1. 解析函数

解析函数的定义

以上定理的证明, 可利用求导法则.
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析的, 使分母为零的点是它的奇点.
• §2 函数解析的充要条件
• 2. 1 回顾解析函数 • 2.1.1 如果函数 f ( z ) 不仅在点 z 0 处可导，而且在点 z0 的某邻域内的每一点都可导，则称 f ( z ) 在点 z0 处解析，并称点 z0是函数的解析点；如果函数 f ( z )在区域 D 内每一点都解析，则称 f ( z )在区域 D 内解析或称 f ( z )为区域 D 内的解析函数，区域 D 称为的 f ( z ) 解析区域.
例5
2 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 2
h( z ) z 的解析性 . 解由本节知识可知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
g( z ) x 2 yi 处处不解析;
下面讨论 h( z ) z 的解析性 ,
h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z
• 例1 求函数 • 解因为
f ( z) z
n
的导数（ n 为正整数）.
n
k k ( z z )n Cn z (z )nk
(z) C (z)
n 1 n
n1
z C (z)
2 n
k 0
n 2
z C (z)
2 n n
n n
z
n
所以，由导数定义有
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,

复变函数与解析函数

复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。

解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。

本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。

一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。

通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。

复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。

复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。

然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。

二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。

解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。

解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。

这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。

三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。

首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。

复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。

此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。

在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。

在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。

在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。

总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。

它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。

解析函数的概念

第二章解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象．它在理论和实际中有着广泛的应用．本章在先学习复变函数概念的基础上，讨论解析函数．学习函数解析的的一个充要条件，以及如何用实部、虚部所具有的微分性质表达函数的解析．学习常用的初等复变函数．§2.1 解析函数的概念教学目的：1．理解并掌握复变函数可微和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义；能正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性．2．能理解并掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二元实函数的关系（C —R 条件）；正确运用解析的充要条件判断函数的解析性．3．熟练掌握几类初等单值解析函数，并了解几类典型的初等多值解析函数．重难点：证明函数的可导性与解析性；掌握函数可导与解析的联系与区别．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.1.1 复变函数的导数解析函数是复变函数论的主要研究对象, 它是一类具有某种特性的可微函数．首先, 我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,记0z z z -=∆且对 00()z z z ∀+∆∈，)()(0z f z f w -=∆)()(00z f z z f -∆+=, 如果z w z ∆∆→∆0lim00)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有 ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dw A dz ==,即 A ＝zw z f z ∆∆='→∆00lim )(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→．如果z w z ∆∆→∆0lim 00)()(lim 0z z z f z f z z --=→不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注：10. 由于复变函数导数的定义与实函数导数的定义形式一致,容易验证, 实函数求导的基本公式大多可不加更改地移植到复变函数上来．20.由定义2.1易得, 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 讨论z z f =)(在z 平面上的可导性．解在复平面上任取一点z ,由于当0→∆z 时,zz z z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在, 所以 z z f =)(在点z 不可导．再由z 的任意性, z z f =)(在z 平面上处处不可导．（注意z zz z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在图2 .1）例2 证明函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．证明由于 0000()()()(0)lim lim 0z z z f z f z f z f z z z →→--=--200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例3 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导．证明因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z zz z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时00000000Im Im Im Im ()()Re()lim lim 1z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- 考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时00000000Re Re Re Re ()()Re()lim lim 0z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()limz z z z z z →--不存在，即()f z 在0z 没有导数．由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．例4 证明: 函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且 1)(-='n n nz z (n 为正整数) ．证明在z 平面任取一点z , 因为()()()n nf z z f z z z z z z+∆-+∆-=∆∆121(1)2n n n n n nz z z z ----=+∆++∆ 所以 0lim →∆z 1)()(-=∆-∆+n nz z z f z z f , 即n z z f =)(在点z 可导,且1)(-='n n nz z . 由点z 的任意性知, 结论成立．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示： 22224200()(0)lim lim 01y y x ky x kyf z f xy k z x y k →→==-==-++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.§2.1.2 解析函数的概念与求导法则1.【定义2.2】如果)(z f 在点0z 的某邻域内处处可导, 则称)(z f 在点0z 解析；如果)(z f 在区域D 内可微(即)(z f 在D 内每一点都可导), 则称)(z f 在区域D 解析；如果)(z f 在区域G 内解析, 而闭区域G D ⊂,则称)(z f 在闭区域D 上解析．如果)(z f 在0z 处不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.（如图2 .2）说明: 由定义2.2知,10.函数解析一定是与相关区域联系在一起的．即函数在一点解析不是函数在该孤立点的性质. 函数在一点可导与在一点解析不等价；指函数在此点的某邻域内可导；20. 函数在一个区域D 内解析有时也称此函数为区域D 上的全纯函数或正则函数．函数在区域D 内解析等价于函数在区域D 内处处可导(即在区域D 内每一点都解析)．函数在某闭区域上解析是指函数在包含此闭区域的更大的区域内解析．2.类似于实函数的求导法则, 关于解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z'''⋅=+⋅；2()()()()()[](()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n z nz -'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）．（4）多项式函数n n n a z a za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n z na z p （5）而有理函数m m n nb z b a z a z R ++++=00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的． 2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析, ()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且 ()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则 ()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''．提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案: 32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ）例5 设212)23()(+-=z zz f , 由上述法则知, 2202()21(32)(32)f z z z z z ''=-+-+22021(32)(61)z z z =-+-．例6 求函数 5223()41z z f z z -+=+的解析性区域以及在该区域上的导数．解设52()23,()41P z z z Q z z =-+=+，则P(z) , Q(z)在全平面上解析，再由商的求导法则知()0Q z ≠时， ()()()P z f z Q z =在平面上解析，由()0Q z =得2i z =±；故函数)(z f 的解析区域是全平面除点2i z =±外的区域．且由商式求导公式得4222246104241()(41)z z z z f z z ++--'=+． §2.1.3 解析函数的一个充要条件（柯西—黎曼条件）与判别从形式上，复变函数的导数及其运算法则与实函数几乎没有什么差别，但实质上它们之间存在很大的的差异．下面，我们来研究复变函数的可微和解析与其实部、虚部两个二元实函数之间的关系．【定理2. 1】（可微的充要条件）设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）的充要条件是：(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, （柯西—黎曼条件也称为C R -方程）．证明必要性:若 )(z f 在点D iy x z ∈+=可微记ib a z f +=')(,v i u w ∆+∆=∆, y i x z ∆+∆=∆, 其中 (,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-由导数的定义知()()()()()w f z z o z a ib x i y o z '∆=∆+∆=+∆+∆+∆()0()(0)a x b y i b x a y z z =∆-∆+∆+∆+∆∆→比较上式两边的实部、虚部得 ),(),(y x u y y x x u u -∆+∆+=∆y b x a ∆-∆=()o z +∆)(0z ∆→）),(),(y x v y y x x v v -∆+∆+=∆)()b x a y o z =∆+∆+∆(0z ∆→）再由实函数中二元实函数可微的定义知, ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微, 且xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,．充分性: 记xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,, 且),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微,所以 w u i v ∆=∆+∆[()][()]x y x y u x u y o z i v x v y o z ''''=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()()()]x x y y u i v x u i vy o z ''''=+∆++∆+∆ ()()()a b i x b i a y o z=+∆+-+∆+∆ ()()()a b i x i a b i y o z =+∆++∆+∆()()()a b i x i y o z =+∆+∆+∆ ()()f z z o z '=∆+∆. 所以 00()lim lim ()x x o z w a bi f z z z∆→∆→∆∆'=++=∆∆. 说明：10. 定理2.1中条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,称柯西—黎曼条件或柯西—黎曼方程或C R -方程．20. 由定理2.1的证明知，如果),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=可微，则有导数公式 yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(．（由C R -方程还可以写出其它形式）30.特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂，但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导. 在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续的偏导数可以推得二元函数可微, 由此可得【推论】※ (可微的充分条件) 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．将上述定理1及其推论运用到区域D 的每一点上，可得函数解析的充要条件．【定理2.2】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,．【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程．注：定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性．例7 讨论下列函数的可导性与解析性．（1）()Re f z z =解：设iy x z +=, 则有()Re f z z x ==,记 (,)u x y x =, 0),(=y x v ．因1,0u u x y∂∂==∂∂, 0,0=∂∂=∂∂y v x v , 显然它们不满足C —R 条件, 所以由定理1知, ()Re f z z =在z 平面上处处不可导且处处不解析．（2）2)(zz f =．解：设iy x z +=, 则有222)(y x zz f +==, 记 22),(y x y x u +=, 0),(=y x v ．因y y u x x u 2,2=∂∂=∂∂, 0,0=∂∂=∂∂yv x v , 显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需0,0==y x 即可,所以 2)(zz f =仅在原点可导, 但在z 平面上处处不解析．（3）()(cos sin )x f z e y i y =+.解：设iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=,则有 cos ,sin x xu e y v e y ==因为 cos ,sin x x x y y x u e y v u v e y ''''===-=，且四个偏导数存在且连续，所以 ()f z 在z 平面上处处可导且处处解析且)()(z f z f =' ()(cos sin )()x z u v f z i e y i y e f z x x∂∂'=+=+==∂∂．注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数．说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时, 可先找出实部和虚部实函数,再验证定理2.2或者推论的条件(1)和(2)得出可导性. 但在回答解析性时一定要慎重, 必须再考虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出正确的回答．若C —R 方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ）7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ）练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性．解记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yv x v ,显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需,12-=x 即21-=x , 所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性．解记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因 2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v v xy y x x y∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的．要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导，但在z 平面上处处不解析．例8 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数．解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩ 故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例9若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析.证明因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例10 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求 (3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上，所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例11判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立，故函数 ()f z 在复平面上处处解析且()f z '＝23z ．例12 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a = 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+ 解得：m =1, 3-==l m .例13 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一,证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故 0u u x y∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则 ),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, xv y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ；再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．（5）设a ≠0，则a bv c u -=，于是有 y y x x v a b u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 .;x y y x v u v u -== 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴u,v 必为常数，即f(z)为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常常起着关键的作用．例14 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析．说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义．练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =．显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂．要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂,6u v xy y x ∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件．所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+．显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数．证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂．所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.小结：1.函数在一点解析与函数在一点可导不是等价命题；函数在一个区域上解析与函数在一个区域上可导是等价命题.2.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否满足柯西－黎曼条件来判定.3.多项式复函数、整数次幂的幂函数、有理函数（分母不为零时）在整个复平面上解析.解析函数的四则运算解析（作商式运算时分母不为零）.4.函数的导数公式只须记住：()u v f z i x x∂∂'=+∂∂及柯西－黎曼方程，则在求导数时可根据条件写出相应公式.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数.。

解析函数的几种定义及其关系(1)

解析函数的几种定义及其关系（1）潘传中(达州职业技术学院党办，四川达州635000）摘要：解析函数在复变函数中占有十分重要的地位，但它的定义在不同的著作中形式不一样.给出了解析函数的五种定义，并证明它们彼此等价，从而能更深刻地理解和应用解析函数. 关键词：解析函数；定义；等价Five Definitions and Their Relations of Analytic FunctionPAN Chuan-zhong(Party Office of Dazhou V ocational and Technological College, Dazhou Sichuan 635000, China) Abstract:The Analytic Function occupies a very important position in the Complex Functions, but its definition has various forms in different works. For the sake of getting a better understanding, five kinds of definitions are listed in this article. Their equivalence has also been proved thus to be understood more profoundly and applied more appropriately.Key words: Analytical Function; definition; equivalence关于费马数的一个结果及应用（4）管训贵(泰州师范高等专科学校数理系，江苏泰州225300）摘要：利用费马合数Fn的素因数分解式的一般形式，建立了具有一定应用价值的等式，得到了F5的素因数分解式，并证明了F6是合数.文末还给出了一个猜想.关键词：费马数；合数；素因数分解式；等式；猜想A Result of Fermat Numbers and Its ApplicationGUAN Xun-gui(Mathematics and Polytechnic Department of Taizhou Teachers' College, Taizhou Jiangsu 225300,China)Abstract:In this paper, an equivalence is established by using the generalization of the prime factorization of Fn. It is of great value. We obtain the prime factorization of F5 and F6 is composite. A conjecture is given at end.Key words:Fermat numbers; composite; the prime factorization; equality; conjecture关于人工约束法寻找对偶初始可行解的一个注记（6）董兵1，陈文2(1.中国民航飞行学院计算机学院，四川广汉618307；2.四川文理学院数学与财经系，四川达州635000)摘要：用对偶单纯形法求解线性规划问题，在无法直接求得对偶问题的可行解时，引入人工约束法寻找对偶问题初始可行解.讨论了原问题（LP）与新规划（LPM）解之间的关系，并给出了证明.关键词：线性规划；人工约束法对；偶规划A Note of Artificial Constrained Method Searching for Dual Feasible SolutionDONG Bing, CHEN Wen(puter Department of Civil Aviation Flight University of China, Guanghan Sichuan 618307;2. Mathematics and Finance-Economics Department of SASU, Dazhou Sichuan 635000, China) Abstract:When directly obtaining no feasible solution to the dual problem with the dual simplex method for solving linear programming problems, the artificial constraint method can be introduced to find an initial feasible solution to the dual problem. The relationship between thesolutions of the original problem (LP) and the new planning (LPM) is discussed and the proofs are given in the paper.Key word:Linear programming; artificial constrained method; dual programming二阶常系数线性非齐次微分方程的通解（8）张金战(陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县742500）摘要：在已知二阶常系数齐次微分方程y″+py′+qy=0的一个特解的条件下，讨论了求二阶常系数线性非齐次微分方程y″+py′+qy=f(x)的一个特解的方法，从而根据齐次方程的特征根的不同情形给出了非齐次微分方程的通解公式.关键词：线性微分方程；特解；通解A General Solution to Order 2 Constant Coefficients Non-homogeneous Linear DifferentialEquationZHANG Jin-zhan(Mathematics Department of Longnan Teachers' College, Chengxian Gansu 742500, China) Abstract:On the basis of a special solution to order 2 constant coefficient homogeneous differential equation y″+py′+qy = 0, a special solution is discussed to order 2 constant coefficient non-homogeneous linear differential equation of y″+ py′+ qy = f(x). Following that, the formula of general solution to non-homogeneous differential equation is given.Key word:Linear differential equation; general solution; special solution.关于一例数学建模竞赛题假设合理性的研究（10）王凡彬1，2，陈敏1，唐春梅3(1.内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641112；2. 四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川内江6411123.内江师范学院计算机科学系，四川内江641112)摘要：对2001年全国大学生数学建模竞赛C题参考答案的假设中的“奖金在年底发放”提出了异议，认为该假设只是使奖金额达到最大，但方案的可操作性很弱，不符合实际情况.给出了新的符合实际的假设—每年１月１日预留当年奖金，奖金可在一年中任何时候发放，并根据新的假设对Ｃ题重新建立了数学模型，得到了新的投资方案.关键词：数学建模；竞赛；假设；线性规划Assumption Rationality of a Case in 2001 National Undergraduate Math Modeling ContestWANG Fan-bin1, 2, CHEN Min1, TANG Chun-mei3(1. Mathematics and Information Science College, Neijiang Normal University, Neijiang Sichuan641112;2. Key Laboratory of Numerical Simulation of Sichuan Higher Education, Neijiang Sichuan641112, China)Abstract:The assumption of the reference answer to Question C is questioned that “The bonus is paid at the e nd of the year” in 2001 National Undergraduate Math Modeling Contest. The writer of this paper argues that the assumption just only maximizes the prize money, but its operation is very weak and inconsistent with the actual situation. Realistic assumptions is given: the money is set aside on January 1and the bonus can be paid at any time of the year. According to the new assumption, a new math model of Question C is established and a new investment program is achieved.Key words:Math Modeling Contest; contest; assumption; linear programming具有Leslie-Gower反应的离散捕食系统的稳定性和分支分析（13）张莉敏(四川文理学院数学与财经系，四川达州635000）摘要：研究了一类用向前欧拉法获得的具有Leslie-Gower反应类型的离散捕食系统的动力学行为.利用Jury判据，探讨了系统的渐进稳定性；利用分支理论和中心流型定理，证明了系统在一定条件下存在flip分支.关键词：向前欧拉法；离散捕食-食饵系统；flip分支Stability and Bifurcation in a Discrete Predator-prey System with Leslie-Gower TypeZHANG Li-min(Mathematics and Finance-Economics Department of SASU, Dazhou Sichuan 635000, China) Abstract:The dynamic behavior of a discrete predator-prey system obtained by forward Euler method with Leslie-Gower type is investigated. The Criterion Jury is adopted to analyze the asymptotical stability. The center manifold theory and bifurcation theorem can prove that the flip bifurcation exists in a certain condition.Key words:Forward Euler method; discrete predator-prey system; flip bifurcation一类捕食者—食饵模型的周期解与稳定性（16）马丽蓉(四川民族学院数学系，四川康定626001）摘要：研究了一类含扩散与时滞捕食者—食饵模型，利用上下解及比较原理，证明了在一定条件下该模型的零平衡态及半平凡周期解的全局稳定性，并获得了这个系统具有一对周期拟解的充分条件，且对任意的非负初值函数，这对周期拟解构成的区间是此系统的一个吸引子. 关键词：扩散；时滞；捕食者-食饵模型；上下解；周期解Stability and Periodic Solution for a Prey-Predator ModelMA Li-rong(Mathematics Department of Sichuan Nationalities College, Kangding Sichuan 626001, China) Abstract:The existence and stability of periodic solution in Prey-Predator model with diffusion，time-delay are investigated by constructing a pair of upper and lower solutions and comparison principle. It is shown that under some appropriate conditions the trivial solution and semi-trivial periodic solution of the model are globally asymptotically stable, the models have a pair of periodic quasi-solutions and the sector between the quasi-solutions is an attractor of the model with respect to every nonnegative initial function.Key words:Diffusion; time delays; prey-Predator model; upper and lower solutions; periodic solution完全单半群上同余的另一刻画（20）罗肖强(四川文理学院数学与财经系，四川达州635000）摘要：在完全单半群的幂等元集E（S）上构建正规等价τ与核子集K，证明了K与τ的相容性，以及正规子群之间的蕴含关系，迹类与正规子群格之间的同构，核类与幂等元集E(S)上的正规等价格同构.关键词：完全单半群；正规等价；迹核同余；相容性Another Depiction of Congruence on Completely Simple Semi-groupsLUO Xiao-qiang(Mathematics and Finance-Economics Department of SASU, Dazhou Sichuan 635000, China) Abstract:On the idempotent element set E (S) of the completely simple semi-groups, the normalequivalence τ and the kernel subset K are structured, and it is showed that the K and τ is compatible, their normal subgroups are implicative, the trace classes and normal subgroup lattices are isomorphic, and the kernel classes and the normal equivalence lattices within the idempotent element set are isomorphic, too.Key words:Completely simple semi-groups; normal equivalence; the trace-kernel congruence; compatible property利率具有二阶自回归相依结构的破产问题（23）李爱民1，涂庆伟2(1.四川文理学院数学与财经系，四川达州635000；2.江苏工业学院数理学院，江苏常州213016 )摘要：研究了利率具有二阶自回归相依结构的风险模型，通过递推关系，得到了破产前盈余分布和首达某一水平x的时间分布的积分方程.关键词：二阶自回归相依模型；破产前盈余分布；递推公式Bankruptcy Problems under Interest Rates with Order 2 Autoregressive StructureLI Ai-min, TU Qing-wei( 1. Mathematics and Finance-Economics Department of SASU, Dazhou Sichuan 635000, China；2. Mathematics Department of Jiangsu Polytechnic University, Changzhou Jiangsu 213016,China)Abstract:The risk model is studied that the interest rate is dependent upon the second autoregressive structure. By recursive relations, the integrate equations are derived of the surplus distribution before bankruptcy and the time X distribution that reaches a given level for the first time.Key words:Order 2 autoregressive model; surplus distribution before bankruptcy; recursive formula科技期刊影响因子的偏差分析（26）周兴旺(四川大学学报编辑部，四川成都610064）摘要：作为国际公认的衡量期刊影响力以及能否入选SCI数据库的一个重要指标，影响因子备受科研管理者、科研工作者和办刊者的重视，而影响因子又容易出现偏差。

复变函数第二章解析函数

第一节解析函数的概念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第一节解析函数的概念
二、解析函数定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则称 f ( z ) 在 z0点可导，而极限值为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在区域 D内可导。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第一节解析函数的概念

数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数

1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考：函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系（3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数（1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线（6）黎曼面（7）解析性（8）性质连接 0 , 割开z平面的线无穷多叶每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图）问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N

高等数学中的解析函数及其应用

高等数学中的解析函数及其应用解析函数是数学中重要的一种函数类型，它在物理学、工程学、经济学等各个领域都得到了广泛的应用。

本文将介绍解析函数的定义、性质及其在实际中的应用。

一、解析函数的定义在复平面上，若函数$f(z)$在某一点$z_0$的邻域内连续，并且在这一点的邻域内存在$f(z)$的导数，则称函数$f(z)$在$z_0$处可导。

若$f(z)$在复平面上的每一点都可导，则称$f(z)$在复平面上解析。

解析函数可以表示为$u(x,y) + iv(x,y)$的形式，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数。

二、解析函数的性质1. 解析函数的虚部和实部都是调和函数。

2. 解析函数满足柯西-黎曼条件，即$u_x=v_y$，$u_y=-v_x$。

3. 若$f(z)$在某一点$z_0$处解析，则在这一点的某个邻域内，$f(z)$可以用其泰勒级数展开。

4. 解析函数的微分、积分等运算仍是解析函数。

5. 解析函数有无数个解析函数的原函数。

三、解析函数的应用1. 物理学中的应用在电磁场理论中，解析函数的虚部通常代表磁通量，实部代表电势。

因此，解析函数在处理电场和磁场交互作用、分析电磁波等方面得到了广泛的应用。

2. 工程学中的应用在控制论和信号处理中，解析函数特点的$\text{Parseval}$定理和希尔伯特变换常常被用于信号处理和滤波等方面。

3. 经济学中的应用在经济学中，解析函数常常被用于分析复杂的经济现象，如股票价格的预测、货币市场的预测等。

4. 其他领域的应用除此之外，解析函数还被广泛应用于自然科学、生物学、地质学以及计算机图形处理等领域。

总之，解析函数是一类重要的函数类型，它的许多性质和特点广泛应用于各个领域。

掌握解析函数可以对我们的研究和分析工作带来重要的帮助，也可以帮助我们更好地理解各个领域的知识和技能。

解析函数的理解

解析函数的理解高中的函数知识点中有一块是讲解析函数，它是由不同的函数相加而得到的，具有这样特征的函数就是解析函数。

其实，解析函数应该是一类函数的统称，它的基本性质也很重要，让我们进一步认识它吧！定义：设;当x=a x^2+bx+c时，设;f(a)=x^2+bx+c，1、对于有理函数，解析式与自变量的取值无关；2、对于一般的解析函数，若自变量x的连续可导，则解析式的值域为全体实数，反之亦然。

此外，由于解析函数自变量x的取值范围是其定义域的子集，所以对于非解析函数来说，自变量x的取值范围通常都不会是整个定义域。

2、在一般意义下，解析函数满足：如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。

3、我们把函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)，y=f(x^n)+f(x)-f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称的函数叫做隐函数。

隐函数的表达式是由隐函数f=f(x)及f的定义而得到的， f=f(x)是函数，它是在一个集合X中选择一个元素y，使得f(y)=f(x)+c。

f(x)是x的函数，我们称它为f的原函数。

4、一般地，如果函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称，那么就称函数y为y=f(x)+c的一般形式。

5、设f(x)： f(x)与函数f：有两种表示法，即原函数及一般形式。

6、函数与其图像在某点有无数多对应点，并且对应点坐标满足f(x) = 0，则称此函数为可去奇点的函数，可去奇点的函数没有实际意义。

7、对于任何解析函数，当它的图像关于原点对称时，图像总过原点；反之，当它的图像关于原点的某一固定点对称时，图像总不过原点。

8、设： f：可以是不连续的，但一定是解析的。

9、设f(x)是f的图像，是f在x处的一条“虚线”。

如果图像的函数在x处可导，则称此函数为解析函数。

2讲解析函数及平面标量场

因为通过闭合曲线的通量为 Edl E dl 2 , 2 0 0 . 故通过AB弧的通量为 0 2
表示
u v 0.
物理中许多势场问题均具有此性质，因此可以等效为复变函数来处理。
3. 调和性若f(z)=u+iv解析，则u、v均为调和函数。调和函数是指：存在二阶连续偏导，且满足Laplace 方程▽2H(x,y)=0（即ΔH(x,y)=0）的函数H(x,y) 。证明：在下章中将证明解析函数必有任意阶导数。再由可导一定连续知：u和v的二阶偏导存在且连续。将C-R条件分别对x和y求导，得：
( xdx ydy) c xdx ydy c1 1 ( y 2 x2 ) c. 2
a b
x
y
f u v u u 方法三： f ( z ) i i y ix iz, x x x x y
i f ( z ) i zdz c 2 z 2 c.
u 1 v v 1 u , 方法二：利用极坐标C-R条件 v u 1 u( , ) ln C ( ); 即
v arctan( / x) , y
v 1 u 1 0 C ( ) C ( ) C1.
证明：令z x iy,
f ( z, z ) f x f y z x z y z
f 1 f 1 1 f f x 2 y 2i 2 x iy
0.
作业：P18: 2(1,4,7,10).
§1.5 平面标量场
插入本节主要内容
恒定场：与时间无关的场。若恒定场沿某个方向是均匀的，则只需讨论垂直该方向的平面场，例如平面静电场，其电势在没有电荷的区域满足Laplace方程，因此可用解析函数f(z)=u+iv的实部u表示，称为势函数，相应的虚部v称为力函数，而函数f(z)称为平面静电场的复势。

解析函数定义

解析函数定义解析函数定义，是指对于给定的函数定义，通过对其进行分析和解释，来理解函数的含义、功能和用法。

在计算机编程中，函数是一段可重复使用的代码块，用于封装特定的功能，以便在程序中多次调用。

函数定义通常由函数名、参数列表、返回值类型和函数体组成。

函数名是函数的标识符，用于在程序中调用函数。

函数名应具有描述性，以便程序员能够清楚地理解函数的用途。

参数列表是一组输入参数，用于传递数据给函数。

参数列表可以包含零个或多个参数，每个参数都有一个类型和一个名称。

参数类型指定了参数的数据类型，例如整数、浮点数或字符串。

参数名称是程序员为参数选择的标识符，以便在函数体中引用参数的值。

返回值类型指定了函数返回的数据类型。

函数可以返回一个值，也可以不返回任何值。

如果函数返回一个值，那么返回值类型指定了该值的数据类型。

函数体是函数的主体部分，包含了实现函数功能的代码。

函数体可以包含变量声明、条件语句、循环语句和其他逻辑操作。

函数体中的代码会在函数被调用时执行。

函数定义的目的是为了将一个复杂的任务分解为多个小的、可重复使用的部分。

这样，程序员可以更好地组织和管理代码，并提高代码的可读性和复用性。

函数定义还可以提高程序的模块化和可维护性。

当程序需要执行某个功能时，可以直接调用相应的函数，而不需要重复编写相同的代码。

在解析函数定义时，需要注意函数的语法和语义。

语法是指函数定义的规则和结构，包括正确使用关键字、标识符、括号和分号等。

语义是指函数定义的含义和行为，包括函数的输入、输出和副作用。

解析函数定义的过程可以通过以下步骤进行：1. 首先，识别函数的声明部分。

函数的声明通常包含函数名、参数列表和返回值类型。

通过读取和解析这些信息，可以了解函数的基本信息和用途。

2. 其次，分析函数的实现部分。

函数的实现部分包括函数体和函数内部的代码。

通过分析函数体中的代码，可以理解函数的具体功能和实现方式。

3. 然后，检查函数的参数和返回值。

【复变函数】第二章解析函数(工科2版)

(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件所以在z=0处可导处处不解析. 所以在处可导, 处处不解析处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为则f(x)在D内为一个常数】在内处处为在内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y

高中数学的解析函数的性质及应用解析

高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。

本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。

一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。

具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。

解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。

二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。

2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。

柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。

3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。

根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。

例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。

三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。

1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。

2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。

例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。

3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。

例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。

总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。

解析函数和调和函数的定义

解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数是数学中的两个概念，它们的定义如下：
解析函数（Analytic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是解析的，如果它在该点附近的某个区域内满足柯西-黎曼方程，即f'(x)=[f(x)]^n，其中n为正整数，f(x)在该点处连续。

如果一个函数在整个定义域内都是解析函数，则称它为全解析函数。

常见的解析函数包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。

调和函数（Harmonic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是调和的，如果它满足拉普拉斯方程，即Δf(x)=0，其中Δ为二阶拉普拉斯方程。

调和函数具有许多优良的性质，如最大值原理、最小值原理、格林公式等等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。

常见的调和函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等等。

总的来说，解析函数和调和函数都是数学中非常重要的概念，它们具有不同的性质和应用领域。

解析函数主要用于研究函数的导数和微分
方程，而调和函数主要用于研究波动现象和物理学中的振动问题。

解析函数的概念

第二章解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象．它在理论和实际中有着广泛的应用．本章在先学习复变函数概念的基础上，讨论解析函数．学习函数解析的的一个充要条件，以及如何用实部、虚部所具有的微分性质表达函数的解析．学习常用的初等复变函数．§2.1 解析函数的概念教学目的：1．理解并掌握复变函数可微和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义；能正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性．2．能理解并掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二元实函数的关系（C —R 条件）；正确运用解析的充要条件判断函数的解析性．3．熟练掌握几类初等单值解析函数，并了解几类典型的初等多值解析函数．重难点：证明函数的可导性与解析性；掌握函数可导与解析的联系与区别．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.1.1 复变函数的导数解析函数是复变函数论的主要研究对象, 它是一类具有某种特性的可微函数．首先, 我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,记0z z z -=∆且对 00()z z z ∀+∆∈，)()(0z f z f w -=∆)()(00z f z z f -∆+=, 如果z w z ∆∆→∆0lim00)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有 ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dw A dz ==,即 A ＝zw z f z ∆∆='→∆00lim )(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→．如果z w z ∆∆→∆0lim 00)()(lim 0z z z f z f z z --=→不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注：10. 由于复变函数导数的定义与实函数导数的定义形式一致,容易验证, 实函数求导的基本公式大多可不加更改地移植到复变函数上来．20.由定义2.1易得, 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 讨论z z f =)(在z 平面上的可导性．解在复平面上任取一点z ,由于当0→∆z 时,zz z z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在, 所以 z z f =)(在点z 不可导．再由z 的任意性, z z f =)(在z 平面上处处不可导．（注意z zz z f z z f ∆∆=∆-∆+)()(的极限不存在图2 .1）例2 证明函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．证明由于 0000()()()(0)lim lim 0z z z f z f z f z f z z z →→--=--200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例3 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导．证明因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z zz z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时00000000Im Im Im Im ()()Re()lim lim 1z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- 考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时00000000Re Re Re Re ()()Re()lim lim 0z z z z z z z z z z f z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()limz z z z z z →--不存在，即()f z 在0z 没有导数．由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．例4 证明: 函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且 1)(-='n n nz z (n 为正整数) ．证明在z 平面任取一点z , 因为()()()n nf z z f z z z z z z+∆-+∆-=∆∆121(1)2n n n n n nz z z z ----=+∆++∆ 所以 0lim →∆z 1)()(-=∆-∆+n nz z z f z z f , 即n z z f =)(在点z 可导,且1)(-='n n nz z . 由点z 的任意性知, 结论成立．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示： 22224200()(0)lim lim 01y y x ky x kyf z f xy k z x y k →→==-==-++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.§2.1.2 解析函数的概念与求导法则1.【定义2.2】如果)(z f 在点0z 的某邻域内处处可导, 则称)(z f 在点0z 解析；如果)(z f 在区域D 内可微(即)(z f 在D 内每一点都可导), 则称)(z f 在区域D 解析；如果)(z f 在区域G 内解析, 而闭区域G D ⊂,则称)(z f 在闭区域D 上解析．如果)(z f 在0z 处不解析，则称0z 为)(z f 的奇点.（如图2 .2）说明: 由定义2.2知,10.函数解析一定是与相关区域联系在一起的．即函数在一点解析不是函数在该孤立点的性质. 函数在一点可导与在一点解析不等价；指函数在此点的某邻域内可导；20. 函数在一个区域D 内解析有时也称此函数为区域D 上的全纯函数或正则函数．函数在区域D 内解析等价于函数在区域D 内处处可导(即在区域D 内每一点都解析)．函数在某闭区域上解析是指函数在包含此闭区域的更大的区域内解析．2.类似于实函数的求导法则, 关于解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z'''⋅=+⋅；2()()()()()[](()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n z nz -'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）．（4）多项式函数n n n a z a za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n z na z p （5）而有理函数m m n nb z b a z a z R ++++=00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的． 2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析, ()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且 ()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则 ()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''．提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案: 32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ）例5 设212)23()(+-=z zz f , 由上述法则知, 2202()21(32)(32)f z z z z z ''=-+-+22021(32)(61)z z z =-+-．例6 求函数 5223()41z z f z z -+=+的解析性区域以及在该区域上的导数．解设52()23,()41P z z z Q z z =-+=+，则P(z) , Q(z)在全平面上解析，再由商的求导法则知()0Q z ≠时， ()()()P z f z Q z =在平面上解析，由()0Q z =得2i z =±；故函数)(z f 的解析区域是全平面除点2i z =±外的区域．且由商式求导公式得4222246104241()(41)z z z z f z z ++--'=+． §2.1.3 解析函数的一个充要条件（柯西—黎曼条件）与判别从形式上，复变函数的导数及其运算法则与实函数几乎没有什么差别，但实质上它们之间存在很大的的差异．下面，我们来研究复变函数的可微和解析与其实部、虚部两个二元实函数之间的关系．【定理2. 1】（可微的充要条件）设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）的充要条件是：(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, （柯西—黎曼条件也称为C R -方程）．证明必要性:若 )(z f 在点D iy x z ∈+=可微记ib a z f +=')(,v i u w ∆+∆=∆, y i x z ∆+∆=∆, 其中 (,)(,)u u x x y y u x y ∆=+∆+∆-，(,)(,)v v x x y y v x y ∆=+∆+∆-由导数的定义知()()()()()w f z z o z a ib x i y o z '∆=∆+∆=+∆+∆+∆()0()(0)a x b y i b x a y z z =∆-∆+∆+∆+∆∆→比较上式两边的实部、虚部得 ),(),(y x u y y x x u u -∆+∆+=∆y b x a ∆-∆=()o z +∆)(0z ∆→）),(),(y x v y y x x v v -∆+∆+=∆)()b x a y o z =∆+∆+∆(0z ∆→）再由实函数中二元实函数可微的定义知, ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微, 且xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,．充分性: 记xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,, 且),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=可微,所以 w u i v ∆=∆+∆[()][()]x y x y u x u y o z i v x v y o z ''''=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()()()]x x y y u i v x u i vy o z ''''=+∆++∆+∆ ()()()a b i x b i a y o z=+∆+-+∆+∆ ()()()a b i x i a b i y o z =+∆++∆+∆()()()a b i x i y o z =+∆+∆+∆ ()()f z z o z '=∆+∆. 所以 00()lim lim ()x x o z w a bi f z z z∆→∆→∆∆'=++=∆∆. 说明：10. 定理2.1中条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,称柯西—黎曼条件或柯西—黎曼方程或C R -方程．20. 由定理2.1的证明知，如果),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=可微，则有导数公式 yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(．（由C R -方程还可以写出其它形式）30.特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x∂∂∂∂===-=∂∂∂∂，但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导. 在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续的偏导数可以推得二元函数可微, 由此可得【推论】※ (可微的充分条件) 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数；(2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．将上述定理1及其推论运用到区域D 的每一点上，可得函数解析的充要条件．【定理2.2】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微；(2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,．【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程．注：定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性．例7 讨论下列函数的可导性与解析性．（1）()Re f z z =解：设iy x z +=, 则有()Re f z z x ==,记 (,)u x y x =, 0),(=y x v ．因1,0u u x y∂∂==∂∂, 0,0=∂∂=∂∂y v x v , 显然它们不满足C —R 条件, 所以由定理1知, ()Re f z z =在z 平面上处处不可导且处处不解析．（2）2)(zz f =．解：设iy x z +=, 则有222)(y x zz f +==, 记 22),(y x y x u +=, 0),(=y x v ．因y y u x x u 2,2=∂∂=∂∂, 0,0=∂∂=∂∂yv x v , 显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需0,0==y x 即可,所以 2)(zz f =仅在原点可导, 但在z 平面上处处不解析．（3）()(cos sin )x f z e y i y =+.解：设iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=,则有 cos ,sin x xu e y v e y ==因为 cos ,sin x x x y y x u e y v u v e y ''''===-=，且四个偏导数存在且连续，所以 ()f z 在z 平面上处处可导且处处解析且)()(z f z f =' ()(cos sin )()x z u v f z i e y i y e f z x x∂∂'=+=+==∂∂．注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数．说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时, 可先找出实部和虚部实函数,再验证定理2.2或者推论的条件(1)和(2)得出可导性. 但在回答解析性时一定要慎重, 必须再考虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出正确的回答．若C —R 方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ）7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ）练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性．解记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yv x v ,显然它们都是连续的.要使C —R 条件满足, 只需,12-=x 即21-=x , 所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性．解记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因 2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v v xy y x x y∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的．要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导，但在z 平面上处处不解析．例8 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数．解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩ 故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例9若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析.证明因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例10 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求 (3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上，所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．例11判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立，故函数 ()f z 在复平面上处处解析且()f z '＝23z ．例12 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a = 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+ 解得：m =1, 3-==l m .例13 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一,证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故 0u u x y∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则 ),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, xv y u y v x u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ；再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．（5）设a ≠0，则a bv c u -=，于是有 y y x x v a b u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 .;x y y x v u v u -== 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴u,v 必为常数，即f(z)为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常常起着关键的作用．例14 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析．说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义．练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =．显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂．要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂,6u v xy y x ∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件．所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+．显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数．证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂．所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.小结：1.函数在一点解析与函数在一点可导不是等价命题；函数在一个区域上解析与函数在一个区域上可导是等价命题.2.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否满足柯西－黎曼条件来判定.3.多项式复函数、整数次幂的幂函数、有理函数（分母不为零时）在整个复平面上解析.解析函数的四则运算解析（作商式运算时分母不为零）.4.函数的导数公式只须记住：()u v f z i x x∂∂'=+∂∂及柯西－黎曼方程，则在求导数时可根据条件写出相应公式.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数.。

复变函数-第二章-解析函数

23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e

Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即
把满足 e w z( z 0)的函数 w f (z) 称为对数函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续且满足方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为整数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一

解析函数的定义及其泰勒展式的应用

解析函数的定义及其泰勒展式的应用函数是高等数学中的一个重要概念，一般用于描述自变量和因变量之间的关系。

在解析函数中，我们可以通过泰勒展式来进行其应用和求解。

解析函数的定义解析函数是指在其定义域内处处可导的复数函数。

换句话说，当一个函数可以在其定义域内进行导数的求解时，我们就称其为解析函数。

在复平面中，解析函数最基本的特征在于它的导数存在。

假设我们有一个解析函数f(z)，那么该函数可以拆分为实部u(x,y)和虚部v(x,y)两个部分。

这样，我们就可以将解析函数表示为：f(z) = u(x,y) + iv(x,y)其中，z = x+iy是一个复数，u(x,y)和v(x,y)分别表示解析函数的实部和虚部。

对于解析函数来说，复平面上的其它复数函数都能通过它来表示出来。

泰勒展式的应用泰勒定理是指将一个任意连续函数分解成无限级数的形式。

法国数学家泰勒于1715年提出了这个著名的定理。

它可以用于解析函数的求导和数值逼近，这是解析函数的重要应用之一。

简单来说，泰勒展式可以用以下的公式来表示：f (x) = f (a) + f′(a) (x - a) + f″(a) (x - a)2/2! + f‴ (a) (x - a)3/3! + ...这个公式可以将一个函数$f(x)$在点$a$处展开为无限次幂级数。

我们知道幂级数可以收敛或发散，而对于解析函数，它在它的定义域内都是收敛的。

除此之外，泰勒展式的应用还可以帮助我们求解解析函数在特定点处的导数。

通过对泰勒展式进行求导操作，我们可以得到解析函数在该点处的导数值。

这对于微积分和工程学科中的数值计算有着广泛的应用。

结语解析函数是高等数学一门精妙的学科，而泰勒展式则是解析函数求解和应用中不可缺少的一环。

通过深入研究解析函数和泰勒展式这两个概念，我们能够更好地理解和应用这两个数学概念，从而使我们能够更好地掌握高等数学中的复杂题目。

复变函数解析函数

面积分公式
总结词
面积分公式是复变函数解析函数的另一个重要性质，它描述了函数在一个平面区域上的积分与边界路径之间的关系。
详细描述
如果一个复函数在一个平面区域D内有定义，且在区域D的边界周围解析，那么该函数在区域D内的积分可以通过在区域D的边界上的函数值和边界周围的路径上的积分来表
示。
体积分公式
未来研究还可以进一步探索解析函数在各个领域中的应用，例如在人工智能、大数据分析、量子计算等领域的应用。
THANKS
感谢观看
解析函数在其定义域内的任意点都可微，且其一阶导数不为零。
整体性质
解析函数在其定义域内是单值的，即对于定义域内的任意两个不同的点z1和z2，f(z1)≠f(z2)。
柯西定理
如果f(z)是单连通域内的解析函数，且z0是域内任意一点，则对于任意正实数r，有∫(c: z0→z0+r) f'(z) dz = f(z0+r) - f(z0)。
复变函数解析函数
• 引言 • 解析函数的定义与性质 • 解析函数的表示方法 • 解析函数的积分公式 • 解析函数的应用 • 结论
01
引言
复数与复变函数简介
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。
复变函数
以复数为自变量的函数，其值也是复数。
解析函数的重要性
解析函数的性质
在数学分析中，解析函数是一类具有导数的函数，其导数在定义域内连续且具有连续的偏导数。解析函数的性质包括具有连续的导数、可微性、可积性等。
解析函数的应用
解析函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在解决偏微分方程、积分方程、复变积分等数学问题时，解析函数可以提供有效的解决方案。此外，在信号处理、控制系统等领域，解析函数也具有实际应用价值。

A. 课堂考勤10%：缺课一次扣1分。 B. 课后作业20%：缺交一次扣1分。
第一篇复变函数论第二篇数学物理方程
第一章复变函数及其导数
§1.1 复数及运算
§1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5* 多值函数 §1.6* 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
x1 y2 x2 y1 2 y1 y2 4. 除法运算：两个复数相除 z1 x1x2 i 2 2 2
等于它们的模相除，幅角相减； 5. 共轭运算：复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy
z2
x2 y2 x2 y2 r 1 cos(θ1 θ2) isin(θ1 θ2) r2 r1 exp[i(θ1 θ2)] r2
Argf '(z0)
w=f(z)
df (z0 ) dz (t0 ) d dt t t0 dz dt
B. 保角映射：z平面上的两条相交的参数曲线C1和C2，经过函数w=f(z)映射到 w平面上，则曲线f(C1)和f(C2)的夹角保持不变。
C1 C2
C. 导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率.
个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
zz 2z z 2 例1. 求lim 的极限。 2 z 1 z 1
z 例2. 证明极限 lim 不存在。 z 0 z
•
（二）复变函数的连续性
1. 我们称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果它满足
A. f(z0)存在； B. lim f(z)存在; C. lim f(z) f(z0).

数学解析函数的性质与应用归纳与解析

数学解析函数的性质与应用归纳与解析1、前言数学解析函数是微积分学中的重要概念，它描述了一个变量与其相关函数的关系。

在本文中，我们将介绍解析函数的性质，以及它在实际问题中的应用。

通过归纳与解析的方法，我们将更深入地理解解析函数的特点和用途。

2、解析函数的定义与性质解析函数是指在其定义域内满足某种条件的复数函数。

它的定义与性质如下：（1）定义：对于复数域内的函数f(z)，如果存在z0的领域内f(z)的幂级数展开式，且该幂级数在该领域内收敛于f(z)，则称函数f(z)是解析函数。

（2）性质：解析函数具有以下特性：A. 极限性质：解析函数具有极限的性质，即对于一个解析函数f(z)，当z趋向于某个值z0时，f(z)的极限值也存在。

B. 导数性质：解析函数具有导数的性质，即解析函数f(z)在其定义域内处处可导，导函数是连续函数。

C. 泰勒级数性质：解析函数可以用泰勒级数进行展开，进而精确描述函数的性质和行为。

3、解析函数的应用归纳解析函数的应用非常广泛，以下是几个常见的应用领域：（1）物理学：解析函数在物理学中有广泛的应用，如量子力学、电磁场等领域。

通过解析函数的方法，可以得到物理系统的精确解。

（2）工程学：解析函数在工程学中也具有重要的应用价值。

例如，在电路分析中，利用解析函数可以分析电路中的电压和电流随时间的变化情况。

（3）金融学：解析函数在金融学中具有较大的应用空间。

例如，在对金融市场进行建模时，可以使用解析函数描述市场价格的变化趋势。

4、解析函数与实际问题的解析解析函数在解决实际问题时，可以通过归纳与解析的方法来求解，以下是一个具体的案例：某公司的销售额按照每个月的时间进行统计，我们希望通过解析函数的方法来预测未来几个月的销售额变化情况。

首先，我们将已有的销售额数据进行分析，得到一个数学模型。

假设月份用t表示，销售额用S表示，则可以将销售额表示为一个关于时间的函数S(t)。

然后，通过观察已有数据的趋势，我们可以尝试使用解析函数进行拟合。

1. 解析函数

解析函数的定义

复变函数与解析函数

解析函数的概念

解析函数的几种定义及其关系(1)

复变函数第二章 解析函数

数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数

高等数学中的解析函数及其应用

解析函数的理解

2讲 解析函数及平面标量场

解析函数定义

【复变函数】第二章 解析函数(工科2版)

高中数学的解析函数的性质及应用解析

解析函数和调和函数的定义

解析函数的概念

复变函数-第二章-解析函数

解析函数的定义及其泰勒展式的应用

复变函数解析函数

1. 解析函数

数学解析函数的性质与应用归纳与解析

复变函数第二章解析函数

2讲解析函数及平面标量场

【复变函数】第二章解析函数(工科2版)