矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析报告课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析第3章习题答案
矩阵分析第3章习题答案第三章1、 已知()ijA a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 定义内积为(,)HA αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间；（2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HUAU是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU为对角矩阵，已知133261(1)6322312623A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQAQ为对角矩阵，已知 220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使HPAP E=（或TPAP E=），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
第3章 矩阵的标准形1
⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
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定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析 第三章 第6节
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
矩阵论复习题 第三章
第三章 Jordan 标准形一、基本要求1、理解λ-矩阵的定义，可逆的条件，初等变换及等价．2、会求λ-矩阵(数字矩阵)的Smith 标准形，不变因子，初等因子组，行列式因子．3、掌握矩阵的Jordan 标准形的定义，会求矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵．4、掌握Hamilton-Cayley 定理的内容．5、理解最小多项式的定义，会计算矩阵的最小多项式．6、理解幂等矩阵的定义及性质．二、基本内容1、求方阵的Jordan 标准形设n n C A ⨯∈的全体初等因子为i m i )(λλ-，);,,2,1(21n m m m s i s =+++= ，对应第i 个初等因子i m i )(λλ-的Jordan 块为i J ，那么A 的Jordan 标准形为),,,(21s J J J diag J =，求A 的全体初等因子常用下面三种方法．(1) 行列式因子法1) 计算A E -λ的行列式因子),,2,1)((n k D k =λ； 2) 计算A E -λ的不变因子)1)(;,,2,1()()()(01===-λλλλD n k D D d k k k ；3) 对)(,),(),(21λλλn d d d 分解因式，全体不可约因式(一次因式方幂)为A 的全体初等因子．(2) 初等变换法1) 用初等变换将A E -λ化为对角矩阵))(,),(),((21λλλn f f f diag ，其中),,2,1)((n k f k =λ是首1多项式；2) 对)(,),(),(21λλλn f f f 分解因式，全体不可约因式为A 的全体初等因子． (3) 特征多项式分析法1) 计算A 的特征多项式)det()(A E -=λλϕ；2) 求出)(λϕ的全体不可约因式);,,2,11()(21n r r r l l r i i =+++=- λλ；3) 对于)(λϕ的第i 个不可约因式i r i )(λλ-，有1=i r 时，i λλ-是A 的一个初等因子；1>i r 时，i r i )(λλ-是A 的)(A E rank n i --λ个初等因子的乘积．在特征多项式分析法中，当3≤i r 时，一定能够确定出i r i )(λλ-是几个初等因子的乘积；而当3>i r 时，不一定能够确定出i r i )(λλ-是几个初等因子的乘积，此时该方法可能失效．2、求可逆矩阵P ，使得J AP P =-1确定相似变换矩阵P 一般比较困难(尽管P 是存在的)．在特殊情形下，可以通过求解一系列线性方程组来获得P ．例如，在A 的初等因子组中，当j i λλ≠(j i ≠)时，划分),,,(),()()(2)(121i m i i i s ix x x P P P P P==， 那么，i P 的列向量如下计算：0)(=-x A I i λ的一个非零解为)(1i x ；)(1)(i i x x A I -=-λ的一个解为)(2i x ；)(1)(i m i ix x A I --=-λ的一个解为)(i m i x ． 3、方阵的最小多项式(1) 方阵是其特征多项式的矩阵根．(2) 方阵的最小多项式整除它的零化多项式．(3) 方阵的最小多项式与它的特征多项式有相同的零点(不计重数)．(4) 设n 阶方阵A 的特征多项式为)(λϕ，特征矩阵A I -λ的1-n 阶行列式因子为)(1λ-n D ，则A 的最小多项式为)()()(1λλϕλ-=n D m ．(5) 设n 阶方阵A 的全体初等因子为),1()(,,)(),1()(,,)(),1()(,,)(11221111221111s s t t t t rs r s t ll t k k r r l l k k ≤≤≤--≤≤≤--≤≤≤--λλλλλλλλλλλλ其中，s λλλ,,,21 互不相同，则A 的最小多项式为s t t t rs l k m )()()()(2121λλλλλλλ---= ．三、典型例题例1、设)(λA 为一个5阶-λ矩阵，其秩为4，初等因子为,1,1,,,22--λλλλλ3)1(,1++λλ，试求)(λA 的不变因子及其Smith 标准形．解 因为)(λA 的秩为4，所以可知其有四个不变因子1)(,)(),1)(1()(,)1)(1()(1223324==+-=+-=λλλλλλλλλλλd d d d于是立即得到其Smith 标准形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=322)1)(1()1)(1(1λλλλλλλJ ． 例2、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=322045132634206,321106252321A A ， 分别求1A E -λ与2A E -λ的Smith 标准形以及1A 与2A 的不变因子、行列式因子．解 首先求出1A E -λ的Smith 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2)2(21λλ，再求出2A E -λ的Smith 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2)2(21λλ， 于是1A 的不变因子为2)2(,2,1--λλ，2A 的不变因子与1A 的相同．1A 的行列式因子为2)2(,2,1--λλ，2A 的行列式因子与1A 的相同．【评注】由此题目可知不同矩阵的Smith 标准形、不变因子以及行列式因子可能相同．例3、已知E A k =(k 为正整数)，证明：A 与对角矩阵相似．证 只要证明A 的每一个Jordan 块都是一阶的，那么A 必与对角矩阵相似．设A 的Jordan 标准形为i i n n i i i i s a a a J J J J J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11,21 那么存在相似变换矩阵P 使得J AP P =-1．因此E P A P J k k ==-1，于是有i ii k n n k i k iki k i ki k i E a ka a ka a J =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯--11 ， 故i J 必为一阶子块，即n s =．所以A 与对角矩阵相似．例4、试写出Jordan 标准形均为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200120001J的两个矩阵B A ,．解 用两种方法求解此题．方法一 相似变换矩阵的方法．对于任意一个可逆矩阵P ，矩阵1-PJP 均与矩阵J 相似，从而其Jordan 标准形必为J ，于是任取两个不同的可逆矩阵P ，即可得到两个矩阵B A ,．方法二 矩阵秩的方法．设A (或B )的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200120001， 从而A (或B )得Smith 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--)1()2(112λλ． 由此可知A (或B )的行列式因子为2321)2)(1()(,1)(,1)(--===λλλλλD D D ．这样的矩阵A (或B )有很多，取表达式较为简单的矩阵，下列任何一种矩阵都可以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1**02*002,2**02*001,2**01*002， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100*20**2,200*20**1,200*10**2， 下面分析“*”处元素取何值时才能保证以1为主对角元的Jordan 块只有一个，以2为主对角元的Jordan 块也只有一个．根据求矩阵Jordan 标准形的方法，只要使2)2(=-E A r 或2)2(=-E B r即可．例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010102,100129002 均可以．但⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200120011,150020002 都不可以．例5、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=203003b c a A ， (1) 求A 的所有可能的Jordan 标准形．(2) 给出A 可对角化条件．解 首先计算特征多项式)2()3(2--=-λλλA E ． 当3=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-100000b c a A E λ． 若0=a ，则A E -λ的秩为1．A 的属于3=λ的线性无关的特征向量有两个，因此A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=233J ． 若0≠a ，则A E -λ的秩为2．A 的属于3=λ的线性无关的特征向量有一个，因此A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2313J ． 因此当0=a 时，A 可对角化．例6、设A 和B 都为n 阶幂等矩阵，且)()(),()(B N A N B R A R ==，证明A =B ． 证 因A 和B 都是幂等矩阵，则A 和B 的特征值都为0或1，且A 和B 都可对角化．又因为)()(B R A R =，就有r B r A r ==)()(，当1=λ时，A 与B 有r 个线性无关的特征向量，设为r ααα,,,21 ；当0=λ，0,0==BX AX ，且因)()(B N A N =，故A ，B 有r n -个线性无关的特征向量n r r ααα ,,21++，构成矩阵),,,,,,(121n r r P ααααα +=，使得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0011111 BP P AP P ，故B A =．例7、A 为n 阶方阵，证明T A 与A 有相同的Jordan 标准形． 证 设有可逆矩阵P ，使得i i nn i ii i m J J J J J AP P ⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==λλλ11,211 ， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡===--T m TTTT T T T J J J J P A P AP P2111)()(， 其中ii nn i ii Ti J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ11． 令in i Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 ， 有1-==i i T i Q Q Q ，且i i T i T i J Q J Q =，再令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m Q Q Q Q21， 故J Q J Q Q P A P Q T T T T T T T ==--11)()(，即J PQ A PQ T T T =-1])[()(．令1])[(-=T PQ C ，于是AP P J C A C T 11--==．故T A 与A 相似同一个J ．例8、举例说明，即使两个n 阶矩阵A ，B 有相同的特征多项式和相同的最小多项式，但A 与B 不一定相似．解 例如矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000000010,0000100000000010 B A ．则0,0,224===-=-B A B E A E λλλ，矩阵A 和B 的最小多项式)()(λλB A m m =2λ=，但矩阵A 和B 不相似．例9、求下列各矩阵的Jordan 标准形．(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112020021； (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3104252373； (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0167121700140013． 解 (1) )1)(2)(1()det(+--=-λλλλA E ，A 有3个不同的特征值，从而A的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121． (2) ))()(1()det(i i A E +--=-λλλλ，A 有3个不同的特征值，从而A 的Jordan标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-i i1． (3) 写出特征矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+--=-λλλλλ167121700140013A E ． 容易求得A 的行列式因子4421)1()(,1)(,1)(-===λλλλD D D ．位于A E -λ的第2，3，4行与第1，2，4列处的三阶子式为1747671170142+-=---+λλλλ，它与)(4λD 互质，所以1)(3=λD ，从而A 的不变因子为4)1(,1,1,1-λ．于是A 的初等因子为4)1(-λ，A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111J ． 例10、已知,2126617215111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=A 求可逆矩阵P 使J AP P =-1． 解 采用行列式因子法求A 的初等因子组．A 的特征矩阵为.2126617215111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----+=-λλλλA E 易见A E D -=λλ,1)(1的1，2行与2，3列处的2阶子式为4172111-=----λλ，而它的2，3行与1，2列处的2阶子式为)23(2266215+=--λλ，这两个多项式互质，故1)(2=λD ．直接计算可得)1()(23+=λλλD ．于是，不变因子为)1()()()(,1)()()(,11)()(223312211+======λλλλλλλλλλD D d D D d D d ． 故A 的初等因子组为1,2+λλ，从而A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1010J ． 0)0(=-⋅x A E 的一个非零解为T x )4,3,1()1(1-=； )1(1)0(x x A E -=-⋅的一个解为T x )2,2,1()1(2--=； 0)1(=-⋅-x A E 的一个非零解为T x )1,1,1()2(1-=．于是可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==124123111),,()2(1)1(2)1(1x x x P ， 且有J AP P =-1．例11、求下列矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵P ．(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----211212112 (2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-200120010201012解 (1) 记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=211212112A ， 首先求出A 的Jordan 标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-2)1(11211212112λλλλλλA E ， 那么A 的初等因子为2)1(),1(--λλ，故A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111J ．再设],,,[321X X X P =由J AP P =-1得J X X X X X X A ],,[],,[321321=由此可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-0)()(0)(3321X A E X X A E X A E首先解第一个方程，可得基础解系为T T ]1,0,1[,]0,1,1[21==ηξ，不妨选取T X ]0,1,1[1=，但是不能简单选取T X ]1,0,1[3=，因为3X 还要保证非齐次线性方程组33)(X X A E -=-有解．又由于第三个方程与第一个方程是同解方程组，所以其的任意解具有形式T c c c c c c X ),,()(212122113+=+=ηξ．为了使第二个方程有解，可选21,c c 的值使下面的两个矩阵的秩相等⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-2121111222111,111222111c c c c A E 只要选取1,221-==c c 即可．于是T X ]1,2,1[3-=，将其代入第二个方程，并解之得T X ]1,1,1[2=．容易验证321,,X X X 线性无关，所以取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121111P 且有J AP P =-1．(2) 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2000120010201012A ． 首先求出A 的Jordan 标准形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=-3)2(2112000120010201012λλλλλλλA E ． 那么A 的初等因子为3)2(,2--λλ，故A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=221212J ． 再求相似变换矩阵P ，设],,,,[4321X X X X P =由J AP P =-1即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=221212],,,[],,,[43214321X X X X X X X X A ， 于是可得方程组.2,2,2,24432321211X AX X X AX X X AX X AX =+=+==先求解线性方程组112X AX =和442X AX =，这是同解线性方程组，可得其全部解为2121,,]0,1,0,0[]0,0,0,1[k k k k T T +不全为零．为使2122X X AX +=有解，取T X ]0,0,0,1[1=，求出32)2(X X E A =-的全部解为T l l ]0,,1,[21，为了使3232X X AX +=有解，取1,021==l l ，再求解T X X E A ]0,1,1,0[)2(23==-，其全部解为T m m ],0,,0[21．于是取T T T T X X X X ]0,1,0,0[,]1,0,1,0[,]0,1,1,0[,]0,0,0,1[4321====．从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100101001100001P 且有J AP P =-1．例12、已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000310020111001A ， 求可逆矩阵P ，使J AP P =-1． 解 采用两种方法求A 的初等因子组(1) 初等变换法⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-20003100100120112000310020111001λλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→20003100210)1(0000120003100210)1(0201122λλλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00200130)1(03000012000310030)1(0000122λλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→)2()1(31000)1(10000300001)2()1(31020)1(130003000012222λλλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→)2()1(000010000100001)2()1(3100001000010000122λλλλλλ A 的初等因子组为2,)1(,12---λλλ．(2) 特征多项式分析法 容易求得A 的特征多项式为)2()1()det()(3--=-=λλλλϕA E因为2)1(=-⋅A E rank ，所以)(λϕ的不可约因式3)1(-λ是A 的4-2=2个初等因子的乘积，这两个初等因子只能是1-λ和2)1(-λ，因此A 的初等因子组为2,)1(,12---λλλ．综上所述，可写出A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21111J ． 下面计算相似变换矩阵P ．A 的初等因子1-λ和2)1(-λ有相同的零点(不考虑重数)，容易求出齐次线性方程组0)1(=-⋅x A E (1) 的一个基础解系为T T p p )0,1,1,0(,)0,1,1,0(21-==，因为非齐次线性方程组)2,1()1(=-=-⋅i p x A E i无解，所以选取齐次线性方程组(1)的另一个非零解为T k k k k p k p k p )0,,,0(212122113+-=+= (21,k k 不全为零)使得非齐次线性方程组3)1(p x A E -=-⋅ (2) 有解，并由此求得021=+k k ．取11=k 时12-=k ，从而T p )0,0,2,0(3=，非齐次线性方程组(2)的一个解为T p )0,0,0,2(4=，于是可得.,,4)2(23)2(11)1(1p X p X p X ===而齐次线性方程组0)2(=-X A E 的一个非零解为T X )1,3,3,1()3(1=，因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000300130211200),,,()3(1)2(2)2(1)1(1X X X X P ， 且有J AP P =-1． 例13、求E A A A A A A g 462819)(3457-++--=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ．解 0)(),2()1(254)(223=--=-+-=-=A f A E f λλλλλλλ．462819)(3457-++--=λλλλλλg ．令c b a f g +++=λλλϕλλ2)()()(，则cE bA aA cE bA aA A A f A g ++=+++=22)()()(ϕ．用待定系数法求c b a ,,．⎪⎩⎪⎨⎧=++==+='=++=.2424)2(,162)1(,11)1(c b a g b a g c b a g 解得8,22,3-==-=c b a ，故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-+-=2431904364016218223)(2E A A A g ． 例14、A ∽J ，求A 的最小多项式，其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯212515015566J ． 解 方法一 24)2()5()(--=-=-=λλλλλJ E A E f ．因为0)2(,0)5(,0)5(232=-=-≠-E J J J J J ，故23)2()5()(--=λλλϕ，0)2()5()(23=--=E A E A A ϕ，故23)2()5()(--=λλλA m 是J 的最小多项式，也是A 的最小多项式．方法二 由A 的最小多项式与J 的关系知，特征值5=λ对应的Jordan 块最高阶为3，2=λ对应的Jordan 块最高阶为2，故23)2()5()(--=λλλA m ．例15、3C 中，线性变换在某一基下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为)1)(2()(2+-==-λλλλA m A E ， 令}0)({},0)2({221=+==-=ββααE A W E A W ，(1) 证明21,W W 是A 的不变子空间，且213W W C ⊕=．(2) 在子空间21,W W 选取适当的基，合并为3C 的一组基，使T 在此基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010100002B ． 证 (1) ))()(2()(i i m A +--=λλλλ，可见1W 是A 的特征值2=λ的特征子空间，1W 是A 的不变子空间．当i =λ时，则存在21W ∈β，使;11ββi A =i -=λ，则存在22W ∈β，使22ββi A -=，于是有],[212ββL W =，且2W 是A 的不变子空间，}0{21=W W ，故213W W C ⊕=．(2) 设2=λ对应的特征向量为α，i i -==λλ,对应的特征向量21,ββ，则有基21,,ββα，使得A T ~),,(),,(2121ββαββα=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=i iA 2~． 由11ββi T =，令1,1-=+=i iY X β，Y X ,为线性无关的实向量．Y iX iTY TX iY X T T -=+=+=)(1β，可得⎩⎨⎧=-=.,X TY Y TX故有=-==),,2(),,(),,(X Y TY TX T Y X T ααα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010100002),,(Y X α． T 在基Y X ,,α下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010100002B ． 例16、用矩阵的Jordan 标准形求解线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=32132122118834x x x dtdx x x dtdx x x dt dx 这里321,,x x x 都是t 的函数．解 对方程组的系数矩阵A 求出其Jordan 标准形J 以及相似变换矩阵P ，且J AP P =-1，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=188034011A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010011J ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124012001P ，作变量替换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡221321y y y P x x x ，那么原方程组可化为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3221321321321'''y y y y y y y J y y y dt dy dt dy dt dy 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=3322211y dtdy y dt dy y y dt dy 可求得t t t t e k y e k y te k e k y -==+=3322211,,，于是⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=+=-,)24(4)(,)12(2)(,)(3213212211t t t t t t t e k e t k e k t x e t k e k t x te k e k t x 其中321,,k k k 为任意常数．四、教材习题同步解析1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλλλ352223 2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 解 1)、 21[(1)]32232[1,2]3222323[1,2]522352533523λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222050(103)0(103)33λλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2)、3222(1)(1)(1)00020(1)(2)1021λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(1)1(1)(1)1(1)λλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．解 1) 易知32321)1()(),1()(,1)(+=+==λλλλλλλD D D ，所以22331221)1()()()(),1()()()(,1)(+==+===λλλλλλλλλλλD D d D D d d ．2) 易知121()()()1,()()n n n D D D D a λλλλλ-=====- ，所以 121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====- ．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ；8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000210032104321．解 1) 先求A E -λ的初等因子，使用初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=-2)1(00010001111613803502613803λλλλλλλλλλA E ， 所以初等因子是2)1(),1(++λλ，因而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111J 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11112)1010440440212122E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭221001004(2)00(2)0122002λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以行列式因子3321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλD D D ；不变因子2321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλd d d ；初等因子组2)2(,2--λλ；Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2212．3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321[若当块次序可有不同]；4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i 221；6) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；7) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101； 8) 将A 写成分块形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112,141321A A ．先分别求出21,A A 的初等因子 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-21)1(11413λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22)1(1112λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． 所以A 的初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ．故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 9) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ． 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-2)2)(3(11λλλA E ，因此A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-21231J AP P ，PJ AP =，令),,(321x x x P =，可得 32322112,2,3x x Ax x Ax x Ax +===2321)2(,0)2(,0)3(x x A E x A E x A E -=-=-=- 由齐次线性方程组0)3(=-x A E ，可求得T x )0,1,0(1=； 由齐次线性方程组0)2(=-x A E ，可求得T x )3,0,5(2=； 把2x 代入2)2(x x A E -=-，可求得T x )1,0,2(3=．所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130001250P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？解 不一定；题设条件确定了A 的特征多项式为3)1()(-=λλψ．也就是说，A 的初等因子之积应为3)1(-λ．此时，初等因子组尚有如下一些可能：ⅰ)3)1(-λ；ⅱ)2)1(),1(--λλ；ⅲ))1(),1(),1(---λλλ．因此，相应的若当形也有三种可能，即ⅰ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111；ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111；ⅲ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111． 6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----211212112； 4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式．解 1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→-2)2(21λλλA E ，故最小多项式为23)2()(+=λλd ． 2),311111002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλA E 其行列式因子为 ,1)(1=λD ),2()(2-=λλD .)2(3111)2()(33-=----=λλλλλD 不变因子为.)2()(,2)(,1)(2321-=-==λλλλλd d d 故Jordan 标准形为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122，最小多项式2)2()(-=λλϕ． 3) ,211212112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-λλλλA E 因),1()(,1)(21-==λλλD D A E D -=λλ)(3,)1(3-=λ故()22211)(,1)(,1)(-=-==λλλλλd d d ，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211J ，最小多项式2)1()(-=λλϕ． 4) )2()1(2--λλ；5) )12)(3(--λλ．7、方阵A 满足0=k A (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？ 解 )0()(k l l ≤≤=λλϕ．8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？解 提示：12-λ是A 的致零多项式，故最小多项式有三种可能：)1)(1(,1,1-+-+λλλλ．当1与-1均为A 的特征根时，最小多项式就是12-λ．9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．解 特征多项式为4次多项式，故知A 为4阶矩阵，A 的特征根为11-=λ(二重)，12=λ(二重)．由最小多项式)1()1()(2-+=λλλϕ可知A 的若当形J 中有两个若当小块为)1(,11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J ． 因为J 的主对角线上应是A 的全部特征根，所以J 中还有另一个若当小块)1(3-=J ．于是，A 的一个若当形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111J ．。
矩阵分析与计算 (朱元国 饶玲 严涛 张军 李宝成 著) 国防工业出版社 课后答案
课
后
答
( )( ) = ������ Λ������ −1 ������ ������������ −1 = ������������,
案
( )( ) ������������ = ������ ������������ −1 ������ Λ������ −1 = ������ ������Λ������ −1 = ������ Λ������������ −1
概率与数理统计 第二, C语言程序设计教程 第 西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程 第 复变函数全解及导学[西 三版 (浙江大学 三版 (谭浩强 张 (高鸿业 著) 中 二版 (谭浩强 张 安交大 第四版]
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2009-10-15
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其中 ������ 和 Λ 是对角矩阵。于是有
w.
m
co m
ww
w.
2. (两个可对角化矩阵������, ������ ∈ ������ ������×������ 称为同时可对角化的，如果存在
co
m
矩阵分析与计算 第1章习题解答与提示
1
第1章 习题解答与提示
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同一个相似变换矩阵������ ∈ ������ ������×������ ，使得������ −1 ������������ 和������ −1 ������������ 同为对角矩 阵。)
充分性 若������和������ 同时可对角化，则存在可逆矩阵������ ，使得 ������ = ������ ������������ −1 , ������ = ������ Λ������ −1 ,
是对应������的特征向量，而������是������的单特征值，所以������, ������������ 线性相关。因
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
矩阵分析 第三章 第6节
第5节对称与反对称变换那么称是V 的一个对称变换。
定义5.1：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=T 定理5.2：是欧氏空间V 的一对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= T A A=12(,,,)n nn u u u U ⨯∈ 定理5.3：欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。
T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
那么称是V 的一个反对称变换。
定义5.2：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=-T 定理5.5：是欧氏空间V 的反对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= TA A =-12(,,,)n nn u u u U ⨯∈第6节正规矩阵、Schur引理定义6.1：酉相似（正交相似）,()()n n n n n n n n A B C or R U U or E ⨯⨯⨯⨯⎫∈⎬∃∈⎭1H U AU U AU B -==1()T U AU U AU B -==酉相似（正交相似）定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。
证明：（1）n=1时显然成立，假设你n=k-1时结论成立，即k-1阶矩阵A 酉相似于一个上三角矩阵。
（2）n=k 时：111A αλα=11A αλ是矩阵的对应于特征值的单位特征向量（2）n=k 时：111A αλα=1α12(,,,)k ααα 扩充成K 阶酉矩阵1U =12(,,,)k A ααα 11210(,,,)0k A λααα**⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1AU =k-1阶矩阵11H W AW R =111100H U AU A λ**⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭上三角矩阵21let U W ⎛⎫== ⎪⎝⎭12112100H H U U AU U R λ⊗⊗⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。
矩阵论课后参考答案(第一二三四
;
则 TE 11 E 11ca
b d
a11E 11
a21E 12
a31E 21
a41E 22
即
a0
b 0
a11 a 31
a a
21 41
所以
a 11
a ,a 21
b,a31
0,a 41
0
同理可得： a12 c,a22 d ,a32 0,a42 0
x k11 k22 l11 l22
则
k1 k2 2l1 l2 0
kk212k1kl12k273lll221
l2 0
0
0
，故有
kk12
l2 4l2
l1 3l2
即 x k11 k22 l2 (42 1) l2 (5,2,3,4)
1 1 3 C 1 2 5
1 3 6
17.证明：秩为 1 的 n（n>1）阶阵 A 的最小多项式是 2 (trA) 。
证明：由题知 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则说明 A 有 n-1 重 0 特征根
与一个特征根 0 。又因存在 特征多项式可写为
n
i tr(A) ，故可知 0 tr( A) ，故 A 的
且对角元全为 0，则其维数为
dim(V ) (n 1) (n 2) 1 (n 1)((n 1) 1) n(n 1)
2
2
其基为 n(n 1) 个 n n 阶的矩阵，故基可写为
2
0 1 0 0 0 0 1 0
1 0
0 0
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
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3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
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5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
矩阵分析第三章课后答案
第三章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[] () ()() ()() ()1121221211131323312312112212311122schmidt==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,0=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：2333123=--0510105==().TTN Aβγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝021于是ε1＝（0，1，0）T是A的特征向量。
大连理工大学程名松矩阵与数值分析计算方法-第3章
1 (1 − ρ ( A ) ) > 0 一定存在 2 一种相容的矩阵范数 ⋅ ，使得 A ≤ ρ ( A) + ε 。
充分性 根据定理2.8，对于 ε =
又根据相容矩阵范数的性质， 再注意到上述关系式有 1 ρ ( A ) + ε = (1 + ρ ( A ) ) < 1 2 那么
A k ≤ A ≤ ( ρ ( A) + ε ) ≤ q k < 1
k→∞
k→∞
1⎞ lim ⎛ 1 + ⎟ k →∞ ⎜ ⎝ k⎠
k
lim sin k k →∞ k lim
lim
k →∞
k →∞
e− k
k
k
⎞ ⎛e 0 ⎞ ⎟ ⎜1 0 ⎟= A ⎟ =⎜ ⎟ ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝
由矩阵序列极限的定义可以看出，矩阵序列收敛的性质和数 列收敛性质相似。 由定义可见，C m × n 中的矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时 收敛。 因此可以用初等分析的方法来研究它。
∞ ∞
并且 则
lim Ak = A ， k →∞
lim Bk = B
k →∞
lim A k B k = AB
k →∞
证 由
Ak Bk − AB = Ak Bk − Ak B + Ak B − AB
≤ B ⋅ Ak − A + Ak ⋅ Bk − B
由定理1和推论可知，结论成立。
性质3
n n lim Ak = A 并且 设 {Ak }k=1∈C × 中的矩阵序列，
∞
⎛ 0.1 0.7⎞ 。 由于 A ∞ = 0.9 < 1 ，故 计算 ∑ A ，其中 A = ⎜ ⎟ k =0 ⎝ 0.3 0.6⎠ ∞ k ρ ( A ) < 1，从而 ∑ A 收敛，且有
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第三章1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间； （2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。
2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。
提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。
3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HU AU 是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵，已知131(1)612A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对角矩阵，已知220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。
反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。
证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满秩。
()()11()()()--=-+=-+-HHH H Hi E U E U i E U E U ，要H H H =，只要()()11()()()()()()---+-=-+⇒--+=+-⇒-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U故HHH =由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。
由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0+≠E iH ，即E iH +满秩。
111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证：1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。
证明：1111[()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E设,A B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。
证明：相似矩阵有相同的特征值。
A 与B 正交相似⇒A 与B 的特征值相同。
若A 与B 的特征值相同，又,A B 均是实对称矩阵。
所以存在正交阵Q ，P 使()()T T T T T Q AQ P BP QP A QP B Λ==⇒=其中T QP 为正交阵。
10、 设,A B 均是Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。
证明：同上一题。
11、 设,A B 均是正规矩阵，试证：与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。
同上12、 设A 是Hermite 矩阵，且2A A =，则存在酉矩阵U ，使得000rH E U AU ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13、 设A 是Hermite 矩阵，且2A E =，则存在酉矩阵U ，使得00rHn r E U AU E -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。
14、 设A 为正定Hermite 矩阵，B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的特征值实部为0。
证：A 为正定Hermite 矩阵HA L L ⇒=，L 为满秩的。
1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，()H H H H H LBL LB L LBL ==-H LBL 是反Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵的特征值实部为0,所以AB 的特征值实部为0。
15、 设,A B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数。
证明：同上题。
1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，()H H H H H LBL LB L LBL ==，H LBL 是Hermite 矩阵，Hermite 矩阵的特征值为实数,所以AB 的特征值是实数。
16、 设A 为半正定Hermite 矩阵，且0A ≠，试证：1A E +>。
证明：A 的特征值为0i λ≥，矩阵的行列式等于特征值之积。
A E +特征值为1i λ+，(1)1+=+>∏i A E λ17、 设A 为半正定Hermite 矩阵，0A ≠，B 是正定Hermite 矩阵，试证：A B B +>。
证明：H B L L =，L 为满秩的。
111111()()()------+=+=+=+=+H H H H H H A B A L L L L AL E L L AL E L L L AL E B11()--H L AL 为半正定Hermite 矩阵，由上题11()1--+>H L AL E ，11()--+=+>H A B L AL E B B18、 设A 为正定Hermite 矩阵，且n nA U ⨯∈，则A E =。
证明：存在,⨯∈n nU UH A U U Λ=，1(,,),0n i diag λλλΛ=>。
又n n A U ⨯∈，()2HHHH E A A U UU U ΛΛΛ===211i i λλ⇒=⇒=H H A U U UEU E Λ⇒===19、 试证：（1）两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的。
提示：考查()HX A B X +20、 设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，试证：A ＋B 是可逆矩阵。
提示：A 为正定Hermite 矩阵HA L L ⇒=，L 为满秩的。
11()H H AB L E L BL L --+=+11()H L BL --是反Hermite 矩阵，特征值i λ实部为0,11()(1)0H i E L BL λ--+=+≠∏，所以0A B +≠21、 设A ，B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似。
证明：充分性，酉相似⇒相似。
必要性，A ，B 是n 阶正规矩阵，111222,,H H n ni A U U B U U U U ΛΛ⨯==∈，又A 与B 相似, A 与B 的特征值相同,可设=12ΛΛ，⨯===∈111122121,H H H H n n A U U U U BU U U U U Λ22、 设HA A =，试证：总存在0t >，使得A tE +是正定Hermite 矩阵，A tE -是负定Hermite 矩阵。
提示：A 的特征值为i λ，则A tE +的特征值为i t λ+23、 设A 是正定Hermite 矩阵，且A 还是酉矩阵，则A E =。
提示：24、 设A 、B 均为正规矩阵。
且AB BA =，则AB 与BA 均为正规矩阵。
提示：用Ｐ１５０定理，,A B 可以同时酉对角化。
25、 设H A A =-，试证：1()()U A E A E -=+-是酉矩阵。
提示：111111[()()]()()()()()()()()()()------=+-+-=---++-=++--=H H U U A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E E26、 设A 为n 阶正规矩阵，12,,,n λλλ为A 的特征值，试证：H A A 的特征值为22212||,||,,||n λλλ。
提示：1Hn U AU λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11H H n n U A AU λλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以HA A 的特征值为2i i i λλλ=27、 设n nA C ⨯∈，试证：（1）H A A 和H AA 都是半正定的Hermite 矩阵；（2）H A A 和HAA的非零特征值相同。
提示：（1）()()0=≥HHHX A AX AX AX（2）=⇒=HH i i A AX XAA AX AX λλ，特征值的重数也相同，参见P19128、 设A 是正规矩阵，试证：（1）若0rA =（r 为自然数），则0A =；（2）若2A A =，则HA A =；（3）若32A A =，则2A A =。
29、 设,HHA A BB ==-，求证以下三条件等价：（1）A B +为正规矩阵 （2）=AB BA （3）()HAB AB =-解：（1）⇒（2）()()()()++=++HHA B A B A B A B H H H H A B B A AB BA ⇒+=+由,H H A A B B ==-AB BA ⇒=。
（2）⇒（3）AB BA =,由,HHA A BB ==-()H H H AB B A AB ⇒=-=-（2）⇒（1）()()()()++=-+HA B A B A B A B ,由AB BA =()()()()A B A B A B A B ⇒-+=+-31、设n n∈，则A可以唯一的写为A S iTA C⨯=+，其中,S T为Hermite矩阵。
且A可以唯一的写为A B C =+，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵。
解：设A S iT =+，其中,S T 为Hermite 矩阵，则=-=-HHHA S iTS iT 。