指数运算、指数函数

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指数与指数函数知识点

指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。

3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。

4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。

二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。

2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。

3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。

4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。

5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。

指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。

指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。

2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。

3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。

5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。

指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。

2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。

3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。

4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。

总结：。

指数运算及指数函数

指数与指数函数【知识梳理】1．根式 (1) 根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n >1且n ∈N +)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n=a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>l 且n ∈N +根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2) 根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号na 表示．正负两个n a >0）．③na④当n a ；当n (0)(|)|0a a a a a ==≥⎧⎨-<⎩ ⑤负数没有偶次方根． 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n = a ·a · … ·a ．(n ∈N *) n 个 ②零指数幂：a 0=1(a ≠0）． ③负整数指数幂：pa -=1p a(a ≠0，p ∈N *）． ④正分数指数幂：m m nna a （a >0，m 、n ∈N *，且n>1）．⑤负分数指数幂：11(0,mnm nmna am aa 、n ∈N *，且n>1）⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 ①(0,r rs sr a a aa 、s ∈Q ）； ②()(0,r r ss a ar a 、s ∈Q ）；③()rr r ab a b (a >0，b>0，r ∈Q).3．指数函数的图象与性质，如右表：【例题解析】题型一指数式与根式的计算例1、（1）2325= ；（2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=变式训练：1、（A ）44等于（） A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a2、（B ）若103,104xy==，则10x y -=例2、(1) 112032170.027()(2)1)79----+-； (2) 211511336622(2)(6)(3)a b a b a b .例3、计算下列各式：(1) 4160.250321648200549-+----）（）（）； (2) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab .题型二指数函数的图象及应用例4、指出下列函数哪些是指数函数(1)y ＝4x ； (2)y ＝x 4； (3)y ＝－4x ； (4)y ＝(－4)x； (5)y ＝4x 2； (6)y ＝x x ； (7)y ＝(2a －1)x(a >12，且a ≠1)．变式体验：若y ＝(a －3)·(a －2)x是指数函数，求a 的值．例5、（1）在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称（2）如图所示的曲线是指数函数y ＝a x 的图象，已知a ∈{2，43，310，15}，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是________．例6、函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )变式训练：1、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A 、1>aB 、2<aC 、a <D 、1a <<2、若1a >，那么函数1x y a =-的图像一定不经过（） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限例7、变式训练：例8、比较下列各组数的大小变式训练：已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b五．课后训练1．下列以x 为自变量的函数中是指数函数的是( )A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝－3x C ．y ＝(13)－x D ．y ＝(2x ＋1)x2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则( ) A ．A B B ．A ⊆B C ．A B D ．A ＝BA ．R 、RB ．R 、(0，＋∞)C ．{x ∈R|x ≠0}，{y ∈R|y ≠1}D ．{x ∈R|x ≠0}，{y >0|y ≠1} 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 25．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x ，且(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．a >1 D ．a ∈R6．若函数f (x )与g (x )＝(12)x 的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的范围是________．7．设23－2x<0.53x －4，则x 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．9. 已知函数)1,0(≠>=a a a y x在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的值。

指数运算和指数函数

指数运算与指数函数一、知识点1、根式得性质(1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念（1）正整数指数幂:(2)零指数幂 (3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂（6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义3、有理指数幂得运算性质(1) (2)（３)4、指数函数定义:函数叫做指数函数。

0 ＜a < 1 a > 1图象性质定义域Ｒ值域（0 , +∞）定点过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1（1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。

（2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０<y< 1;当x< 0时,y>1。

单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数对称性与关于y轴对称(1）①②③④则:0<ｂ<a＜1<d<ｃ又即:x∈(０，+∞)时， (底大幂大)x∈(－∞,0)时,（2）特殊函数得图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、四、典型例题类型一、指数函数得概念例1、函数就就是指数函数,求得值、【答案】2【解析】由就就是指数函数,可得解得，所以、举一反三:【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?(1);（2)；(3）；(4);(5);(6)、【答案】(1)（５)(6）【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、类型二、函数得定义域、值域例2、求下列函数得定义域、值域、（1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数)【答案】(１)R,(0,1);（2)R [);（3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞)【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1,∴ , ∴ ,∴ , ∴值域为(0，1)、(2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、(3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、（4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞),又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、举一反三：【变式1】求下列函数得定义域:(１) (2)(3) (4)【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0<a<1时，【解析】（1)R（2)要使原式有意义,需满足３-ｘ≥０,即，即、(3）为使得原函数有意义，需满足2ｘ-1≥０,即２x≥1,故x≥0,即(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;０<a<１时,、【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、类型三、指数函数得单调性及其应用例3、讨论函数得单调性，并求其值域、【思路点拨】对于x∈R,恒成立，因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、【答案】函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间［１，＋∞)上就就是减函数（０,3]【解析】解法一:∵函数得定义域为(-∞,＋∞),设ｘ1、x ２∈(－∞,+∞)且有x １<ｘ2， ∴,, 、（１)当x 1＜ｘ２＜1时,x １+x 2＜2,即有x 1＋x ２－2＜0、又∵x 2-x 1＞0，∴(x ２―x １）(x ２+x 1―2)＜0,则知、又对于ｘ∈R,恒成立，∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、(2)当1≤x 1<ｘ２时,x 1+ｘ2＞２,即有x １+x 2-２>0、又∵x ２-x 1＞0,∴(x 2―x 1）(x 2+ｘ1―2)＞０,则知、∴、∴函数在[1,＋∞)上单调递减、综上,函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间[１,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2ｘ＝(x ―1)2―１≥-１,,、 ∴函数得值域为(0，３］、解法二:∵函数得下义域为R,令ｕ＝ｘ2-２x,则、∵u=x ２―２x ＝(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数，在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,１］内为增函数、又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，＋∞)上就就是增函数，∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、值域得求法同解法一、【总结升华】由本例可知，研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有：即当a ＞1时，得单调性与得单调性相同;当0＜a ＜1时，得单调与得单调性相反、举一反三：【变式1】求函数得单调区间及值域、【答案】上单增,在上单减、【解析】[1]复合函数——分解为:ｕ＝-x 2＋３x －2, y=3ｕ；[２］利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [３]求值域、设u=－x 2＋3x-２, y=３u，其中y ＝3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2+３x-2在上单增,u=-x ２+3x-2在上单减，则在上单增,在上单减、又u=-x 2+3x －2，得值域为、【变式2】求函数得单调区间、【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=ｘ2-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数；当０<ａ<1时,外层函数ｙ＝ａu 在上为减函数,内函数u ＝x 2-2ｘ在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、例4、证明函数在定义域上为增函数、【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。

高中数学总复习指数运算与指数函数

1 3
15
a6b6
211
9a 3 2 6
115
b2 3 6
＝－9a(a>0，b>
0)，所以B正确；
1 11
对于 C， 3 9＝ 93 =96 =33＝3 3，所以 C 正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错
误.
题型二指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 4 －44＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.( √ ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
自主诊断
2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
原式＝
81 16
1
2－2×
64 27
2 3
－2＋342
1
2
＝
3 2
4
2
－2×
3 4
3
3－2＋196
＝94－2×196－2＋196＝94－98－2＋196＝－156.
(2)2 3×33 1.5×6 12.
1
原式＝2
1
32
3
3 2
3
(22
3)
1 6
11
1 11
6 2 3 3 32 3 6
43
a3 4
25

指数的运算与指数函数

指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。

在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。

2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ；负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。

注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。

2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。

当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。

此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。

3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一根式与幂的化简与求值【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值：（1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二含附加条件的求值问题【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值；（2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三解含幂的方程与等式的证明【例1】解下列方程（1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ；（2）值域：0>y ;（3）奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域【例1】.求下列函数的定义域和值域（1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（）。

(整理)指数运算和指数函数

第五讲指数运算和指数函数一、知识点1.根式的性质=nn a2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a aa p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a an m nm 且(5)负分数指数幂 nm nm aa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a aa a sr sr∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab srr∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

5. 指数函数的图象和性质1．函数210)2()5(--+-=x x y （）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或2．若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215±3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或4．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[5．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数二、填空题6．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(xf 的定义域是 .7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .8．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 .三、解答题 9．（12分）求函数的定义域.10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.11．（12分）（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值；（2）画出函数|13|-=xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？12．已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.。

高中数学指数运算与指数函数课件

(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2，即－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1。所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋－11·x，易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－－xx＋－11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)，所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1，所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a，所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根，函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.

指数的运算与指数函数

模块一：指数的运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。

②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

知识内容指数运算与指数函数题型一指数数与式的运算【例1】求下列各式的值：⑴⑵⑶⑷)a b <；⑸238； ⑺1225-； ⑻512-⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【巩固】求值：⑴238， ⑵12100-, ⑶ 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⑷ 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.【例2】用分数指数幂表示下列各式：（1）32x（2）43)(b a +（a ＋b ＞0）（3）56q p ⋅（p ＞0）（4）mm 3【巩固1】用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）aa a（3典型例题【巩固2】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴⑵； ⑶54m ⋅．【例3】求下列各式的值：(1)432981⨯ （2）（3）【例4】计算下列各式：⑴ 111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-．（2） 211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-题型二指数运算求值【例5】 a 的取值范围是（）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【例6】下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例7】已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【巩固1】已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+ （2）3322.x x -+【巩固2】已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值.【巩固4】化简：)()(41412121y x y x -÷-【例8】解方程0633232=-⨯-x x【巩固】解方程024254=-⨯-xx模块二：指数函数1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比题型一指数函数的概念【例9】判断下列函数是否为指数函数。

指数的运算与指数函数讲义

指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。

在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。

2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。

注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。

2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。

当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。

此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。

2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。

【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)，求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数函数 y a x (a 0,a 1)叫做指数函数 .2. 指数函数的性质（ 1 ）定义域 :实数集合 R ；（ 2）值域： y 0 ;（ 3 ）奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时，函数 y a x （a 0,a 1）在（, )上为增函数； 0 a 1时，函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时， y 1, 图象恒过点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。

指数运算与指数函数

指数与指数函数基础知识清单：考点一指数与指数幂运算1. n 次方根如果一个数的，则这个数就叫做a 的n 次方根。

一个数的奇次方根只有，即。

一个正数的偶次方根有即。

0的偶次方根是，负数 2．同次公示：①a a nn=）（，②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a n n|,|, 3.指数幂的运算法则①=∙s r a a 。

②=÷s r a a 。

③=S r a )( 。

④=r ab )( 。

考点二指数函数及其性质1．定义：一般地，形如函数y=a x ( a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，其定义域为R 。

1.y= f （x ）→y=f(x+a)2.y=f （x ）→y=f(x)+h3. y= f （x ）→y=()x f4. y= f （x ）→y=()x f方法技巧清单题型1 指数式的化简例1化简下列各式。

（1）5332332323323134)2(248aa aa ab aa ab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--（2）2121212121212121b a b a b a b a -+++-变式训练1化简下列各式。

（1）6525352a aaa⋅⋅⋅-(2) =-⨯-÷-3273223)()4()2(a ba b a b题型2 指数式的求值例2：计算下列各式。

（1）25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）25.0315.0625)271()25.0(-+--变式训练2 计算下列各式。

①2210231.0)971()8.2()41(--+--+ ②()[]()42212171312112÷+--+--题型3：指数幂运算的条件求值例3：已知31=+-x x ,求下列各式的值:;)1(2121-+xx .)2(2323-+xx （ 3 ）2121--xx （ 4 ）2323--xx ;变式训练3 已知31=+-x x ,求32232322-+-+--xxx x 的值题型4定义与图像的考察：例4．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝4B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a >0，且a ≠1变式训练4如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与0和1的大小关系是()A ．0＜a ＜b ＜1＜c ＜dB ．0＜b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．0＜a ＜b ＜1＜d ＜c题型5：利用指数函数的单调性比较大小例5 、比较下列各题中两个值的大小：比较大小问题的处理方法：1：看类型 2：同底用单调性 3:其它类型找中间量（1）1.52.5 ， 1.53.2 （2）0.5-1.2 ， 0.5-1.5 （3）1.50.3 ， 0.81.2 变式训练5. 若b a ,满足10<<<b a ，下列不等式中正确的是（） A. b a b a < B . b a b b < C. a a b a < D bb a b < 题型6：指数型函数过定点的问题（令指数部分为0解出x 即可）例6. 函数()101)(1≠>+=+a a ax f x 且的图象一定通过点变式训练6函数32x y a-=+恒过点题型7：利用单调性解不等式和相关问题（看清底数大于1还是在0到1之间）方法：两边换为同底的指数式，利用单调性脱去底数求解例7．若10.25,4mn⎛⎫< ⎪⎝⎭则m,n 的关系是（）A.2n m =B.m = nC.m > nD.m < n变式训练7 .求不等式22741(01)xx a aa a -->>≠且中x 的取值范围。

第10讲指数运算与指数函数

指数运算与指数函数1、理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、掌握指数函数的概念、图像和性质。

一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；（2）零指数幂)0(10≠=a a ；（3）负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质（1）()0,,mn m n aa a a m n Q +=>∈（2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,mm m ab a b a b m Q =>>∈二、根式1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

2（1）n N ∈，且1n >；（2）当n 是奇数，则a a nn=；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a a a a nn；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。

3、规定：（1）()0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>；（2）()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>三、对指数函数定义的理解一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

1、定义域是R 。

因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a >的前提下，x 可以是任意实数。

2、规定0a >,且1a ≠的理由：（1）若0a =，000xxx a x a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩当时，恒等于；当时，无意义。

（2）若0a <，如(2)xy =-，当14x =、12等时，在实数范围内函数值不存在。

高三数学第一轮复习指数运算及指数函数

1 （C） 8
3 （D） 8
21
3.指数形式的复合函数的单调性、奇偶性
例8：若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有……( ).
A. 0 a 1, 且 b 0
y
B. a 1, 且 b 0 C. 0 a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
第二章基本初等函数
考点一指数及指数函数
一、指数与指数幂的运算
8.根式的运算,可以先把根式化成分数指数幂,然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.
在进行指数幂运算时,应注意什么问题? (1)化简要求同初中要求,注意结果形式的统一,即结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母,又含有负分数. (2)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,化底数为指数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
1 6 1 5
1.70.3 , 0.93.1
比较指数大小的方法： ①构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。
例 5.（2010
2 2 3 5 2 3 2 5 5 （），c （）（）,b 安徽文数）设 a ，则 5 5 5

(1)
4
81 9
2 3
（2）
3
a
9 2
a 3
3
a 7 3 a13
一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数
为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.

指数运算与指数函数(题型非常全面)

授课对象授课教师授课时间授课题目指数运算与指数函数课型专题使用教具人教版教材教学目标教学重点和难点梳理知识点参考教材教学流程及授课详案一，指数运算(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．经典例题如下 1．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.2．下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1 B ． 122·a a a ＝ C ． 2348＝ D ． 213313a a a ÷=－ 3．()2032127110.528-⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( )A ． 13- B ．13 C ． 43 D ． 734．设1122a am --=，则21a a+= ( )A ． m 2－2 B ． 2－m 2 C ． m 2＋2 D ． m 2 5．若()3412x --有意义，则x 的取值范围是（）A ． x R ∈ B ． 12x ≠C ． 12x ≤D ． 12x <6．有下列各式：①n na a =；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③44333x y x y +=+；④()23655=-.其中正确的个数是( )A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37．下列说法：①16的4次方根是2；② 416 的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时， n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时， n a 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ． ①③④ B． ②③④ C． ②③ D． ③④8．化简的结果为________．9．⑴求值： 210.7513110.02781369---⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10，①若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a +＝________. ②.若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝-------- 二，指数函数题型一指数函数的定义与表示【例1】求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=【例2】求下列函数的定义域和值域：1．xa y -=1 2．31)21(+=x y【例3】求下列函数的定义域、值域(1)110.4x y -=； (2)513x y -=. (3)21x y =+【例4】求下列函数的定义域 (1)13xy =;(2)51y x =-.*．函数2(55)xy m m m =-+是指数函数，则有（）A.1m =或4m =B.1m =C.4m =D.0m >或1m ≠题型二;指数恒过点例5，已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．例6.若函数f(x)=2x +b-1(b ∈R)的图象不经过第二象限,则b 的取值范围为( )A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.(-∞,0]例7：.若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________________．例8：，函数323x y -=+恒过定点例9：．函数（，且）的图象一定经过的点是( )A ．B ．C ．D ．例10．如果1,1a b ><-，那么函数()xf x a b =+的图象在（） A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限题型三比较大小【例5】已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小： ①___bca a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___b ca a ；④__a abc ．【例6】比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．C.2-a <2cD.2a +2c <210.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.11.(本小题满分12分)设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．12，函数()2f x x bx c =-+满足()()11f x f x +=-，且()03f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是。

第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点突破

第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点突破高频考点梳理考点一：分数指数幂的意义(2)＝a ，＝a ，＝a b ，其中考点二．指数函数的图象与性质(1)R考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．高频题型归纳题型一：指数幂的运算1．（2022·甘肃酒泉·高一期末）已知0m > ）A ．54mB ．52mC ．mD ．12．（2021·甘肃·临夏中学高一期末）（1）计算：20.53207103720.123π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：2213log lg12812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3．（2022·河南濮阳·高一期末）求下列各式的值：(1)()3212332140.1a b --⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；(2)()22log 9lg 5lg 2lg 502+⋅+.题型二：指数函数的解析式4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()()2253xf x a a a =-+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的值为（） A ．12B ．1C ．32D ．25．（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）已知函数()2()121x f x ax a R =++∈+，则()()20212021f f +-=（） A ．22021a -+ B ．2a C ．4D ．40426．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）设函数()f x 对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当[]1,0x ∈-时，()2x f x =，则()2022f =（） A ．1-B ．1C ．12D ．12-题型三：求指数函数的值域7．（2022·浙江省义乌中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如: ][1.32 3.43⎡⎤-=-=⎣⎦，，已知11()313x f x =-+，则函数[]()y f x = 的值域为（）A ．{}0B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，，8．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）． A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．（2022·广东中山·高一期末）已知函数()2212x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是（）A ．(],2∞-B ．(]0,2C ．[)2,∞+D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦题型四：指数函数的图像问题10．（2022·河南安阳·高一期末）函数()22xf x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（） A ．B ．C ．D ．11．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()241x x x f x =+的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．题型五：指数幂的大小比较13．（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>14．（2022·云南丽江·高一期末）若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（） A ．b a c << B ．b<c<aC ．c<a<bD ．c b a <<15．（2022·广东广州·高一期末）设0.80.70.712,,log 22a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c b a <<题型六：简单的指数不等式的解法16．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，，D ．(14)-，17．（2022·湖南郴州·高一期末）函数()f x 为偶函数，且对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x 都有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()25(3)xf f -<的解集为（）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(1,3)C ．(3),-∞D ．(1,)+∞18．（2021·云南德宏·高一期末）已知()f x 是定义在()1,+∞上的减函数，若对于任意(),1,x y ∈+∞，均有()()()2x y f x f y f +=+，()21f =，则不等式()()120f x f x +--≥的解集为（） A ．5,]2-∞（ B ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦题型七：判断复合型指数函数的单调性19．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数21,1()2,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．(1,3]C ．(2,3]D ．(1,4]20．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．（2021·湖南郴州·高一期末）已知函数()2244x f x e x x -=+-+，则使得不等式()()212f m f m +<+成立的实数m 的取值范围是（） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭题型八：指数函数的最值问题（参数、恒成立）22．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知()1,2x ∀∈，不等式()2log 21220xx m +++>恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()10,-+∞B ．[)10,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+23．（2021·浙江·高一期末）已知0a >，设函数()12021220211x x f x ++=+([],x a a ∈-)的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=（） A ．2020B ．2021C ．2022D ．202324．（2019·湖南省临澧县第一中学高一期末）已知函数931()931x x x xk f x +⋅+=++，若对任意的1x ，2x ，3x ，不等式()()()123f x f x f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是A ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．52,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[2,4]-D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦题型八：指数函数的综合类型问题25．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈R ，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．26．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围；(2)若()()()f x h x g x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值．27．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.参考答案：1．C【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．【详解】0m >m==.故选：C ．2．（1）100；（2）114-，【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【详解】（1）20.53207103720.123π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭20.523137391027254648--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233453710033438-⎡⎤⎛⎫=++-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦5937100310031648=++-+=．（2）2213log lg12812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭233121223-⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦191121244=--+=-． 3．(1)1200##0.005 (2)10【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可得出答案；（2）根据对数的运算性质进行计算即可得出答案； (1) 原式=()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭33223322181=16200100a b a b --⋅=； (2)原式()()()()22log 9lg 5lg 2lg 512lg 5lg 5lg 2lg 29=+⋅++=⋅+++lg 5lg 29lg 10910=++=+=. 4．D【分析】解方程2253=1a a -+即得2a =或12a =，再检验即得解. 【详解】解：由题得22253=12520,2a a a a a -+∴-+=∴=，或12a =. 当2a =时，()2xf x =在()0,∞+上单调递增，符合题意；当12a =时，()1()2x f x =在()0,∞+上单调递减，不符合题意. 所以2a =. 故选：D 5．C【分析】直接代入解析式化简可得答案.【详解】因为()2()121xf x ax a R =++∈+，所以()()20212021f f +-=202120212220211202112121a a -+++-+++20212021202122222112⨯=++++ 202120212(21)221+=++ 22=+ 4=. 故选：C6．A【分析】由()()2f x f x -=-和()()f x f x -=可得函数()f x 的周期，再利用周期可得答案. 【详解】由()()2f x f x -=-得()()()222+-=-+=f x f x f x ，所以()()()42-+=+=-f x f x f x ，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4，()()()2022505422=⨯+=f f f ，由()()2f x f x -=-得()()022221-=-==f f ，所以()21f =-. 故选：A. 7．B【分析】先求解函数11()313xf x =-+的值域，在根据高斯函数的定义确定[]()y f x =的值域. 【详解】解：因为311x +>，所以10131x <<+，则111233133x -<-<+，所以函数()f x 的值域为12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故[]()y f x =的值域为-1或0.故选：B 8．B【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.【详解】依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =，当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4. 故选：B 9．B【分析】由于()222111x x x -=--≥-，进而得221110222x x--⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，即函数()2212x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(]0,2【详解】解：因为()222111x x x -=--≥-,所以221110222x x--⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤所以函数()2212x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(]0,2故选：B 10．C【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；【详解】解：∵()()22xf x x f x --=⋅=，∵()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∵()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．故选：C 11．C【分析】先判断出()() y f x g x =+为偶函数，排除A; 又()01h =，排除D;利用单调性判断B 、C.【详解】因为函数||()2x f x =，4()g x x =，所以函数4442,0()()22,0x x x x x y f x g x x x x -⎧+≥=+=+=⎨+<⎩. 所以()4442,0()()22,0x xx x x h x f x g x x x x -⎧+≥=+=+=⎨+<⎩定义域为R. 因为()()()|4|||422x x h x h x x x -==-+-=+，所以()()()h x f x g x =+为偶函数.排除A;又()|4|00102h =+=，排除D;因为2x y =在()0,∞+为增函数，4y x =在()0,∞+为增函数，所以42x y x =+在()0,∞+为增函数.因为()()()h x f x g x =+为偶函数，图像关于y 轴对称，所以42x y x =+在(),0∞-为减函数.故B 错误，C 正确.故选：C 12．D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性，以及()0f 的值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的x ∈R ，410x +>，则函数()f x 的定义域为R ，排除C 选项； ()22x x xf x -=+，()()2222x x x xx x f x f x ----===++，所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项，因为()00f =，排除A 选项. 故选：D. 13．C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断0.60.622e log 0.6a b c -===，，的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C 14．A【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小【详解】因为23y x =在(0,)+∞上单调递增，且1125>，所以22331125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且2133>，所以21331122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，所以c a b >>，即b a c << 故选：A 15．D【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；【详解】解：因为0.7221a =>=，0.8111022⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭<⎭=⎝，即01b <<， 0.70.7log 2log 10c =<=，所以a b c >>；故选：D 16．B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∵2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B 17．B【分析】先由题意判断出函数()f x 的单调性，再把关于偶函数()f x 的抽象不等式转化成整式不等式，解之即可.【详解】由对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x ，都有()()12120f x f x x x ->-，可知12x x <时，有()()12f x f x <，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为偶函数，则不等式()25(3)xf f -<可化为253x -<即228x <<，解之得13x << 故选：B 18．D【分析】根据已知等式，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】令2x y ==时，22(2)(2)(2)(16)2f f f f ++=⇒=，由()()1120(2)(16)x x f x f x f f +-+--≥⇒≥，因为()f x 是定义在()1,+∞上的减函数，所以有15112214x x x x x >⎧⎪->⇒<≤⎨⎪+-≤⎩，故选：D19．B【分析】可知分段函数在R 上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．【详解】可知函数21,1()2,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，所以1a >；对称轴1224a a x -=-=≤⨯，即4a ≤；临界点处12a a a -≤-+，即3a ≤；综上所述：13a故选：B20．B【分析】根据题意可知，函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则在每一段都是增函数且()18f a ≤+，由1211148a a a a ≥⎧⎪>⎨⎪-+≤+⎩，即可解出实数a 的取值范围．【详解】依题可知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩在(),-∞+∞上是增函数， ∵1211148a a a a ≥⎧⎪>⎨⎪-+≤+⎩，解得13a ．故选：B ．21．B【解析】易知()2xg x e x =+，是偶函数，其图象关于y 轴对称，且在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，由()()222x f x e x -=+-，得到()f x 的图象关于2x =对称，且在 (),2∞-上递减，在()2,∞+上递增，再根据不等式()()212f m f m +<+成立，由21222m m +-<+-求解.【详解】函数()()2222442x x f x ex x e x --=+-+=+-，令()2x g x e x =+，因为()()()22x x g x e x e x g x --=+-=+=，所以()g x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，且在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()f x 的图象关于2x =对称，且在 (),2∞-上递减，在()2,∞+上递增，若使得不等式()()212f m f m +<+成立则21222m m +-<+-，即23410m m -+<，3所以实数m 的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B22．D【分析】分析可知()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，利用二次不等式的性质可得出关于实数m 的不等式，即可得解.【详解】由已知可得()22120x x m ⨯++>，则()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，因为()22,4x ∈，所以，22220m ++≥，解得3m ≥-.故选：D.23．D【解析】可类比求解分式函数值域的形式分离常数，得1202122019()20212021120211x x x f x ++==-++，再表示出()f x -，通过()()f x f x +-，结合函数的增减性即可求得结果【详解】由题可知1202122019()20212021120211x x x f x ++==-++，20192021()202120211xx f x ⋅-=-+ ()()201920192021202140424042201921023xx f x f x +⋅++-=-=-=， 2019()202120211x f x =-+在[,]x a a ∈-为增函数， ()()++2023M N f a f a ∴=-=故选：D24．A【解析】函数931()931x x x x k f x +⋅+=++的解析式可化为133()1313x x x x k f x ++=++，令1313x x t =++，(3)t ，则1()1k g t t -=+，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k 的不等式，求出各种情况下实数k 的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k 的取值范围．【详解】函数133()1313x x x x k f x ++=++ 令1313x x t =++，(3)t 则1()1(3)k g t t t-=+≥ 若10k -<，即1k <，函数1()1k g x t-=+在[3，)∞+上为增函数此时的函数的值域为1[13k -+，1). 若不等式()()()123f x f x f x +≥恒成立则12(1)13k -+，就可以满足条件2若10k -=，即1k =，()1f x =，不等式()()()123f x f x f x +≥显然成立若10k ->，即1k > 函数1()1k g x t-=+在[3，)∞+上为减函数此时的函数的值域为(1，11]3k -+ 若不等式()()()123f x f x f x +≥恒成立则11113k -++，解得14k <综上所述：142k -故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题、指数函数的性质、反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为1()1k g t t-=+，是解答的关键． 25．(1)1k =(2)()3,5-(1)解：函数()22x x f x k -=-⋅是定义域R 上的奇函数， ∴(0)0f =，即()000220f k =-⋅=，解得1k =．此时()22x x f x -=-，则()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，符合题意；(2)解：因为()22x x f x -=-，且2x y =在定义域R 上单调递增，2x y -=在定义域R 上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域R 上单调递增，则不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，即()()24f x tx f x +>-恒成立，即24x tx x +>-恒成立，即()2140x t x +-+>恒成立，所以()21440t ∆=--⨯<，解得35t -<<，即()3,5t ∈-；26．(1)(2,)-+∞，(2)=8k -【分析】（1）问题转化为22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，然后利用基本不等式求出22x x ---的最大值即可得答案，（2）化简变形函数得1()11212x x k h x -=+++，令121132x x t =++≥=，则11(3)k y t t -=+≥，然后分1k ，=1k 和1k <求其最小值，从而可求出实数k 的值．（1）由()0f x >，得4210x x k +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222x x x x ----=-+≤-=-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号，所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令121132x x t =++≥=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥，当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去，当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去，当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -27．(1)证明过程见解析；(2)()(),41,-∞-+∞ (3)()(),11,k ∈-∞-+∞【分析】（1）根据()00f =求出2a =，求出2()121x f x =-+，利用函数定义法判断函数的单调性；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式；（3）参变分离为21121x k -=+有根问题，求出2()121x f x =-+的值域，从而求出()()11,00,1k ∈-⋃，求出实数k 的取值范围.（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =， 142()112221x x f x +=-=-++，任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x <所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数，所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增，所以224x x x +>-，解得：1x >或<4x -，所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点，当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去；当0k ≠时，即21121x k -=+有根，其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x <<+，故()2()10,121x f x =-∈+，又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数，所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+，且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-，故()()11,00,1k ∈-⋃，解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.。

指数运算和指数函数 (2)

第一节指数与指数函数一、知识点详解知识点1：指数运算 1.指数幂的有关概念：(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个；(2)零指数幂)0(10≠=a a ；(3)负整数指数()1/0,n n a a a n N -*=≠∈； (4)正分数指数幂)/0,,,1m naa m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)//1/0,,,1m n m n a a a m n N n -*==>∈>； (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

2.指数幂的运算性质（1）(0)r s r sa a a a +=>；（2） ()()(0)r s s r rs a a a a ==> ；（3）()(0,0)r r r ab a b a b =>>。

例1、把下列格式中的a 写成分数指数幂的形式（1）5256a =；（2）428a -=；（3）765a -=；（4）()350,,n ma a a m n N -+=>∈。

解：（1）15256a =；（2）1428a -=；（3）675a -=；（4）533mna -=。

例2、3322(1)9;(2)16.-计算解：3322(1)9;(2)16.-计算例3、计算下列各式：)20a >；(2)解：1252222361322a a a a a--===•3423132421313424213134245124(2)251255555555555555--⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭=÷-÷=-=例4、已知1x x -+=3，求下列各式的值：11332222(1),(2).x x x x --++解：2221111111222222111221122(1)22325=5,=30=5x x x x x x x x x xx x xx x -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+±++∵∴又由得∴())3322331111111222222222111221(2)=215312 5.x x x x x x x x x x x x x x ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=+-⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤=++-=-= ⎪⎣⎦⎝⎭知识点2：指数函数定义 1.形如()01xy aa a =>≠且称之为指数函数，其中x R ∈。

指数运算与指数函数

指数运算与指数函数
指数运算是数学中一种常见的运算方式，它可以帮助我们简化复杂的计算过程。

在指数运算中，我们使用指数来表示一个数的乘方。

指数函数则是以指数为变量的函数，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。

指数运算可以表示为a的n次幂，其中a被称为底数，n被称为指数。

例如，2的3次幂可以写成2³，它的值为8。

指数运算还具有一些特殊的性质，比如指数为0时，任何数的0次幂都等于1；指数为1时，任何数的1次幂都等于它本身。

指数函数是指以指数为变量的函数，通常表示为f(x) = aˣ，其中a 是常数。

指数函数在数学和科学中有着重要的应用，例如在复利计算、放射性衰变等领域。

指数函数的图像通常具有特殊的形状，当指数大于1时，函数图像上升得很快；当指数小于1时，函数图像下降得很快；当指数为0时，函数图像经过点(0, 1)；当指数为负数时，函数图像在x轴的正半轴上。

指数运算与指数函数在实际生活中有着广泛的应用。

在金融领域中，我们可以利用指数运算来计算复利，帮助我们更好地理解财务问题。

在自然科学中，指数函数可以用来描述物质的衰变过程，帮助我们预测放射性元素的衰变速率。

在生物学中，指数函数可以用来描述生物种群的增长规律，帮助我们研究生物的进化和生态系统的平衡。

指数运算与指数函数在数学和科学中扮演着重要的角色。

它们不仅可以帮助我们简化复杂的计算，还可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

通过学习和应用指数运算与指数函数，我们可以提升我们的数学和科学能力，为更广阔的领域做出贡献。

指数运算、指数函数

指数与指数函数知识点

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