九年级数学(北师大版)·中考知识梳理 第22讲 与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
下课了!
谢谢观赏 再见！
课堂小结
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0
d>r
相切
1 d=r 切点
相交
2 d<r 交点
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切线
割线
切线定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
课后作业布置
北师大版数学九年级下册
复习回顾
点和圆的位置关系有哪几种？
A d C
O
B
点到圆心距离为d ⊙O半径为r
点A在圆内 点B在圆上
（1）d<r （2）d=r （3）d>r
三种位置关系
点C 在圆外
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注 a(地平线) 意观察直线与圆的公共点的个数
● ● ● ● ●
O
O
● ●
相切
O
.
●
4)
相交
巩固练习
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d, 根据下列条件判断直线L与⊙O的位置关系:
(1)d=4, r=3 (2)d=1, r= 3
(3)
相离 相交
d 2 5, r 2 5
相切
自主探究
1.你能举出生活中直线与圆相交,相切,相离的实例吗? 2.下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画 出它们的对称轴吗?
●
O
●
O
●
O
┐ ┐ ┐
相交
九年级数学圆和圆的位置关系-北师大版
实在想不到，这小子对他妹子，倒是有几分真感情，瞳孔之中布满血丝，眼里都哭出了血水，有些吓人！许大财主看到这一幕，虽然有些奇怪，但也不放在心上，十多年的感情，哭几滴泪水那也没有什么。 何易利用血液和照妖眼交换反馈的能量，当然是顶级的能量，不过，一个人的血气有限，并不能完全满足他现在巨量的消耗。 何易这几天吃的虽然是老虎豹子人熊等大补之物，但现在吃上美酒佳肴，换了口味，竟是感觉十分的惬意，心中想：我失踪了这些天，游人熊倒没有忘了我！ “老龙！我这一辈子，还从没有被人这样狗血淋头的骂过，你给我小心点，要是骂得过了头，小心我不帮你报仇？” 无矛用的是矛，两只短矛，只有四尺长短。
“这……我实在没有什么把握。” 不知什么时候，何易已经回来了。 “停下吧！不然你要受内伤的！”龙老道说话了。 游人熊想不到的是，在他最落魄的时候，白云城主竟然率领他麾下的三大好手无刀、无枪、无剑亲自在路上迎接他！ 一旦他出了门，就海阔天空，兑现了和游人熊的诺言。
书法培训机构加盟
“哼！现在说这些为时过早，再说了，你现在肉身修行都远未达圆满，现在谈通玄的事情，为时尚早，走吧！” 这个时候，他额头上的汗水，已经是一滴滴的渗出。 “是！”一众奴仆应声退出。 说着膝盖半蹲，作出赔礼的姿态。宝和修炼道术也就是成为我心意门弟子之间选择其一，不过，要得到这其中之一，你必须用你手里的剑，杀了我，捅我这里！” “哈哈，我正愁兄弟或许不愿落草，和我这样的人为伍，想不到兄弟如此看得开，你放心，入伙的事情，包在我的手上，薛兄弟，以你的身手，大哥知道了，不知道会有多高兴，哈哈！” 怎么回事，这扇门为什么又出现在我的面前？
一边进去的时候，他一边想，这一次，门里的该不会又是那个要我杀他的道士吧？ “喝血干什么？” “哼哼！我早就料到你是这个意思，我告诉你，办不到！雪山派是游大哥的雪山派，我只不过是暂时代他做一会帮主。要是我归附了白云城，那雪山派就名存实亡了。” 何易感受着身体在高速奔行之中的一丝丝微妙变化，气息渐渐的悠长，达到了物我两忘的意境，身上的汗浆渐渐的布满全身，只觉得浑身难受之极。 “回帮主！任务已经有了，就是让他刺杀一个人！”
与圆有关的位置关系+复习课件+2021-2022学年北师大版数学九年级下册
A
O E D C
M
P
B
(2)解：如答图，连接 BC.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°.
在 Rt△ABC 中，∵AC＝10，AB＝6，∴BC＝8.
∵BE＝AB＝BM，∴EM＝12.
A
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，
∴△ABC∽△EAM，
∴∠C＝∠AME，EAMC ＝ABMC ， 即1120＝A8M，解得 AM＝458. 又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，
O E
D C
∴AD＝AM＝458.
M
P
B
判定方法一：如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那 么这条直线是圆的切线（作垂直，证半径） 判定方法二：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线（连半径，证垂直）
O
l H
如图，已知BA与⊙O相切于点A，OB平分∠ABC，BC与 AO的延长线交于点C，AC与⊙O相交于D.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
O r
l H
与切线性质有关的证明及计算
设问方式一： 证明角度相等
设问方式二： 求线段的长
设问方式三： 证明线段的数量关系
设问方式四： 证明线段的位置关系
如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切
OA 5
OE 2 OF 2 OG 1 OH 2 2
位置关系 图示
交点个数 d与r的关系
相离
O r
d l
0
d>r
相切
O dr
l
1 d=r
相交
O
dr
l
2 d<r
定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和 圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
北师大初中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)-精品
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．A B，(5)AD BD．若上述5个条要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)C C件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝23，OC ＝1，求CD 的长；(2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝222R h ；CD ＝R －h ；AD 的长180n R ．【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ，∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB ＝23，AC ＝BC ＝3．∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12R，∴1122CD OD OC R R R．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015?大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数. 【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015?温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ，可求2a b cCE ．连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr ．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B ，∠D ＝30°．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B ，∴∠B ＝30°．∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°．∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°．∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝3AO＝63．【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙Ｏ的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙Ｏ的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC 为⊙Ｏ的切线，∴OC ⊥PC ，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E作直线ED ⊥AF 于点D ，交AB 的延长线于点C ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝4，sinC ＝35，求AE 的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE ，BF ，交于点G ，则BF ⊥AF ，BF ∥CD ．∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ．∵∠OAE ＝∠FAE ，∴∠OEA ＝∠FAE ．∴OE ∥AF ，∵AF ⊥DE ，∴OE ⊥CD ．∴CD 为⊙O 的切线．(2)解：∵ BF ∥DE ，OE ∥AF ，∠D ＝90°，∴四边形DEGF 为矩形．A B CDP·OE∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE＝224845．【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
北师大九年级圆知识点归纳
北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。
圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。
1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。
周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。
面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。
切线的长度与切点到圆心的距离相等。
圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。
4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。
弦的长度称为弦长。
圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。
5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。
两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。
6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。
当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。
当两个圆没有公共点时，它们是外离的。
当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。
7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。
通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。
最新北京课改版九年级数学上册22.2.3圆和圆的位置关系》教案
九年级数学《2423 圆和圆地位置关系》教案
知识目标知识
目标
1、了解两圆位置关系地定义。
2、掌握两圆位置与两圆半径、圆心
距之间地关系。
会用两圆半径
和圆
心距之间地数量关系来判断两
圆地位置关系。
（学生回答）为学生地自
下这个画面，看
（学生可得出有5种）运动地观点有助
构
思考一个问题：圆是轴对称图否也有轴对称性，
练习游戏： 游戏1：给出两圆半径（如10、7），由老师给出圆心距d ，轮流由一个学生回答出它们地位置关系，看谁又快又准。
游戏2：分组游戏，两人一组，先固定两圆半
径（如5、8）一个人说位置关系，另一同学马
上回答，圆心距范围，答对可调换角色，答错 则须再回答。
通过游戏地形式，
深化对刚才 所学知识地理解和记忆。
同时，既增强教师与学生、
学生与学生 地情感交流，培养
学生学习地 兴趣，与他人合作
交流地能力 体现集体主义荣誉感。
导OP=8cm，质、两圆相切时圆
探究性活动课外实验：有八个同等大小
地圆形，其中地七个固定不
动，如图，第八个圆形紧贴
另外七个无滑动地滚动，当
它绕完这些固定不动地圆
形一周，本身旋转多少转？
树立科学地学习
态度。
培养学
生良好地学习方
法及学生地动
手能力、观察能
力、刻苦钻研
地学习精神。
板课题：圆与圆地位置关系
4．课外实。
初中数学基础知识1第六单元圆第22课时《与圆有关的位置关系》
第22课时 与圆有关的位置关系
4. 切线长定义及定理 (1)切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与___切__点___之间的线段的长 度，叫做这点到圆的切线长． (2)* 切 线 长 定 理 ： 从 圆 外 一 点 可 以 引 圆 的 ____两_____ 条 切 线 ， 它 们 的 切 线 长 ___相__等____，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图 1，PA、PB 分别切 ⊙O 于 A、B 两点，则有 PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝12∠APB.
第22课时 与圆有关的位置关系
典例“串”考点
例 如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，BC＝4.
例题图
第22课时 与圆有关的位置关系
(1)以点 B 为圆心，以 4 为半径作⊙B，则⊙B 与 AC 位置关系是__相__切______； (2)如图①，以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 AB 于点 D，延长 CA 交⊙A 于
第 4 题图
第22课时 与圆有关的位置关系
中考试题中的数学文化
《九章算术》——勾股容圆 【中考对接】 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步， 问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 8 步，股 (长直角边)长为 15 步．问该直角三角形内切圆的直．径．是多少步．”该问题的答案 是__6____步．
第22课时 与圆有关的位置关系
考点 1 点、直线与圆的位置关系
九年级数学圆知识点总结北师大版
圆上两点与圆心连线夹角相等
02
圆上两点与圆心连线形成的夹角相等，这个夹角叫做圆心角。
圆心角与对应的弧的关系
03
在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等。
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心的定义
圆心是圆的中心点，也是 圆上三点确定的唯一确定 的点。
半径的定义
从圆心到圆上任意一点的 线段叫做半径，半径的长 度等于圆的半径。
性运动。
04
总结词：均匀性
05
详细描述：圆周上的点以相同
的速度旋转，形成均匀的旋转
运动。
06
圆的物理应用
总结词：机械原理
详细描述：圆在机械运转中 起到关键作用，如轴承、传
动装置等。
总结词：动力传
详细描述：圆周运动可以转 化为其他形式的运动，如直 线运动、振动等。
总结词：能量转化
详细描述：圆周运动可以转 化和传递能量，如发电机、 电动机等。
圆的周长和面积
圆的周长
1 2
圆的周长的定义
圆的周长是指圆边界上所有点沿同一方向的距离 总和。
圆的周长的计算公式
$C = 2pi r$，其中$C$表示圆的周长，$r$表示 圆的半径，$pi$是一个常数，约等于3.14159。
3
圆的周长的应用
在几何学、物理学、工程学等领域中，圆的周长 公式被广泛应用于计算圆的周长、圆的直径、圆 弧长度等。
ห้องสมุดไป่ตู้
圆与其他图形的面积关系
与正方形的面积关系
当圆内接于一个正方形时，圆的面积与正方形的面积之比为 $pi : 4$。
与三角形的面积关系
当圆内接于一个三角形时，圆的面积与三角形的面积之比为 $pi : 2$。
北师大版九年级下 圆和圆的位置关系
Rr
d=R-r
d
练习（1）
如果两圆只有两个公共点，那么 这两个圆的位置关系是_相__交____
练习（2）
如果两圆没有公共点， 那么这两个圆的位置关系是_外__离__或__内含
练习（3）
如果两圆有唯一的公共点， 那么这两个圆的位置关系是_外__切__或__内切
练习（4）
（1）若两圆相切，圆心距为10㎝， 其中一圆的半径为3㎝，则另一圆的
O1
C A
O2
B
（2）能否在第二次剩余的铝片上再 截出与⊙02同样大小的圆形铝片？ 为什么
O1
O2
相离
相交
相切
（外离） （内含）
（外切） （内切）
这些图形是轴对称图形吗？
这些图形是轴对称图形吗？
（外离）
（内含）
它们的 对称轴是什么？
切点与对称轴有什么位置关系
（外切）
（内切）
（相交）
两当圆两相圆外切切的时，性圆质心距：d与半径r,R 的数量关系为 如果两圆相切， R r 两圆d的=R连+心r 线经 当d两圆内切过时，切圆点心距。d与半径r,R
自己思考得 TP，NP分别为两圆的 出答案 切线，求∠TPN的大小。
例：同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面
如图所示（点O,O’）为圆心，分隔两个肥皂泡
的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆
的切线，
求∠TPN的大小。
N T
P
O
O’
Q
练习（5-1）
已知 ⊙0 ，作一个⊙01 ，使⊙01 与 ⊙0 相切。这样的圆能做出几个？
半径是__7_㎝___或__13㎝
（2）两圆的半径的比为2：5，当两圆 内切时，圆心距是6cm，当两圆外切时 圆心距为（ B ） A 21 cm B 14 cm C 11 cm D 5 cm
九年级数学圆与圆的位置关系
九年级数学圆与圆的位置关系在我们学习数学的过程中，有些知识总是能让人拍案叫绝，比如说圆与圆之间的位置关系。
你想啊，两个圆就像两个好朋友，有时候紧紧相拥，有时候则是形同陌路。
今天咱们就来聊聊这些圆的“社交”动态，保准让你听了哈哈大笑，边学边乐。
首先呢，咱们得知道圆和圆之间的基本关系。
两个圆如果能够相交，形成两个交点，那就叫做“相交”。
这就好比是两位朋友在某个聚会上聊得火热，结果发现两个人的兴趣爱好还真是有那么一点点相似，嘿嘿，意外的发现吧。
如果这两个圆的距离刚刚好，让它们只轻轻碰了一下，那就叫做“相切”。
就像两个朋友在街上偶遇，点头致意一下，心照不宣，继续各自的旅程，既亲密又有些距离。
哦，对了，记得咱们的圆心距离和半径的关系。
圆心距小于半径之和，那就能相交；等于半径之和，那就相切；大于半径之和，嘿，那就各自飞了。
咱们得聊聊“相离”这种情况。
两圆如果完全不相交，远得像两个恋人各自生活在两个城市，联系得少之又少，那就是“相离”。
你想啊，两个圆心的距离大于半径之和，真是远得像是天涯海角，不同的生活方式，不同的爱好，没啥交集，生活就这么各自精彩。
想象一下，两个圆在画纸上悄悄地待着，互不干扰，彼此就是那种“风马牛不相及”的感觉。
再来看看特殊的情况。
比如，当两个圆的圆心重合，但半径不同，那就有点意思了。
想象一下，有个圆在外面转来转去，另一个圆在它的“肚子”里悄悄待着。
这个时候，内圆完全被外圆包裹住了，像极了朋友间的包容。
总有那么一个人，给你无条件的支持，虽然不总是被看到，但心里永远有那么一个位置。
可惜，这种情况可不是每个人都能理解的。
说到这里，咱们再来琢磨一下这些圆之间的关系的意义。
生活中，朋友之间的关系也好，爱人之间的互动也罢，都是那么复杂又简单。
有人总是希望彼此相交，有人则想要独立。
相交的朋友就像是在一起打游戏，总是能碰撞出各种火花，而相切的朋友则是在适当的时候给予彼此空间，既能相互支持，又能保留个人的独特性。
九年级数学北师大版圆的知识点
九年级数学北师大版圆的知识点圆是我们数学中一个重要的几何概念，它在我们的生活中无处不在。
在九年级数学北师大版中，圆也是一个重要的知识点。
本文将通过几个方面来介绍九年级数学北师大版中关于圆的知识点。
一、圆的定义和性质圆是由平面上所有离一个固定点的距离都相等的点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，距离是圆的半径。
九年级数学北师大版中解释了圆的定义，并引出了几个与圆相关的重要性质：圆的圆心角是圆周角的一半，圆心角大的弧长也大等等。
这些性质是我们研究圆的重要依据。
二、判断圆与直线的位置关系在九年级数学北师大版中，圆与直线的位置关系也是一个重要的知识点。
对于一条直线和一个圆，我们可以有三种情况：直线与圆相交于两点，直线与圆相切于一点，或者直线与圆没有交点。
九年级数学北师大版通过具体的图形示例和解题方法，帮助学生们理解和判断圆与直线的位置关系。
三、相交圆的性质当两个圆相交时，它们之间会有一些特殊的性质。
九年级数学北师大版详细介绍了两个相交圆的性质：两个相交圆的交点与圆心连线重合于相交弦的中点，并且相切于外切圆的两个相交弦相等。
这些性质可以帮助我们在解题过程中更好地理解和应用相交圆的概念。
四、圆的切线圆的切线在九年级数学北师大版中也是一个重要的知识点。
定义圆的切线是与圆只有一个交点的直线，九年级数学北师大版通过图形示例和解题方法，帮助学生们理解和判断圆的切线。
五、圆的相关定理和推论除了上述的知识点外，九年级数学北师大版还介绍了一些与圆相关的定理和推论。
比如：如果一个圆的直径垂直于一条弦，那么这条弦就是这个圆的直径；如果一个圆的直径被一条弦平分，那么这条弦垂直于这个圆的直径等等。
这些定理和推论为我们研究圆提供了更多的思路和方法。
六、应用题与解题策略九年级数学北师大版中提供了大量的实际应用题，帮助学生们将所学的圆的知识点运用到实际问题中。
同时，九年级数学北师大版也给出了不同类型题目的解题策略，帮助学生们更好地解决问题。
北师大版九年级数学下 第22讲 与圆有关的位置关系 中考知识点梳理
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
(完整版)新北师大初三数学下册圆知识点汇总
圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系※1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线L 和⊙O 相离.※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※5. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.※1. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R ≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) ※2. 弧长公式: 弧长180Rn l π=(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 圆的面积公式. 圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) ※4. 扇形的面积公式: 扇形的面积3602R n S π=扇形(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 八. 圆锥的有关概念:※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:rl rl cl S ππ=⋅==22121侧)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版九年级数学圆知识点总结（北师大版）一、圆的定义1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
2、圆心：圆中心的点叫做圆心。
3、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
4、直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
二、圆的性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、圆心角和圆周角（1）顶点在圆心上的角叫做圆心角。
（2）顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
3、圆的基本性质（1）半径相等的圆是等圆。
（2）直径是圆中最长的弦。
（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆的面积和周长（1）圆的面积 S=πr²，其中r为半径。
（2）圆的周长 C=2πr，其中r为半径。
三、点和圆的三种位置关系1、点在圆内：点和圆心的距离小于半径。
2、点在圆上：点和圆心的距离等于半径。
3、点在圆外：点和圆心的距离大于半径。
四、直线和圆的三种位置关系1、直线和圆相离：直线和圆没有公共点。
2、直线和圆相切：直线和圆只有一个公共点。
3、直线和圆相交：直线和圆有两个公共点。
五、圆和圆的位置关系1、外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外面。
2、外切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆外面。
3、相交：两圆有两个公共点。
4、内切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆里面。
5、内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆里面。
六、正多边形和圆1、把正多边形的各边中心连向它的各边所在直线时，中心和边的垂线组成的角叫做正多边形的中心角。
2、正多边形的半径和边数之间存在如下关系：半径=r，边数n=2πr/α，其中α为正多边形的中心角。
七、弧长和扇形面积1、弧长公式：l=nπr/180，其中n为弧度制下的扇形圆心角。
2、扇形面积公式：S=nπr²/360，其中n为扇形圆心角。
初三数学最新课件-北师大版圆和圆的位置关系 精品
是多少?点P可以在什么样的线上运动?
(2) 设⊙ P 和 ⊙O 相内切,情况又怎样?
3、已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于P，并 且分别内切于⊙O于M,N，△ABO的周长为 18cm，求⊙O的半径。
N
两圆相切时， M 连心线过切点， 这是证明三点 共线的有效方 法。
P O2 O1
O
4、相切两圆的半径的比为2 : 3 ,圆心距等于 4cm,则两圆半径 分别是多少?
日出
相切：唯一公共点
相交：两个公共点
3、圆和圆的位置关系：
做一做：考察两圆的位置关系并观察 两圆公共点的个数。
动画演示
外离
外切
相交
内切
内含
相离
外离 相切
外切
内含
内切
相交
想一想： 两圆相切的性质
我们知道，一个圆是轴对称图形，那 么由两个圆组成的图形是否有轴对称性质？ 若有，说出对称轴，若没有，说明理由。
内含 相交
外离
0
R－r 内切
R＋r 外切
画一画：
1、已知：⊙O，作一个⊙O′， 使⊙O′与⊙O相切。
讲一讲：
• 例1：两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其 剖面如图所示，分隔两个肥皂泡的肥皂膜 PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线， 求∠TPN的大小。
T
N
P
O
O'
Q
例2：如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，
课堂小结：
一 、圆和圆的位置关系 二、两圆相切的性质 三、圆心距与两圆半径和两圆的关系 四、数学思想
布置作业：
1、书 P 130 1 2、设计方案
• 板书设计和设计理念
OP=8cm。
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4.切线
（1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常 连过切点的半径，利用直角三角形
的性质 （3）切线垂直于经过切点的半径.
的性质来解决问题.
*5. 切 线
长
例：如图，AB、AC、
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做
DB 是⊙O 的切线，P、
位置关系
相离
2. 直 线 图形
和圆
的位
置 关 公共点个数
0个
系
数量关系
d＞r
相切
1个 d＝r
相交
2个 d＜r
由于圆是轴对称和中心对称图形， 所以关于圆的位置或计算题中常常 出现分类讨论多解的情况. 例：已知：⊙O 的半径为 2，圆心 到直线 l 的距离为 1，将直线 l 沿 垂直于 l 的方向平移，使 l 与⊙O 相切，则平移的距离是 1 或 3.
①若从切线长定理推导，可得 r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得 r=. 这两种结论可在做选择题和填空题时直
角形
接应用.
6. 三 角
形的内 切圆
与三角形各边都相 切的圆叫三角形的 内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的 内心，这个三角形叫 圆的外切三角形
到三角形 三条 角平 分线 的交 点
到三角形的 三条边 的距离 相等
知识点二 ：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道 直线和圆有公共点时，连半径，证 垂直；②不知道直线与圆有没有公 共点时，作垂直，证垂线段等于半 径.
例：已知△ABC 的三边长 a=3，b=4，c=5， 则它的外切圆半径是 2.5.
1
这点到圆的切线长.
C、D 为切点，如果
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，
圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
AB=5，AC=3，则 BD
的长为 2.
知识点四 ：三角形与圆
图形
相关概念
圆 心 的 确 内、外心的性 内切圆半径与三角形边的关系：
定
质
（1）任意三角形的内切圆（如图 a），设
第 22 讲 与圆有关的位置关系
一、 知识清单梳理Fra bibliotek知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1. 点 与 设点到圆心的距离为 d.
判断点与圆之间的位置关系，将该 点的圆心距与半径作比较即可.
圆 的位 置 (1)d<r ⇔点在⊙O 内；(2)d＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d>r⇔点在⊙O 外．
关系
5. 三 角
经 过 三 角 形 各 定 点的 三 角 形 三 到 三 角 形 的 三角形的周长为 C，则 S△ABC=1/2Cr. 圆 叫 做 三 角 形 的 外接 条 垂 直 平 三 个 顶 点 的 （2）直角三角形的内切圆（如图 b）
形的外 接圆
圆，外接圆的圆心叫做 分 线 的 交 距离相等 三角形的外心，这个三 点 角形叫做圆的内接三