量纲分析

1．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.

解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.

量纲矩阵为：

A=)

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---ρ()()

()()()()(001310013212s v P T M L

齐次线性方程组为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=--=+=-++0

30

32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y

由量纲i P 定理得 1

1

31ρπs v P -=， 1

1

3ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 2．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞

系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,

ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，

[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即

⎪⎩⎪

⎨⎧==+=+0

2y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)

由量纲i P 定理 得 g v μρπ1

3--=. 3

ρ

μλg

v =∴，其中λ是无量纲常数.

3.用量纲分析法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量，记水的流速ν，密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ，人体尺寸d ，证明人体与水的热交换系数h 与上述各物理量的关系可表为⎪⎭

⎫

⎝⎛ψ=

k c d v d k h μμρ,，ψ是末定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温度为1℃时的热量交换。

证明：

设)(0,,,,,,=d k c v h f μρ，有长度量纲L,质量量纲M,时间量纲T,加入温度量纲

θ，有

[]13--=θMT h ,[]1-=LT v ,[]M L 3-=ρ,[]122--=θT L c ,[]11--=MT L μ,[]13--=θLMT k ,

[]L d =.

A=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----------010100

1031201301101011112310[][][][]

θT M L

d k c v h μρ

得：()0321=πππ，，F ,c v h ρπ11-=，k v h 112--=ρμπ，d v 13-=ρμπ （其中321,,πππ都是无量量纲）

化简后为：d hk 11-=π，12-=ck μπ，d v 13-=ρμπ 因为)(0,,,,,,=d k c v h f μρ与()0321=πππ，，F 等价 而()0321=πππ，，F ⇒()321ππψπ，=⇒⎪⎭

⎫ ⎝⎛ψ=

k c d v d k h μμρ, 于是有⎪⎭

⎫

⎝⎛ψ=

k c d v d k h μμρ,，证明完毕。 5.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期

的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.

解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为

0),,,,(=k g m l t f

其量纲表达式为：

1

12120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t

10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(120011010001

010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨

⎧=--=+=+0

200541

5342y y y y y y y 的基本解为

⎪⎩

⎪⎨⎧

--=-=)

1,21

,1,21,0()0,21,0,21,1(21

Y Y 得到两个相互独立的无量纲量

∴g

l

t =

1π, )(21πϕπ=, 2

/12

/12mg

kl =π ∴)(2

/12/1mg kl g l t ϕ=

，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'

t ；l ,'

l ;m ,'

m . 又)(2

/12/1g m l k g l t '''=

'ϕ 当无量纲量l l m m '='

时， 就有 l

l l g g l t

t '

=

⋅'='.

⎩⎨⎧==---2

2

/112/11

2/12/1ππk g m l g tl