2020届 二轮(理科数学) 概率与统计 专题卷(全国通用)

回顾7 概率与统计

[必记知识]

1．分类加法计数原理

完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，…，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种方法(也称加法原理)．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法，…，做第n 步有m n 种方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种方法(也称乘法原理)．

3．排列数、组合数公式及其相关性质 (1)排列数公式 A m n ＝

n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！

（n －m ）！

(m ≤n ，m ，n ∈N *)，A n n ＝n ！＝n (n －1)(n －2)…·2·1(n ∈N *)．

[提醒] （1）在这个公式中m ，n ∈N *，且m ≤n ，并且规定0！＝1，当m ＝n 时，A m n

＝n ！.

（2）A m n ＝

n ！

（n －m ）！

主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排

列数的式子进行变形时常使用此公式.)

n ！

m ！（n －m ）！

(2)组合数公式

C m n ＝A m n

A m

m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！

(m ≤n ，n ，m ∈N *)． [提醒] (1)公式C m n ＝

n ！

m ！（n －m ）！

主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对

含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式.

(2)组合数的性质,C m n ＝C n －m n （m ≤n ，n ，m ∈N *），C m n ＋1＝C m －1

n ＋C m n （m ≤n ，n ，m ∈

N *）.

(3)排列数与组合数的联系,A m n ＝C m n A m m .

4．二项式定理

(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．这个公式叫做二项式定

理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中各项的系数C k n (k ＝0，1，2，…，n )叫做

二项式系数．式中的C k n a n －k b k

叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项为展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n a

n －k b k (其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)． 5．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1

n ，C n n .

[提醒] 对于二项式定理应用时要注意

(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.

(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系.

(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a ，b .

6．概率的计算公式 (1)古典概型的概率公式

P (A )＝

事件A 包含的基本事件数m

基本事件总数n

；

(2)互斥事件的概率计算公式

P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；

(3)对立事件的概率计算公式

P (A )＝1－P (A )．

7．统计中四个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；

(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；

(3)平均数：样本数据的算术平均数， 即x －＝1

n

(x 1＋x 2＋…＋x n )；

(4)方差与标准差

方差：s 2＝1n

[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －

)2]．

标准差：

s ＝

1

n

[（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋…＋（x n －x －

）2].

8．二项分布

(1)相互独立事件的概率运算

①事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．

②若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．

③事件A ，B 相互独立，则A －和B －，A 与B －，A －

与B 也相互独立． (2)条件概率P (B |A )＝P （AB ）

P （A ）

的性质

①0≤P (B |A )≤1.

②若B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． ③若A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． (3)二项分布

如果在每次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发

生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k q

n －k

，其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：