第3讲.解析几何之中点弦题型

第三讲.解析几何之中点弦题型

【教学目标】

1.掌握两点的中点坐标公式；

2.掌握韦达定理在解析几何中的应用；

3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。

【知识、方法梳理】

1.若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点坐标是1212(,)22

x x y y ++ 2.一元二次方程20ax bx c ++=，则有1212b x x a c

x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式∆）

【典例精讲】

例1.直线:1l y x =+与椭圆22

142

x y +=交于,A B 两点，求,A B 的中点坐标。 【解析】：将直线代入椭圆，得2

3420x x +-=

设1122(,),(,)A x y B x y ，中点00(,)x y 则1243x x +=-，1

20223x x x +==-，00113

y x =+= 所以中点21(,)33-

【点评】：看到中点，想到韦达定理

例2.设直线l 交椭圆2212x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为1(1,)2

M ，求直线l 的方程。 【解析】：直线l 斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线1:(1)2

l y k x -=- 代入椭圆方程，整理得222113()2()0224

k x k k x k k +--+--= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212()212

k k x x k -+=+，又因为1(1,)2M 所以1221()21122

k k x x k -+==+，解得1k =-，经检验此时0∆> 所以3:2

l y x =-+ 【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法

例3.已知双曲线2

2

12y x -=与点(1,2)P ，过P 点作直线l 与双曲线交于A B 、两点，若P 为AB 中点. （1）求直线AB 的方程；

（2）若(1,1)Q ，证明不存在以Q 为中点的弦.

【解析】：（1）解：设过(1,2)P 点的直线AB 方程为2(1)y k x -=-，

代入双曲线方程得

2222(2)(24)(46)0k x k k x k k -+---+=

设1122(,),(,)A x y B x y ， 则有2122242k k x x k

-+=-- 由已知1212

p x x x +== ∴222422k k k

-=-.解得1k =. 又1k =时，160∆=>，从而直线AB 方程为10x y -+=.

（2）证明：按同样方法求得2k =，而当2k =时，0∆<，所以这样的直线不存在.

【点评】：注意检验∆的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验∆只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。

例4.若抛物线2

1y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围 【解析】：设对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，中点00(,)M x y ，

考虑到直线AB 应与0x y +=垂直，设直线:AB y x b =+，

联立方程得，2

10ax x b ---=，所以121x x a +=，120122x x x a

+==， 点M 也在0x y +=上，所以0012y x a =-=-，即11(,)22M a a

- 代入直线AB ，得001b y x a

=-=- 所以方程化简为2110ax x a

-+-= 考虑到0∆>，解得34

a > 例5.已知椭圆2

212x y +=上有不同两点B A ,关于y x b =+对称，求b 的取值范围； 【解析】：设1122(,),(,)A x y B x y ，B A ,中点00(,)M x y ，

依题意AB 被直线y x b =+垂直平分，所以1AB k =-，

设:AB y x m =-+，代入椭圆，整理得2234220x mx m -+-= 则1243x x m +=，120223x x x m +==，003

m y x m =-+= 由于00(,)M x y 也在y x b =+上，所以00y x b =+，003m b y x =-=-

考虑到有两个交点0∆>，解得(3,3)m ∈- 所以33(,)33

b ∈- 【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出1122(,),(,)A x y B x y ，但不是真的求出1122,,,x y x y ，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得12120x x y y +=是解决本题的关键.

例6.椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．

（1）求证：c b =；

（2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程．

【解析】：（1）由题设，得AB 22AF =2BF +，

由椭圆定义AB 2AF +a BF 42=+， 所以，a AB 3

4=

． 设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得

02)(42222=--+b cy b y b a ， （*） 则]4)[(2)(2)()(212

212212212212y y y y y y y y x x AB -+=-=-+-= []

22224

222422222422222)(84)

(2422a b a b b a c b b a b a b b a c b ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 于是有a b

a b a ⋅+=222

434， 化简，得b a 2=，故，c b =．

（2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y

设AB 中点为),(00y x M ，则3

)(21210b y y y =+=， 又l M ∈，于是3

200b c y x -=-=． 由=PA PB 知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ， 由)1,0(-P ，得3

2131b b -+=-，解得3=b ，182=a ， 故，椭圆C 的方程为19

182

2=+y x ．

例7.已知抛物线2

2(0)y px p =>,过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ，且2AB p ≤。

(1)求a 的取值范围

(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB △面积的最大值 【解析】：(1)设直线l 的方程为：y x a =-，

代入抛物线方程得2()2x a px -=，即22

2()0x a p x a -++=

2224()42AB a p a p ∴≤⋅+-≤，2242ap p p ∴+≤即24ap p ≤- 又0p >，4

p a ≤-。 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点(,)C x y ,

由(1)知，11y x a =-，22y x a =-，1222x x a p +=+