复习专题等腰三角形中的分类讨论
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-米山国藏（日本）
用分类讨论方法解决问题的步骤：
分类讨论 对象选择
分类讨论 标准确定
（不重复、不遗漏）
逐级讨论 分类对象
归纳综合 得出结论
寄语——与同学共勉：
愿我们在座的每一位同学在学习 和生活中就像分类讨论一样去多方面 考虑问题，认识问题，并解决问题。
愿我们同学都能开心成长！
课后思考题：如图，已知△ABC中，BC>AB>AC，
C
B
例8、如图，已知△ABC中，BC>AB>AC，
A
∠ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点，
且AD=AC，BE=BC，求的度数。
C
B
（2）当点D、E在点A的同侧，
A
且点D在D’的位置，E在E’的为时， D’
如图，与（1）类似地也可以求得
C
B
∠DCE ＝∠ACB÷2=200。
E’
D
（3）当点D、E在点A的两侧，
• （1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理 由；
• （2）当△AEF为等腰三角形时，求∠BEA
的大小. A
A
B
E
F
B
C
C
备用图
探究变式：
直角 若将（2）中的△AEF为“等腰三角形”改为“
三角形”时，∠BAE=α，求α与β之Βιβλιοθήκη Baidu的数量关
系。
A
A
F
B
E
CB
C
备用图
解：
（3）如图1，当∠AFE=90°时， ∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠CEF， ∵∠C+∠CEF=90°， ∴∠BAE+∠AEF=90°， 即α+β=90°；
∠ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点， 且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。
A
C
B
课外思考题：如图，已知△ABC中，BC>AB>AC， A
∠ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点，
且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。 C
B
（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长
四、遇高需讨论
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数 是__6_0_°_或__1_2_0_°____
五、 遇中垂线需讨论
1.在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分 线与AC所在的直线相交所成的锐角为40°， 则底角∠B的度数为________6_5°或25°
40°
40°
六、 遇动点动角需讨论
1、已知C、D两点为线段AB的中垂线上的两 动点，且∠ACB=500，∠ADB=800，求 ∠CAD的度数。
C
C
D
A
E
B
A
E
B
D
几何图形之间的位置关系不明确导致需分类讨论
六、 遇动点动角需讨论
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点E为BC边 上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF 交AC于点F, 使∠AEF=∠B=β.
=1800-〔（1800-∠ABC）÷2+（1800-∠BAC）÷2〕 =（∠BAC+∠ABC）÷2=（1800-∠ACB）÷2 =（1800-400）÷2=700，
故∠DCE的度数为200或1100或700。
且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，
Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两
点同时出发，运动
分钟后△CAP与
△PQB全等．
2.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm， BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿 BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC=
cm．（用t的代数式表示）
0
0
(4)当点D、E在点A的两侧，且 点D在D’的位置时，如图，
∵AD’=AC，∴
A D C 1 0 8 D A 0 2 1 C 0 8 B 0 2 ， AC
∵BE=BC，∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2， ∴
D C 1 0 E 8 D E 0 E D C 1 0 8 B 0 A D E C
如图2，当∠EAF=90°时，∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠1， ∵∠C+∠1+∠AEF=90°， ∴∠1+2∠AEF=90°， 即α+2β=90°．
综上所述，α与β的关系可为α+β=90°或α+2β=90°
七、 遇全等三角形需讨论
1.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发， 以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这 样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在， 请求出v的值；若不存在，请说明理由．
在解决数学问题时，有时无法用同一种方法 一次去解决，而需要一个标准将问题划分成几 个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问 题一一加以解决，从而使问题得到解决……
二、遇中线需讨论
1.等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把
其周长分为两部分的差为2cm，则其周长
为11cm或19cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
三、遇中线需讨论
变式：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线
把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长
为 21cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
线上时，如图，
∵BE=BC， ∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，
D
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
E
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
A
∴∠DCE=（1800-∠ABC）÷2-∠BAC÷2
=（1800-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2=400÷2=200。
A
且E点在E’的位置时，如图，
∵BE’=BC，
C
B
∴∠ BE’C=(180O- ∠CBE) ÷2= ∠CBA ÷2 ，
∵AD=AC，
E’
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
又∵∠DCE’=1800-(∠ BE’C+ ∠ADC) ，
∴ ∠DCE’=1800-(∠ ABC+ ∠BAC) ÷2
期末专题复习之
等腰三角形中的
给我最大快乐的，不是已懂的知识， 而是不断的学习.----高斯
一、遇角需讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为80°，, 则 其顶角为__8_0_°_或__2_0_°__
2.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍， 则其顶角为_1_2_0_°__或__2_0_°__
分两种情况： ①顶角是底角的4倍 ②底角是顶角的4倍
用分类讨论方法解决问题的步骤：
分类讨论 对象选择
分类讨论 标准确定
（不重复、不遗漏）
逐级讨论 分类对象
归纳综合 得出结论
寄语——与同学共勉：
愿我们在座的每一位同学在学习 和生活中就像分类讨论一样去多方面 考虑问题，认识问题，并解决问题。
愿我们同学都能开心成长！
课后思考题：如图，已知△ABC中，BC>AB>AC，
C
B
例8、如图，已知△ABC中，BC>AB>AC，
A
∠ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点，
且AD=AC，BE=BC，求的度数。
C
B
（2）当点D、E在点A的同侧，
A
且点D在D’的位置，E在E’的为时， D’
如图，与（1）类似地也可以求得
C
B
∠DCE ＝∠ACB÷2=200。
E’
D
（3）当点D、E在点A的两侧，
• （1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理 由；
• （2）当△AEF为等腰三角形时，求∠BEA
的大小. A
A
B
E
F
B
C
C
备用图
探究变式：
直角 若将（2）中的△AEF为“等腰三角形”改为“
三角形”时，∠BAE=α，求α与β之Βιβλιοθήκη Baidu的数量关
系。
A
A
F
B
E
CB
C
备用图
解：
（3）如图1，当∠AFE=90°时， ∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠CEF， ∵∠C+∠CEF=90°， ∴∠BAE+∠AEF=90°， 即α+β=90°；
∠ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点， 且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。
A
C
B
课外思考题：如图，已知△ABC中，BC>AB>AC， A
∠ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点，
且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。 C
B
（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长
四、遇高需讨论
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为30°，则这个等腰三角形的顶角度数 是__6_0_°_或__1_2_0_°____
五、 遇中垂线需讨论
1.在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分 线与AC所在的直线相交所成的锐角为40°， 则底角∠B的度数为________6_5°或25°
40°
40°
六、 遇动点动角需讨论
1、已知C、D两点为线段AB的中垂线上的两 动点，且∠ACB=500，∠ADB=800，求 ∠CAD的度数。
C
C
D
A
E
B
A
E
B
D
几何图形之间的位置关系不明确导致需分类讨论
六、 遇动点动角需讨论
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点E为BC边 上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF 交AC于点F, 使∠AEF=∠B=β.
=1800-〔（1800-∠ABC）÷2+（1800-∠BAC）÷2〕 =（∠BAC+∠ABC）÷2=（1800-∠ACB）÷2 =（1800-400）÷2=700，
故∠DCE的度数为200或1100或700。
且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，
Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两
点同时出发，运动
分钟后△CAP与
△PQB全等．
2.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm， BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿 BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC=
cm．（用t的代数式表示）
0
0
(4)当点D、E在点A的两侧，且 点D在D’的位置时，如图，
∵AD’=AC，∴
A D C 1 0 8 D A 0 2 1 C 0 8 B 0 2 ， AC
∵BE=BC，∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2， ∴
D C 1 0 E 8 D E 0 E D C 1 0 8 B 0 A D E C
如图2，当∠EAF=90°时，∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠1， ∵∠C+∠1+∠AEF=90°， ∴∠1+2∠AEF=90°， 即α+2β=90°．
综上所述，α与β的关系可为α+β=90°或α+2β=90°
七、 遇全等三角形需讨论
1.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发， 以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这 样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在， 请求出v的值；若不存在，请说明理由．
在解决数学问题时，有时无法用同一种方法 一次去解决，而需要一个标准将问题划分成几 个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问 题一一加以解决，从而使问题得到解决……
二、遇中线需讨论
1.等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把
其周长分为两部分的差为2cm，则其周长
为11cm或19cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
三、遇中线需讨论
变式：等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线
把其周长分为两部分的差为3cm，则其周长
为 21cm 。
A
A
D
D
B
C
B
C
注意：要运用三角形的三边关系来验证是否能构 成三角形。
线上时，如图，
∵BE=BC， ∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，
D
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
E
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
A
∴∠DCE=（1800-∠ABC）÷2-∠BAC÷2
=（1800-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2=400÷2=200。
A
且E点在E’的位置时，如图，
∵BE’=BC，
C
B
∴∠ BE’C=(180O- ∠CBE) ÷2= ∠CBA ÷2 ，
∵AD=AC，
E’
∴∠ADC=（1800-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
又∵∠DCE’=1800-(∠ BE’C+ ∠ADC) ，
∴ ∠DCE’=1800-(∠ ABC+ ∠BAC) ÷2
期末专题复习之
等腰三角形中的
给我最大快乐的，不是已懂的知识， 而是不断的学习.----高斯
一、遇角需讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为80°，, 则 其顶角为__8_0_°_或__2_0_°__
2.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍， 则其顶角为_1_2_0_°__或__2_0_°__
分两种情况： ①顶角是底角的4倍 ②底角是顶角的4倍