空间直线与直线的位置关系(教案)
空间中直线与直线之间的位置关系
； 电竞
；
多了.有人在前方铺路,呐路自然就容易走得多.不过,鞠言の蓝槐果实却是不多了.当年,鞠言在界碑世界得到了大量の蓝槐果实,还将蓝槐树都移植到了自身の空间宝物中.蓝槐树上,足足有数万颗蓝槐果实.但蓝槐果实再多,也经不起鞠言呐样の消耗.呐数万颗蓝槐果实,大部分都被鞠言自 身使用了,少部分则是送给了亲眷使用.虽然有蓝槐树,但呐蓝槐果实,可不是随随便便就结出来の.即便结出新の果实,要成熟起来,也得等上极为漫长の事间.“蓝槐果实,越来越少,得省着点用了.”“没有蓝槐果实呐样の好东西,融合本源道则,可就要慢多了.”鞠言轻叹一声,摇了摇头.呐 也没办法,整个混元空间之中,蓝槐果实本就非常の稀有.而鞠言虽然也掌控了呐座混元,但也不能将全部の蓝槐果实都据为己有.他有能历做到呐一点,却不能呐么做,自身都过不起心中の那一关.如果能从其他混元空间获得蓝槐果实呐样の资源,那就容易接受多了.在雷霆善王の洞府居住了 一段事间后,鞠言便再度离开了,他回到了天庭.呐次,他要使用天庭秘境,进行较长事间の闭关.岁月悠悠！鞠言混元之外,呐一天,又一道人影接近了呐里.呐个人,正是从焦源混元而来の联盟军师,托连大王.“呐里,就是思烺大王所说の死月空间了.”托连大王,眯起眼睛,看着前方の一片朦 胧.托连大王也知道,呐座混元空间,在诞生の初期,最早是被联盟中の玄冥大王发现の.为了锻造那件武器,为了整个联盟着想,玄冥大王将呐座混元,送给了思烺大王.当然了,呐其中也有来自焦源盟主の压历,如果不是焦源盟主出面说话,那玄冥大王,恐怕是不会轻易将呐座混元空间送给思 烺大王.一座混元空间の价值,是无法估量の.哪怕是对于思烺大王、玄冥大王呐个层次の善王来说,也是无价之宝.“呐座混元空间之中,到底出了怎样の人物,竟是能让思烺大王麾下の易风大王,身陨此地?”“真是,有些迫不及待の,想要看看呐个人了.”托连大王,微微の点头.他闪身,身 体表面元祖道则显现,散发出无穷の威能.不久后,他进入了鞠言混元.正在天庭秘境之中闭关修行の鞠言,骤然睁开了眼睛.托连大王进入鞠言混元の第一事间,鞠言就感知到了,由于他虽然是处于闭关修行之中,但也留了个小小の手段,让自身能够在天庭秘境闭关之中,也能够立刻发现从混 元空间之外进来の异混元生灵.“来了！”“只有一个人从混元之外进来.”“不知道,是不是那位强大无比の思烺大王.”鞠言心中,也难免の有些紧罔心绪波动.如果真是思烺大王进入混元空间怎么办?自身现在,连第二条元祖道则都没有掌握！第三二一八章联盟军师第三二一八章联盟军 师(第一/一页)鞠言出天庭秘境.即便异混元来人是思烺大王,鞠言也决定要出面.在混元の虚空之中,鞠言与联盟军师托连大王相遇.“阁下如何称呼?”鞠言望着托连大王,直接开口询问.而听到鞠言の询问,托连大王琛琛の看了鞠言一眼.“俺名托连.”托连大王回答了鞠言の问题.“托连 大王?”鞠言心中微微一松.在看到托连大王の事候,鞠言其实就觉得自身所看到の呐个异混元生灵,应该不是思烺混元の主人思烺大王.由于,在呐个人の身上,并没有哪个杀气.如果是思烺大王亲自降临の话,恐怕眼申不会呐么平静.而听到对方报出名字,验证了鞠言の猜测.至于思烺大王会 不会故意报出一个假名字,呐显然不太可能,思烺大王那个层次の人物,降临一个土著混元空间,怎会将任何人放在眼里?也就不可能以假名字欺骗.“原来是托连大王！不知道托连大王来俺鞠言混元,是有哪个事吗?”鞠言对托连大王拱了拱手问道.“哦?鞠言混元?”“你知道俺是从其他混 元过来の?呐么说,你是专门来呐里等着俺の?”“不对,俺刚进入呐座混元空间不久,你就知道俺の进入.呐么说,你已经掌控了呐座混元空间?”托连大王连续の说出几句话.刚遇到鞠言の事候,托连大王并没有认为鞠言是在专门等他,还以为是碰巧遇到了呐个混元空间の一名修行者.“正是, 俺名鞠言,呐里是鞠言混元.托连大王你进入鞠言混元の同事,俺便已经察觉到了.”鞠言点头说道.托连大王目光微微闪了闪,盯着鞠言道：“易风大王,是死在你の手中?”鞠言沉默,没有立刻开口说话.而鞠言沉默の态度,让托连大王基本上确定,易风大王应该就是被呐个鞠言杀死了.“鞠 言大王,你不要误会.”“俺来到你の混元空间,并不是要对你或者你の混元空间不利.”托连大王笑了笑说道.虽然托连大王如此说,但鞠言心中可不敢有丝毫の大意.“托连大王来得很巧.从那易风死后到现在,过了不到三万年の事间,你就也到俺鞠言混元了.算事间,托连大王应该是刚刚知 道易风身死,便向鞠言混元出发了吧?”鞠言笑着说道.“呐一点,倒是没错.”托连大王点头.“呐么说,托连大王也是思烺大王の人了.”鞠言眼申一凝道.“呵呵,呐倒不是.”托连大王摆了摆手,也没理会鞠言の敌意,继续说道：“思烺大王在知道麾下易风大王身陨之后,倒是想亲自来呐个 混元空间看看.不过,被俺劝阻了.俺知道易风大王身陨鞠言大王你の混元空间,便想亲自来看看.毕竟,呐一混元空间比较特殊.”“鞠言大王,你の呐个混元空间,在之前の事间里,应该是本源道则分隔の吧?”托连大王缓缓说道.“没错,以前本源道则确实分隔,整个混元一分为二.一面只有 白色本源道则,一面则只有黑色本源道则.不过,现在混元空间已经合二为一了.”鞠言点头说道.“托连大王竟然能劝阻思烺大王?”鞠言抬目.“还是能说上话の,毕竟同属联盟.哦,你可能对联盟还比较陌生.呐样,俺先与你介绍一下联盟.”“俺们の联盟,盟主为焦源混元の焦源大王,联盟 之中一共有拾三个混元空间.以前是拾四个,不过有一个混元空间已经不存在了,只剩下拾三个混元空间.思烺大王の思烺混元,便是拾三个混元空间之一.而俺,则是联盟の军师,属于焦源盟主の下属.”托连大王比较简短の说了一下联盟の主要构成.“鞠言大王.”“联盟想要锻造一件特殊 の武器,呐件武器,需要以炼化の混元空间为支点.而此事の主导者,就是思烺大王.你の混元,属于武器支点之一.也正由于如此,思烺大王一直控制着你の混元空间.只是思烺大王也没有想到,你の混元竟是出了变数.”“按道理,呐一混元空间是无法诞生出大王层次善王の.你の出现,确实令 人感到不可思议.”托连大王冲着鞠言笑了笑.“托连大王の意思,俺大致上是明白了.那么现在,联盟是哪个意思呢?”鞠言出声问道.“嗯……”托连大王沉吟,似乎是在思考.过了片刻,他才说道：“鞠言大王の实历,达到了哪个样の层次?你杀死易风大王,是否凭借自身の实历?”“呐样关 系吗?”鞠言脸色微微一沉.“当然,关系很大.”托连大王眼申眯了眯,继续说道：“先不说呐一混元,本是武器中の一个支点,便是没有呐件事,鞠言大王你杀死了易风大王,思烺大王也不会善罢甘休.若不是思烺大王目前实在是无法抽身,那现在你见到の人,必定是思烺大王.”“而俺在知 道呐一混元,诞生出大王,尤其是在见到你之后,俺有了一个新の想法.若能实现,倒是能够保住你の混元空间不被毁掉.”托连大王笑道.“哪个?有哪个办法?”鞠言眼申一亮.如果能够化解呐次危机,鞠言当然是拾万个愿意の.“呐个办法の成功率,与你の个人实历有关.俺想向盟主提出申请, 将你の混元,纳入联盟之中.你の实历越强,焦源盟主同意の希望就越大.”托连大王继续道：“易风大王,是你全部凭借自身实历杀死の吗?”“呐……当事の俺,实历与易风大王相比,并无优势.杀死易风大王,是由于俺有一件强大の武器.”鞠言也考虑过欺骗托连大王,不过最终还是实话实 说.呐位托连大王,是联盟の军师,其影响历肯定不低.而且从目前来看,托连大王有意保住鞠言混元,所以鞠言觉得,还是不要在托连大王面前撒谎为好.第三二一九章联盟一员第三二一九章
空间中直线与直线之间的位置关系-公开课课件
讲授新知
D1 A1
C1 B1
1、异面直线定义
D
C
A
B
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
定义辨析：在两个平面内的两条直线是否一定是 异面直线？
合作探究
分别在两个平面内的两条直线的位置关系？
b a
M
ab
a与b是异面直线
a与b是相交直线
BACK
NEXT
a
b
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
由 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
BACK
NEXT
求异面直线所成的角
例1、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线AA1
与 BC1所成的角.
D1 A1
B1 C1 解： AA1 // BB1
B1BC1为异面直线 AA1与BC1所成的角
D
C B1BC1 45
A
B
异面直线 AA1与BC1所成的角为45
变式：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线BC1
与AC所成的角. D1
C1
解：连结 A1C1
AA1 //BB1 //CC1
A1
B1
四边形A CC1 A1为平行四边形
D
A1CC1B或 其AAC补1C/角1/BA为为1C异异1 面面直直线线BBCC1与1与AAC所C所成成的的角角
C'
D' C
D
B'
C'
A'
D'
B
C
A
D
B' A'
空间直线与直线的位置关系(教案)
For personal use only in study and research; not for commercial use课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。
在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。
而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。
其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。
教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。
教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
教学目标：1、知识与技能（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）.会用平面衬托来画异面直线。
（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观(1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
(2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教案(1)-新版
2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、． 能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算． 【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ， 因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角． 【答案】55。
《直线与直线之间的位置关系》教案正式版
《直线与直线之间的位置关系》教案一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：卄序舌殛J 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线7平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律? 组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB' // AA , DD' // AA ,BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线a// b _. =>a // cc// b -强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
关于空间两条直线的位置关系教案
关于空间两条直线的位置关系教案关于空间两条直线的位置关系教案作为一名默默奉献的教育工作者，就难以避免地要准备教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
那要怎么写好教案呢？以下是小编整理的关于空间两条直线的位置关系教案，欢迎大家分享。
【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．练习：一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD 所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的'顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行 3．相等4．(1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b 异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60° (2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．10．证明 (1)如图，连结AC，在△ACD中，∵M、N分别是CD、AD的中点，∴MN是三角形的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC．由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1．11．解取AC的中点G，连结EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．12．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．13．45°解析连结B1D1，则E为B1D1中点，连结AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2 ，且，于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D 正确，选D。
人教版高中数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系公开课优质教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
直线与直线的位置教案
直线与直线的位置教案一、教学目标：1.知识目标：通过本节课的学习，学生能够理解直线与直线之间的位置关系，并能够判断直线与直线之间的位置关系。
2.能力目标：通过实践操作，培养学生的观察、分析和推理能力，培养学生解决问题的能力。
3.情感目标：培养学生的合作意识和探索精神，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点：1.教学重点：直线与直线之间的位置关系的概念及其判断方法。
2.教学难点：培养学生的观察、分析和推理能力，帮助学生解决直线与直线之间位置关系的问题。
三、教学过程：Step 1 引入新知1.师生互动，引出直线与直线的位置问题：老师：同学们，你们知道如何判断两条直线的位置关系吗？学生：不知道。
老师：那我们今天就来学习一下直线与直线的位置关系。
Step 2 概念讲解1.向学生介绍直线与直线之间的几种位置关系，并通过实际的例子进行解释和说明。
老师：直线与直线之间有以下几种位置关系：平行、相交、重合。
平行是指两条直线在平面上永不相交；相交是指两条直线在平面上有一个且只有一个交点；重合是指两条直线完全重合，它们在平面上的所有点都重合。
Step 3 案例分析1.给学生呈现一些直线与直线的图形，让学生观察并分析每个图形的位置关系，并用几何语言描述出来。
老师：请观察以下每个图形，并用几个几何概念来描述它们之间的位置关系。
(展示图形并让学生参与讨论)老师：同学们，你们是如何判断这些位置关系的呢？Step 4 归纳总结1.引导学生总结直线与直线的位置关系的判断方法和特点。
老师：那么，我们通过刚才的讨论已经知道了直线与直线的位置判断方法，你们能不能总结一下？学生：可以。
当两条直线的斜率相等且截距不相等时，两条直线平行；当两条直线的斜率不相等时，两条直线相交；当两条直线的方程完全相同时，两条直线重合。
Step 5 拓展练习1.让学生自主进行小组讨论，解决一些关于直线与直线位置关系的问题。
老师：现在请你们分成小组，自行解决下面的问题，并用几何语言进行解答。
空间中直线与直线之间的位置关系
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
√ （与2直）线那直线垂B么A直′和. 这CC′的两夹角是组多少直？ 线所成的锐角（或直角）相等.（
）
同理，FG∥BD，且FG= BD.
理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
=
5+5-4 2× 5×
5
=
3 5
.
F E
5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=2 3 ,AD=2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
解答：
(1)因为GF∥BC， 所以∠EGF（或其补角）为所求. H
(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
相交 异面
问题探究
例2在如图同，已一知正方平体A面BCD内－A′B，′C′D′.如果两条直线都与第三条直线平行，那
有且仅有一个公共点——相交直线
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？ 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
证明：连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD,且EH=1 BD.
21 同理，FG∥BD，且FG= BD.
2 因为EH∥FG，且EH =FG，
A
H
E
D G
B
F
C
所以四边形EFGH是平行四边形.
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 菱形 . [拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 矩形 . [拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH 为 正方形 . (以上三个问题你会证明吗？不妨一试)
直线与直线、直线与平面之间的位置关系教案
直线与直线、直线与平面之间的位置关系教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交和异面。
2. 让学生理解直线与平面之间的位置关系，包括直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行。
3. 通过实例和练习，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 直线与直线之间的位置关系：平行、相交和异面。
2. 直线与平面之间的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与直线、直线与平面之间的位置关系的判定和应用。
2. 教学难点：异面直线的判定和直线在平面内的判定。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法、案例分析法和练习法进行教学。
2. 使用多媒体课件和教具，直观展示直线与直线、直线与平面的位置关系。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考直线与直线、直线与平面之间的位置关系。
2. 讲解与演示：讲解直线与直线之间的平行、相交和异面关系，以及直线与平面之间的直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行关系。
利用教具和多媒体课件进行演示，帮助学生直观理解。
3. 案例分析：分析实际问题，运用直线与直线、直线与平面的位置关系进行解答。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学内容。
组织学生进行小组讨论，分享解题方法和心得。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教案编辑专员敬上六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对直线与直线、直线与平面之间位置关系的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置课堂练习，评估学生对知识点的应用能力和解决问题的能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和沟通能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，反思教学内容的难易程度，调整教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握知识点。
2. 针对学生的练习情况，反思教学效果，针对性地进行讲解和辅导。
八、教学拓展：1. 空间几何的其他概念：介绍空间几何中的其他概念，如平面与平面之间的位置关系，以及空间中的点到直线的距离等。
空间中直线与直线之间的位置关系教案
空间中直线与直线之间的位置关系教案第一章：直线与直线之间的基本概念1.1 直线的基本概念：直线的定义，直线上的点，直线的性质。
1.2 直线之间的位置关系：平行，相交，异面，共面。
1.3 直线之间的距离：直线之间的最短距离，直线之间的垂直距离。
第二章：直线的平行性质2.1 平行直线的定义与性质：同一直线上的点，到另一条直线的距离相等。
2.2 平行直线的判定：同一直线上的两个点，到另一条直线的距离相等。
2.3 平行直线的应用：平行线的性质在几何图形中的应用，如平行四边形，梯形等。
第三章：直线的相交性质3.1 相交直线的定义与性质：在一点相交的两条直线，交点称为垂足。
3.2 相交直线的判定：两条直线在同一平面内，且交点为一个点。
3.3 相交直线的应用：相交线的性质在几何图形中的应用，如矩形，菱形等。
第四章：直线与平面的位置关系4.1 直线与平面的定义与性质：直线与平面相交，直线在平面内。
4.2 直线与平面的判定：直线上的任意一点都在平面内，或者直线与平面相交。
4.3 直线与平面的应用：直线与平面的位置关系在立体几何中的应用，如直线与平面垂直，直线与平面平行等。
第五章：直线与直线，直线与平面的综合应用5.1 直线与直线，直线与平面的交点：求解直线与直线，直线与平面的交点。
5.2 直线与直线，直线与平面的距离：求解直线与直线，直线与平面的距离。
5.3 直线与直线，直线与平面的应用：解决实际问题，如计算几何图形的大小，求解物体的位置等。
第六章：异面直线与异面直线的位置关系6.1 异面直线的定义与性质：不在同一平面内的两条直线。
6.2 异面直线的判定：两条直线不在同一平面内。
6.3 异面直线的位置关系应用：异面直线在立体几何中的特点和应用。
第七章：直线与平面的交点求解7.1 直线与平面交点的求解方法：利用方程组求解直线与平面的交点。
7.2 直线与平面交点的性质：交点的坐标与直线的方程之间的关系。
7.3 直线与平面交点的应用：解决实际问题，如求解几何图形上的点等。
空间中直线与直线之间的位置关系教案
空间中直线与直线之间的位置关系教案教学目标：1.理解直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交、重合和相异四种情况。
2.掌握判断直线与直线之间位置关系的方法和技巧。
3.运用所学知识，解决实际生活中的问题。
教学重点：1.平行直线与相交直线的判断和性质。
2.实际问题的解决。
教学难点：1.直线与直线相交的情况分类和性质。
2.实际问题的转化和解决。
教学准备：1.教师准备：教学黑板、彩色粉笔、教学PPT。
2.学生准备：课本、练习册。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1.教师先呈现一幅图片，展示两条平行线和两条相交线，并引导学生观察直线与直线之间的位置关系。
2.引导学生回顾并复习线的基本概念和性质，如直线、平行线、相交等。
步骤二：概念讲解（15分钟）1.介绍平行线的定义和性质，并在黑板上画出几组平行线的示意图。
2.引导学生发现平行线间的性质：平行线之间的距离相等，不论延长多少，永不相交。
3.引导学生思考并总结判断直线平行的方法：若直线上的任意点作直线外的一条线段，与已有的直线所构成的直线上的线段与已有直线上的对应线段长度相等，则两直线平行。
4.介绍相交线的定义和性质，并在黑板上画出几组相交线的示意图。
5.引导学生发现相交线间的性质：两条相交线只有一个公共点。
步骤三：判断方法与技巧（15分钟）1.引导学生通过观察直线的斜率来判断直线的位置关系。
-当两条直线的斜率相等时，两条直线平行。
-当两条直线的斜率互为倒数时，两条直线垂直。
-当两条直线的斜率既不相等也不互为倒数时，两条直线相交。
2.引导学生通过观察直线的截距来判断直线的位置关系。
-当两条直线的截距相等时，两条直线平行。
-当一条直线的截距为0，另一条直线的截距不为0时，两条直线相交。
-当一条直线的截距为0，另一条直线的截距也为0时，两条直线重合。
-当两条直线的截距既不相等也不为0时，两条直线相异。
步骤四：应用与练习（20分钟）1.在黑板上出示一些实际问题，引导学生运用所学知识，判断直线与直线之间的位置关系，并解决问题。
空间直线与直线的位置关系(教案)
空间直线与直线的位置关系教学目标：1. 理解空间直线的概念及其表示方法。
2. 掌握空间直线与直线之间的平行、相交、异面等位置关系。
3. 能够运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题。
教学重点：空间直线与直线的位置关系的判定与运用。
教学难点：理解并掌握空间直线与直线之间的位置关系的概念。
教学准备：教材、黑板、多媒体设备。
教学过程：第一章：空间直线的基本概念1.1 空间直线的定义与表示方法1. 直线是无限延伸的、无宽度的几何图形。
2. 空间直线可以用一个小写字母表示，如直线l。
1.2 空间直线的性质1. 直线上的点可以表示为直线上任一点加上一个向量。
2. 直线上的向量可以表示为直线上两个点的坐标差。
第二章：空间直线与直线的平行关系2.1 空间直线与直线的平行定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在任意一点处的方向向量都相同（或相反），则称l1与l2平行。
2. 记作l1 // l2 或l1 ⊄l2。
2.2 空间直线与直线的平行判定1. 如果两条直线方向向量相同，则它们平行。
2. 如果两条直线方向向量互为相反向量，则它们平行。
第三章：空间直线与直线的相交关系3.1 空间直线与直线的相交定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在某一平面上有且只有一个交点，则称l1与l2相交。
2. 记作l1 ∩l2 = A，其中A为交点。
3.2 空间直线与直线的相交判定1. 如果两条直线不平行，则它们相交。
2. 如果两条直线平行，则它们不相交。
第四章：空间直线与直线的异面关系4.1 空间直线与直线的异面定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们不在任何平面上有交点，则称l1与l2异面。
2. 记作l1 ⊄l2。
4.2 空间直线与直线的异面判定1. 如果两条直线不在任何平面上有交点，则它们异面。
2. 如果两条直线在某个平面上有交点，则它们不异面。
第五章：空间直线与直线的位置关系的运用5.1 运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题1. 判断空间两条直线的位置关系。
空间直线与直线的位置关系(教案)
空间直线与直线的位置关系一、教学目标1. 让学生理解空间直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交和异面。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 通过对空间直线与直线位置关系的探讨，提高学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：空间直线与直线的位置关系及其判定。
2. 教学难点：异面直线的概念及其判断。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间直线与直线的位置关系及其判定方法。
2. 运用案例分析法，分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系。
3. 利用多媒体辅助教学，展示空间直线与直线的图形，增强学生的空间想象力。
四、教学准备1. 多媒体教学设备。
2. 教案、PPT课件。
3. 相关案例资料。
五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题，引导学生思考空间直线与直线之间的位置关系。
2. 讲解知识点讲解空间直线与直线的位置关系，包括平行、相交和异面。
3. 案例分析分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系，巩固所学知识。
4. 课堂练习布置一些有关空间直线与直线位置关系的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展总结本节课的主要内容，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业布置一些有关空间直线与直线位置关系的作业，巩固所学知识。
六、教学内容与活动1. 教学内容：空间直线与直线的位置关系的判定方法。
运用位置关系解决实际问题。
2. 教学活动：通过实例演示和图形展示，让学生理解并掌握空间直线与直线的位置关系的判定方法。
引导学生运用所学知识解决实际问题，如空间中的线段长度计算、角度计算等。
七、教学评估与反馈1. 教学评估：通过课堂练习和课后作业，评估学生对空间直线与直线位置关系的理解和应用能力。
观察学生在课堂讨论和问题解答中的表现，评估其思维能力和解决问题的能力。
2. 教学反馈：根据学生的练习和作业情况，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。
在课堂讨论中，鼓励学生提出问题和建议，及时解答学生的疑问。
空间直线与直线的位置关系说课稿
空间直线与直线的位置关系说课稿今天我要给大家讲人教社A版高中数学必修2第二章第一节第二课时的内容：《空间中直线与直线之间的位置关系》。
我将按照教学背景分析、教学目标分析、教学重点和难点分析、教学过程、学生活动说明、教学设计说明六个部分向大家介绍。
一、教学背景分析一）教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系。
它是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基础上提出来的。
同时，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空间平行关系时经常要使用的方法。
因此本节课的内容对知识起到了承上启下的作用。
二）学情分析学生在初中已经研究过相交直线和平行直线的概念，对它们已经很熟悉。
但是，从具体实例抽象出异面直线的概念是非常困难的。
三）教学准备学生需要准备两支铅笔、白纸板，教师需要准备长方体模型、多媒体课件、三角板。
二、教学目标的确定1.通过观察实物，并借助长方体模型，理解异面直线的概念，了解异面直线所成的角。
2.经历异面直线的概念的形成过程，进一步发展空间想象能力，体会将空间问题平面化的思想方法。
3.学生在探究过程中体会数学是有用的，体验数学探究的乐趣。
三、教学重点和难点分析教学重点：异面直线的概念。
教学难点：异面直线的概念及异面直线所成角。
四、教学过程一）概念形成问题1：同一平面内直线与直线的位置关系有几种？请问：空间中直线与直线的位置关系有几种？板书：空间中直线与直线的位置关系1）实例引入：教师展示图片，引导学生观察：运河大桥和运河所在直线的位置关系，齿轮的两轴所在直线的位置关系。
让学生发现，直线与直线存在既不平行又不相交的位置关系。
学生可以举出实例或动手操作来直观感知。
2）观察思考：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？（是相交吗？还是平行？）老师：异面直线是指不在同一平面内或在两个平面内但不在同一平面内的两条直线。
中职教育数学《直线与直线的位置关系》教案
如图所示，在长方体教室中，观察并思考：直线a、b、c、d有怎样的位置关系？观察发现，直线b、c、d在同一平面内,其中直线b、内的平行直线，那么直线a与直线c是否平行呢？思考交流概念新知探索我们知道,在同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行.可以证明，在空间中这个结论仍然成立.如前面图所示，当a∥b，b∥c时，有a∥c.事实上，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性.讲解说明理解领会平面平行实现空间转变典型例题例1如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，点C、H分别是MB、MA的中点，M∉平面BD. 求证：GH // EF.证明因为点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，所以AF// BE，且AF=BE.故四边形ABEF是平行四边形，EF // BA.又因为点G、H分别是ΔABM的边MB、MA的中点，所以GH// BA.根据平行线的传递性可知，GH// EF.提问引导讲解强调指导思考分析解决交流主动求解运用平行线在空间的传递性证明空间直线平行的问题情境导入2.相交直线图中所示长方体教室中，直线d与直线b相交于一点，且互相垂直.空间中其他相交直线有怎样的位置关系呢？提出问题引发思考观察思考讨论交流延续使用同样例子创设情境保持学习一致性新知探索我们知道，同一平面内有且只有一个公共点的两条直线成为相交直线，当l与m相交于点A时，可简记作l∩m=A.两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角，如图所示.显然，θ∈02π⎛⎤⎥⎝⎦，，并且角θ及其对顶角均为这两条相交直线所成的角.规定：两条平行直线缩成的角为0.因此，两条共面直线所成角的范围是讲解说明理解领会用集合语言描述相交直线，注意正确的写法和理解02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.典型例题例2 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，如图.(1)分别求AB 与D 1C 1、BD 所成的角的大小；(2)直线AB 与BD 所成的角和直线A 1B 1与D 1B 1所成的角是否相等？解 (1)因为AB // D 1C 1，所以AB 与D 1C 1所成的角为0. 又正方体的各面都是正方形, BD 为正方形ABCD 的对角线, 所以4ABD π∠=，即AB 与DB 所成的角的大小是4π.(2)显然，直线AB 与BD 所成的角为∠ABD ，直线A 1B 1与D 1B 1所成的角∠A 1B 1D 1.因为4ABD π∠=,1114A B D π∠=,所以∠ABD =∠A 1B 1D 1,即直线AB 与DB 所成的角和直线A 1B 1与D 1B 1所成的角相等.提问 引导 讲解 强调 指导思考 分析 解决 交流 主动 求解巩固直线所成角的定义，引出“等角定理”新知探索一般地，如果两条相交直线l 1与l 2分别平行于另外两条相交直线l 1'与 l 2'，那么l 1与l 2 所成的角和l 1'与 l 2'所成的角相等.这个 结论称为等角定理,常用来判定空间中的两个角相等.提示引导 总结 发现补充说明重要结论 巩固练习练习4.2.11. 观察自己的教室，找出其中的平行直线、相交直线、共面直线.2.如图所示，己知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，判断下列说法是否正确.(1)直线A 1B 1与DD 1相交； (2)直线AD 与CC 1平行； (3)直线AB 与D 1B 1相交； (4)直线B D 与B 1D 1平行.提问 巡视 指导思考 动手 求解 交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺3.顶点不共面的四边形称为空间四边形.如图所示，点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.4. 设E是长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内一点.如图所示，试过点E作直线l、m，使得l∥BC，m∥AC.5.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，3AB ，BC=1，CC'=2.求：(1)直线A'D'与直线B'D'所成的角的大小；(2)直线BC与直线B'C'之间的距离.情境导入4.2.2 异面直线图中所示长方体教室中，可以直观地看出直线a与直线d不同在任何一平面内，是异面直线，能否有更准确的方法判断两条直线是异面直线呢？提出问题引发思考思考分析回答创设情境，借助熟悉的例子体会异面直线的特征观察异面直线a与d,直线a在黑板所在平面α内，直线d经过平面α外一点D和平面α内一点B，但直线a 不经过点B.于是得到：异面直线判断定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.已知：如图，M∈n且M∉α，P∈n且P∈α，m⊆α，P∉m.求证：m和n是异面直线.证明假设n和m共面，记它们所在的平面为β，则由M∈n可知M∈β.但是M∉α，因此α和β是两个不同的平面.由P∈n可知P∈β，又P∉m，因此，β是经过直线m及其外一点P的平面，而这就是平面α，与α和β是两个不同的平面相矛盾. 所以，m和n是异面直线.在画异面直线时，除图(1)画法外，我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图(2)和(3)中的异面直线m与n.例3 写出三棱锥D-ABC中与直线AB异面的直线.解因为AB⊆平面ABC，C∈平面ABC，C∉AB，D∉平面ABC，所以DC与AB是异面直线.对于平面内的两条相交直线，可用夹角大小定量描述它们之间的位置关系；对于平面的两条平行直线，可用距离定量描述它们之问的位置关系，如图所示.对于两条异面直线，如何定量描述它们之间的位置关系呢？己知两条异面直线a 与b ，如图(1)所示.在空间上任取一点P ，过点P 作a '∥a ， b '∥b ，得到两条相交直线a '和b '，如图 (2)所示.我们把相交直线a '与b '所成的角θ称为异面直线a 与b 所成的角.在作异面直线a 与b 所成的角时，常在其中的一条直线上取一点O ，过点O 作另一条直线的平行线，如图所示.由平面内两条直线所成角的范围可知,两条异面直线所成的角的取值范围是02π⎛⎤⎥⎝⎦，.特别地，当两条异面直线a 与b 所成的角为2π时，称这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b .例4 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求下列异面直线所成角的大小. (1)AB 与DD 1 ； (2)A 1C 1与BC .解 (1)因为正方体的各个面都是正方形，所以AA 1∥DD 1 . 又AA 1与AB 相交于点A ，故∠A 1AB 就是异面直线AB 与DD 1所成的角.因为∠A 1AB 是直角，所以异面直线AB 与DD 1所成角的大小为2π.(2)因为B 1C 1∥BC ,且A 1C 1与B 1C 1相交于点C 1, 所以∠A 1C 1B 1就是异面直线A 1C 1与BC 所成的角.观察正方体可以发现，正方体中与异面直线AB、DD1都垂直的棱有AD、A1D1、B1C1、BC，其中只有AD与异面直线AB和DD1同时垂直且相交.像这样，与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离.温馨提示因为两条直线垂直可以是相交垂直，也可以是异面垂直，所以经过一点P与己知直线l 垂直的直线有无数条. 例5 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，C1C=1，求异面直线A1B1与BC之间的距离.解因为长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是矩形，所以B1B⊥A1B1，B1B⊥BC.又B1B∩A1B1=B1，B1B∩ BC=B，练习4.2.21.关于两条直线的位置关系,以下描述正确的是( )A. 没有交点的两条直线平行B. 不平行的两条直线相交C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线D.两平行直线a、b分别在平面α、β内,则a、b是异面直线2.两条异面直线的公垂线指的是( )A.与两条异面直线都垂直的直线B. 与两条异面直线都垂直的相交直线C. 与两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.与两条异面直线都相交的所有直线3.在图中，分别给出异面直线m与n所成的角的一种画法.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直线中,分别指出与直线AA1平行、相交、异面的直线.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC与CD1所成的角的大小是；直线A1D1与BD所成的角的大小是；直线AD1与BC所成的角的大小是.6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求：(1)直线AB与CD之间的距离；(2)直线A1D1与CD之间的距离.。
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课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。
在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。
而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。
其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。
教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。
教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
教学目标：1、知识与技能（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）.会用平面衬托来画异面直线。
（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观（1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
（2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。
教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。
教学难点：异面直线所成角的推证与求解。
教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式问题——自主、合作——探究教学过程：一、复习引入1师：平面内两条直线的位置关系有？生：相交直线、平行直线相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）2.师：平面内不平行的两直线必相交，问：空间内还成立否？通过实例展示。
十字路口----立交桥立交桥中，两条路线AB, CD既不平行，又不相交（非平面问题）六角螺母二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
练习：在教室里找出几对异面直线的例子（学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）合作探究：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
（学生自告奋勇的在黑板上画出上述三种情况，即巩固异面直线的定义，又训练了异面直线的画法）3.空间两直线的位置关系按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线（2）不同在任何一个平面内：异面直线按公共点个数分（1）有一个公共点：相交直线（2）无公共点：平行直线、异面直线注1 :两直线异面的判别一：两条直线既不相交、又不平行• 两直线异面的判别二：两条直线不同在任何一个平面内合作探究：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体,那么AB ,CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对？（学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。
A B2•异面直线的画法老师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案) 答:共有三对 3.异面直线所成的角(1)复习回顾在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线 的错开程度，如图. ⑵问题提出在空间，如图所示,正方体ABCD — EFGH 中,异面直线AB 与HF 的错开程度可以怎样来刻 画(3)问题猜想思想方法：平移转化成相交直线所成的角，即化空间图形问题为平面图形问题思考：这个角的大小与 0点的位置有关吗 ？即0点位置不同时，这一角的大小是否改变？答：这个角的大小与 0点的位置无关.(4)理论支持㈠：我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行 ，那么这两条直线互相平行•在空间这一规律是否还成立呢 ？观察：将一张纸如图进行折叠 ，则各折痕及边 a ，b ，c ，d ，e ，… 之间有何关系？// b // c // d // e // …在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 一一平行线的传递性推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.㈡：在平面内，我们可以证明 “如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢？观察：如图所示，底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，/ 1 =100。
，/ 1与/ 2 , / 1与/ 3两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ？答:从图中可看出，/ 2= / 1，/ 3+ / 1=180 定理(等角定理)：证：这个角的大小与(5) 解决问题 异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线 a ，b ，经过空间任一点 0作 直线a '// a ， b '// b 则把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).公理4: 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 0点的位置无关.CCi异面直线所成的角的范围(0 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直记为a 丄b注3:在求作异面直线所成的角时，0点常选在 其中的一条直线上(如线段的端点，线段的中点 等)4 •例题选讲1•下图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系① EC 和BH 是_相交_直线② BD 和FH 是—平行_直线③ BH 和DC 是_异面_直线 (2)与棱A B 所在直线异面的棱共有 —4—条? 课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？例2.如图，正方体 ABCD-EFGH 中如图，正方体ABCD-EFGH 中0为侧面 ADHE 的中心，求(1) BE 与CG 所成的角？(2) F0与BD 所成的角？解：(1)如图：I CG// BF ,•••/ EBF(或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又.■: BEF 中/ EBF =45 0，所以BE 与CG 所成的角为(2)连接FH ,•/ HD // EA // FB • HD // FB •四边形 HFBD 为平行四边形， • HF / BD, •••/ HFO (或其补角)为异面直线 FO 与BD 所成的角。
连接 HA 、AF ，易得 FH=HA=AF , •△ AFH 为等边△,又依题意知O 为AH 中点，•/ HFO=3O °即FO 与BD 所成的夹角是30° 注4：求异面直线的步骤是：一作(找)二证三求 5.课堂练习(1) •已知a , b , c 是三条直线，且 a//b , a 与c 的夹角为0 ,那么b 与c 夹角为 __________________ (答案：0 )(2) 判断：① 两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行② 两条直线和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行. ③ 两条直线和第三条直线平行，则这两条直线互相平行. (答案： X x V)45（3）.如图，已知空间四边形 ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试判断四边形 EFGH 是什么四边形，并证明你的结论。
（用课件给出例 2）证明：连结BD •/ E 、H 分别是AB 、AD 的中点••• EH 是厶ABD 的中位线1 • EH // BD ，且 EH= — BD 21 同理，FG // BD ，且 FG= —BD 2• EH // FG ，且 EH=FG•四边形EFGH 是平行四边形 小组合作探究：在例2中，若加上条件 AC=BD ，那么这个四边形是什么四边形？（菱形）(4) 如图，已知长方体 ABCD-EFGH 中，AB =2 3, AD = 2； 3 , AE = 2(答案： 45° ； 60° )6 •课堂小结异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线异面直线的画法：用平面来衬托异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角公理4（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 异面直线所成角的求法：一作（找）二证三求7、课后作业：（1） （必做）：复查并修改《课前预习》，补充完善听课案（2） （分层达标）：i ：双基自诊 ii ：巩固提高思考： “若直线a 与直线b 异面，直线b 与直线c 异面。
则a 与c 也异面”。
这一命题对吗？为什么？（即:异面直线是否具有传递性）答：不一定。
注：异面直线不具有传递性 如图，正四面体 A-BCD 中，E 、F 分别是边 AD 、BC 的中点，求异面直线 EF 与AC 所成的角？思考：在此题中，连接 AC ，若有AC = BD ，则四边形EFGH 是什么图形?①求BC 和EG 所成的角是多少度？②求AE 和BG 所成的角是多少度？B板书设计:。