形是因式分解的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【分析】【解答】9.【答题】下列式子中，分解因式结果为（3a-y）（3a+y）的多项式是（）A. 9a2+y2B. -9a2+y2C. 9a2-y2D. -9a2-y2【答案】C【分析】【解答】10.【答题】若（x+5）（x-4）=x2+x-20，则多项式x2+x-20因式分解的结果是______．【答案】【分析】【解答】11.【答题】（x+3）（2x-1）是多项式______因式分解的结果．【答案】【分析】【解答】12.【答题】依据因式分解的意义填空：因为______=x2-4y2，所以x2-4y2因式分解的结果是______．【答案】,【分析】【解答】13.【题文】判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解．（1）x2-4y2=（x+2y）（x-2y）（2）2x（x-3y）=2x2-6xy（3）（5a-1）2=25a2-10a+1（4）x2+4x+4=（x+2）2【答案】（1）因式分解（2）整式乘法（3）整式乘法（4）因式分解【分析】【解答】14.【答题】下列从左到右的变形：①15x2=3x·5xy；②（a+b）（a-b）=a2-b2；③a2-2a+1=（a-1）2；④中因式分解的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【分析】【解答】15.【答题】利用因式分解简便计算：57×99+44×99-99，下列正确的是（）A. 99×（57+44）=99×101=9999B. 99×（57+44-1）=99×100=9900C. 99×（57+44+1）=99×102=10098D. 99×（57+44-99）=99×2=198【答案】B【解答】16.【答题】（广西贺州中考）下列各式分解因式正确的是（）A. x2+6cy+9y2=（x+3y）2B. 2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2C. 2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y）D. x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y）【答案】A【分析】【解答】17.【答题】若x2+mx+n=（x+3）（x-2），则（）A. m=-1，n=6B. m=1，n=-6C. m=5，n=-6D. m=-5，n=6【答案】B【分析】【解答】18.【答题】若x2-x-12=（x-a）（x+b），则ab=（）A. -1B. 1C. -12D. 12【分析】【解答】19.【答题】乐乐从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A. a2-b2=（a-b）2B. （a+b）2=a2+2ab+b2C. （a-b）2=a2-2ab+b2D. a2-b2=（a+b）（a-b）【答案】D【分析】【解答】20.【答题】若某多项式分解因式的结果为（xy+2）（y-2），则原多项式为______．【答案】【分析】。

冀教版七年级下册数学第11章因式分解用平方差公式分解因式

解：(1)(x＋1)2－a2＝(x＋1＋a)(x＋1－a)． (2)(2x＋3)2－4m2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋ 2m) (2x＋3－2m)．
（来自教材）
知2－练
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3) －(3x－4)]＝(5x－1)(7－x)．
8 【中考·北海】下列因式分解正确的是( D ) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
知1－练
9 【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(B ) A．a(a－1) B．a(a－2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
(2) 2ab3－2ab ＝2ab(b2－1) ＝(b－1)(b＋1).
知2－讲
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止． (2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简.
2 易错小结
1. 分解因式：(a＋b)2－4a2. 解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)．易错点：忽视系数变平方的形式导致出错
本题易将4a2写成(4a)2导致出错．
2. 分解因式：a4－1. 解：a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
知1－导
知1－导

备战中考数学(冀教版)巩固复习第十一章因式分解(含解析)

2019备战中考数学（冀教版）巩固复习-第十一章因式分解（含解析）一、单选题1.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A. x2－xyB. x2＋xyC. x2－y2D. x2＋y22.把x2+x+m因式分解得（x﹣1）（x+2），则m的值为（）A. 2B. 3C. ﹣2D. ﹣33.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )A. B.C. D.4.计算：1002﹣2×100×99+992=（）A. 0B. 1C. -1D. 396015.分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）A. （x﹣1）（x﹣2）B. x2C. （x+1）2D. （x﹣2）26.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）A. （a+1）（a﹣1）=a2﹣1B. a2﹣6a+9=（a﹣3）2C. x2+2x+1=x（x+2）+1D. ﹣18x4y3=﹣6x2y2•3x2y7.下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是（）A. x2+5x－1=x(x+5)－1B. x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3xC. x2－9=(x+3)(x－3)D. (x+2)(x－2)=x2－48.把2x2﹣4x分解因式，结果正确的是（）A. （x+2）（x﹣2）B. 2x（x﹣2）C. 2（x2﹣2x）D. x（2x﹣4）9.如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（）A. 140B. 70C. 35D. 2410.多项式﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2分解因式时，应先提的公因式是（）A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. ﹣3x2y2二、填空题11.分解因式：2a2﹣2=________．12.若多项式x2+kx﹣8有一个因式是（x﹣2），则k=________13.因式分解：________．14.分解因式：2a2﹣6a=________ ．15.把多项式x3﹣9x分解因式的结果是________．16.分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2=________．三、计算题17. 因式分解：（1）2x3y－8xy；（2）.18.分解因式：（1）ax﹣ay；（2）x2﹣y4；（3）﹣x2+4xy﹣4y2．四、解答题19.阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式x3+4x2+mx+5有一个因式（x+1），求m 的值．解：设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2+mx+5=（x+1）（x2+ax+b）=x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，∴a+1=4，a+b=m，b=5，∴a=3，b=5，∴m=8；依照上面的解法，解答问题：若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值．20.我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．a2+6a+8=a2+6a+9﹣1=（a+3）2﹣1=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]=（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2．五、综合题21.分别写出下列多项式的公因式：（1）ax+ay：________；（2）3x3y4+12x2y：________；（3）25a3b2+15a2b﹣5a3b3：________；（4）x3﹣2x2﹣xy：________．22.阅读下面分解因式的过程:把多项式am+an+bm+bn分解因式.解法一:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n).根据你的发现,选择一种方法把下面的多项式分解因式:（1）mx-my+nx-ny;（2）2a+4b-3ma-6mb.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】因式分解-运用公式法【解析】【分析】根据完全平方公式与平方公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法。

冀教版初中数学七年级下册教学课件第十一章因式分解公式法(第2课时)

A.4
B.-4
C. 9
D.- 9
4
4
解析:因为|3x+4|+y2-6x+9=0,所以|3x+4|+(y3)2=0,所以x=- 4 ,y=3,所以xy=-4.故选B.
3
3.因式分解:-2x2y+12xy-18y= -2y(x-3)2 .
解析:先提取公因式,再根据完全平方公式进行二次分解即可解答.-2x2y+12xy-18y=-2y(x26x+9)=-2y(x-3)2.故填-2y(x-3)2.
4.分解因式. (1)4-4a+a2; (2)16x2y2+24xy+9; (3)x3y+2x2y2+xy3.
解:(1)4-4a+a2=(2-a)2. (2)16x2y2+24xy+9=(4xy+3)2. (3)x3y+2x2y2+xy3=xy(x2+2xy+y2)=xy(x+y)2.
(2)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.
1
(3)(3m-1)2+(3m-1)+ 4 =(3m-1)2+2·(3m-1)·
1 2
1 2
2
3m
1
1 2
2
3m
1 2
2
.
知识小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法: (1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用完全平方公式把它进行因式分解,有时需要先把多项式经过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.

七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法公式在因式分解中的应用素材新版冀教版

公式在因式分解中的应用将五个乘法公式的左右两边反过来，就得到因式分解的五个公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(Ⅰ)a2±2ab+b2=(a±b)2(Ⅱ)其中A.b可以是一个数，一个含字母的单项式，也可以是一个多项式．这些公式在因式分解中占有极为重要的地位．它们在因式分解中的应用反映在以下几个方面：1．直接运用公式例1把以下各式分解因式：(1)a6-b6；(2)8an+an-3；(3)24x4n+3-54x2n+3；(4)(ab+1)2-(a+b)2；(5)(a2+b2-c2)2-4a2b2；(6)-16x4+24x2y-9y2；(8)(x+3)2+2(x2-9)+(x-3)2．解(1)原式=(a3+b3)(a3-b3)=(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)(想一想：此题能不能先利用立方差公式进行分解？如何分解？)(2)原式=an-3(8a3+1)=an-3(2a+1)(4a2-2a+1)(3)原式=6x2n+3(4x2n-9)=6x2n+3(2xn+3)(2xn-3)(4)原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b)=(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)(5)原式=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) (6)原式=-(16x4-24x2y+9y2)=-(4x2-3y)2(8)原式=(x+3)2+2(x+3)(x-3)+(x-3)2 =(x+3+x-3)2=4x22．分组分解例2把以下各式分解因式：(1)x2+10xy-70y-49；(2)8x3+12x2-6x-1；(3)4a2-9b2-4a+1；(5)9x2+4y2-1-25z2+12xy+10z；(6)x3+x2+xy-6y2-8y3；(7)7x-x2-21y+6xy-9y2；(8)x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2．解(1)原式=(x2-49)+(10xy-70y)=(x+7)(x-7)+10y(x-7)=(x-7)(x+10y+7)(2)原式=(8x3-1)+(12x2-6x)=(2x-1)(4x2+2x+1)+6x(2x-1)=(2x-1)(4x2+8x+1)(3)原式=(4a2-4a+1)-9b2=(2a-1)2-9b2=(2a-1+3b)(2a-1-3b)(5)原式=(9x2+12xy+4y2)-(25z2-10z+1) =(3x+2y)2-(5z-1)2=(3x+2y+5z-1)(3x+2y-5z+1)(6)原式=(x3-8y3)+(x2+xy-6y2)=(x-2y)(x2+2xy+4y2)+(x+3y)(x-2y)=(x-2y)(x2+2xy+4y2+x+3y)(7)原式=(7x-21y)-(x2-6xy+9y2)=7(x-3y)-(x-3y)2=(x-3y)(7-x+3y)(8)原式=(x2+2xy+y2)+2z(x+y)+z2=(x+y+z)23．拆项、添项例1把以下各式分解因式：(1)4x4+1；(2)x4-6x2+25；(3)a4-2a2b-3b2+8b-4；(4)x4+x2+2ax+1-a2．解(1)原式=(4x4+4x2+1)-4x2=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)(2)原式=(x4+10x2+25)-16x2=(x2+5)2-(4x)2=(x2+4x+5)(x2-4x+5)(3)原式=(a4-2a2b+b2)-(4b2-8b+4)=(a2-b)2-(2b-2)2=(a2-b+2b-2)(a2-b-2b+2)(4)原式=(x4+2x2+1)-(x2-2ax+a2) =(x2+1)2-(x-a)2=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)练习把以下各式分解因式：1．27m4+8m；2．(x2+y2)2-4x2y2；3．4(a-b)2-12(b-a)c+9c2；4．x2(x2-9)+4(9-x2)；5．a4-x2+4ax-4a2；6．x3-3x2y-3xy2+y3；7．x5y-x3y-2x2y-xy；8．x3+px2+px+p-1；9．81a4+4b4；10．x4+x2+25；11．x2-6xy+9y2+8x-24y+16；12．a2-b2+4a+2b+3．答案1．m(3m+2)(9m2-6m+4)；2．(x+y)2(x-y)2；3．(2a-2b-3c)2；4．(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)；5．(a2+x-2a)(a2-x+2a)：6．(x+y)(x2-4xy+y2)；7．xy(x2+x+1)(x2-x-1)；8．(x2+x+1)(x-1+p)；9．(9a2+6ab+2b2)(9a2-6ab+2b2)；10．(x2+3x+5)(x2-3x+5)；11．(x-3y+4)2；。

初中数学冀教版七年级下册第十一章因式分解11.2 提公因式法-章节测试习题(2)

章节测试题1.【答题】若x2＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，则a的值为（）A. －10B. ±10C. 14D. －14【答案】A【分析】先展开，再根据对应系数相等解答即可.【解答】因为(x＋2)(x－12)＝x2-12x+2x-24=x2-10x-24，x2＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，所以a=-10.选A.2.【答题】若多项式﹣6ab+18abc+24ab2的一个因式是﹣6ab，则其余的因式是（）A. 1﹣3c﹣4bB. ﹣1﹣3c+4bC. 1+3c﹣4bD. ﹣1﹣3c﹣4b【答案】A【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】-6ab+18abc+24ab2=-6ab（1-3c-4b）．选A.3.【答题】把多项式3a2﹣9ab分解因式，正确的是（）A. 3（a2﹣3ab）B. 3a（a﹣3b）C. a（3a﹣9b）D. a（9b﹣3a）【答案】B【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】3a2-9ab=3a（a-3b）．选B.4.【答题】若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是（）A. 3y＋4x－1B. 3y－4x－1C. 3y－4x＋1D. 3y－4x【答案】B【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】因为多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2,则另一个因式等于(－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2) ÷(－4x2y2)=3y－4x－1,选B.5.【答题】把多项式分解因式的结果是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】3m(x−y)−2(y−x)²，=3m(x−y)−2(x−y)²=(x−y)(3m−2x+2y).选B.6.【答题】将提公因式后，另一个因式是（）A. a+2bB. -a+2bC. -a-bD. a-2b【答案】A【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】=.选A.7.【答题】下列因式分解错误的是（）A. 2a﹣2b=2（a﹣b）B. x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C. a2+4a﹣4=（a+2）2D. ﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A. 2a−2b=2(a−b)，正确；B. ，正确；C. 不能因式分解，错误；D. 正确；选C.8.【答题】多项式﹣2a（x+y）3+6a2（x+y）的公因式是（）A. ﹣2a2（x+y）2B. 6a（x+y）C. ﹣2a（x+y）D. ﹣2a【答案】C【分析】根据公因式的概念解答即可.【解答】解：的公因式是选C.9.【答题】下列因式分解正确的是（）A. mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）B. 6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）C. 3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）D. 3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）【答案】A【分析】本题考查了用提公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．【解答】解： A.mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=m（m﹣n）（n+1）=﹣m（n﹣m）（n+1），故原选项正确；B.6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+3q﹣1），故原选项错误；C.3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故原选项错误；D.3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x﹣y），故原选项错误．选A.10.【答题】把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（）A. m+1B. 2mC. 2D. m+2【答案】D【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】解：原式=（m﹣1）（m+1+1）=（m﹣1）（m+2）．选D.11.【答题】将多项式a（b﹣2）﹣a2（2﹣b）因式分解的结果是（）A. （b﹣2）（a+a2）B. （b﹣2）（a﹣a2）C. a（b﹣2）（a+1）D. a（b﹣2）（a﹣1）【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】a（b﹣2）﹣a2（2﹣b）=a（b﹣2）+a2（b﹣2）=a(b-2)（1+a）.选C.12.【答题】观察下列各组整式，其中没有公因式的是（）A. 2a+b和a+bB. 5m(a-b) 和-a+bC. 3(a+b) 和-a-bD. 2x+2y和2【答案】A【分析】根据公因式的概念解答即可.【解答】选项A，没有公因式；选项B，有公因式a-b；选项C，有公因式a+b；选项D，有公因式2.选A.13.【答题】多项式各项的公因式为（）A. 2abcB.C. 4bD. 6bc【答案】D【分析】根据公因式的概念解答即可.【解答】多项式各项的公因式为6bc，选D.14.【答题】(-2)2001+(-2)2002等于（）A. -22001B. -22002C. 22001D. -2【答案】C【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】(-2)2001+(-2)2002=(-2)2001×(1-2)=22001，选C.15.【答题】把多项式(m+1)（m-1）+（m-1）分解因式，一个因式是（m-1）,则另一个因式是（）A. m+1B. 2mC. 2D. m+2【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】∵(m+1)（m-1）+（m-1）=（m-1）（m+1+1）=（m-1）（m+2），∴另一个因式是（m+2）.选D.16.【答题】下列各式的因式分解中正确的是（）A. -m2+mn-m=-m(m+n-1)B. 9abc-6a2b2=3abc(3-2ab)C. 3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)D. ab2+a2b=ab(a+b)【答案】D【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】选项A，原式=-m(m-n+1)；选项B，原式=3abc(3c-2ab)；选项C，原式=3x(a2-2b+1)；选项D，原式=ab(a+b)；选D.17.【答题】观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是（）A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200D. 962×95+962×5＝91390+4810＝96200【答案】A【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，选A.18.【答题】下列式子能用提公因式法分解因式的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】根据提公因式法因式分解，可由，知B是因式分解. 选B.19.【答题】把多项式分解因式正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】根据因式分解法—提公因式，可由a-2与2-a互为相反数，先变形，再提公因式a-2可得：= = .选B.20.【答题】利用提公因式法分解多项式可以得到（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】根据因式分解法—提公因式，可由公因式的确定方法：多项式的公因式是，所以提取公因式分解为.选B.方法总结：此题主要考查了提公因式法因式分解，关键是能正确确定公因式，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂.。

【中学教材全解】七年级数学下册第十一章因式分解检测题(含详解) (新版)冀教版

第十一章因式分解检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列因式分解不．正确．．的是（）A. B.C. D.2.下列分解因式正确的是（）A.B.C.D.的结果是（）A. B.C. D.4.下列各式中，与相等的是（）A. B. C. D.5. 把代数式分解因式，下列结果中正确的是（）A. B.C. D.6.若则的值为( )A. -5B. 5C. -2D. 27.多项式①；②；③；④，分解因式后，结果中含有相同因式的是（）A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③ 8.下列因式分解中，正确的是（） A. B.C. D.9.把分解因式，结果正确的是（）A ．B ．C ．D ．10. 把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x + C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +- 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.分解因式：__________．12.分解因式：__________．互为相反数，则__________．，，那么代数式的值是________．15. 如果多项式能因式分解为，则的值是.16. 如果二次三项式在整数X 围内可以分解因式，那么整数的值为.（只填写一个你认为正确的答案即可） 17.阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）.（2）.试用上述方法分解因式.18.在一个边长为的正方形内挖去一个边长为的正方形，则剩下部分的面积为．三、解答题（共46分）19.（9分）将下列各式分解因式：（1）；（2）（3）.20.（8分）利用因式分解计算：.21.（10分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2，另一位同学因看错了常数项而分解成2，请将原多项式分解因式．22.（10分）已知23.（9分）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解..第十一章因式分解检测题参考答案1.D 解析：D选项中，故不正确.解析：，故A不正确；，故B不正确；故C 正确；，D 项不属于因式分解，故D 不正确.3.B 解析：故选B.4.B 解析：所以B 项与相等.5.D6.C 解析：右边=，与左边相比较，所以.故选C.7.D 解析：①；②；③；④．所以分解因式后，结果中含有相同因式的是②和③．故选D ． 8.C 解析：A.用平方差公式法，应为，故本选项错误；B.用提取公因式法，应为法，，故本选项正确；D.用完全平方公式法，应为9，故本选项错误．故选C ． 9.C 解析：本题先提取公因式,再运用平方差公式分解因式..10.A 解析：本题先提取公因式,再运用完全平方公式分解因式.244ax ax a-+.11. 解析：.12.解析：13.解析：因为互为相反数，所以所以14.解析：15.-7 解析：∵多项式能因式分解为，∴，∴，∴=3-10=-7．16. -8 解析：3×5=15，-=3+5，=-8．17.解析：原式．18.110 解析：．19.解:（1）（2）（3）.20.解：21.分析：由于含字母的二次三项式的一般形式为（其中均为常数，且≠0），所以可设原多项式为．看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆变形，可将2运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将2运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．解：设原多项式为（其中均为常数，且≠0）．∵，∴.又∵，∴．∴原多项式为，将它分解因式，得．22.解：(2)23.解：本题答案不唯一.例如：；。

冀教版七年级下册数学教学课件第11章因式分解11,2 提公因式法

(A )
A.x-1
B.x+1
C.x2-1
D.(x-1)2
解析:利用公式将两个多项式进行分解,找出相同的因式即为公因式.mx2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x1),x2-2x+1=(x-1)2,公因式为x-1.故选A.
2.把a2-2a分解因式,正确的是 ( A )
A.a(a-2)
B.a(a+2)
(1)3x (2)a (3)ab (4)2xy
2.先指出下列多项式的公因式,再进行因式分解. (1)x2+2x; (2)2x2+4x; (3)2a2x-6ax2; (4)4a4-12a3+16a2.
(1)公因式是x,分解为x(x+2). (2)公因式是2x,分解为2x(x+2). (3)公因式是2ax,分解为2ax(a-3x). (4)公因式是4a2,分解为4a2(a2-3a+4).
C.a(a2-2)
D.a(2-a)
解析:先找到多项式各项的公因式,再提取公因式.因为a2-2a=a(a-2).故选A.
3.若a=49,b=109,则ab-9a的值为 4900 .
解析:先将整式因式分解,再代入值求解.ab9a=a(b-9),当a=49,b=109时,原式=49×(1099)=4900.故填4900.
七年级数学·下新课标[冀教]
第十一章因式分解
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式 3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢? 【结论】多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?多项式2x2y+6x3y2 中各项的公因式是什么?

七年级下册冀教版数学【练习】11.1 因式分解

第11章因式分解
七彩作业
第十一章因式分解
11.1
因式分解
11.1 因式分解
基础通关
能力突破
素养达标
基础通关
因式分解的概念
1.下列各式从左到右的变形,是因式分解的是 ( B )
A.6x2y=2xy·3x
B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.x2-4x+3=x(x-4)+3
D.a2+1=a
+

(3)x2-2x+1=x − +1; 解：等号的右边不是几个整式的积的形式,
(4)24a2bc=23·a2·3bc.
故(3)不是因式分解;
解：等号的左边不是多项式,故(4)不是因式分解.
1
2
3
4
5
6
7
11.1 因式分解
基础通关
能力突破
素养达标
因式分解与整式乘法的关系
3.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式以及k的值.
解:设另一个因式为x+a,则2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),
−
2
2
所以2x +3x-k=2x +(2a-5)x-5a.所以ቊ
= ,
= ,
解得ቊ
− = −, = .所以另一个式为x+4,k的值为20.
11
D.99× + −
1
2
3
4
5
6
7
11.1 因式分解

第11章因式分解冀教版七年级下册数学单元测试(含答案)

七年级下册数学冀教版第十一章因式分解时间:60分钟满分:100分一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各式由左边到右边的变形,是因式分解的是()) D.(x-1)(x-2)=x2-3x+2A.x2y+xy2=xy(x+y)B.x2-4x+4=x(x-4)+4C.y+1=y(1+1y2.下列多项式中,不能运用公式进行分解因式的是()A.a2+b2B.x2-9C.m2-n2D.x2+2xy+y23.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是()A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn24.把代数式mx2-4mx+4m分解因式,下列结果正确的是()A.m(x+2)2B.m(x+2)(x-2)C.m(x-4)2D.m(x-2)25.下列因式分解中,正确的是()A.x2y2-z2=x2(y+z)(y-z)B.-x2y+4xy-5y=-y(x2+4x+5))C.(x+2)2-9=(x+5)(x-1)D.6a+2b=2a(3+ba6.多项式(x+2)(2x-1)-(x+2)可以分解因式成2(x+m)(x+n),则m-n的值是()A.0B.4C.3或-3D.17.多项式ax2-a与多项式ax2-2ax+a的公因式是()A.aB.x-1C.a(x-1)D.a(x2-1)8.已知a+b=2,则a2-b2+4b的值是()A.2B.4C.3D.69.计算:101×1022-101×982=()A.404B.808C.40 400D.80 80010.规定新运算:a⊕b=3a-2b,若a=x2+2xy,b=3xy+6y2,则把a⊕b分解因式的结果是()A.3(x-2y )2B.3(x+2y )(x-2y )C.3(x 2-4y 2)D.3(x+4y )(x-4y ) 11.有若干张面积分别为a 2,b 2的正方形纸片和若干张面积为ab 的长方形纸片,小明从中抽取了1张面积为b 2的正方形纸片,6张长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为a 2的正方形纸片( ) A.6张B.9张C.10张D.12张12.若232-1可以被10和20之间某两个整数整除,则这两个数分别是 ( )A.17,15B.17,16C.15,16D.13,14二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)13.分解因式:-6x 2y-10xy 2+2xy= .14.对于a ,b ,c ,d ,规定一种运算|a b c d |=ad-bc ,如:|1 23 4|=1×4-2×3=-2.那么因式分解|x -33 x -6|的结果是 .15.已知a+b=-5,ab=7,则a 2b+ab 2-a-b 的值为 .16.已知正方形甲的周长比正方形乙的周长多96 cm,它们的面积相差960 cm 2,则正方形甲的边长为 cm .三、解答题(本大题共6小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分9分) 将下列各式分解因式:(1)3x 2y-18xy 2+27y 3; (2)x 2(4x-8)+2-x ;(3)x 4-18x 2+81.18.(本小题满分7分)已知a-2b=1,求代数式a2-4ab+4b2-2a+4b的值.19.(本小题满分8分)在日常生活中,如取款、上网等通常都需要密码,有一种因式分解法可以生成密码,例如x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2),当x=9,y=9时,x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,则密码为018162或180162或181620或016218或162018或162180.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10,用上述方法生成的密码是什么?20.(本小题满分8分)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),请将原多项式分解因式.21.(本小题满分9分)【观察猜想】如图,大长方形是由4个小长方形拼成的,请根据此图填空:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=()·().【说理验证】事实上,我们也可以利用如下方法进行变形:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)==()·().【尝试运用】例题:把x2+5x+4分解因式.解:x2+5x+4=x2+(4+1)x+4×1=(x+4)(x+1).请利用上述方法把多项式x2-8x+15分解因式.22.(本小题满分11分)先阅读下面的内容,再解答问题.【阅读】例题:求多项式m2+2mn+2n2-6n+13的最小值.解:m2+2mn+2n2-6n+13=(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)+4=(m+n)2+(n-3)2+4,∵(m+n)2≥0,(n-3)2≥0,∴多项式m2+2mn+2n2-6n+13的最小值是4.【解答问题】(1)例题解答过程中因式分解运用的公式是;(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2=10a+8b-41,求第三边长c的取值范围;(3)求多项式-2x2+4xy-3y2-6y+7的最大值.第十一章综合能力检测卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A C D C C C B D B B A13.-2xy(3x+5y-1)14.(x-3)215.-3016.321.A2.A【解析】B项,x2-9=(x+3)(x-3);C项,m2-n2=(m+n)(m-n);D项,x2+2xy+y2=(x+y)2.故选A.3.C4.D【解析】mx2-4mx+4m=m(x2-4x+4)=m(x-2)2.故选D.5.C【解析】A项,x2y2-z2=(xy+z)(xy-z),故A选项错误;B项,-x2y+4xy-5y=-y(x2-4x+5),故B选项错误;C项,(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1),故C选项正确;D项,6a+2b=2(3a+b),故D选项错误.故选C.6.C【解析】∵(x+2)(2x-1)-(x+2)可以分解因式成2(x+m)(x+n),(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)=2(x+2)(x-1),∴2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x+n),∴m=2,n=-1或m=-1,n=2,则m-n=3或m-n=-3.故选C.7.C【解析】多项式ax2-a=a(x+1)(x-1),多项式ax2-2ax+a=a(x-1)2,则这两个多项式的公因式为a(x-1).故选C.8.B【解析】a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a+2b=2(a+b)=4.故选B.9.D【解析】101×1022-101×982=101×(1022-982)=101×(102+98)(102-98)=101×200×4=80 800.故选D.10.B【解析】∵a=x2+2xy,b=3xy+6y2,∴a⊕b=3(x2+2xy)-2(3xy+6y2)=3x2+6xy-6xy-12y2=3x2-12y2=3(x2-4y2)=3(x+2y)(x-2y).故选B.11.B【解析】设他需要抽取面积为a2的正方形纸片k张.因为要拼成正方形,所以b2+6ab+ka2是完全平方式.因为(b+3a)2=b2+6ab+9a2,所以k=9,故他还需要抽取面积为a2的正方形纸片9张.故选B.12.A【解析】232-1=(216+1)(216-1)=(216+1)(28+1)·(28-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(24-1)=(216+1)(28+1)×17×15.故选A.13.-2xy(3x+5y-1)【解析】-6x2y-10xy2+2xy=-2xy(3x+5y-1).14.(x-3)2【解析】由题意,得|x-3|=x(x-6)+9=x2-6x+9=(x-3)2.3x-615.-30【解析】a2b+ab2-a-b=ab(a+b)-(a+b)=(a+b)(ab-1).因为a+b=-5,ab=7,所以原式=-5×(7-1)=-30.由①, 16.32【解析】设正方形甲的边长为x cm,正方形乙的边长为y cm(x>y),则{4x-4y=96,①x2-y2=960,②得x-y=24③,由②,得x2-y2=(x+y)(x-y)=960,即24(x+y)=960,∴x+y=40④,由③+④,得2x=64,∴x=32.17.【解析】(1)3x2y-18xy2+27y3=3y(x2-6xy+9y2)=3y(x-3y)2.(2)x2(4x-8)+2-x=4x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(4x2-1)=(x-2)(2x+1)(2x-1).(3)x4-18x2+81=(x2-9)2=(x-3)2(x+3)2.18.【解析】a2-4ab+4b2-2a+4b=(a-2b)2-2(a-2b)=(a-2b)(a-2b-2).因为a-2b=1,所以原式=1×(1-2)=-1.19.【解析】4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y).当x=10,y=10时,x=10,2x+y=30,2x-y=10,故密码为103010或101030或301010.20.【分析】因为含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0),所以可设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0).看错了一次项系数即将b值看错,而a与c的值正确,所以可将2(x-1)(x-9)运用多项式的乘法法则展开,求出a与c的值;同样,看错了常数项即将c值看错,而a与b的值正确,可将2(x-2)(x-4)运用多项式的乘法法则展开,求出b的值,进而得出答案.【解析】设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0).∵2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18,∴a=2,c=18.∵2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16,∴b=-12,∴原多项式为2x2-12x+18,将它分解因式,得2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.21.【解析】【观察猜想】x+p x+q【说理验证】x(x+p)+q(x+p)x+p x+q【尝试运用】x2-8x+15=x2+(-8x)+15=x2+(-3-5)x+(-3)×(-5)=(x-3)(x-5).22.【解析】(1)完全平方公式(2)∵a2+b2=10a+8b-41,∴a2-10a+25+b2-8b+16=0,∴(a-5)2+(b-4)2=0.∵(a-5)2≥0,(b-4)2≥0,∴a=5,b=4,∴1<c<9.(3)-2x2+4xy-3y2-6y+7=-2x2+4xy-2y2-y2-6y-9+16=-2(x-y)2-(y+3)2+16.∵-2(x-y)2≤0,-(y+3)2≤0,∴多项式-2x2+4xy-3y2-6y+7 的最大值是16.。

《因式分解》的前世与来生

把完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 反过来，就得到 a2±2ab+b2=（a±b）2.
利用这些公式可以把一些多项式因式分解.
例 5. 在有理数范围内，把下列各式分解因式：
（1）36x2-144y4； (2)9(3x+y)2-(2x-y)2；
(3)-72p2+24pq-2q2；
(4)(a+b)2-6(a+b)c+9c2.
多项式的乘积，或干脆是一个单项式，而不能是几个单项式的乘积.
一般来说，因式分解的主要目的是降次，即分解得到的每一个因式的次数低于原多项式的次数.这
一点在解高次方程时将大显威力.
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程.如，
（x+y)(x-y)
多项式的乘法
因式分解
x2-y2
从左到右是多项式 x+y 与 x-y 的乘积运算，结果为 x2-y2；
方差的，就用平方差公式分解因式；具备完全平方式的结构形式的，就用完全平方公式分解因式.
“三十字”就是在提取完公因式以后，如果不能用公式（平方差公式或完全平方公式）法分解因
式，而满足特殊的关于某个整体的二次三项式的形式，就考虑用“十字相乘法”分解因式.
“四项以上巧分组”
，对于四项以上的多项式，直接运用公式法、十字相乘法就再也不灵了，这
※2. 因式分解的方法与策略
常规的多项式的因式分解一般遵循的策略为：
一提二公三十字，四项以上巧分组；分解彻底要牢记，同式写成幂形式.
“一提”
，就是面对一个多项式的因式分解时，如果能提取公因式，首先要提取公因式，而且提
取公因式要彻底，这样会使下一步分解因式变得简单.
“二公”

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