[高考数学]平面向量

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例题解剖
题型一 平面向量的数量积
【例1】已知向量a=(cos 3 x,sin 3 x),
2
2
b=(cos x ,-sinx )，且x∈[ π ， π ].
(1)求a·b2及|a+b|2;
34
(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 思维启迪利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在
平面向量的数量积
要点梳理
1.平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数 |量a|·|b|cos θ
a·b=|a||b|·叫c做osa 与θb 的 数 量 积 （ 或 内 积 ） ，
2.平记面作向量数量积有关性质的坐. 标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a·b= x1x2+y1y2
求|a+b|时注意x的取值范围.
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2
解 (1)abcos3xcosxsin3xsinxcos2x,
2 2 22
a b (cos 3x cos x ,sin 3 x- sin x )
2
22
2
|a b|（ cos 3 x cosx）2 (sin 3 x sin x)2
2
2
2
2
2 2cos2x 2| cosx |,
x[ π , π],cos x ＞0 34
∴|a+b|=2cos x.
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(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-
1
13
22
=2(cos xπ- , π )2- . 1
34
2
∵x∈[
1 ] ，∴ ≤cos x≤1， 3
2
2Hale Waihona Puke Baidu
∴当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ；
当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.
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4
探究提高 （1）与三角函数相结合考查向量的数
量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此
类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公
式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三
角恒等变换的相关知识.
（2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹
角
为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|，
然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ，若知道向量
的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
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谢谢观赏！！！
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