太原市高二上学期期中数学试卷(II)卷

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高二(上学期)期中考试数学试卷及答案

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α，由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=，因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a，所以1a a -=-，且11a -≠，解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确；对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =，因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =，所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-；综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性，可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =，所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误．故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-，所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===．故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =，所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形，由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=，则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2，因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ，所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ．（2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB，因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+．因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1）因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数，由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ，即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程；（2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+，所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=，设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩，所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0，椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到，故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-，故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

【解析】山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

2019~2020学年第一学期高二年级阶段性测评数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为（） A.13B. 13-C. 3D. 3-【答案】D 【分析】由斜率的定义求解即可【详解】由斜率的定义得212121312y y k x x -+===---，故答案为：直线AB 的斜率为3- 故选：D【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（） A 2【答案】B 【分析】可结合两点间距离公式求解【详解】由两点间距离公式得l ==故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题 3.过点()0,1-且垂直于直线12y x =的直线方程为（） A 21y x =--B. 21y x =-C. 22y x =-+D.21y x =+【答案】A由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1212k -==-，再由点斜式可得()201y x =---，化简得21y x =--故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解+析式，属于基础题 4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题 5.与圆()()22121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（） A. ()()22121x y -+-= B. ()()22121x y +++= C. ()()22121x y ++-= D. ()()22211x y -++=【答案】C可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆()()22121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()22121x y ++-= 故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（） A. 若m αP ，n ⊂α，则m n P B. 若m α⊥，αβ∥，则m β⊥ C. 若m αP ，αβ⊥，则m β⊥ D. 若m αP ，n αP ，则m n P【答案】B 【分析】由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一定垂直；D 项可能性很多，不一定m n P【详解】对A ，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B ，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C ，可随机举一反例，如图：直线与β斜交；对D ，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题 7.已知直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行，则它们之间的距离是（） A. 2 B. 42D. 2【答案】C 【分析】根据两直线一般式对应系数关系111222A B C A B C =≠求解即可【详解】由题可知，应满足13111m m m -=≠⇒=---，则两直线可化为3010x y x y ⎧⎨⎩-+=-+=，由平行直线间距离公式122222C C d A B-===+故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A. 6B. 9C. 18D. 27【答案】A 【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：11343632V =⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数x ，y 满足条件20,220,3,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（）A. 6B.103C. 92-D. 103-【答案】C 【分析】可将目标函数转化为33x zy =-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33x zy =-，要使z 取到最小值，则截距3z-取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入3z x y=-得92z =-故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M = ，16C M =，1'41C N =，得21122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知()3,0A -，()0,1B ，点C 为圆22410x y y +++=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（） A.32B.332C.53D.73【答案】C 【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆22410x y y +++=可转化为()2223x y ++=，圆心为()0,2-，33AB k ==，则直线方程为31y x =+，圆心到直线的距离33113d ==+max 33533h d r =+=，312AB =+=，则15353=22ABC S ∆⨯=故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题 12.将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使120BDC ∠=o ，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A. 72π B. 7π C.132π D.133π 【答案】B 【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到BC=3，再由正弦定理得到32 1.sin120r r =⇒= 见图示：AD 是球的弦，3M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴OM=32，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径371+4 该球的表面积为：4π×OD 2=7π；故选：B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆22220x y x y +++=的半径为______________.【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由()()2222220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题 14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为．试题分析：由2r l πθ=，得2233r ππ=，即1r =，∴2211133V r h ππ==⋅=．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为____________. 【答案】()2220x y a a +=>【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得【详解】如图：不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>故答案为：()2220x y a a +=>【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.【答案】325⎣⎦，【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =I ，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，2221111151()22A M A B B M =+=+=，同理，在直角11A B N ∆中，求得15A N =以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点.（1）求直线AC 的方程；（2）求AC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.【分析】（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C . ∴直线AC 的方程为3110x y +-=；（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13AC k =-，∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点.（1）求证：EF P 平面11ADD A ；（2）求证：EF ⊥平面11A B CD .【答案】（1）证明见解+析；（2）证明见解+析.【分析】（1）要证直线EF P 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可；【详解】（1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴P ，11AB C D =， ∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =. ∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥， ∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ， ∴EF P 平面11ADD A ；（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，∴EF ⊥平面11A B CD .【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=.（1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=与圆2C 的相交弦长为23n 的值.【答案】（1）5；（2）35n =-+35n =-分析】（1）先将圆2C 化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即1212C C r r =+，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵221x y +=，∴()10,0C ，11r =， ∵2260x y x m +-+=，∴()2239x y m -+=-，∴()23,0C ，29r m =- ∵圆1C 与圆2C 外切，∴1212C C r r =+，∴319m =+-5m =；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为()2234x y -+=，()23,0C ，22r =，由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离223315n d r +==-=，∴35n =-+或35n =--. 【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥,224AD BC CD ===,25PC =,PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求AC 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解+析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，23AE =，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，∵AD CD ⊥，∴2225AC AD CD =+=, ∴15sin 5AE ACE AC ∠==. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥，224AD BC CD ===,25PC =，PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角P BC A --的大小.【答案】（1）证明见解+析；（2）60o .【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，23PE =∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥， ∴tan 3PE PBE BE∠==，∴60PBE ∠=︒. 【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当23PA =时，求点P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有22OP r PA =+P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =时，求点P 的坐标；（2）设APO ∆的外接圆为圆M ，当点P 在直线l 上运动时，圆M 是否过定点（异于原点O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，∵00280x y --=，∴0028x y =+，∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩ 则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆圆锥曲线)含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。

山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题(含答案)

2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷（考试时间：上午7：30-9：00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.3.过点和的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.4.已知，，且，则（）A. B. C. D.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（）A. B. C. D.6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（）A.1B.2D.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（）y x =30︒60︒120︒150︒22620x y x y ++-=()3,1-()3,1-()6,2-()6,2-()3,0()0,222132x y +=22194x y +=22123x y +=22149x y +=()1,1,a m =- ()2,,6b n =-a b ∥(),m n =()3,2-()2,3-()3,2-()2,3-l ()1,021y x =-+l 220x y +-=220x y --=210x y +-=210x y --=()():10l x m y m m +-+=∈R 22:4C x y +=A B AB ()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F C M12120F MF ∠=︒C eA. B. C. D.8.在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF 的边长是2，矩形框ABCD 中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段AC 和BF 上移动，则MN 的长的最小值为（）A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为10.已知正四棱锥中，，是PB 的中点，是底面ABCD 的中心，则下列说法正确的是（）A.B.直线DE 与APC.直线DE 与平面ABCDD.点到直线DE11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（）⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2AB AD =M N 2322:134x y C +=()2,0C ()0,1C C 12e =C P ABCD -PA AB ==E O DE AC⊥O (),P x y ()22:21M x y -+=A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知的三个顶点，，.（1）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的高所在直线的斜截式方程.16.（本小题满分8分）如图，四面体OABC 各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE 的长.17.（本小题满分10分）已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；yx2226x y x y ++-9-x y -1+2x y +410x y +-=y C 1y x =-221x y +=()1,1C F 22:143x y C +=P C ()0,1A PA PF +ABC △()1,2A -()3,0B ()0,2C -1D AB E CD2DE EC = OA a = OB b = OC c = a b c OE221:1C x y +=222:40C x y y F +-+=1C 2C F（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为的值.18.（本小题满分10分）如图、四棱锥的底面ABCD 是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值.19.（本小题满分13分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽GH 内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图2所示.设EF 与GH 交于点，以EF 所在的直线为轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，记，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）证明：动点的轨迹为椭圆；（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线PQ 距离为定值.y kx =2C k P ABCD -PA PD ==2PB AB BD ===PAD ⊥M N D M N ()ND DM ≠M EF N D D C O x ND a =DM b =()0,0a b >>4MN =3ND DM =C D C a b >O C P Q O2024～2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题参考答案及评分建议一.单项选择题：DA B C A D B C 二.多项选择题：9.B CD10.ACD11.ABD三.填空题：12.113.14.四.解答题：15.解：（1）设是边AB 的中点，则，…2分边AB 上的中线CD 的一般式方程为；……4分（2），，，边AB 上的高所在直线的斜率，…6分边AB 上的高所在直线的斜截式方程为.……8分16.（1）解：连接OD ，则；……4分（2）由（1）得，，.……8分17.解：（1），，，……2分，，，，……4分圆与圆相内切，，，；……5分（2）由（1）得，圆的方程为，，，……7分故圆心到直线的距离，……10分18.（1）证明：设是AD 的中点，连结OP ，OB ，四边形ABCD 是菱形，，，2220x y x y ++--=4(),D x y 131,2201,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+===⎩=+()1,1D ∴∴320x y --=()1,2A - ()3,0B 12AB k ∴=-∴2k =∴22y x =-()221333OE OD DE OD DC OD OC OD OD =+=+=+-=+()212112363663OC OA OB OC a b c =++=++()146OE a b c =++()()22222114162883636OE a b c a b c a b b c c a∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 111131116288362224⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭OE ∴= 221x y += ()10,0C ∴11r =2240x y y F +-+= ()2224x y F ∴+-=-()20,2C ∴2r = 1C 2C 1221C C r r ∴=-21∴=-5F ∴=-5F =-2C ()2229x y +-=()20,2C 23r =2C y kx =1d ===k ∴=O 2AB BD ==OB AD ∴⊥OB =，，，平面ABCD ，平面平面ABCD ；（2）由（1）得，，，以为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面PAB 的一个法向量，则令，……6分设是平面PCD 的一个法向量，则令，则，……8分，平面PAB 与平面PCD的夹角的余弦值为.……10分19.解：（1）由题意可设椭圆的方程，则，，椭圆的方程为；…3分（2）解法一：设，，，PA PD == OP AD ∴⊥1OP =2224PB OP OB ∴=+=,OP OB OP ∴⊥∴⊥∴PAD ⊥OB AD ⊥OP OA ⊥OP OB ⊥O x y z ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D -()0,0,1P ()111,,m x y z =11110,,0,,x z m PA x m AB ⎧-=⎧⊥⎪⎪∴⎨⎨-+=⊥⎪⎪⎩⎩1x =m = ()222,,n x y z =2222220,,,0,x z n PC n CD x ⎧⎧+=⊥⎪⎪∴⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩ 21y =n = 1cos ,7m n m n m n ⋅∴==⋅∴17C ()222210x y a b a b+=>>334a ND MN ===114b DM MN ===∴C 2219x y +=(),D x y (),0M m ()0,N n由题意得，，，，，整理得，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分解法二：设，，由题意得，，则，即，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分（3）由题意可得椭圆的方程，当直线PQ 的斜率不存在时，设其方程为，则点到直线PQ9分当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为，，，由得，x x m NDaa b==+y y n DMba b==+()a b x m a+∴=()a b yn b+=()()()22222a b x a b y m n a b a b ⎡⎤⎡⎤++∴+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22221x y a b+=a b >D C ND DM a b <D C DM ND (),D x y OMN θ∠=cos x NDθ=sin y DMθ=2222cos sin 1x y ND DM θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221x y a b +=a b >D C ND DM a b <D C DM ND C ()222210x y a b a b+=>>()00x x a x a =-<<0x =∴O y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y 2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2222222220a k b x a kmx a m b +++-=()212222222122222,,a kmx x a k b a m b x x a k b ⎧+=-⎪+⎪∴⎨-⎪=⎪+⎩，，，即，……12分点到直线PQ 距离为，综上所述，点到直线PQ.……13分OP OQ ⊥ ()()221212121210OP OQ x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++=()()2222221a b k m a b ∴+=+()2222221a b k m a b +=+∴O d ==O。

山西省太原市2020-2021学年高二上学期期中质量监测数学试卷及解析

山西省太原市2020-2021学年高二上学期期中质量监测数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.直线的斜率为（）A.2B.－2C.12D.12- 2.，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.3πB.6πC.12πD.24π3.已知()0,0A ，()1,1B ，直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，则直线l 的方程为（）A.20x y --=B.20x y +-= C.240x y --= D.240x y +-= 4.圆22(1)(1x y -+=的切线方程中有一个是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y =5.已知直线a ，b ，c 满足a b ⊥，a c ⊥，且a α⊂，,b c β⊂，有下列说法：①a β⊥；②αβ⊥；③//b c ．则正确的说法有（）A.3个B.2个C.1个D.0个 6.直线220x y 关于直线1x =对称的直线方程是（） A.240x y +-= B.210x y +-= C.230x y +-= D.240x y +-= 7.在三棱锥A BCD -中，E ，F 分别为AC ，AD 的中点，设三棱锥A BCD -的体积为1V ，四棱锥B CDFE -的体积为2V ，则12:V V =（）A.4:3B.2:1C.3:2D.3:18.设实数x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.19.如图，在三棱锥P ABC -中，不能证明⊥AP BC 的条件是（）A.BC ⊥平面APCB.BC PC ⊥，AP PC ⊥C.AP PB ⊥，AP PC ⊥D.AP PC ⊥，平面APC ⊥平面BPC 10.已知半径为1的圆经过直线2110x y +-=和直线220x y --=的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A.4B.5C.6D.711.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1DD 的中点为N ，则异面直线1AB 与CN 所成角的余弦值是（）A.10 D.012.在同一平面直角坐标系中，直线()12y k x =-+和2242410x y x ay a +--+-=的位置关系不可能是（）A.①③B.①④C.②④D.②③第II 卷（非选择题）二、填空题13.空间直角坐标系中，已知点()4,1,2A ，()2,3,4B ，则AB =______．14.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为______．15.已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =______．16.已知四棱锥的底面是边长为2，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______．三、解答题17.已知直线1经过点()2,1，在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线1l 的方程；（2）若直线21l l ⊥，且过点M ，求直线2l 的方程．18.如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC ，BD 为圆锥底面的两条直径，M 为母线PD 上一点，连接MA ，MO ，MC ．（1）若M 为PD 的中点，证明：//PB 平面MAC ；（2）若//PB 平面MAC ，证明：M 为PD 的中点．19.已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ．（1）求圆C 的方程；（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E ，F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．20.已知圆M ：22210240x y ax ay +-+-=，圆N ：222280x y x y +++-=．且圆M 上任意一点关于直线40x y ++=的对称点都在圆M 上．（1）求圆M 的方程；（2）证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l ．21.已知两个定点()2,0M -，()1,0N ，动点P 满足2PM PN =，设动点P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过点N 作两条互相垂直的直线1l ，2l ．若1l 与曲线E 相交于A ，C 两点，2l 与曲线E 相交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积S 的最大值．22.如图①，在ABC 中，90B ∠=︒，5AC =，3BC =．D ，E 两点分别在AB ，AC 上，使得()01AD AE t t AB AC==<<．现将ADE 沿DE 折起（如图②），使得平面ADE ⊥平面BCED ．（1）证明：BD AE ⊥；（2）当t 为何值时，三棱锥A BCE -的体积V 最大？并求出最大值．23.如图①，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD 沿AF 折起（如图②），使得平面ABD ⊥平面ABCF ．（1）判断AD 是否与BD 垂直，并说明理由．（2）图②中，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，求AK 的取值范围．参考答案1.C【解析】1.根据直线方程求出直线的斜率即可．解：由260x y -+=，得：132y x =+，故直线的斜率12k =，故选：C ．2.B【解析】2.由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.，=又长方体的顶点都在一个球面上，所求的球半径2R =，所以表面积为246R ππ=.故选：B3.A【解析】3.由题意，利用两直线平行的性质求出l 的斜率，再用点斜式方程求得直线l 的方程. 因为()0,0A ，()1,1B ，所以直线AB 的斜率为10110-=-，因为直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，所以直线l 的方程为：01(2)y x -=⋅-，即20x y --=，故选：A.4.C【解析】4.试题分析：已知圆的圆心为(1,C ，半径为1，圆心C 只有到直线0x =的距离为1，即此直线与圆相切．故选C ．5.D【解析】5.根据线面、面面、线线位置关系逐一判断①②③是否正确，即可得正确答案.对于①：a b ⊥，a c ⊥，且a α⊂，,b c β⊂，若//b c ，则a 与β可以平行，相交或在面内，故①不正确；对于②：由于a 与β可以平行，相交或在面内，所以α与β可以平行或相交，故②不正确；对于③：a b ⊥，a c ⊥，在空间中b 与c 可以相交、平行或异面，故③不正确，所以①②③都不正确，所以正确的说法有0个，故选：D6.D【解析】6.在直线220x y 上任取2个点，求出它们关于直线1x =对称的对称点，用两点式可得对称直线的方程．解：直线220x y 上的点(2,0)-关于直线1x =对称的点(4,0)A ，直线220x y 上的点(0,1)关于直线1x =对称的点(2,1)B ，故直线220x y 关于直线1x =对称的直线方程，即直线AB 的方程，为120142y x --=--，即240x y +-=，故选：D ．7.A【解析】7.由E ，F 分别为AC ，AD 的中点，可得14AEF ACD S S =，得到三棱锥B AEF -的体积与1V 的关系，进一步得到2V 与1V 的关系，则答案可求．解：设点B 到平面ACD 的距离为h ，三棱锥A BCD -的体积为1V ，在三棱锥A BCD -中，E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴14AEF ACD S S =，则111113434B AEF AEF ACD V S h S h V -===， ∴四棱锥B CDFE -的体积21111344V V V V =-=．则11214334V V V V ==． 12:4:3V V ∴=．故选：A ．8.B【解析】8.画出该不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义求解即可.根据题意，画出可行域，如图所示由题意得33010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，可得交点坐标（3,2）又2z x y =+可化为1122y x z =-+，所以当1122y x z =-+过点（3,2）时，截距最大，z 最大，代入可得max 7z =，故选：B9.B【解析】9.A. 利用线面垂直的判定定理和性质定理判断；B. 利用线面垂直的判定定理和线面关系判断；C. 利用线面垂直的判定定理和性质定理判断；D. 利用面面垂直性质定理判断.A. 因为BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以⊥AP BC ，故正确；B. 因为BC PC ⊥，AP PC ⊥，则PC 为BC ，AP 的公垂线，若⊥AP BC ，则AP ⊥平面BPC ，所以AP PB ⊥，不一定成立，故错误；C. 因为AP PB ⊥，AP PC ⊥且 PCPB P =，所以AP ⊥平面BPC ，所以⊥AP BC ，故正确；D. AP PC ⊥，平面APC ⊥平面BPC ，平面APC 平面BPC PC =，AP ⊂平面APC ，所以AP ⊥平面BPC ，所以⊥AP BC ，故正确；10.C【解析】10.设出圆的方程，求出直线交点代入圆可得圆心在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，即可由此求出最值.设圆的方程为()()221x a y b -+-=，联立直线方程2110220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，将()3,4代入圆得()()22341a b -+-=，则可得圆心(),a b 在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，则()3,45=，则圆心(),a b 到原点的距离的最大值为516+=. 故选：C.11.A【解析】11.根据图形找到异面直线1AB 与CN 的平行线，确定异面直线的平面角，再根据角之间的关系解出该角的余弦值，可得出答案.连接1DC 交CN 于点E ，由正方体1111ABCD A B C D -可知，11//AB DC 则CN 与1DC 所成的角NED ∠为异面直线1AB 与CN 所成的角. 由图可知1NED NCD C DC ∠=∠+∠则()1cos cos NED NCD C DC ∠=∠+∠()111cos cos cos sin sin NCD C DC NCD C DC NCD C DC ∠+∠=∠∠-∠∠ 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2a.11cos cos 2sin sin 2NCD C DC NCD C DC ∴∠==∠==∠==∠= 则()1cos cos NED NCD C DC ∠=∠+∠==则异面直线1AB 与CN 所成的角余弦值为10. 故选：A.12.D【解析】12. 直线过定点()12，，圆的标准式:()()()222221x y a a -+-=-+，观察圆心、定点的位置关系即可.因为直线过定点()12，，圆的标准式为：()()()222221x y a a -+-=-+，圆心()2,a ，半径1r ≥，②圆心横坐标小于直线与圆公共点的横坐标，所以不可能；又定点在圆上，所以③不可能，故选:D13.【解析】13.根据两点距离公式直接计算即可.()4,1,2A ，()2,3,4B ，AB ∴==故答案为：14.2π【解析】14.易知该几何体为圆锥，求出母线后利用侧面积公式求解即可.由三视图可知，该几何体为底面半径为2的圆锥，，所以侧面积为：12=2ππ⨯⨯，故答案为：2π.15.1【解析】15.根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案. 根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r ，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则圆心到直线l 的距离d ==圆心到直线l 的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为：1． 16.2π【解析】16.根据棱锥的结构特点，利用勾股定理求出棱锥的高，圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，即圆柱的底面为棱锥中截面的外接圆，进而确定所求的圆柱的底面半径，利用体积公式求解即可．由题意四棱锥的底面是边长为2，借助勾股定理，可知四棱锥2=，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为2，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为2122ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：2π 17.（1）30x y +-=；（2）10x y --=．【解析】17.（1）设出直线的截距式方程，代入点即可求出；（2）由21l l ⊥得出2l 的斜率，再由点斜式即可求出.（1）设直线1l 的方程为1x y a a +=，则211a a+=，解得3a =，则直线1l 的方程为133x y +=，即30x y +-=；（2）由（1）知直线1l 的斜率为1-，由21l l ⊥，得直线2l 的斜率1k =．又直线2l 过点()2,1M ，则直线2l 的方程12y x -=-，即10x y --=．18.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】18.（1）由中位线得//MO PB ，进而可得结论；（2）由线面平行性质定理可得//PB MO ，由于O 为中点，进而可得结论.（1）若M 为PD 的中点，由BD 为圆锥底面的直径，有O 为BD 的中点．则在PBD △中有//MO PB ，又MO ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，则有//PB 平面MAC ；（2）若//PB 平面MAC ，由PB ⊂平面PBD ，平面PBD平面MAC MO =，有//PB MO ，所以在PBD △中，DO DM OB MP=，又O 为BD 的中点，则有DMMP =，则有M 为PD 的中点．19.（1）222650x y x y +--+=；（2）()1,1--或2711,55⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】19. （1）设出圆C 的一般方程，将()0,1A ，()2,1B ，()3,4M 三点代入即可求解；（2）设出P 点的坐标，利用切线的性质以及勾股定理即可求得.解：（1）设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，将()0,1A ，()2,1B ，()3,4M 三点代入，得：1052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：265D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴圆C 的方程为222650x y x y +--+=；（2）设点()21,P y y +，由（1）圆C 的圆心()1,3C，r ==由已知得：CE PE ⊥，1302CPE EPF ∠=∠=︒，在Rt CPE △中：2PC CE =，= 解得：1y =-或115y =， P ∴的坐标为()1,1--或2711,55⎛⎫⎪⎝⎭． 20.（1）22210240x y x y +-+-=；（2）证明见解析；l =【解析】20.（1）由题意可得圆心M 在直线40x y ++=上，求得圆心M ，解方程可得a ，可得圆M 的方程；（2）分别求得圆M ，圆N 的圆心和半径，计算圆心距||MN ，与半径之和、半径之差的比较，可得两圆的位置关系，两圆方程相减可得公共弦的直线方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得所求弦长．解：（1）圆M ：22210240x y ax ay +-+-=的圆心为(),5M a a -，由已知可得直线40x y ++=经过圆心M ，所以540a a -+=，解得1a =，则有圆M 的方程为22210240x y x y +-+-=；（2）因为圆M 的圆心为()1,5M -，半径1r =N 的圆心()1,1N --，半径2r =所以MN ==因为<<+M 和圆N 相交，又由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，得两圆的公共弦所在直线方程为240x y -+=，所以M 到直线240x y -+=的距离d ==所以22211504552r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得l =则圆M 和圆N 的公共弦的长度l =21.（1）2240x y x +-=；（2）7.【解析】21.（1）设动点(),P x y ，根据2PM PN =化简求解.（2）由（1）得曲线E 是以()2,0E 为圆心，半径2r的圆,利用“r ,d ”法，分别求得AC ,BD ,由12S AC BD =⨯⨯，结合二次函数求解. （1）设动点(),P x y ，因为2PM PN =，所以()()2222241x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得2240x y x +-=，所以曲线E 的方程为2240x y x +-=；（2）由（1）得曲线E 是以()2,0E 为圆心，半径2r 的圆．如图所示：设弦AC ，BD 的中点分别为K ，L ，连接EK ，EL ，则EK AC ⊥，EL BD ⊥，记1EK d =，2EL d =，则有222121d d EN +==，又()()222211444AC r d d =-=-，()()222222444BD r d d =-=-，所以12S AC BD =⨯⨯== 则当2112d =时，四边形ABCD 的面积S 有最大值7． 22.（1）证明见解析；（2）12t =时，三棱锥A BCE -的体积最大，最大值为2．【解析】22. （1）根据题意可得//DE BC ，再由面面垂直的性质定理可得BD ⊥平面ADE ，从而证出BD AE ⊥.（2）由（1）可得AD ⊥平面BCED ，求出90B ∠=︒，5AC =，3BC =，可得4AD t =，44BD t =-，根据锥体的体积公式即可求解.（1）在图①中，因为AD AE AB AC=．所以//DE BC ，又90B =︒，则90BDE ADE ∠=∠=︒，即BD DE ⊥，AD DE ⊥，又平面ADE ⊥平面BCED ，平面ADE平面BCED DE =，则BD ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，则BD AE ⊥；（2）由（1）AD DE ⊥，又平面ADE ⊥平面BCED ，平面ADE 平面BCED DE =，则AD ⊥平面BCED ，由90B ∠=︒，5AC =，3BC =，可得4AB =可得4AD t =，44BD t =-，则有21883A BCE BCE V S AD t t -=⨯⨯=-+，()01t << 所以当12t =时，三棱锥A BCE -的体积最大，最大值为2． 23.（1）不垂直，理由见解析；（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】23.（1）假设AD BD ⊥，则可以证得AD ⊥平面ABCF ，得出AD AB ⊥，从而产生矛盾；（2）设AK t ，()01FC x x =<<，可得出12t x=-，即可求出范围. （1）AD 与BD 不垂直，若AD BD ⊥，又AD DF ⊥，BD DF D =，BD ，DF ⊂平面BDF ，则AD ⊥平面BDF 则AD BF ⊥，由已知BC AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABCF ，平面ABD ⋂平面ABCF AB =，则BC ⊥平面ABD ，则AD BC ⊥．又BC BF B =，BC ，BF ⊂平面ABCF ，则AD ⊥平面ABCF ，所以AD AB ⊥，在ABD △中，这是不可能的，所以AD 与BD 不垂直；（2）设AK t ，()01FC x x =<<，由DK AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，得DK ⊥平面ABC ，则DKKF ⊥，又可求得221DK t =-，2DF x =-，()2212KF t x =+--由222DF DK KF =+，得12t x=-，在()0,1上为增函数，则有112t <<，则有AK 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

高二上学期期中考试数学(文)试卷及答案(二)

高二上学期期中考试数学文科试卷全卷满分150分。

考试用时150分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、抛物线2y x =的焦点坐标为( )A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2、已知命题P ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．q p ∨⌝)(B ．q p ∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．)()(q p ⌝∨⌝3、人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面距离分别为2R 、52R，则卫星轨迹的长轴长为( )A ．5RB ．4RC ．3RD ． 2R 4、“0b =”是“函数c bx ax x f ++=2)(为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个充分不必要条件是( ) A ．21m -<<- B ．2m <-或1m >- C ．0m < D ．0m > 6、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形球盘,点,A B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,小球(半径忽略不计)从点A 沿着不与AB 重合的直线出发,经椭圆球盘壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是( )A ．4cB ．4aC ．22a c -D ．22a c + 7．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为( ) A ．030 B ．045 C ．060 D ．0908、已知正方形ABCD ，则以,A B 为焦点，且过,C D 两点的双曲线的离心率为( )A 1B 1 D ． 2+9、由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积是( ) A ．2π+ B ．22π+C ．12π+D ． π 10、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=( )A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、若命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则p ⌝：．12、双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．13、圆心在抛物线22(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为．14、点(,)P x y 在函数y =的图象上运动，则2x y -的最大值与最小值之比为．15、已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆所在平面内一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可能是下列图形中的：．（填写所有可能图形的序号）①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．三、解答题：本大题共5小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本题12分）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，,a b R ∈，现有命题：“若()()()()f a f b f a f b +≥-+-，则0a b +≥”.（1）写出其逆命题，判断其真假，并说明理由；（2）写出其否命题，判断其真假，并说明理由.17、（本题12分）已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=. （1）求证：直线l 恒过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时m 的值.18、（本题12分）已知双曲线C 的一条渐近线为12y x =，且与椭圆2216y x +=有公共焦点. （1）求双曲线C 的方程；（2）直线:20l x -=与双曲线C 相交于,A B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否过原点，并说明理由.19、（本题13分）已知双曲线22:14x C y -=和定点12,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求过点P 且与双曲线C 只有一个公共点的直线方程；（2）双曲线C 上是否存在,A B 两点，使得1()2OP OA OB =+成立？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.20、（本题13分）动点M 的坐标(,)x y 在其运动过程中总满足关系式6=.（1）点M 的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；（2）已知定点(,0)T t (03)t <<，若||MT 的最小值为1，求t 的值.21、（本题13分）已知直线:l y kx b =+，曲线2:|2|.M y x =-（1）若1k =，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b 的值；（2）若1b =，直线与曲线M 的交点依次为,,,A B C D 四点，求()()AB CD AD BC +⋅+ 的取值范围.上学期期中考试高二数学（文科）参考答案一、选择题：D D A C D B C C A B二、填空题： ,sin 1x R x ∀∈≤；(1,2)；221204x y x y +--+=；45-；①③⑤⑥ 三、解答题：16、（1）（6分）逆命题：若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-，真命题，直接证明；（2）（6分）否命题：若()()()()f a f b f a f b +<-+-，则0a b +<，真命题，反证法证明。

太原市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

太原市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1.直线x－2y＋6＝0的斜率为A.2B.－2C.12D.－122.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.3πB.6πC.12πD.24π3.已知A(0，0)，B(1，1)，直线l过点(2，0)且和直线AB平行，则直线l的方程为A.x－y－2＝0B.x＋y－2＝0C.2x－y－4＝0D.2x＋y－4＝04.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1的一条切线方程是A.x－y＝0B.x＋y＝0C.x＝0D.y＝05.已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b//c。

则正确的说法有A.3个B.2个C.1个D.0个6.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是A.2x＋y－4＝0B.x＋2y－1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－4＝07.在三棱锥A－BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A－BCD的体积为V1，四棱锥B－CDFE 的体积为V2，则V1：V2＝A.4：3B.2：1C.3：2D.3：18.设实数x，y满足约束条件x y10x y10x3y30+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z＝x＋2y的最大值为A.8B.7C.2D.19.如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是A.BC⊥平面APCB.BC⊥PC，AP⊥PCC.AP⊥PB，AP⊥PCD.AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10.已知半径为1的圆经过直线x＋2y－11＝0和直线2x－y－2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为A.4B.5C.6D.711.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN所成角的余弦值是A.1010B.55C.255D.012.在同一平面直角坐标系中，直线y＝k(x－1)＋2和圆x2＋y2－4x－2ay＋4a－1＝0的位置关系不可能是A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上)13.空间直角坐标系中，已知点A(4，1，2)，B(2，3，4)，则|AB|＝。

山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

）1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）．故选：A．【点睛】本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用旋转体的定义、性质直接求解．【详解】在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知，则直线AB的倾斜角为（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．【详解】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．【详解】根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能；故选：C．【点睛】此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.已知点在直线上，若，则直线的斜率为（）A. 2B. ﹣2C.D.【答案】A【解析】【分析】由点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，求出直线l1：2x﹣y﹣1＝0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．【详解】∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，∴2×2+3a﹣1＝0，解得a＝﹣1，∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．故选：A．【点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.设为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若且，则【答案】C【解析】【分析】在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D 中，a与β相交、平行或a⊂β．【详解】由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．【详解】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，故选：C．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．【详解】长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：，外接球的半径R＝，＝17π，故选：B．【点睛】此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.9.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 12B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z＝5x+2y，得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象可知当直线y＝x+z，经过点B时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z＝5×2+2×3＝16，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

2022-2023学年山西省太原市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省太原市高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线20x y ++=的倾斜角为（） A ．4π B ．34π C ．πD ．2π B【分析】把直线化为斜截式方程即可得到答案. 【详解】2y x =--的斜率为1-，则倾斜角为34π 故选：B.2．已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，若(1,0,1)a =--，(1,0,1)n =，则直线l 与平面α（） A ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．位置关系无法确定A【分析】根据题意得出//a n 可判断. 【详解】(1,0,1)a =--，(1,0,1)n =，即a n =-，//a n ∴，故直线l 与平面α垂直. 故选：A.3．已知焦点在y 轴上的椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m =（）A ．3B ．C ．12D ．2A【分析】根据椭圆的性质，求出,,a b c ，得到12c a ==，进而可求出m 值.【详解】焦点在y 轴上的椭圆2214x ym +=，可得2,a b c ===椭圆的离心率为12，可得：12c a ==，解得3m =. 故选：A4．已知点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影为点B ，则点B 与点()3,2,6C -的距离为（）A ．B ．CDB【分析】结合题意可得()3,4,0B ，再利用空间中两点距离公式即可求解. 【详解】因为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影为点B ，所以()3,4,0B ，故点B 与点()3,2,6C -的距离为BC =故选：B.5．已知椭圆C 的一个焦点为()1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（） A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=B【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.【详解】根据题意，椭圆的焦点在x 轴上，故设其方程为：22221(0)x ya b a b+=>>，显然1c =，b = 则2224a b c =+=，故椭圆方程为22143x y +=. 故选：B.6．下列说法不正确的是（）A ．直线的方程都可以表示为0(Ax By C AB ++=､不同时为0) B ．若直线y kx b =+经过一､三象限，则0k >C ．若直线l 的横纵截距相等，则直线l 的斜率为1或过原点D ．若直线l 的方程为()00Ax By C B ++=≠，则直线l 的斜率为AB- C【分析】根据直线方程的表示，直线的几何特点结合截距以及斜率的定义，对选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：直线的方程都可以表示为0(Ax By C A B ++=､不同时为0)，故A 正确；对B ：若直线y kx b =+经过一､三象限，则0k >，故B 正确；对C ：若直线l 的横纵截距相等，则直线l 的斜率为1-或过原点，故C 错误；对D ：若直线l 的方程为()00Ax By C B ++=≠，即A Cy x B B =--，则其斜率为A B-，故D 正确. 故选：C.7．如图，在四面体ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在线段AE 上，且2AF FE =，若BF x AB y AC z AD =++，则(),,x y z =（）A ．111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．111,,266⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,366⎛⎫ ⎪⎝⎭B【分析】利用向量加法运算即可求出答案. 【详解】22111()33233BF BA AF AB AE AB AD AC AB AD AC =+=-+=-+⨯+=-++ 则111,,33x y z =-==故选：B.8．直线l 的方向向量为()2,3，直线m 过点()1,1且与l 垂直，则直线m 的方程为（） A ．2350x y +-= B ．2310x y -+= C ．3250x y +-= D ．3210x y --=A【分析】先由直线l 的方向向量求得l k ，再利用直线垂直的性质求得m k ，从而利用点斜式即可求得直线m 的方程.【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3，所以32l k =，又因为直线m 与l 垂直，所以1l m k k =-，故23m k =-，所以由直线m 过点()1,1可得，直线m 的方程为()2113y x -=--，即2350x y +-=. 故选：A.9．已知{},,a b c 是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（） A ．{},,a b a c + B ．{},,2a b a b + C ．{}2,,a c b c + D ．{},,a a b a c ++B【分析】根据共面向量的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对A ：设a c ma nb +=+，即()1c m a nb =-+，因为,,a b c 不共面，故不存在实数1,m n -满足()1c m a nb =-+，则,,a b a c +不共面，可以作为基底；对B ：因为存在实数1,2，使得22a b a b +=+，故,,2a b a b +共面，不可作为基底；对C ：设2a c mb nc +=+，即()2a mb n c =+-，因为,,a b c 不共面,故不存在实数,2m n -满足()2a mb n c =+-，则2,,a c b c +不共面，可以作为基底；对D ：设()a c ma n ab +=++，即()1c m n a nb =+-+，因为,,a b c 不共面，故不存在实数1,m n n +-满足()1c m n a nb =+-+，则,,a a b a c ++不共面，可以作为基底. 故选：B.10．设12,F F 为椭圆22:1167x yC +=的左､右焦点，M 为椭圆C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则12MF F △的面积为（） A ．2 B ．83C ．17 DD【分析】结合题意可知112=MF F F ，由此结合椭圆的定义及解三角形的知识即可求得12MF F △的面积.【详解】因为椭圆22:1167x y C +=，所以2216,7a b ==，则24,9a c ==，即3c =，如图，因为M 为椭圆C 上一点且在第一象限，12MF F △为等腰三角形，所以112=MF F F ，不妨设12,MF m MF n ==，则有122826m n a m F F c +==⎧⎨===⎩，解得62m n =⎧⎨=⎩，所以2221212364361cos 22626m n F F F MF mn+-+-∠===⨯⨯，又120πF MF <∠<，故12sin F MF ∠==，所以121216212in s 2MF F Sn F MF m ∠=⨯=⨯=故选：D..11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11,CD A B 的中点，则下列结论正确的是（）①点F 到点E 2； ②点F 到直线1ED 30； ③点F 到平面1AED 6 ④平面1BFC 到平面1AED 26. A ．①②④ B ．②③④C ．①④D ．①②③D【分析】建立如图所示的空间直角坐标，利用向量法逐一判断即可.【详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题意知()1,0,0A ，()1,1,0B ，10,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，()10,0,1D ，11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,1FE =--，110,,12ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,0,1AD =-，11,,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设面1AED 的法向量为(),,n x y z =，所以1012AD n x z AE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得面1AED 的一个法向量为()1,2,1n =，所以点F 到点E 的距离为22112+=，故①正确；点F 到直线1ED 的距离为222111302552FE ED FE ED ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，故②正确；点F 到平面1AED 的距离为2636FE n d n⋅===，故③正确；由正方体的性质可知平面1//BFC 平面1AED ，平面1BFC 到平面1AED 的距离即F 到平面1AED 的距离为63d =，故④错误；故选：D.12．下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭； ②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=； ③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】对于①，由已知圆的两个弦，求得两条中垂线，求得圆心以及半径，可得答案；对于②，设动点的坐标，由题意，根据两点之间距离公式，建立方程，可得答案；对于③，设动点的坐标，利用向量数乘的坐标运算，根据换元法，表示出点M 的坐标，代入圆的方程，可得答案.【详解】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为()223524022⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PA PB =，则()()2222121x y x y ++=-+，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =--，()00,MN x x y y =--，由12MN NP =，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.二、填空题13．过点()1,3，斜率0k =的直线方程为__________.3y =【分析】利用点斜式方程，即可得到答案. 【详解】()301y x -=-，即3y =. 故答案为.3y =14．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，若12,1AB AA ==，则1AB 与1BC 所成角的大小为__________.90︒##2π【分析】利用空间向量11AB BC ⋅得0，即可得到答案.【详解】()()1111AB B AB BB BC CC C =+⋅⋅+1111AB BC BB BC AB CC BB CC =⋅+⋅+⋅+⋅21cos1200012102AB ⎛⎫=+++=⨯-+= ⎪⎝⎭即可得到1AB 与1BC 所成角为90︒. 故答案为.90︒15．在平面直角坐标系中，若直线l 过点()000,P x y ，且以(),A B μ=为法向量（与直线方向向量垂直的向量），则直线l 上任意一点(),P x y 满足.()()000A x x B y y -+-=请你大胆类比猜想：在空间直角坐标系中，若平面α过点()0000,,Q x y z ，且以(),,v a b c =为法向量，则平面α上任意一点(),,P x y z 满足：__________.()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.【分析】根据已知条件将平面中的关系式类比到空间中的关系式. 【详解】根据题意可得平面α上任意一点(),,P x y z 满足：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，故答案为; ()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AD AA P ===为底面ABCD （含边界）上的动点，且满足11AC A P ⊥，则点P 轨迹的长度为__________. 22【分析】建立空间直角坐标系，找到点P 轨迹的解析式得是一条线段，即可求出答案. 【详解】以1DA 为x 轴，1BA 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如下图11(0,0,1),(2,2,0)(0,0,0)A C A ，设(,,1)P x y则1(2,2,1)AC =-，1(,,1)A P x y = 11AC A P ⊥2210x y ∴+-=()02,02x y ≤≤≤≤则点P .故答案为三、解答题17．已知()()()0,1,2,1,5,3A B C --三点. (1)求AB 边上中线所在直线的方程； (2)求ABC 的面积. (1)210x y -+=； (2)3.【分析】（1）求出AB 边中点坐标，再利用两点式求出AB 边上中线所在直线的方程；（2）利用点C 到直线AB 的距离求出边AB 的高，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）设AB 边的中点为D ，则点(1,0)D -，则AB 边上中线过点(1,0)D -与点()5,3C ，则()()103051x y ---=---，即210x y -+=.（2）直线10:101120y x AB x y --=⇒-+=----，点()5,3C 到直线AB 的距离为d =AB =132ABCSAB d .18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1114,5,60AB AD AA DAB DAA BAA ∠∠∠======.(1)求1AC 的长； (2)求证.1AC BD ⊥ 113(2)证明见解析.【分析】（1）利用()()2211AC AB AD CC =++，即可求出答案.（2）利用10AC BD ⋅=，即可证明答案. 【详解】（1）111AC AC CC AB AD CC =+=++()()()()()2222211111222113AC AB AD CC AB AD CC AB AD AD CC AB CC ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=则1113AC （2）证明：()11AC BD AC CC BD ⋅=+⋅ ()()1AC CC BA AD =+⋅+ ()()1AB AD CC BA AD =++⋅+11AB BA AB AD AD BA AD AD CC BA CC AD =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 1601600=-+++=故1AC BD ⊥.19．已知直线l 过点()1,2，且被圆22:4O x y +=截得的弦AB 的长为3(1)求直线l 的方程；(2)若直线l 的斜率存在，圆C 过,A B 两点，且圆心在10x y +-=上，求圆C 的方程. (1)1x =或3450x y -+= (2)226860x y x y ++-+=【分析】（1）分类讨论直线l 斜率存在与不存在两种情况，利用弦长公式与点线距离公式即可得解；（2）利用两圆相减得到公共弦所在直线的结论，假设圆C 的方程，从而由圆的一般方程可得圆心C ，将其代入10x y +-=，由此可求得圆C 的方程.【详解】（1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 方程为1x =，易得与圆O 的交点为()()1,3,1,3-，此时弦长为23，满足条件；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程()21y k x -=-，即20kx y k --+=，因为圆22:4O x y +=，所以圆心()0,0O ，半径2r =，设圆心O 到直线 l 的距离为d ，因为23AB =，所以由弦长公式222AB r d =-得22324d =-，得1d =，所以200211k d k --+==+，解得34k =，所以，直线 l 方程为332044x y --+=，即3450x y -+=，综上：直线 l 的方程为1x =或3450x y -+=.（2）由（1）得直线l 的方程为3450x y -+=，圆22:4O x y +=，根据题意知直线l 是圆O 与圆C 的公共弦所在直线，而公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，故设圆C 的方程为()2243450x y x y λ+-+-+=，即2234540x y x y λλλ++-+-=，则其圆心C 坐标为3,22λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆心C 在10x y +-=上，所以32102λλ-+-=，解得2λ=，所以圆C 的方程为226860x y x y ++-+=.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形.PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且1,2AB AC AD ===.(1)若1PA =，求直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若直线AC 与平面PBC 所成角为6π，求平面PBC 与平面ABCD 的夹角的大小. (1)13； (2)4π.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为直线MN 与平面PBC 的法向量夹角的余弦值的绝对值；（2）建立空间直角坐标系，设点P 坐标，再利用直线AC 与平面PBC 所成角为6π求出点P 坐标，在计算平面PBC 与平面ABCD 的法向量，即可求出平面PBC 与平面ABCD 的夹角.【详解】（1）由1,2AB AC AD ===得AB AC ⊥,以AB 为x 轴，AC 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)P B C 点,M N 分别为,BC PA 的中点 111(0,0,),(,,0)222N M ∴设面PBC 的法向量为(,,)m x y z = (1,0,1),(0,1,1)PB PC =-=-0(1,1,1)00PB m x z m y z PC m ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ 111(,,)222NM =-设直线MN 与平面PBC 所成角为θ，则1sin cos ,3NM mNM m NM m θ⋅===⋅直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值13.（2）以AB 为x 轴，AC 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P h ，(1,0,0),(0,1,0)B C ，(0,0,0)A (0,1,0)AC =，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =(1,0,),(0,1,)PB h PC h =-=-0(,,1)00PB m x hz m h h y hz PC m ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩由于直线AC 与平面PBC 所成角为6π222sin61m AC h m ACh h π⋅==⇒=⋅++则平面PBC 的法向量为22(,2m = 设面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = 设平面PBC 与平面ABCD 的夹角为ϕ 2cos 2m n m nϕ⋅==⋅ 则平面PBC 与平面ABCD 的夹角为4π. 21．如图，在四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且1,2AB AC AD ===.(1)若1PA =，求直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值的取值范围为3⎛ ⎝⎦，求平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值的取值范围. (1)13(2)3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面PBC 的法向量n 与MN ，由此可求得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值；（2）设PA h =，从而分别求得平面PBC 与平面ABCD 的法向量m 与0n 及AC ，从而由题意条件求得(0,1]h ∈，进而可求得平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为1,2AB AC AD ===222AB AC AD +=，即AB AC ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),,,0,0,0,222P B C M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故111(1,0,1),(1,1,0),,,222PB BC MN ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令11x =，则111,1==y z ，故(1,1,1)n =，设直线MN 与平面PBC 所成角为θ，则112sin cos ,3332MN n θ-===⨯，所以直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为13..（2）设()0PA h h =>，则()()()0,0,,1,0,0,0,1,0P h B C ，故(1,0,),(1,1,0)PB h BC =-=-，设平面PBC 的一个法向量为()222,,m x y z =，则00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩，令2x h =，则22,1y h z ==，故(,,1)m h h =，易得平面ABCD 的一个法向量为0(0,0,1)n =，又(0,1,0)AC =，设直线AC 与平面PBC 所成角为α，则23sin cos ,21AC m h α⎛==+⎝⎦，即23021h <≤+01h <≤，设平面PBC 与平面ABCD 的夹角为β，则02cos cos ,21n m h β==+，因为01h <≤，所以21213h <+≤，则21213h <+23121h ≤<+3cos 1β<. 所以平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值的取值范围为3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．已知平而上动点(),M x y 与定点()1,0的距离和M 到定直线2x =的距离的比是常数22，动点M 的轨迹为曲线C .直线l 的斜率存在，且与曲线C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同的点. (1)求曲线C 的方程； (2)若OPQ △22212x x +为定值. (1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出MF =M 到定直线2x =的距离2x -，相除化简可得答案；（2）设其直线l 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出1212,x x x x +，求出原点到直线y kx m =+的距离d 、PQ ，可得OPQ △的面积为12=d PQ ，化简可得2212m k =+，代入()2221212122x x x x x x +=+-化简可得答案.【详解】（1）动点(),M x y 与定点()1,0F的距离为MF =M 到定直线2x =的距离为2x -=2212x y +=，曲线C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）曲线C 的方程为2212x y +=，因为直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立 2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， ()()()2222244122216880∆=-+-=-+>km k m k m ， 2121222422,1212km m x x x x k k --+==++，原点到直线y kx m=+的距离为d =，PQ== 所以OPQ △的面积为122==P d Q ，化简得224224844144-+=++k m m m k k ，即()222210⎡⎤--=⎣⎦m k ，2212m k =+， ()222221212221212444212+=+-=--⎛⎫-= ⎪++⎝⎭km x x x x x x m k k ()()()()2222224422222221116442218168222212121212⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭=-===++++k k k k k k k k k k k，所以22122x x +=为定值.思路点睛：通过联立直线和椭圆方程得到一个一元二次方程，然后根据根与系数的关系，求出PQ ，然后用点到直线的距离求出三角形的高，进而用三角形面积公式得到2212m k =+的方程，代入2212x x +，考查了学生分析问题、解决问题和计算能力.23．已知平面上动点(),M x y 与定点()1,0的距离和M 到定直线2x =2，动点M 的轨迹为曲线C .直线l 与曲线C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同的点. (1)若直线l 的方程为22y x =+，求OPQ △的面积； (2)若OPQ △22212x x +和2212y y +均为定值. 210(2)证明见解析.【分析】（1）由题知曲线C 的方程为2212x y +=，进而直线l 的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得102PQ =22y x =+的距离为25d =，再计算面积即可；（2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为y kx m =+，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得2212m k =+，再计算2212x x +，2212y y +即可证明. 【详解】（1）解：动点(),M x y 与定点()1,0F 的距离为()221MF x y =-+M 到定直线2x =的距离为2x -，()22122x y x -+=-，化简得2212x y +=，所以，曲线C 的方程为2212x y +=；所以，联立方程221222x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得291660x x ++=，400∆=>所以，1212162,93x x x x +=-=，所以，原点到直线22y x =+的距离为d ==，PQ ===，所以，OPQ △的面积1122S d PQ ===所以，OPQ △ （2）解：由（1）曲线C 的方程为2212x y +=，因为直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， ()()()2222244122216880∆=-+-=-+>km k m k m ， 2121222422,1212km m x x x x k k --+==++，原点到直线y kx m =+的距离为d=，PQ== 所以OPQ △的面积为12==P d Q ，化简得224224844144-+=++k m m m k k ，即()222210⎡⎤--=⎣⎦m k ，2212m k =+， ()222221212221212444212+=+-=--⎛⎫-= ⎪++⎝⎭km x x x x x x m k k()()()()2222224422222221116442218168222212121212⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭=-===++++k k k k k k k k k k k，所以22122x x +=为定值.所以，()()()()222222121221222122kx m kx m k y x x km x m y x =+++=+++++()()2222222222212821242221212k k k m m k km k km m k k+-++-=+⋅+=++ ()()()()2222222222222128211121224*********k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭=+++=+ 所以，22121y y +=为定值.当斜率不存在时，设其方程为(00x x x =<，与椭圆方程联立02212x x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得y =所以，00,,P x Q x ⎛⎛ ⎝⎝所以，PQ =所以，OPQ △的面积为012x x ⨯⨯01x =±，所以，02122222x x x +==，2222012011222x y y x ⎪+-⎛⎫=- ⎝⎭== 综上，22122x x +=为定值，22121y y +=为定值.。

山西省太原市2021-2022高二数学上学期期中试题(含解析)

山西省太原市2021-2022高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为（） A.13B. 13-C. 3D. 3-【答案】D 【解析】【分析】由斜率的定义求解即可【详解】由斜率的定义得212121312y y k x x -+===---，故答案为：直线AB 的斜率为3- 故选：D【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（） A . 2【答案】B 【解析】【分析】可结合两点间距离公式求解【详解】由两点间距离公式得l ==故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题 3.过点()0,1-且垂直于直线12y x =的直线方程为（） A 21y x =--B. 21y x =-C. 22y x =-+D.21y x =+【答案】A【分析】由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1212k -==-，再由点斜式可得()201y x =---，化简得21y x =--故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解析式，属于基础题 4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题 5.与圆()()22121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（） A. ()()22121x y -+-= B. ()()22121x y +++= C. ()()22121x y ++-= D. ()()22211x y -++=【答案】C【分析】可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆()()22121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()22121x y ++-= 故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（） A. 若m α，n ⊂α，则m n B. 若m α⊥，αβ∥，则m β⊥ C. 若m α，αβ⊥，则m β⊥ D. 若m α，n α，则m n【答案】B 【解析】【分析】由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一定垂直；D 项可能性很多，不一定m n【详解】对A ，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B ，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C ，可随机举一反例，如图：直线与β斜交；对D ，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题 7.已知直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行，则它们之间的距离是（） A. 2 B. 42D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据两直线一般式对应系数关系111222A B C A B C =≠求解即可【详解】由题可知，应满足13111m m m -=≠⇒=---，则两直线可化为3010x y x y ⎧⎨⎩-+=-+=，由平行直线间距离公式122222C C d A B -===+故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A. 6B. 9C. 18D. 27【答案】A 【解析】【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：11343632V =⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数x ，y 满足条件20,220,3,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（）A. 6B.103C. 92-D. 103-【答案】C 【解析】【分析】可将目标函数转化为33x zy =-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33x zy =-，要使z 取到最小值，则截距3z-取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入3z x y=-得92z =-故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N MBN ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M = ，16C M =，1'41C N =，得21122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知()3,0A -，()0,1B ，点C 为圆22410x y y +++=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（） A.32B.332C.53D.73【答案】C 【解析】【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆22410x y y +++=可转化为()2223x y ++=，圆心为()0,2-，33AB k ==，则直线方程为31y x =+，圆心到直线的距离33113d ==+max 33533h d r =+=，312AB =+=，则15353=22ABC S ∆⨯=故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题 12.将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使120BDC ∠=，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A. 72π B. 7π C.132π D.133π 【答案】B 【解析】【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到BC=3，再由正弦定理得到32 1.sin120r r =⇒= 见图示：AD 是球的弦，3M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴OM=32，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径371+4 该球的表面积为：4π×OD 2=7π；故选：B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆22220x y x y +++=的半径为______________.【解析】【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由()()2222220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题 14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为．【解析】试题分析：由2r l πθ=，得2233r ππ=，即1r =，∴2211133V r h ππ==⋅=．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为____________. 【答案】()2220x y a a +=>【解析】【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得【详解】如图：不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>故答案为：()2220x y a a +=>【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.【答案】325⎣⎦，【解析】【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，2221111151()22A M A B B M =+=+=，同理，在直角11A B N ∆中，求得15A N =以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点.（1）求直线AC 的方程；（2）求AC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.【解析】【分析】（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C . ∴直线AC 的方程为3110x y +-=；（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13AC k =-，∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点.（1）求证：EF 平面11ADD A ；（2）求证：EF ⊥平面11A B CD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要证直线EF 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可；【详解】（1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴，11AB C D =， ∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =.∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥，∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴EF 平面11ADD A ；（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，∴EF ⊥平面11A B CD .【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=.（1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=与圆2C 的相交弦长为23n 的值.【答案】（1）5；（2）35n =-+35n =-【解析】分析】（1）先将圆2C 化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即1212C C r r =+，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵221x y +=，∴()10,0C ，11r =， ∵2260x y x m +-+=，∴()2239x y m -+=-，∴()23,0C ，29r m =- ∵圆1C 与圆2C 外切，∴1212C C r r =+，∴319m =+-5m =；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为()2234x y -+=，()23,0C ，22r =，由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离223315n d r +==-=，∴35n =-+或35n =--. 【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥,224AD BC CD ===,25PC =,PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求AC 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，23AE =，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，∵AD CD ⊥，∴2225AC AD CD =+=, ∴15sin 5AE ACE AC ∠==. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥，224AD BC CD ===,25PC =，PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角P BC A --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60.【解析】【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，23PE =∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥， ∴tan 3PE PBE BE∠==，∴60PBE ∠=︒. 【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当23PA =时，求点P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有22OP r PA =+P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =时，求点P 的坐标；（2）设APO ∆的外接圆为圆M ，当点P 在直线l 上运动时，圆M 是否过定点（异于原点O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，∵00280x y --=，∴0028x y =+，∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩ 则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题。

山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案

山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

）1．在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2，3）B．（1，﹣2，3）C．（1，2，﹣3）D．（﹣1，﹣2，﹣3）答案：A2．由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（）答案：B3．已知A（0，1），B（0，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．0°B．90°C．180°D．不存在答案：B4．下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（）答案：C5．已知点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，若l2∥l1，则直线l2的斜率为（）A．2 B．﹣2 C．12D．－12答案：A6．设a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）A．若a⊥b且b⊥c，则a∥c B．若α⊥β且β⊥γ，则α∥γC．若a⊥α且a∥b，则b⊥αD．若α⊥β且a∥α，则a⊥β答案：C7．已知圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），则圆C的方程是（）A．（x+1）2+（y+2）2＝10 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝40C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10 D．（x+1）2+（y+2）2＝40答案：C8．一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（）A．68πB．17πC．28πD．7π答案：B9．已知x，y满足不等式组1021010x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则z＝5x+2y的最大值为（）A．12 B．16 C．18 D．20答案：B10．直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是（）答案：D11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③答案：D12．一条光线从点P（﹣2，4）射出，经直线x﹣y+2＝0反射后与圆x2+y2+4x+3＝0相切，则反射光线所在直线的方程是（）A．x﹣2＝0 B+y﹣2＝0 C．x﹣2＝0 D﹣y﹣2＝0答案：A二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13．已知点A（3，﹣3），B（0，2），则线段AB的中点坐标是．答案：31,22⎛⎫-⎪⎝⎭14．已知直线l1：x﹣2y＝1，l2：mx+（3﹣m）y+1．若l1⊥l2，则实数m＝．答案：215．某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形均为直角三角形，则x2+y2＝．答案：3416．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2，M为AB中点，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC 时，A，B两点之间的距离为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知△ABC的三个顶点的坐标是A（1，1），B（2，3），C（3，﹣2）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．18．（10分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1．（1）求证：AD1∥平面C1BD；（2）求证：AD1⊥平面A1DC．19．（10分）已知圆C的方程为x2+y2﹣4tx﹣2ty+5t2﹣4＝0（t＞0）．（1）设O为坐标原点求直线OC的方程；（2）设直线y＝x+1与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求实数t的值．说明：请考生在A、B两个小题中任选一题作答.20．（A）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且AD＝2AB＝2，AE⊥PD，垂足为E．（1）求PD与平面ABCD所成角的大小；（2）求三棱锥P﹣ABE的休积．（B）．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC，AD＝DC，E为棱PC上不与点C重合的点．（1）求证：平面BED⊥平而PAC；（2）若PA＝AC＝2，BD，且二面角E﹣BD﹣C的平面角为45°，求三棱锥P﹣BED的体积．说明：请考生在A、B两个小题中任选一题作答。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

太原市高二上学期期中数学试卷(II)卷(模拟)

太原市高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一上·佛山期中) 函数f（x）= 的定义域为（）A . [0，1）B . [0，2）C . （1，2）D . [0，1）∪（1，2）2. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若+，则∠A的大小是（）A .B .C .D .3. （2分）已知，则下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）中恒成立的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S=4（a1+a3+a5+…+a2n-1）,a1a2a3=27,则a6=（）A . 27B . 81C . 243D . 7295. （2分） (2017高一下·宿州期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2= bc，sinC=2 sinB，则A=（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·凌源期末) 若满足约束条件，则的最大值是（）A .B . 1C . 2D . 37. （2分） (2016高一下·重庆期中) △ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若△ABC为锐角三角形，且B= ，c=2，则边b的取值范围是（）A . （，3）B . （，2 ）C . （3，2 ）D . （，+∞）8. （2分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，且ax2+bx+3≥0的解集为R，则b的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B . [﹣6，6]C . （﹣6，6）D . （﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）9. （2分）(2016·湖南模拟) 若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m 的最大值为（）A . 1B .C . 2D .10. （2分）如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A . 35°B . 45°C . 55°D . 70°二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·南通模拟) 设函数f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=________12. （1分） (2016高一下·广州期中) 不等式≥0的解集为________．13. （1分）(2018·邯郸模拟) 已知实数，满足则的取值范围为________．14. （1分） (2017高二下·西城期末) 当x＞0时，函数的最小值为________．15. （1分） 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行．小明想测量一下小海坨山的高度，他在延庆城区（海拔约500米）一块平地上仰望小海坨山顶，仰角15度，他向小海坨山方向直行3400米后，再仰望小海坨山顶，此时仰角30度，问小明测的小海坨山海拔约有________ 米．三、解答题 (共6题；共40分)16. （5分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=， f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17. （10分） (2016高二上·长春期中) 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2 ，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．（1）求y用x表示的函数关系式；（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？18. （5分）已知等差数列{an}满足a3=5，a5﹣2a2=3，又等比数列{bn}中，b1=3且公比q=3．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=an+bn ，求数列{cn}的前n项和Sn ．19. （5分）在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2 ．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．20. （10分）(2014·广东理) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．21. （5分）设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式eax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分) 16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、第11 页共12 页21-1、第12 页共12 页。

2020年山西省太原市高二(上)期中数学试卷

高二（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知点A(1,2)，B(2,−1)，则直线AB的斜率为()A. 13B. −13C. 3D. −32.在空间直角坐标系中，点P(1,2，−1)与Q(0,1，1)之间的距离为()A. 2B. √6C. √5D. √33.过点(0,−1)且垂直于直线y=12x的直线方程为()A. y=−2x−1B. y=2x−1C. y=−2x+2D. y=2x+14.用一个平面去截下图的圆柱体，则所得的截面不可能是()A. B. C. D.5.与圆(x−1)2+(y+2)2=1关于原点对称的圆的方程为()A. (x−1)2+(y−2)2=1B. (x+1)2+(y+2)2=1C. (x+1)2+(y−2)2=1D. (x−2)2+(y+1)2=16.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是()A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m⊥α，α//β，则m⊥βC. 若m//α，α⊥β，则m⊥βD. 若m//α，n//α，则m//n7.已知直线l1：mx+y−3=0与直线l2：x−y−m=0平行，则它们之间的距离是()A. 2√2B. 4C. √2D. 28.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺．问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为()A. 6B. 9C. 18D. 279. 已知实数x ，y 满足条件{x +y −2≥0x −2y +2≥0x ≤3，则z =x −3y 的最小值为( )A. 6B. 103C. −92D. −10310. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点，则异面直线C 1M 与BN 所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11. 已知A(−√3,0)，B(0,1)，点C 为圆x 2+y 2+4y +1=0上任意一点，则△ABC 面积的最大值为( )A. √32B. 3√32C. 5√32D. 7√3212. 如图，将边长为2的正△ABC 沿着高AD 折起，使∠BDC =120°，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A. 72πB.C.132π D.133π二、填空题（本大题共4小题，共16.0分） 13. 圆x 2+y 2+2x +2y =0的半径为______．14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为______． 15. 已知长为2a(a >0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为______．16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P//平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共72.0分）17.已知△ABC的顶点A(−1,4)，B(−2,−1)，M(0,1)是BC的中点．(1)求直线AC的方程；(2)求AC边上的高所在直线的方程．18.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，C1D1的中点．(1)求证：EF//平面ADD1A1；(2)求证：EF⊥平面A1B1CD．19.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−6x+m=0．(1)若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，若直线x+2y+n=0与圆C2的相交弦长为2√3，求实数n的值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥CD，AD//BC，AD=2BC=2CD=4，PC=2√5，△PAD是正三角形．(1)求证：CD⊥PA；(2)求AC与平面PCD所成角的正弦值．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥CD，AD//BC，AD=2BC=2CD=4，PC=2√5，△PAD是正三角形．(1)求证：CD⊥PA；(2)求二面角P−BC−A的大小．22.已知圆O：x2+y2=4，点P是直线l：x−2y−8=0上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B．(1)当|PA|=2√3时，求点P的坐标；(2)当∠APB取最大值时，求△APO的外接圆方程．23.已知圆O：x2+y2=4，点P是直线l：x−2y−8=0上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B．(1)当|PA|=2√3时，求点P的坐标；(2)设△APO的外接圆为圆M，当点P在直线l上运动时，圆M是否过定点(异于原点O)？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：点A(1,2)，B(2,−1)，=−3．则直线AB的斜率为k AB=−1−22−1故选：D．根据两点的坐标计算直线AB的斜率．本题考查了根据两点的坐标求直线斜率的问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：在空间直角坐标系中，点P(1,2，−1)与Q(0,1，1)之间的距离为√(1−0)2+(2−1)2+(−1−1)2═√6，故选：B．用两点间的距离公式求出．考查空间两点间的距离公式，基础题．3.【答案】Ax的直线斜率为k=−2，【解析】解：垂直于直线y=12且直线过点(0,−1)，所以直线方程为：y−(−1)=−2(x−0)，即y=−2x−1．故选：A．根据垂直关系求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：①当平面与底面垂直时，截面为长方形；故A正确；②当平面与底面平行时，截面为圆；故B正确；③当平面只与侧面相交时，截面为椭圆；故C正确；故选：D．用一个平面截几何体，可以横截，竖截，斜截，角度不同得到的截面形状不同．经过尝试可知：用平面截圆柱，截面可能是圆，椭圆，长方形，拱形．本题考查了几何体与平面的关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：圆心坐标为(1,−2)，半径为1，则圆关于原点对称的圆，实质是圆心的对称，则对应圆的圆心坐标为(−1,2)，半径为1，即对应圆的方程为(x+1)2+(y−2)2=1，故选：C．根据圆的对称性，转化为圆心的对称，直接求出对称圆心坐标进行求解即可．本题主要考查圆的方程的求解，结合圆的对称性转化圆心的对称是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】B【解析】解：对于A，m//α，n⊂α时，得出m//n或m与n是异面直线，∴A错误；对于B，当m⊥α，α//β时，m⊥β，∴B正确；对于C，当m//α，α⊥β时，有m⊥β或m与β相交或m与β平行或m⊂β，∴C错误；对于D，m//α，n//α时，则m//n或m、n相交或m、n异面，∴D错误．故选：B．根据空间中的直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系，判断即可．本题考查了空间中的线、面关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：直线l1：mx+y−3=0与直线l2：x−y−m=0平行，则m×(−1)−1×1=0，解得m=−1；所以直线l1：x−y+3=0与直线l2：x−y+1=0的距离是d=22=√2=√2．故选：C．根据直线l1与直线l2平行求出m的值，再求两直线间的距离．本题考查了两条平行线之间的距离计算问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意，可知原图为一个底边为直角等腰三角形的直三棱锥，具体图形如下：则有：V =13S 底ℎ=13×12×3×3×4=6．故选：A ．本题主要是根据三视图想出对应的空间立体图形，然后根据三棱锥的体积公式进行计算．本题主要考查空间想象能力以及计算能力．本题属基础题．9.【答案】C【解析】解：不等式组{x +y −2≥0x −2y +2≥0x ≤3表示的平面区域如下图阴影部分所示：由z =x −3y 得，y =13x −z 3，这是斜率为13的一族平行直线，直线在y 轴上的截距为−z3，截距最大时，z 最小，根据图形看出，当直线y =13x −z3经过点B 时，截距最多，z 取最小值，解{x −2y +2=0x =3得，{x =3y =52，∴z min =x −3y =3−152=−92．故选：C ．可画出不等式组所表示的平面区域，而由z =x −3y 可得出y =13x −z 3，表示斜率为13的一族平行直线，当直线在y 轴上的截距取最大值时，z 取得最小值，从而结合图形即可求出最大截距，即得出z 的最小值．本题考查了线性规划求最值的方法，能找出不等式组所表示的平面区域，数形结合的思想方法，考查了推理和计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，C 1(0,2，2)，M(2,1，0)，B(2,2，0)，N(2,0，1)， C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)，设异面直线C 1M 与BN 所成角的大小为θ，则cosθ=|C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，∴θ=90°．∴异面直线C 1M 与BN 所成角的大小为90°．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线C 1M 与BN 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：化圆x2+y2+4y+1=0为x2+(y+ 2)2=3，则圆心坐标为M(0,−2)，半径r=√3，过A(−√3,0)，B(0,1)的直线方程为x−√3+y=1，即x−√3y+√3=0．M到直线x−√3y+√3=0的距离d=|2√3+√3|2=3√32．∴圆上点C到直线的最短距离为3√32+√3=5√32．又|AB|=√(−√3)2+12=2，则△ABC面积的最大值为S=12×2×5√32=5√32．故选：C．求出圆上动点C到直线AB的最大距离，代入三角形面积公式，可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形面积公式，是基础的计算题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A−BCD，且AD垂直于底面BCD，求解底面△BCD外接圆半径，利用勾股定理可求解球O的半径平方，从而得球O的表面积．【解答】解：由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A−BCD，且AD垂直于底面△BCD，底面△BCD中，∠BDC=120°，DC=DB=1，那么BC=√1+1−2×1×1cos120°=√3，设底面△BCD外接圆半径为r，则2r=√3sin120°，即r=1．因为AD 垂直于底面BCD ，AD =√3，所以球心与圆心的距离为√32，设球O 的半径为R ，所以R 2=r 2+(√32)2=74．即球O 的表面积S =4πR 2=7π．故选：B ．13.【答案】√2【解析】解：圆的标准型为(x +1)2+(y +1)2=2，所以半径为√2，故答案为：√2换成标准型，求出半径．本题考查圆的方程和性质，为基础题．14.【答案】2√23π【解析】【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r ，则2πr =3×2π3，得r =1．则圆锥的高ℎ=2−12=2√2．∴圆锥的体积V =13π×12×2√2=2√23π．故答案为：2√23π．【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r，由展开后所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得底面半径，进一步求出圆锥的高，代入圆锥体积公式求解．本题考查圆锥体积的求法，考查剪展问题的求解方法，是中档题．15.【答案】x2+y2=a2(a>0)【解析】解：设线段AB的中点D(x,y)，若AB不是原点时，则△AOB是直角三角形，且∠O为直角，则OD=12AB，而AB=2a，所以OD=a，即√(x−0)2+(y−0)2=a⇒x2+y2=a2(a>0)；若AB有一个是原点，同样满足x2+y2=a2(a>0)；故答案为：x2+y2=a2(a>0)．求哪个点的轨迹方程就设那个点的坐标为(x,y)，然后由题意写等式，进而整理出关于x，y的表达式就是它的轨迹方程，注意有时会有取值限制．考查求点的轨迹方程，这个题用直接法求出，属于简单题．16.【答案】[3√24,√5 2]【解析】【分析】本题考查线段的长度问题，线面平行的判定，面面平行的判定，属于较难题．分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，即可得解．【解答】解：如图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN//平面AEF ；∵AA 1//NE ，AA 1=NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N//AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N//平面AEF ，又A 1N ∩MN =N ，∴平面A 1MN//平面AEF ，∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P//平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√1+(12)2=√52，同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N =√52， ∴△A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长，A 1O =√A 1M 2−OM 2=(√52)(√24)=3√24， A 1M =A 1N =√52，所以线段A 1P 长度的取值范围是[3√24,√52]. 故答案为[3√24,√52]. 17.【答案】解：(1)设C(x,y)，由题意得{−2+x =0−1+y =2，解得{x =2y =3， ∴点C 的坐标为(2,3)；∴直线AC 的方程为y−43−4=x+12+1，化为一般式为x +3y −11=0； (2)∵A(−1,4)，C(2,3)，∴k AC =3−42+1=−13，∴AC边上的高所在直线的斜率k=3，∴AC边上的高所在直线方程为y−4=3(x+1)，化为一般式为3x−y+5=0．【解析】(1)设C(x,y)，利用中点坐标求出点C，再写出直线AC的方程；(2)求出AC的斜率，得出AC边上的高所在直线的斜率，利用点斜式求出AC边上的高所在直线方程．本题考查了直线方程的求法应用问题，是基础题．18.【答案】证明：(1)连接AD1，∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴AB//C1D1，AB=C1D1，∵E，F分别是AB，C1D1的中点，∴AE//FD1，AE=FD1．∴AEFD1是平行四边形，∴EF//AD1．∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF//平面ADD1A1．(2)由(1)得EF//AD1，∵ABCD−A1B1C1D1是正方体．∴A1B1⊥平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，∴A1B1⊥EF，∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，∴A1D⊥EF，∵A1D⊂平面A1B1CD，A1B1⊂平面A1B1CD，A1B1∩A1D=A1，∴EF⊥平面A1B1CD．【解析】(1)连接AD1，推导出AEFD1是平行四边形，EF//AD1.由此能证明EF//平面ADD1A1．(2)推导出EF//AD1，A1B1⊥平面ADD1A1，A1B1⊥AD1，A1B1⊥EF，A1D⊥AD1，A1D⊥EF，由此能证明EF⊥平面A1B1CD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)∵C1(0,0)，r1=1，∵x2+y2−6x+m=0的标准方程为(x−3)2+y2=9−m，∴C2(3,0)，r2=√9−m，m<9，∵圆C1与圆C2外切，∴|C1C2|=r1+r2，即3=1+√9−m，∴m=5；(2)由(1)得m=5，圆C2的方程为(x−3)2+y2=4，C2(3,0)，r2=2，由题意可得圆心C2到直线x+2y+n=0的距离d=|3+n|√5=√r22−3=1，得|n+3|=√5，即n=−3+√5或n=−3−√5．【解析】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，结合圆外切以及直线和圆相交时的弦长公式建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力，难度中等．(1)求出圆心坐标和半径，结合圆与圆外切的等价条件建立方程进行求解即可．(2)根据相交弦的弦长公式建立方程进行求解即可．20.【答案】解：(1)证明：∵△PAD是正三角形，AD=2CD=4，∴PD=2，CD=2，∴PC2=PD2+CD2=20，∴CD⊥PD，∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．(2)解：设点E是PD的中点，连接AE，CE，∵△PAD是正三角形，∴AE⊥PD，AE=2√3，由(1)得CD⊥平面PAD，∴平面PCD⊥平面PAD，∴AE⊥平面PCD，∴AC与平面PCD所成角为∠ACE，∵AD⊥CD，∴AC=√AD2+CD2=2√5，∴AC与平面PCD所成角的正弦值为sin∠ACE=AEAC =√155．【解析】(1)推导出CD⊥PD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．(2)设点E是PD的中点，连接AE，CE，推导出AE⊥PD，AE⊥平面PCD，从而AC与平面PCD所成角为∠ACE，由此能求出AC与平面PCD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)证明：∵在四棱锥P−ABCD中，AD⊥CD，AD//BC，AD=2BC=2CD=4，PC=2√5，△PAD是正三角形．∴PD2+CD2=PC2，∴PD⊥CD，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．(2)解：设点E是AD的中点，连接PE，BE，∵△PAD 是正三角形，∴PE ⊥AD ，PE =2√3，∵AD//BC ，∴BC ⊥BE ，∵AD =2BC =2CD =4，∴DE =BC =2，∵AD ⊥CD ，AD//BC ，∴BCDE 是正方形，∴BC ⊥BE ，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC ⊥PB ，∴∠PBE 是二面角P −BC −A 的平面角，由(1)得CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PE ，∴BE ⊥PE ，∴tan∠PBE =PEBE =√3，∴∠PBE =60°．【解析】(1)推导出AD ⊥CD ，PD ⊥CD ，从而CD ⊥平面PAD ，由此能证明CD ⊥PA ．(2)设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，推导出PE ⊥AD ，PE =2√3，BC ⊥BE ，BCDE是正方形，从而BC ⊥BE ，进而BC ⊥平面PBE ，BC ⊥PB ，∠PBE 是二面角P −BC −A 的平面角，由此能求出二面角P −BC −A 的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 22.【答案】解：(1)由题可知，圆O 的半径r =2，设P(2b +8,b)，∵PA 是圆O 的一条切线，∴∠OAP =90°，∴OP =√(2b +8)2+b 2=√OA 2+AP 2=4，解得b =−4或b =−125，∴P(0,−4)或P(165,−125)；(2)由题意可知当OP ⊥l 时，∠APB 取最大值，设此时P(x,y)，由{y =−2x x −2y −8=0，解得{x =85y =−165，∴P(85,−165)， ∴△APO 的外接圆方程为(x −45)2+(y +85)2=165．【解析】(1)设P(2b +8,b)，在△OAP 中，由已知结合勾股定理列式求得b ，则P 点坐标可求；(2)由题意可知当OP ⊥l 时，∠APB 取最大值，设此时P(x,y)，联立直线方程求得P 的坐标，再由中点坐标公式可得△APO 的外接圆的圆心坐标，则圆的方程可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了三角形外接圆方程的求法，考查计算能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)由题可知，圆O 的半径r =2，设P(2b +8,b)，∵PA 是圆O 的一条切线，∴∠OAP =90°，∴OP =√(2b +8)2+b 2=√OA 2+AP 2=4，解得b =−4或b =−125，∴P(0,−4)或P(165,−125)；(2)设P(x 0,y 0)，则M(x 02,y02)， ∴△APO 的外接圆方程为x 2−x 0x +y 2−y 0y =0，∵x 0−2y 0−8=0，∴x 0=2y 0+8，∴(x 2−8x +y 2)−y 0(2x +y)=0，令{2x +y =0x 2−8x +y 2=0，解得{x =85y =−165或{x =0y =0(舍去)， ∴圆M 过定点(85,−165).【解析】(1)设P(2b +8,b)，在△OAP 中，由已知结合勾股定理列式求得b ，则P 点坐标可求；(2)设P(x 0,y 0)，则M(x 02,y02)，求出△APO 的外接圆方程为x 2−x 0x +y 2−y 0y =0，再由点P 在直线上，可得(x 2−8x +y 2)−y 0(2x +y)=0，然后利用圆系方程求得圆M 过定点的坐标．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系方程的应用，考查计算能力，属中档题．。