吕跃进-粗糙集方法建模

例 1：信息表（玩具）
表 1. 积木信息表 颜色
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
形状 圆 方 三角 三角 圆 方 三角 三角
体积 小 大 小 小 小 小 大 大
红 蓝 红 蓝 黄 黄 红 黄
第11页 共58页
例 1：信息表（玩具）
表 1 所示即为一个信息表，为方便数学上的处理，一般将属性和 属性值符号化或数值化。如将颜色、形状、体积三个属性依次记为
第6页 共58页
粗糙集发展重大历程及相关文献：
（4）国内外学术会议
国际会议： R SK T （每年一次， EI、ISTP 收录）International Conference on Rough Sets and Knowledge Technology. 国际会议： RSFDGrC （两年一次，奇数年， EI 、 ISTP 收录） International Conference on Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining, and Granular Computing. RSCTC EI、ISTP 收录）International Confe rence 国际会议： （两年一次， 偶数年， Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing. 国际会议：RST（每年一次）International Workshop on Rough Sets Theory. 国内会议：CRSSC（每年一次，部分收录杂志）中国 Rough 集与软计算学术研 讨会；CRSSC-CWI-CGrC 联合会议.
2012 年广西高校数学建模学术研讨会暨师资培训班
粗糙集方法建模
主讲人：吕跃进 lvyjin@126.com 2012 年 7 月
第1页 共58页
目录
一、粗糙集简介 二、粗糙集理论研究的对象及实例引入 信息表（玩具） ；决策表（疾病诊断） ；问题引入 三、粗糙集理论的基本概念 1. 等价关系（及其性质） ；2. 等价分类（划分） ；3. 等价关系与划 分之间的联系；4. 下近似，上近似（概念及其性质） ；5. 粗糙集的正 域、负域、边界域；6. 近似精度，粗糙度；7. 近似分类精度，近似 分类质量；8. 知识约简（属性约简，核） ；9. 相对正域，相对属性约 简；10. 属性约简的方法；11. 规则提取 四、粗糙集方法建模一般步骤 五、粗糙集理论的拓展及研究 1. 主要研究的问题； 2. 粗糙集模型拓展； 3. 应用研究
X i = U ， ∀i, j ≤ k , X i ∩ X j = ∅ 。 称为等价分类） 。 U / R 满足 i =∪ 1,...k
例 4：在表 3 中，若取 R = {C1 , C2 } ，则可形成
令
U / R = {{x1 , x2 , x3},{x4 , x6 , x8 },{x5 , x7 }} ={ X 1 , X 2 , X 3} .
yRz ，则 xRz ） 。
第18页 共58页
1.等价关系（及其性质）
定义在粗糙集上的等价关系也称为称不可区分关系，一般记为
ind(R) ，其定义形式为：
ind ( R ) = {( x, y ) ∈ U × U | ∀a ∈ R, f ( x, a ) = f ( y , a )}.
其中 R ⊆ A 为信息表的一个属性子集。显然，粗糙集下的等价关系
第8页 共58页
二、粗糙集理论研究的对象
1.信息表、决策表
设四元组 S = (U , A,V , f ) 为一个知识表达系统，其中 U 为对象的非空 有限集合，称为论域，可记为 U = {x , x ,..., xn } ； A 为属性的非空有限集合，
wenku.baidu.com1 2
Va ， V 是属性 a 的值域， f 代表一个 U × A → V 可记为 A = {a1 , a2 ,..., am } ， V = a∪ ∈A
ind ( R) 表示在属性集 R 下，具有相同属性取值的对象对的集合。
例 3：在表 3 中，若取 R = {C1 , C2 } ，则有
ind ( R) = {( x1 , x1 ),( x1 , x2 ),( x1 , x3 ),( x2 , x1 ),( x2 , x2 ),( x2 , x3 ),( x3 , x1 ),( x3 , x2 ),( x3 , x3 ), ( x4 , x4 ),( x4 , x6 ),( x4 , x8 ),( x6 , x4 ),( x6 , x6 ),( x6 , x8 ),( x8 , x4 ),( x8 , x6 ),( x8 , x8 ), ( x5 , x5 ),( x5 , x7 ),( x7 , x5 ),( x7 , x7 )}
第3页 共58页
一、粗糙集简介
优势：该理论与其它处理不确定性问题理论（如概 率方法、模糊集方法、证据理论等）的最显著区别是它 无需提供所需处理的数据集合（信息表）之外的任何先 验信息。
第4页 共58页
粗糙集发展重大历程及相关文献：
（1）理论诞生：1982 年 [1] PAWLAK Z. Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science [J]，1982,11（5）:341-356. （2）进入活跃时期：1991 年 [2] PAWLAK Z. Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning 0about Data [M]. Boston：Kluwer Academic Publishers Press，1991:9 1991:90166.
第5页 共58页
粗糙集发展重大历程及相关文献：
（3）粗糙集学术组织 S) 国际组织：国际粗糙集学会(International Rough Set Society，IRS IRSS) http://roughsets.home.pl/www/ http://www.roughsets.org 国内组织：中国人工智能学会粗糙集与软计算专业委员会 （CRSSC） http://cs.cqupt.edu.cn/crssc
第7页 共58页
粗糙集发展重大历程及相关文献：
（5）国内参考书
[1] 张文修，吴伟志，梁吉业，李德玉. 粗糙集理论与方法[M].北京：科学出版 社，2001. . [2] 张文修，梁怡，吴伟志. 信息系统与知识发现[M].北京：科学出版社，2003 2003. [3] 刘清. Rough 集与 Rough 推理[M].北京：科学出版社，2001. [4] 王国胤. Rough 理论与知识获取[M].西安：西安交通大学出版社，2001. [5] 梁吉业，李德玉. 信息系统中的不确定性与知识获取[M].北京：科学出版社， 2005. 07. [6] 张文修， 仇国芳. 基于粗糙集的不确定性决策. 北京： 清华大学出版社， 20 2007. ……
第20页 共58页
3. 等价关系与划分之间的联系
等价关系与划分之间是一一对应的。给定一个等价关系 ind ( R) ， 可以导出该等价关系所对应的唯一划分 U / R ，同理，给定一个划分
第19页 共58页
2. 等价分类（划分）
设信息表 S = (U, A,V , f ) ， R ⊆ A ， [x]R ={y | (x, y) ∈ind(R)} 称为等价关系 R 下元素 x的等价类（不可区分类） ，等价类表示在某一属性集下取值相
U / R={[x]R | x∈U}称为论域 U 在属性集 R下的一个划 分（ 或 同的对象集合。
第9页 共58页
例 1：信息表（玩具）
给定一玩具积木的集合 U = { x1 , x 2 , ..., x8 } ，并假设这些积木有不同 的颜色（红、黄、蓝） ，形状（方、圆、三角形） ，体积（小、大） 。 因此，这些积木都可以用颜色、形状、体积这些知识来描述，8 个玩 具的具体情况如下表所示：
第10页 共58页
第2页 共58页
一、粗糙集简介
简介： 粗糙集理论 （ Rough Sets） 是波兰数学家 Z. Pawlak 于 1982 年提出的一种数据分析理论，由于该理论在数据的决策与分析、模式 识别、机器学习与知识发现等方面的成功应用，使其逐渐引起了世界 各国学者的广泛关注。 粗糙集理论主要是基于信息表和等价关系，对不精确、不完整、 不确定数据进行处理。从大量的、杂乱无章的、强干扰的数据中提取 有用信息，形成决策或推理规则，用于指导决策的过程。
a 1 , a 2 , a 3 ，将红、蓝、黄三种颜色依次赋值为 1,2,3，对形状和体积下
的取值做类似的处理，则得规范化的信息表如表 2 所示：
第12页 共58页
例 1：信息表（玩具）
表 2. 规范化信息表示例
A
a1 a2 a3
U
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
1 2 1 2 3 3 1 3
“是”、“否”，“肌肉痛”属性下的取值为“是”、“否”，“体温”属性下的 取值为“正常”、“高”、“很高”。原始数据表如表 3 所示，对属性及属 性值进行符号化处理，得决策表如表 4 所示：
第14页 共58页
表 3. 流感病人数据表
A
条件属性 头痛 肌肉痛 是 是 是 是 否 是 否 是 体温 正常 高 很高 正常 高 很高 高 很高
a
的信息函数，它为每个对象的每个属性赋予一个信息值，即
∀a ∈ A, x ∈ U
， f ( x, a) ∈Va 。
知识表达系统也称为信息系统（信息表） ，通常也用 S = (U , A) 来代 替 S = (U , A,V , f ) 。若 A = C ∪ D ，且 C ∩ D = ∅ ，其中 C 称为条件属性集， D 称为决策属性集。则这类具有条件属性和决策属性的知识表达系统称 为决策表。
第17页 共58页
三、粗糙集理论的基本概念
1. 等价关系（及其性质）
等价关系 R 为一个二元关系，可表示为 R = {( x, y) ∈U × U } ， U 为一个 元素集合，( x, y ) ∈ R 表示 x 与 y 存在关系 R ，亦可记为 xRy 。等价关系满 足自反性、对称性和传递性。 ①自反性：对 ∀x ∈U 都有 ( x, x) ∈ R （或 xRx ） ； ②对称性：若 ( x, y) ∈ R ，则必有 ( y, x) ∈ R （或若 xRy ，则 yRx ） ； ③传递性：若 ( x, y ) ∈ R ，且 ( y, z ) ∈ R ，则必有 ( x, z ) ∈ R （或若 xRy 且
第13页 共58页
1 2 3 3 1 2 3 3
1 2 1 1 1 1 2 2
例 2：决策表（疾病诊断）
表 3 给出了一个关于某些病人的决策表，其中 U ={x1, x2,..., x8}表示 8
体 温 D = { 流 感} 。 “ 头痛 ” 属性下的取值为 位测试病人， C={头 痛 , 肌 肉 痛 ,} ，
第16页 共58页
0 1 2 0 1 2 1 2
0 1 1 0 0 1 1 0
2.问题引入
1.对于给定的信息表（或决策表） ，其所有信息是否都是必要的，能否对 给定的信息表进行简化，减少数据规模，降低解决问题的难度。例如在表 3 中， 对于流感的判定， 上述三项指标是否都是必须的？能否仅根据其中一项或 两项指标判定某个测试病人患有流感？类似还有模式识别 （如人脸识别时可能 提取出成千上万个特征）等问题中，我们所获取的信息往往是大量的，但是否 所有信息都是有价值的。 这一问题值得深思， 数据规模对数据挖掘的效率将产 生重大影响。为解决这一问题，我们将引出属性约简的概念。 2.对于给定的决策表，如何由条件属性的取值确定其决策类取值，即如何 从大量数据中提取有用的知识或信息， 用于指导决策过程具有重大意义。 由此 引出规则提取（决策推理）的概念。
决策属性 流感 否 是 是 否 否 是 是 否
U
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
是 是 是 否 否 否 否 否
第15页 共58页
表 4. 规范化决策表示例
A
C C1 C2 C3
D
U
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 1