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第8讲 代数综合题

概述：

代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题， 这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时， 计算不能出差错，

思维要宽，考虑问题要全面．

典型例题精析

例．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A （x 1，O ），B （x 2，0）（x 1

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式及点C 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于四边形ACMB 的面积的2倍？若存在，求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）求A 、B

x 1

，x 2

，两个未知数需两个方程： 方程多出一个m 还应再找一个x 12+x 22=10 ③，用配方法处122122(7

x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩理先算m ．

由③：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=10 ④将①②代入④，

得4（m 2-2m+1）-2m 2+14=10，

2m 2-8m+8=0，

m 2-4m+4=0，

m=2．

且当m=2时，△=4-4×（-3）>0合题意．

将m=2代入①②，得

x 12-2x 1=312122,3,x x x x +=⎧⎨=-⎩⇒123,1,

x x =⎧⎨=-⎩ 或121,3.

x x =-⎧⎨

=⎩

∵x 1

∴x 1=-1，x 2=3，∴A（-1，0），B （3，0）．

（2）求y=a x 2+bx+c 三个未知数，布列三个方程：将A （-1，0），B （3，0）代入解析式， 再由顶点纵坐标为-4，可得：

设y=a （x-3）（x+1）（两点式）

且顶点为M （1，-4），代入上式得

-4=a （1-3）（1+1）

a=1．

∴y=（x-3）（x+1）=x 2-2x-3．

令x=0得y=-3，∴C（0，-3）．

（3）四边形ACMB 是非规则图形，所以面积需用分割法．

S 四边形ACMB =S △AOC +S 梯形OCMN +S △NBM =AO·OC+（OC+MN ）·ON+NB·MN 121212

=×1×3+（3+4）×1+×2×4=9．121212 用分析法：

假设存在P （x 0，y 0）使得S △PAB =2S 四边形ACMB =18，

即AB│y 0│=18，×4│y 0│=18，y 0=±9．1212

将y 0=9代入y=x 2-2x-3，得x 1=，x 2，

将y 0=-9代入y=x 2-2x-3得△<0无实数根，

∴P 1（，9），P 2（，9），

∴存在符合条件的点P 1，P 2．

中考样题训练

1．（2003，重庆）已知抛物线y=x 2+（m-4）x+2m+4与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 1

D ．

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线的解析式；

（2）若P 是（1）所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 和△CBD 的积相等，求直线PH 的解析式．

2．（2005，绵阳市）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4cm ，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A→B→C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM⊥AD．

（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；

（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A→B→C 的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动．过Q 作直线QN ，使QN∥PM． 设点Q 运动的时间t 秒（0≤t≤10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2．

①求S 关于t 的函数关系式；②（附加题）求S 的最大值．

C M A B

E

D

P

3．（2005，山西课改区）矩形OABC 在直角坐标系中位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0），C （0，3），直线y=

x 与BC 边相交于点D ．34

（1）求点D 的坐标；

（2）若抛物线y=ax 2+bx 经过D 、A 两点，试确定此抛物线的表达式；

（3）P 为x 轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA 面积的最大值；

（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点Q 为对称轴上一动点，以Q 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的Q 点的坐标．

4．（2005，沪州市）如图所示，抛物线y=a x 2+bx+c （a≠0）与x 轴、y 轴分别相交于A （ -1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．注：抛物线

y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（，）．2b a

-2

44ac b a - （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）求四边形ABDC 的面积；

（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．