探索直角三角形斜边上的高与斜边的关系

探索直角三角形斜边上的

高与斜边的关系

八（3）班陈富祥

一、课题研究缘起

最近我们刚刚学完《特殊三角形》这一单元，让我们懂得了等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质，受益匪浅。在学完勾股定理之后，我们突发奇想，想研究一下直角三角形斜边上的高与斜边在长度上的关系。想必通过查询资料与解析例题，必能探寻出其中的联系。

二、普通直角三角形斜边上的高与斜边的关系

例一、有一直角三角形ABC，AB长3m, AC长4m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。

解：根据勾股定理，BC2=32+42=52，∴ BC=5m；

∵直角三角形ABC面积为：（34）/2=6㎡，

∴ BD=（6*2）/BC=（6*2）/5=2.4m。

例二、有一Rt三角形ABC，AB长5m, AC长12m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。

解：根据勾股定理，BC2=62+82=102，∴ BC=10m；

∵ Rt三角形ABC面积为：（6*8）/2=24㎡，

∴ =（24*2）/BC=（24*2）/10=4.8m。

根据勾股定理，两条直角边a、b,斜边c与斜边上的高h的规律，绘制以下表格：

三角形

a的长度b的长度c的长度h的长度规律的边

① 3 4 5 2.4 h=c/2-c/50

②51 68 85 40.8 h=c/2-c/50

③ 6 8 10 4.8 h=c/2-c/50

④9 12 15 7.2 h=c/2-c/50

⑤15 20 25 12 h=c/2-c/50

⑥18 24 30 14.4 h=c/2-c/50

⑦30 40 50 24 h=c/2-c/50

⑧39 52 65 31.2 h=c/2-c/50

当a、b、c、h都取有理数时，斜边c与斜边上的高h的规律为（h=c/2-c/50）。但如果Rt三角形ABC为等腰三角形时，是否还会满足这个规律呢？

三、等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系

根据我们学过的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而等腰三角形的性质又有等腰三角形三线合一，地边上的中线等于地边上的高，所以等腰直角三角形中斜边上的中线等于斜边上的高，h=c/2。

例三、有一等腰直角三角形ABC，AB长1m, AC长1m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。

解：根据勾股定理，BC2=12+12=2，∴ BC=根号2m；

∵ Rt三角形ABC面积为：（1*1）/2=1/2㎡，

∴ BD=（(1/2）*2）/BC=（(1/2)*2）/根号2=1/根号2m。

h=1/根号2m,代入（h=c/2-c/50）不符，所以等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系应为h=c/2。

既然已经知道普通直角三角形（a、b、c、h都取有理数）与等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系，那当普通直角三角形a、b、c、h中产生无理数时，他们的关系又会是什么呢？

四、普通直角三角形（a、b、c、h中产生无理数）斜边上的高与斜边的关系

例四、有一直角三角形ABC，AB长5m, AC长12m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。

解：根据勾股定理，BC2=52+122=132，∴ BC= 13m；

∵ Rt三角形ABC面积为：（5*12）/2=30㎡，

∴ BD=（30*2）/BC=（30*2）/根号13=60/ 13m。

例五、有一直角三角形ABC，AB长8m, AC长15m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。

解：根据勾股定理，BC2=82+152=172，∴ BC= 17m；

∵ Rt三角形ABC面积为：（8*15）/2=60㎡，

∴ BD=（60*2）/BC=（60*2）/ 17=120/ 17m。

a的长度b的长度c的长度h的长度规律

三角形

的边

① 5 12 13 60/13 无

②8 15 17 120/17 无

③10 24 26 120/13 无

④16 30 34 240/17 无

⑤9 40 41 360/41 无

由于全部直角三角形斜边上的高与斜边的长度关系为h=ab/c，所以当普通直角三角形a、b、c、h中产生无理数时，他们之间的关系规律只有h=ab/c，所以没有其他的存在关系。

五、探索直角三角形斜边上的高与斜边关系的意义

生活中，我们在哪些方面能运用直角三角形斜边上的高与斜边关系呢？

如建设幼儿园滑滑梯、游乐园滑滑梯，滑滑梯需要支架来支撑。滑滑梯上方顶部与地面正好组成一个直角三角形或直角等腰三角形。怎样做支架最节省材料？自然要取斜边上的高。但如何才能知道支架的长度呢？只要运用规律，求出滑滑梯地上的跨度长度、滑滑梯顶部与滑滑梯

两边滑滑梯通道的长度，支架的高度便轻而易举得为我们所破解。

C

A D B

注释：AB为滑滑梯跨度的长度，AC与BC均为滑滑梯通道的长度，CD垂直于AB，CD为支架，CD的高度为滑滑梯顶部垂直于地面AB支架的长度。

六、小结

根据我们的计算与验证，终于得出了直角三角形斜边上的高与斜边的长度的关系，分为四种：

1、普通直角三角形（a,b,c,h均为有理数）：h=c/2-c/50

2、等腰直角三角形：h=c/2-c/50

3、普通直角三角形（a,b,c,h中含有无理数）：无（除h=ab/c外）

4、所有的直角三角形普遍存在的规律：h=ab/c

尽管我们并没有完全将直角三角形斜边上的高与斜边的关系全部探究出来，但是我相信，只要通过我们的不懈努力，今后继续探索，想必这倒看似坚不可摧的城墙，也会被顽强的我们给攻破。