总体特征数的点估计与区间估计..

2.2.4 统计量 F 的抽样分布 定理 3：若 xi 2(n1)，yi 2(n2), 且 xi 与 yi 相互独立，则统计量 F=
x i / n1 F(n1, n2) yi / n2
（2-13）
服从第 1 自由度为 n1，第 2 自由度为 n2 的 F 分布。 推论 7：设{x1, x2, …, xn1} 和 {y1, y2, …, yn2}分别取自两个相互独立的正态总体 N(1, 12)，N(2, 2 2) 的样本，则统计量 F=
p E ( p) Var( p )
p(1 p) ),根据上式，把 p 标准化， n
（2-16）
=
p p p(1 p) n
N(0, 1)
其中 p 是样本比率，p 是总体比率。
2.2.6 样本相关系数的抽样分布 定理 5：有随机变量 xi 与 yi，则由 xi 与 yi 的样本相关系数
M ,若从该总体中抽取容量为 n 的样本，具有该种性 N m 质的个体数为 m，则关于该种性质个体的样本比率是 p = . n
个体数的总体比率是 p = 若采用重复抽样方式，设 m = x1 + x 2 +…+ x n 为 n 个贝努利（Bernouli）变量 之和，则 m B(n, p)，m = 0, 1, 2, …, n， （服从二项分布） 。x 的概率分布是 定理 4：对于大样本（n p 5, n (1- p) 5） ，依据中心极限定理，样本比率 p 的 抽样分布渐近服从正态分布。 p N( p,
其中 N(0, 1)表示统计量 U 服从均值为 0，方差为 1 的标准正态分布。
2.2.1 样本平均数 x 的抽样分布 2．已知总体不服从正态分布 中心极限定理：如果一个随机变量的均值是 E(xi)，方差是 Var(xi) =2，则随着 样本容量 n 的增大， 样本平均数 x 的抽样分布渐近服从均值为， 方差为 （2/n） 的正态分布。 在总体不服从正态分布的条件下，实际中当样本容量 n 30 时，依据中心极限 定理可以认为，样本平均数 x 近似服从正态分布 N(, Z=
m 估计总体比率 p，其中 m 表示具有相同性质观测值的个数，n n
1 n ( xi x )( y i y ) t 1 n -1 用样本相关系数 r = 估计总体相关系数， 1 1 n n 2 2 ( x x ) ( y y ) i i n - 1 t 1 n - 1 t 1 其中 xi, yi 表示样本观测值，n 表示样本容量。
( x y ) ( 1 2 ) (n1 1) s1 (n2 1) s 2 n1 n2 2
2 2
t(n1+ n2 –2)
（2-11）
1 1 n1 n2
服从 n1+ n2–2 个自由度的 t 分布。 其中 s12， s22 分别是这两个样本{x1, x2, …, xn} 和 {y1, y2, …, yn}的样本方差。n1、n2 分别表示总体 xi 和 yi 的样本容量。
x
2
n
) 。把 x 标准化为 Z，
/ n
N(0, 1) , Z 渐近服从 N(0, 1)分布。
2.4 2.0 1.6 1.2 T=200
从2(3)总体中抽样，随着样本容量加大， 0.8 T=4, 15, 200，样本平均数的分布越来 越近似正态分布。 File：central-limit-1 File： 5 central1 。
随机数表 1620 92027 03883 64933 38452 37867 01929 59611 72417 11900 87365 20673 72438 18148 99805 55835 2125 24670 94648 66279 87890 07936 18163 32249 60514 46743 58959 37800 01174 81386 10419 38835 2630 36665 89428 80432 94624 98710 69201 90466 69257 27860 53731 63835 42159 80431 76939 59399 3135 00770 41583 65793 69721 98539 31211 33216 12489 77940 89295 71051 11392 90628 25993 13790

2
2(n-1)
（2-7）
1 n ( xi x ) 2 表示样本方差。 其中 s = n 1 i 1
2.2.3 统计量 t =
x s/ n
的抽样分布
推论 4：设 {x1, x2, …, xn} 是取自正态总体 xi N ( , 2 ) 的样本。根据推论 2 t=
x s/ n
n
（2-1）
n 2
1 Var ( x ) Var ( n
xi ) n 2 Var ( xi ) n 2
i 1 i 1 i 1
2
1
1
2
n
2
（2-2）
2 1．已知总体服从正态分布 N ( , )，均值为，方差为 。 x N( , ) n 当 n ∞时， x 。把 x 进一步标准化， x U= N(0, 1) / n
2
n
（2-5）
i 1
Байду номын сангаас
服从2(n)分布。当 n = 1 时，Ui2 服从 1 个自由度的2 分布。可见，2 分布统计 量具有可加性。 推论 2：设{x1, x2, …, xn}是取自正态总体 xi ( , 2 ) 的样本。则
( xi x ) 2
W=
2
n
i 1

2
=
( n 1) s 2
t=
r (1 r 2 ) (n 2)
t(n-2)
（2-17）
其中 r 是总体 xi 与 yi 的样本相关系数，(1-r2) / (n-2)是相关系数 r 的样本方差。 n 是样本容量。
2.3 点估计 2.3.1 总体参数的点估计 总体参数： 总体特征数称作总体参数。 在参数估计中也称作被估计量， 用 表示。 估计量：用来估计总体参数的样本统计量，用 ˆ 表示。 总体参数的点估计常采用特征数法。特征数法就是用样本的特征数（估计量）估 计相应总体的特征数（被估计量） 。从数轴上看，估计量、被估计量都是一个点， 所以称作点估计。这里主要指对总体的均值、方差 2、标准差、比率 p、相关 系数和协方差 cov (xi,yi)等的点估计。
1 n ( xi x )( y i y ) t 1 n -1 r= 1 1 n n 2 2 ( x x ) ( y y ) i i n - 1 t 1 n - 1 t 1 其中 x 和 y 分别是总体 xi 与 yi 的均值。由 r 构造的统计量 t 服从如下分布。
怎样才能保证这 n 维随机向量的一次取值对总体 X 最具有代表性呢？ 对于无限总体，应保证如下两点。(1) n 个随机变量与总体 X 有相同的概率分 布，即保证每个个体有同等机会被抽中（等可能性） 。(2) 随机变量之间应是 相互独立的。对于无限总体也可以采用连续观测的方式获得样本。 简单随机抽样分有放回抽样和无放回抽样。但一般采取无放回抽样。这种抽 样的特点是每个个体被抽中的概率是不同的，但每个样本作为随机变量的一 个组合被抽中的概率是相同的。 对于有限总体，要保证有限总体中每个可能的样本组合都有相等的概率 被抽中。这种抽样方法称作简单随机抽样。用简单随机抽样得到的样本，称 作简单随机样本，本书简称为样本。 实践中怎样保证得到简单随机样本呢？只要样本容量 n 与总体容量 N 的 比值
n 0.05，则先建立总体框，利用抽签或随机数表连续抽取 n 个个体就 N
可近似看作为一个简单随机样本。
表 2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 13284 21224 99052 00199 60578 91240 94758 35249 38980 10750 36247 70994 99638 72055 24038 610 16834 00370 47887 50993 06483 18132 14229 38646 46600 52745 27850 66986 94702 15774 65541 1115 74151 30420 81085 98603 28733 17441 12063 34475 11759 38749 73958 99744 11463 43857 85788
S1 2 / 1 2 S2 / 2
2 2
F(n1-1, n2-1)
（2-15）
服从第 1 自由度为 n1-1，第 2 自由度为 n2-1 的 F 分布。其中 S12，S22 分别是 两个样本的样本方差。n1、n2 分别表示总体 xi 和 yi 的样本容量。
2.2.5 样本比率 p 的抽样分布 设容量为 N 的总体中，具有某种性质的个体数为 M，则关于具有这种性质的
0.4 chi(3) distri. 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 T=15 T=4
2.2.2 统计量 W =
( n 1) s 2

2
的抽样分布
定理 1：若 U1，U2，…，Un 是相互独立且都是服从 N(0, 1)分布的随机变量 U1 + U2 +… +
2 2
Un2
=
2 U i (n)
1 n 若样本用{x1 ，x2，…, x n}表示，已知样本平均数 x 的计算公式是 x = x i , n i 1
其中 n 表示样本容量，xi 表示样本观测值，则样本平均数 x 的期望与方差分别是
1 E( x ) = E ( n

i 1
n
1 xi ) = n
n