高中数学解三角形方法大全

解三角形的方法

1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求

其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<

0sin >A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2

cos 2sin

C

B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形

板块一：正弦定理及其应用

1．正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB

C ∆的外接圆半径

2．正弦定理适用于两类解三角形问题：

（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；

（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解

【例1】考查正弦定理的应用

（1）ABC ∆中，若

60=B ，4

2

tan =

A ，2=BC ，则=AC _____； （2）ABC ∆中，若

30=A ，2=

b ，1=a ，则=C ____；

（3）ABC ∆中，若

45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____；

（4）ABC ∆中，若A c a sin =，则c

b

a +的最大值为_____。

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能

如图，在ABC ∆中，已知a 、b 、A

（1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ∆有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <

实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。

板块二：余弦定理及面积公式

1．余弦定理：在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有

余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 ， 其变式为：⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨⎧-+=

-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2

22222222

2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：

（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或

由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；

（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦

定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决

3．三角形的面积公式 （1）c b a ABC ch bh ah S 21

2121===∆ （a h 、b h 、c h 分别表示a 、b 、c 上的高）

； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===∆ （3）=∆ABC S C B A R sin sin sin 22 （R 为外接圆半径） （4）R

abc

S ABC 4=∆； （5）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ 其中)(2

1

c b a p ++=

（6）l r S ABC

⋅=∆2

1

（r 是内切圆的半径，l 是三角形的周长）

板块三：解三角形综合问题

【例】（09全国2）

在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，2

3cos )cos(=+-B C A ，ac b =2

，求B

【例】（11西城一模）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且5

4

cos =B ，2=b （1）当3

5

=a 时，求角A 的度数； （2）求ABC ∆面积的最大值 【例】在中，

，

，

，求A sin 的值和

的面积

【例】在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知2c =，3

π=

C

（1）若ABC ∆的面积等于3，求b a 、；

（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积

【例5】（09江西理）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且sin sin tan cos cos A B

C A B

+=

+，

sin()cos B A C -=

（1）求C A 、 （2）若33ABC S ∆=+，求c a 、

【例】（09安徽理）在ABC ∆中，sin()1C A -=, 3

1

sin =

B （1）求A sin 的值； （2）设6=

AC ，求ABC ∆的面积

【例】（10辽宁理）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，

且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=

（1）求A 的大小； （2）求C B sin sin +的最大值