大学工程力学第7章平面弯曲2
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主轴平面：如果梁的横截面没有对称轴，但是都有通过 横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
用相邻的两个横 截面从梁上截取长度 为dx的微段，假定梁 发生弯曲变形后，微 段的两个横截面仍然 保持平面，但是绕各 自的中性轴转过一角 度dθ。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
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第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
如果梁的横截面上只有 弯矩这一个内力分量，这种 平 面 弯 曲 称 为 纯 弯 曲 (pure banding)。
第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
※ 梁的中性层与横截面的中性轴
梁弯曲后，一些层发生伸长变 形，另一些则会发生缩短变形，在 伸长层与缩短层的交界处那一层， 既不发生伸长变形，也不发生缩短 变形，称为梁的中性层或中性面 (neutral surface)。中性层与梁的横 截面的交线，称为截面的中性轴 (neutral axis)。
第7章 平 面 弯 曲
第7章 平面wenku.baidu.com曲
§7.1 梁的剪力和弯矩 §7.2 剪力图和弯矩图 §7.3 梁横截面上的应力 §7.4 梁的强度
§7.5 梁的变形与刚度
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
纵向对称面：梁的横截面通常具有纵向对称轴，所有纵 向 对 称 轴 组 成 的 平 面 ， 称 为 梁 的 纵 向 对 称 面 (symmetric plane)。
变
平面假定
形
应变分布 物性关系 应力分布
确定横截面上正应力的 方法与过程
静力 方程
应力公式
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
dx －yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变。于是得到
dx －y d － y
dx
dx
这就是正应变沿横截面高度方向分布
的数学表达式。其中
1 d dx
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
F
F
mn
实
mn
验
现
象
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
✓1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧 线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 ✓2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直
实 线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线 验 间相对转动了一个角度。 现 象
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
梁在横向力作用下，其 横截面上一般将同时产生剪 力和弯矩，这称为横力弯曲 (transverse bending)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念 试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？
是纯弯曲；
是横力弯曲
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这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然 不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个 问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计
算；二是中性面的曲率半径没有确定。
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
在 横 截 面 上 建 立 Oxy 坐 标 系 ， 其 中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿 横截面高度方向并与加载方向重合。
微段上到中性面的距离为y处长度 的改变量为：
dx －yd
式中的负号表示y坐标为正的线段产生 压缩变形，反之产生伸长变形。
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称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
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梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
用相邻的两个横 截面从梁上截取长度 为dx的微段，假定梁 发生弯曲变形后，微 段的两个横截面仍然 保持平面，但是绕各 自的中性轴转过一角 度dθ。
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E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
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§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
如果梁的横截面上只有 弯矩这一个内力分量，这种 平 面 弯 曲 称 为 纯 弯 曲 (pure banding)。
第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
※ 梁的中性层与横截面的中性轴
梁弯曲后，一些层发生伸长变 形，另一些则会发生缩短变形，在 伸长层与缩短层的交界处那一层， 既不发生伸长变形，也不发生缩短 变形，称为梁的中性层或中性面 (neutral surface)。中性层与梁的横 截面的交线，称为截面的中性轴 (neutral axis)。
第7章 平 面 弯 曲
第7章 平面wenku.baidu.com曲
§7.1 梁的剪力和弯矩 §7.2 剪力图和弯矩图 §7.3 梁横截面上的应力 §7.4 梁的强度
§7.5 梁的变形与刚度
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梁弯曲的若干定义与概念
纵向对称面：梁的横截面通常具有纵向对称轴，所有纵 向 对 称 轴 组 成 的 平 面 ， 称 为 梁 的 纵 向 对 称 面 (symmetric plane)。
变
平面假定
形
应变分布 物性关系 应力分布
确定横截面上正应力的 方法与过程
静力 方程
应力公式
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
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应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
dx －yd
将线段的长度改变量除以原长dx，即 为线段的正应变。于是得到
dx －y d － y
dx
dx
这就是正应变沿横截面高度方向分布
的数学表达式。其中
1 d dx
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F
F
mn
实
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验
现
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
✓1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧 线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 ✓2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直
实 线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线 验 间相对转动了一个角度。 现 象
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梁弯曲的若干定义与概念
平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主 轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外 力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。
一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分量，就是剪力和弯矩。
梁在横向力作用下，其 横截面上一般将同时产生剪 力和弯矩，这称为横力弯曲 (transverse bending)。
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第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念 试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？
是纯弯曲；
是横力弯曲
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这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然 不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个 问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计
算；二是中性面的曲率半径没有确定。
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纯弯曲时梁横截面上的正应力
在 横 截 面 上 建 立 Oxy 坐 标 系 ， 其 中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿 横截面高度方向并与加载方向重合。
微段上到中性面的距离为y处长度 的改变量为：
dx －yd
式中的负号表示y坐标为正的线段产生 压缩变形，反之产生伸长变形。
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