初二.判别式与韦达定理
(人教版初中数学)韦达定理
判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,则x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,则m ＝二、考点训练：1、 不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35,则m= ,这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,则m= ;2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为 ;5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、 一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,则p= ,q= ;4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式m n = .7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立训练（二）1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、 已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1） 有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式与韦达定理一.一元二次方程根的判别式.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),记Δ=b 2-4ac.那么有:Δ＞0⇔方程有两个不等实数根;Δ=0⇔方程有两个相等实数根;Δ＜0⇔方程没有实数根.注意：〔1〕使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。
〔2〕如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b 2-4ac≥0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.(4)显然,当a 、c 异号时，Δ＞0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心. 二.根的判别式有以下应用：① 不解一元二次方程，判断根的情况.例1.不解方程，判断以下方程的根的情况： (1)2x 2+3x-4=0;(2)2210x ax a ++-=.② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例2.求k 的何值时,关于x 的方程2(k+1)x 2+4kx+2k-1=0〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕没有实数根；(4)有一根.③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根.例3．求证方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系).假设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为1x 、2x ，那么有：12b x x a +=-，12cx x a=.注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程(a ≠0),且方程有两根(包括相等的两根,即要满足Δ≥0) 四.韦达定理的应用. ① 求根或参数的值.例4.(1)方程20x px q ++=的两个根为2-和4,求p 、q 的值.(2)方程240x x m -+=的一个根是2+,求方程的另一个根及m 的值.(3)假设方程250x kx k --+=的一个根是2, 求方程的另一个根及k 的值.说明:这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简单,(3)用代根法更简单. ② 求与两根有关的对称式的值.例5.设1x 、2x 是方程2430x x +-=的两根,试求以下各式的值:(1)12x x +;(2)12x x ;(3)2212x x +;(4)1211x x +;(5)12(1)(1)x x --;(6)12x x -; (7)3223112122x x x x x x +++;(8)2112x x x x +;(9)2212224x x x ++.说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值,对于 此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比方方程替换为2320x x -+=,那么宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0),当0∆≥时,有12x x -====a=,此结论及其推导过程必须牢记于心.③ 分析一元二次方程根的范围(主要指符号).x 的方程24(2)10x k x k -++-=.根据以下各条件分别求k 的取值范围.(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两根异号,且负根绝对值大.④构造一元二次方程.理论依据是:以x 1、x 2为根的一元二次方程是x 2-〔x 1+x 2〕x+x 1x 2=0. 例7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .例8.解以下方程组:(1)56x y xy +=⎧⎨=⎩; (2)56x y xy -=⎧⎨=⎩; (3)2312x y xy -=⎧⎨=⎩; (4)22135x y x y ⎧+=⎨+=⎩.1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．假设12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，那么1211x x +的值为()A ．2B ．2-C ．12D ．923．菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 等于( ) A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或4．假设t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，那么判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．假设实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，那么代数式1111b a a b --+--的值为()A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，那么,,a b c 之间的关系是 ______7．一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．假设方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，那么k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2x qx p ++=的两实根，那么p = _____ ，q = _____ ．10．实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，那么a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．假设0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不管为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 假设方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．15．关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．16．关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．17．假设12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 假设1212x x =，求k 的值．练习答案:1． B 2． A 3．A 4．A 5．A6．2,a c b b c +=≠且 7． 38． 9或3-9．1,3p q =-=- 10．3,3,0a b c ===11．正确12．413．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=- 14．3(1) (2)22k k ≥= 15．13(1)112k k <≠且(2) 不存在 16．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．17．(1) 314k k ≥≠且 ； (2) 7k =．。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理一、基本知识：1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2、一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、例题讲解：例1 已知关于x 的一元二次方程0221222=-+-k kx x ， （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设21、x x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 之值。
例 2 已知关于x 的方程07442=++b bx x 有两个相等的实数根，21、yy 是关于y 的方程04)2(2=+-+y b y 的两个根，求以21y 、y 为根的一元二次方程。
例3 已知△ABC 的两边长a=3，c=5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，求证△ABC 为直角三角形。
例4 已知关于x 的一元二次方程01222=--+p px x 的两个实数根为1x 和2x 。
（1）若此方程的两根之和不大于两根之积，求p 之值；（2）若p=-1，求2223122x x x ++之值。
例5 若关于x 的方程012=++kx x 的一个根是32+，则方程的另一根是多少？k 值是多少？例6 已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +2111)2(x x + (3)21x x -)1)(1)(4(21--x x三、典型练习：（一）、选择题：1．方程022=+-m x x 的一个根是31+，则另一根和m 的值依次是（ ） A ． 13-和2B. 31-和2C. 31-和-2D. 13-和-22．设21、x x 是方程01322=--x x 的两根，则2111x x +的值是（ ） A ． 3B. -3C. 23D. 23-3．以数52+和52-为两根的一元二次方程是（ ） A ． 0142=-+x x B. 0142=--x x C. 0142=++x xD. 0142=+-x x4．已知方程05107,05207,05107,052072222=-+=-+=++=++x x x x x x x x 中，两根均为负数的方程的个数为（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45、设二次方程02=++q px x 的两个实数根恰为p 、q ，则pq 的值是（ ）A. 0B. -2C. 0或-2D. 非上述答案（二）、填空题：1．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= 。
根的判别式与韦达定理
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ;当判别式042≥-=∆ac b 时;其求根公式为：aacb b x 24221-±-=、；当0≥∆时;设一元二次方程的两根为21x x 、;有：abx x -=+21;a c x x =⋅21；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的;即当ab x x -=+21;ac x x =⋅21时;那么21x x 、则是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根..一元二次方程的根与系数的关系;综合性强;应用极为广泛;在中学数学中占有极重要的地位;也是数学学习中的重点..学习中;除了要求熟记一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆存在的三种情况外;还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目;以及应用求根公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 、;进而分解因式;即))((212x x x x a c bx ax --=++..下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析;希望能带来小小的帮助..一、根据判别式;讨论一元二次方程的根..例1：已知关于x 的方程103)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根;且关于x 的方程201222=-+-a x x 没有实数根;问a 取什么整数时;方程1有整数解分析：在同时满足方程1;2条件的a 的取值范围中筛选符合条件的a 的整数值.. 解：说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础;正确确定a 的取值范围;并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理;从而筛选出a ;这是解答本题的基本技巧..二、判别一元二次方程两根的符号..例2：不解方程;判别方程07322=-+x x 两根的符号 ..判别根的符号;需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定;倘若由题中021<⋅x x ;所以可判定方程的根为一正一负；倘若021>⋅x x ;仍需考虑21x x +的正负;倘若021>+x x ;则方程有两个正数根；倘若021<+x x ;则方程有两个负数根..解：说明：对于)0(02≠=++a c bx ax 来说;往往二次项系数;一次项系数;常数项皆为已知;可据此求出根的判别式∆;但∆只能用于判定根的存在与否;若判定根的正负;则需要确定21x x ⋅ 或21x x +的正负情况..因此解答此类题的关键是：既要求出判别式的值;又要确定21x x ⋅ 或21x x +的正负情况..三、已知一元二次方程的一个根;求出另一个根以及字母系数的值..例3：已知方程052622=+-+-m m x x 的一个根为2;求另一个根及m 的值..分析：此类题通常有两种解法：一是根据方程根的定义;把x =2代入原方程;先求出m 的值;再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m 的值.. 解法一： 解法二：例4：已知方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根;且两个根的平方和比两根的积大21;求m 的值..分析：本题若利用转化的思想;将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m 的方程;即可求得m 的值.. 解：说明：当利用根与系数的关系求出m 后;还需注意使用韦达定理的必要条件0≥∆;应舍去不合题意的m .. 四、运用判别式及根与系数的关系解题.. 例5：已知21x x 、是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根;问1x 和2x 能否同号 若能同号;请求出相应的m 的取值范围；若不能同号;请说明理由..解： 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系;是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具;也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具..知识的运用方法灵活多样;是设计考察创新能力试题的良好载体;在中考中与此有联系的试题出现频率很高;是重点练习的内容..五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题..例6：已知βα、是方程0522=-+x x 的两个实数根;求ααβα22++的值..分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题;应摒弃常规的求根后;再带入的方法;力求简解.. 解法一： 解法二：说明：既要熟悉问题的常规解法;也要随时想到特殊的简捷解法;是解题能力提高的重要标志;是努力的方向..有关一元二次方程根的计算问题;当根是无理数时;运算将十分繁琐;这时;如果方程的系数是有理数;利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用..这类问题在解法上灵活多变;式子的变形具有创造性;重在考查能力..六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题..例7：已知两方程052=++-m mx x 和0713)17(2=+++-m x m x 至少有一个相同的实数根;求这两个方程的四个实数根的乘积..分析：可设两方程的相同根为α;根据根的意义;可以构成关于α和m 的二元方程组;得解后再由根与系数的关系求值.. 解：说明：本题的易错点为求解出关于α、m 的二元方程组后;忽略m 对方程和判别式的讨论..∆与韦达定理综合训练一、填空题：1、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根之差为2;那么k = ..2、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数;则a = .. 3、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为21x x 、;且431121-=+x x ;则m = .. 4、已知21x x 、是方程04722=--x x 的两个根;那么：=+2221x x ；=++)1)(1(21x x ；=-21x x ..5、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为21x x 、;且221-=+x x ;则m = ；=+⋅21)(21x x x x ..6、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是21-;那么另一个根是 ;a 的值为 ..7、已知32+是042=+-k x x 的一根;则另一根为 ;k 的值为 ..8、一个一元二次方程的两个根是62+和62-;那么这个一元二次方程为： ..二、求值题：1、已知21x x 、是方程01322=--x x 的两个根;利用根与系数的关系;求321231x x x x +的值.. 2、已知21x x 、是方程01232=--x x 的两个根;利用根与系数的关系;求22221)(x x -的值.. 3、已知21x x 、是方程04322=-+x x 的两个根;利用根与系数的关系;求52212251x x x x ⋅+⋅的值.. 4、已知两数的和等于6;这两数的积是4;求这两数..5、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ;求m 的值及方程的两个根..6、已知方程042=++mx x 和016)2(2=---x m x 有一个相同的根;求m 的值及这个相同的根.. 三、能力提升题：1、实数k 为何值时;方程0)1(22=-+-k kx kx 有正的实数根 2、已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+-+m x m x 1求证：无论m 取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根.. 2若这个方程的两个实数根21x x 、满足1221+=+m x x ;求m 的值..3、若0>n ;关于x 的方程041)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根;求n m 的值..4、是否存在实数k ;使关于x 的方程06)74(922=+--k x k x 的两个实根21x x 、;满足2321=x x ;如果存在;试求出满足条件的k 的值;如果不存在;请说明理由..5、已知关于x 的一元二次方程)0(01)3(222≠=+-+m x m x m 的两实数根为21x x 、;若2111x x m +=;求m 的值.. 6、实数m 、n 分别满足方程0199192=++m m 和099192=++n n ;求代数式nm mn 14++ 的值..答案与提示： 一、填空题：1、提示：;;;∴;∴;解得：2、提示：;由韦达定理得：;;∴; 解得：;代入检验;有意义;∴..3、提示：由于韦达定理得：;;∵; ∴;∴;解得：..4、提示：由韦达定理得：;;；；由;可判定方程的两根异号..有两种情况：①设＞0;＜0;则；②设＜0;＞0;则..5、提示：由韦达定理得：;;∵;∴;;∴;∴..6、提示：设;由韦达定理得：;;∴;解得：;;即..7、提示：设;由韦达定理得：;;∴;∴;∴8、提示：设所求的一元二次方程为;那么;;∴;即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：;2、∴3、提示：由韦达定理得：;;∴4、提示：由韦达定理得：;;∴5、提示：设这两个数为;于是有;;因此可看作方程的两根;即;;所以可得方程：;解得：;;所以所求的两个数分别是;..6、提示：由韦达定理得;;∵;∴;∴;∴;化简得：；解得：;；以下分两种情况：①当时;;;组成方程组：；解这个方程组得：；②当时;;;组成方程组：；解这个方程组得：7、提示：设和相同的根为;于是可得方程组：；①②得：;解这个方程得：；以下分两种情况：1当时;代入①得2当时;代入①得..所以和相同的根为;的值分别为;..三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0;＞0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12、提示：1的判别式△＞0;所以无论取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根..2利用韦达定理;并根据已知条件可得：解这个关于的方程组;可得到：;;由于;所以可得;解这个方程;可得：;；3、提示：可利用韦达定理得出①＞0;②＞0；于是得到不等式组：求得不等式组的解;且兼顾；即可得到＞;再由可得：;接下去即可根据;＞;得到;即：＝44、答案：存在..提示：因为;所以可设；由韦达定理得：;；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时;；②当时;；所以的值有两个：；；5、提示：由韦达定理得：;;则;即;解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：;;∴;∴;∴;又∵;变形得：;∴;∴。
判别式和韦达定理
第三讲：判别式和韦达定理知识要点：设一元二次方程),,;0(02为实数c b a a c bx ax ≠=++的判别式为⊿ac b 42-=，二根为21,x x ，则（1）当⊿>0时，方程有二不等实数根，反之，亦成立；当⊿<0时，方程无实数根，反之亦成立；当⊿=0时，方程有二相等实数根，反之，亦成立。
（2）a b x x -=+21，a c x x =21。
反之，若二数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =21，则次二数是方程02=++c bx ax 的二根，这就是韦达定理，即根与系数的关系。
应用举例：一、判别根的性质例1， 已知方程02=++c bx x 的两根为1,4，是判断方程022=++bx cx 的根的情况。
例 2 已知方程022=--m x x 无实数根（m 为实数），试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有么有实数根。
二、求某些值21x x + 21x x 21x x -2221x x + 2221x x -2111x x +例3设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，试求2112x x x x +，21x x -的值。
例4 已知方程0)12(22=+++k x k x 的两实数根的平方和等于7，求k 的值。
三、求方程的解提示：已知方程和它的一个根，最好用韦达定理求解例5已知2=x 是方程032=+-b x x 的一根，求此方程的另一根及b 的值。
例6 解方程组：21,311=-=+xy y x 。
1、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 有两个实数根，则下列关于判别式c b 42-的判断正确的是（ ）A ．042≥-c b ；B ．042≥-c b ；C ．042≥-c b ；D ．042≥-c b ．2、已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中,下列命题是真命题的有（ ）个.①若a +b +c =0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2+bx +c =0两根为－1和2，则2a +c =0；③若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根。
判别式与韦达定理
判别式和根与系数的关系【学习目标】1、使学生会运用根与系数关系解题。
2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。
【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=。
（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==。
（3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式aacb b x x 24221-±-==，有a b x x -=+21，a c x x =⋅21 【典型例题】知识点一、根的判别式ac b 42-例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.变式训练1、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .2.关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m3、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.知识点二.一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
八年级数学第七讲 韦达定理的应用
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项学习过程：一、课前检测分解因式①1272++x x = 。
②1522--m m =二 、合作探究：1． 活动一：结合上面两个自测题小组讨论形如pq x q p x +++)(2的二次三项式怎样分解因式，从而理解怎样解形如0)(2=+++pq x q p x 的一元二次方程活动二：方程20(0)ax bx c a ++=≠的判别式是 ，求根公式是其中1x = ，2x = ，请你求出12x x += ，12.x x = 。
你能用文字语言概括出这两个式子的结论三、展示质疑：（1）请用十字相乘法解下列方程①2320x x ++= ②27120y y -+=③ 23100x x +-= ④27180y y --=（2）已知方程22430x x --=的两个根分别是12,x x ，不解方程直接完成下列各小题 ①12x x += ， 12.x x = 。
②1211x x += ③ 112233x x x x -+= ④2212x x +=四、达标检测：（1）方程260x x --=的根是 （2）方程260x x +-=的解是（3）若12,x x 是方程235x x +-=0的两个根12x x += ， 12.x x = 。
1211x x += ，12(1)(1)x x ++=（4）知方程2260x kx +-=的一个根是—3，求方程的另一个根及k 的值一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2·变式1：关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠ 5注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理1、 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1，那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝二、考点训练：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。
初中数学培优：韦达定理与根的判别式
初中数学培优：韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【巩固】关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞−54，即m的取值范围是m＞−54；（2）由（1）知：当m＞−54时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y）中，的最大值是多少？【解答】解：设y＝kx，则直线y＝kx与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6相切时k有最大值和最小值，把y＝kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6，得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+12＝0，∴Δ＝36（k+1）2﹣4×12×（1+k2）＝0，即k2﹣6k+1＝0，解此方程得，k＝3+22或3﹣22．所以=k的最大值是3+22．【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分式2r8r2(≥0)的最大值是多少？解：2r8r2=2r4+4r2=2(r2)+4r2=2+4r2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4r2的最大值是2，所以2+4r2的最大值是4，即2r8r2(≥0)的最大值是4．根据上述方法，试求分式22+102+2的最大值是．【解答】解：22+102+2=22+4+62+2=2(2+2)+62+2=2+62+2，∵x2≥0，∴x2+2的最小值为2，∴62+2的最大值为3，∴2+62+2的最大值为5，∴分式22+102+2的最大值是5，故答案为：5．三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+（2m﹣1）x+1＝0的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是．【解答】解：根据题意得m﹣4≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣4）≥0，解得m≠4，x1+x2=−2K1K4，x1x2=1K4，s=11+12=1+212=−2m+1，由于m≠4，所以s≠﹣7．故答案为s≠﹣7．【巩固】已知关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×2（2m2+3m﹣2）≥0，∴﹣24m+16≥0，∴m≤23，∴实数m的取值范围为≤23；（2）∵x1+x2＝2m，x1•x2=12（2m2+3m﹣2），∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2×12（2m2+3m﹣2）＝2m2﹣3m+2＝2（m−34）2+78，∵m≤23，23＜34，∴当m=23时，x12+x22＝2（23−34）2+78=89，∴当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89．巩固练习1．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．34≤m C．34≤m≤1D．34＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞34．∴34＜m≤1．故选：D．2．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥14；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥14，故选：D．3．已知m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根．记S1=11++11+，S2=11+2+11+2，…，S t=11++ 11+（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根，∴m+n=5，mn＝1，∴S1=11++11+=1+r1+(1+p(1+p=2+(rp=＝1，S2=11+2+11+2=1+2+1+2(1+2)(1+2)=2+(rp2−2B1+(rp2−2B+(B)2=2+5−21+5−2+1＝1，…，∴S t=11++11+=1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t 2﹣t ﹣56＝0，（t ﹣8）（t +7）＝0，解得：t ＝8或t ＝﹣7（舍去）．故选：B ．4．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2mx ﹣4m +1＝0有两个相等的实数根，则（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）的值为．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m 2﹣2（1﹣4m ）＝4m 2+8m ﹣2＝0，∴m 2+2m =12，∴（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）＝﹣m 2﹣2m +4=−12+4=72，故答案为：725．设下列三个一元二次方程：x 2+4ax ﹣4a +3＝0；x 2+（a ﹣1）x +1+a 2＝0；x 2+2ax ﹣2a +3＝0，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是．【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有162+16−12＜0(−1)2−4(2+1)＜042−4(3−2p ＜0，解得−32＜a ＜12．故答案为：a ≤−32或a ≥12．6．已知关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴1−2≠0+3≥0△=(−2+3)2−4(1−2p ×(−1)＞0，解得：﹣3≤k ＜4且k ≠12．故答案为：﹣3≤k ＜4且k ≠12．7．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，则（x +1）2+a （x +1）﹣1＝0的根为．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，∴m 2+am ﹣1＝0，n 2+an ﹣1＝0，设x+1＝m或n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0，∴（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为x＝m﹣1或n﹣1，故答案为：x＝m﹣1或n﹣1．8．已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，求x+y的值．【解答】解：由（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，得（3x+1）2+3（x﹣y）2＝0，则3+1=0−=0，解得=−13=−13，故x+y=−13−13=−23．9．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2−92ac＝0；我们记“K＝b2−92ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2−B+23n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2−92×1×（﹣2）＝10≠0；在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2−92×1×8＝0．∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．故答案为：②．（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，∴K＝（n﹣2m）2−92m•（﹣2n）＝0，∴4m2+5mn+n2＝0．（3）∵2−B+23=0是倍根方程，∴=(−p2−92×23=0，整理得：m＝3n．∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此方程的表达式为2−3+23=0．11．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求B121−1+B221−2的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m ＜1．（1）∵x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4（m ﹣2）2﹣2（m 2﹣3m +3）＝2m 2﹣10m +10＝6∴=∵﹣1≤m ＜1，∴=（2）B 121−1+B 221−2=n 12+22−12(1+2)](1−1)(1−2)=o23−82+8K2)2−=2oK1)(2−3r1)oK1)=2(2−3+1)=2(−32)2−52（﹣1≤m ＜1）．∵对称轴m =32，2＞0，∴当m ＝﹣1时，式子取最大值为10．12．如果方程x 2+px +q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣p ，x 1•x 2＝q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p ＝﹣4，q ＝3，求方程x 2+px +q ＝0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【解答】解：（1）当p ＝﹣4，q ＝3，则方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝3，x 2＝1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5＝0的解，当a ≠b 时，a +b ＝15，ab ＝﹣5，+=2+2B=(rp 2−2BB=152−2×(−5)−5=−47；当a ＝b 时，原式＝2．（3）设方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则11+12=1+212=−，11•12=112=1，则方程x 2+x +1=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理教学目的：（1）通过教学A 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的简单应用；（2）通过教学B 或C 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学重点与难点：韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学过程：一、知识点复习：1、根的判别式：△=b 2-4ac ：⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 2、韦达定理：一元二次方程的一般式：ax 2+bx+c=0有两个实数根x 1、x 2，则有x 1+x 2=－b/a ，x 1·x 2=c/a ； 应用：（1）求值应用：x 12+x 22=-（x 1+x 2）2－2x 1x 2，（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2， x 13+x 23=-（x 1+x 2）3－3x 1x 2（x 1+x 2），()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-，21212111x x x x x x +=+，()222121221222122212221211x x x x x x x x x x x x -+=+=+，()2121221212x x x x x x x x ++=+=+，（x 1+k ）（x 2+k ）=x 1x 2+（x 1+x 2）+k 2，()212122121222112212x x x x x x x x x x x x x x ++=+=+， （2）求字母系的值；（此时要验证方程有没有实数根）（3）求作新方程：以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2+（x 1+x 2）x+x 1x 2=0； （4）解方程组：⎩⎨⎧==+bxy ay x 则能够把x 、y 看作是一元二次方程z 2-az+b=0的两根；（5）确定根的符号：若则方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〉-=+0002121a c x x a b x x 若x 1·x 2=c/a ＜0，则方程两根符号相反；若则方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〈-=+0002121a c x x ab x x3、注意点：（1） 方程有实数根时，要看一看是否是一元二次方程，否则要分两种情况考虑；若是一元二次方程还不能忘记考虑二次项系数不能为0；（2） 在求字母系数的值时水要忘记检验一元二次方有没有实数根； 二、双基训练：（A 组同学做练习1-6）1、 关于x 的方程4x 2+kx -6=0的一个根是否，另一根是x 1，则k=；x 1=；2、 关于x 的一元二次方程x 2-ax -3=0的根的情况是；3、 以2和－3为根的一元二次方程为；4、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则（x 1+x 2）2=；5、 若方程x 2－2x+k=0的两个根的倒数和为8/3，则k=；6、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则x 1+x 2=；x 1·x 2=；方程x 2-1-3x=0的两根之和等于；两根之积等于；7、 若x 1,x 2是方程x 2+3x -5=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)的值为；8、 已知a,b 是方程x 2+2x -5=0的两个根，则a 2+ab+2a 的值为 ；9、 如果a,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根，那么代数式a 3+a 2b+ab 2+b 3的值等于；10、关于x 的一元二次方程(k 2-1)x 2+(2k -1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ；11、已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为；12、已知实数x 1,x 2是满足x 12-6x 1+2=0和x 22-6x 2+2=0，那么2112x x x x +的值是 ； 13、已知关于x 的方程x 2-2(m -2)x+m 2=0问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理_名师指点
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理_名师指点
中考数学考点分析介绍的内容是判别式法与韦达定理。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
初二数学学习方法：常用的几种经典解题方法
初二数学学习方法：常用的几种经典解题方法初二数学学习方法：常用的几种经典解题方法1、配方法。
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是初中数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
判别式和韦达定理
1、 当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．2、k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．3、已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．4、对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．5、求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．6、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．7、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范是 ．8、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ．9、已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为 ．这样的直角三角形有 个．韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a -⋅，。
1、若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】2、若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】3、若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1•x 2的值分别是【 】4、已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】5.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +； 2111)2(x x +； (3)21x x -； )1)(1)(4(21--x x 。
根的判别式,韦达定理
第3讲 根的判别式以及韦达定理新知探究：1、一元二次方程的根：有两个根，最多有两个实数根或没有实数根。
2、根的情况的判别：在)0(02≠=++a c bx ax 中，令ac b 42-=∆，其中，∆称为一元二次方程根的判别式。
（1） 当0≥∆时，_____________________________________； （2） 当0>∆时，_____________________________________； （3） 当0=∆时，_____________________________________； （4）当0<∆时，_____________________________________。
3、由求根公式可知：aacb b x a ac b b x 24,242221-+-=---=，则=+21x x _____， =∙21x x ______________。
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系（韦达定理）： 结论1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，=+21x x 即：两根之和等于_____________；=∙21x x 即：两根之积等于_____________。
4、如果把方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数化为1，则方程变形为)0(02≠=++----a acx x ， 我们就可把它写成02=++q px x ．的形式其中=p ab ，=q ac ，结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =∙-=+2121,。
则以21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x说明：（1）韦达定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 【典型例题】【例1】不解方程，判断下列方程根的情况：.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--变式练习：（2013•珠海）已知一元二次方程：①0322=++x x ；②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解【例2】证明方程的根的情况：1、求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
根的判别式和韦达定理(教案)
（2）韦达定理的掌握和运用：韦达定理描述了一元二次方程根与系数之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。教师应强调韦达定理的记忆和应用，通过实际例题让学生学会运用韦达定理求解一元二次方程的根。
举例：方程x^2-3x-4=0，根据韦达定理，x1+x2=-(-3)/1=3，x1x2=(-4)/1=-4。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了根的判别式和韦达定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个数学工具的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程相关问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）根的判别式的理解和应用：本节课的核心内容是根的判别式Δ=b^2-4ac，以及其与一元二次方程根的关系。教师应重点讲解判别式的三种情况，并通过实例让学生掌握如何利用判别式判断一元二次方程的根的性质。
举例：方程x^2-5x+6=0，判别式Δ=(-5)^2-4×1×6=25-24=1>0，因此方程有两个不相等的实数根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调根的判别式的推导和韦达定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与根的判别式和韦达定理相关的实际问题。
判别式-韦达定理经典题型讲解
1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
家长签字：
【典例3】.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
【典例4】已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
【典例5】已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。
【典例6】（06黑龙江）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______
5、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。
6、三角形ABC 的三边长分别为 a,b,c，满足b=8-c, a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。
7、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求 的值。
学生姓名
赵琦
年级
九年级
上课时间
07月15日16:30~18:30
教学目标
教学重难点
1、求根公式：
2、根的判别式：
3、韦达定理：
根的判别式
【典例1】.关于 的方程 的一个根是－2，则方程的另一根是_____； ＝______。
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[文件] sxjsck0006 .doc[科目] 数学[关键词] 初二/ 判别式/韦达定理/方程[标题] 判别式与韦达定理[内容]判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1． 判别式的应用例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a 、b 、c 、R 、P 满足条件PR ＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax 2+2bx+c=0必有实根.证明 △=（2b ）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra ），代入①，得△ =（Pc+Ra ）2-4ac=（Pc ）2+2PcRa+（Ra ）2-4ac=（Pc-Ra ）2+4ac （PR-1）.∵（Pc-Ra ）2≥0，又PR ＞1，a ≠0，（1）当ac ≥0时，有△≥0；（2）当ac ＜0时，有△=（2b ）2-4ac ＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax 2+2bx+c=0必有实数根.例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k 是实数，O 是数轴的原点，A 是数轴上的点，它的坐标是正数a.P 是数轴上另一点,坐标是x,x ＜a ，且OP 2=k ·PA ·OA.（1） k 为何值时，x 有两个解x1，x2（设x 1＜x 2）；此处无图（2） 若k ＞1，把x 1，x 2，0，a 按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解 （1）由已知可得x 2=k ·（a-x ）·a ，即x 2+kax-ka 2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△ =k 2a 2+4ka 2=a 2k （k+4）＞0.∵a ＞0， ∴k （k+4）＞0，故k ＜-4或k ＞0.（2）x 1＜0＜x 2＜a.例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明y x y xy x +++-22不可能分解为两个一次因式之积.分析 若视原式为关于x 的二次三项式，则可利用判别式求解.证明 ).()1(2222y y x y x y x y xy x ++-+=+++-将此式看作关于x 的二次三项式，则判别式△ =.163)(4)1(222+--=+--y y y y y显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x ，y ，z 是实数，且x+y+z=a ，①.212222a z y x =++ ②求证：0≤x ≤,32a 0≤y ≤,32a 0≤z ≤.32a 分析 将①代入②可消去一个字母，如消去z ，然后整理成关于y 的二次方程讨论. 证明 由①得z=a-x-y ，代入②整理得.0)44()(44222=+-+-+a ax x y a x y此式可看作关于y 的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a ）2-16（4x 2-4ax+a 2）≥0)23(16a x x --⇔≥00⇔≤x ≤.32a 同理可证：0≤y ≤a 32，0≤z ≤a 32. 例5设a 1，a 2，a 3，b 是满足不等式（a 1+a 2+a 3）2≥2（232221a a a ++）+4b 的实数.求证：a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.证明 由已知可得]42)[()(221222132123b a a a a a a a a +-++⋅+⋅-≤0.设,]42)[()(221222132123r b a a a a a a a a -=+-+++⋅-则.0]42)[()(221222132123=++-++⋅+⋅-r b a a a a a a a a∵a 3是实数， 故△≥0，即有（a 1+a 2）2≥（2221a a +）-2a 1a 2+4b+r≥2（2221a a +）-（a 1+a 2）2+4b.于是（a 1+a 2）2≥（2221a a +）+2b ，∴a 1a 2≥b.同理有a 2a 3≥b ，a 3a 1≥b.三式相加即得a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.例6 设a 、b 、c 为实数，方程组 ⎩⎨⎧++==c bx ax y x y 2与⎩⎨⎧++=-=c bx ax y x y 2 均无实数根.求证:对于一切实数x 都有||2c bx ax ++＞.||41a 证明 由已知条件可以推出a ≠0，因为若a=0，则方程组⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧+==cbx y x y c bx y x y ,至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax 2+bx+c=±x 无实根，因此判别式△=ac b 4)1(2- ＜0，于是 （b-1）2+（b+1）-8ac ＜0.即 4ac-b 2＞1. ∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++2222442||||a b ac a b x a c bx ax ＞.||41412a aa =⋅ 2． 韦达定理的应用例7 （1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题）假设x 1、x 2是方程x 2-（a+d ）x+ad-bc=0的根.证明这时3231,x x 是方程0)()33(3332=-++++-bc ad y bcd adc d a y 的根.证明 由已知条件得 .,2121bc ad x x d a x x -=⋅+=+∴)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+=a 3+d 3+3abc+3bcd ，.)()(33213231bc ad x x x x -=⋅=⋅ 由韦达定理逆定理可知，31x 、32x 是方程 0)()33(3332=-++++-bc ad y bcd abc d a y 的根.例8已知两个系数都是正数的方程a 1x 2+b 1x+c 1=0， ①a 2x 2+b 2x+c 2=0， ②都有两个实数根，求证：（1） 这两个实数根都是负值；（2） 方程 a 1a 2x 2+b 1b 2x+c 1c 2=0 ③③也有两个负根.证明 ∵方程①有两个实数根，∴11214c a b -＞0. ④同理22224c a b -＞0. ⑤又a 1、b 1、c 1都是正数，∴11a c ＞0，11a b -＜0. 由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.显然a 1c 1＜4a 1c 1代入④，得1121c a b -＞0， ⑥由22224c a b -＞0，得22b ＞,422c a ⑦∴△))((4)(2121221c c a a b b -==)4(22112221c a c a b b -⋅≥)4()4(22112221c a c a c a b -=)(4112122c a b c a -＞0，∴方程③也有两个实数根.又a 1a 2＞0，b 1b 2＞0，c 1c 2＞0， ∴2121a a c c ＞0， 2121a a b b -＜0. 由此可知方程③的两个根也是负值.例9（1983年上海初中数学竞赛题）对自然数n ，作x 的二次方程x 2+（2n+1）x+n 2=0，使它的根为αn 和βn .求下式的值：)1)(1(1)1)(1(14433+++++βαβα +.)1)(1(1)1)(1(1202055++++++βαβα 解 由韦达定理得,),12(2n n n n n n =⋅+-=+βαβα1)()1)(1(+++=++n n n n n n a ββαβα=).2(1)]12([2-=++-+n n n n而 )2(1)1)(1(1-=++n n n n βα =⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n 12121（n ≥3）， ∴原式=⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121311121 +⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011815131 =.76053120119121121=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+例10（1989年全国初中联赛试题）首项不相等的两个二次方程（a-1）x 2-（a 2+2）x+（a 2+2a ）=0 ①及（b-1）x 2-（b 2+2）x+（b 2+2b ）=0 ②（其中a ，b 为正整数）有一公共根，求ab ab b a b a --++的值. 解 由题得知，a ，b 为大于1的整数，且a ≠b.设x 0是方程①②的公共根，则x 0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x 0代入原方程，并经变形得0)2()2()1(0202020=+++--x x a x a x ③及0)2()2()1(0202020=+++--x x b x b x ④所以a ，b 是关于t 的方程0)2()2()1(0202020=+++--x x t x t x相异的两根，因此.12,120020020-+=-+=+x x x ab x x b a 于是 ab-（a+b ）=2，即（a-1）（b-1）=3.由⎩⎨⎧=-=-3111b a 或⎩⎨⎧=-=-1131b a 解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a ∴.256==++--a b a b ab b a ba b a 例11 （仿1986年全国高中联赛题）设实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=+-++=+--.066,078222a bc c b a bc a 求证:1≤a ≤9.证明 由①得bc=a 2-8a+7.①-②得 b+c=).1(-±a所以实数b ，c 可看成一元二次方程078)1(22=+-+-±a a x a x的两根，则有△≥0，即[])78(4)1(22+---±a a a ≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a ≤9.例12 （1933年福建初中数学竞赛题）求证：对任一矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长和面积比都等于常数k （k ≥1）.①②分析 设矩形A 及B 的长度分别是a ，b 及x ，y ，为证明满足条件的矩形B 存在，只须证明方程组⎩⎨⎧=+=+.),(kab xy b a k y x （k ，a ，b 为已知数） 有正整数解即可.再由韦达定理，其解x ，y 可以看作是二次方程z 2-k （a+b ）z+kab=0的两根.∵k ≥1，故判别式△ =k 2（a+b ）2-4kab≥k 2（a+b ）2-4k 2ab=k 2（a-b ）2≥0，∴上述二次方程有两实根z 1，z 2.又z 1+z 2=k （a+b ）＞0，z 1z 2=kab ＞0，从而，z 1＞0，z 2＞0，即方程组恒有x ＞0，y ＞0的解，所以矩形B 总是存在的.练习二十一1． 填空题（1） 设方程19871=-x x 的两根为m ，n （m ＞n ），则代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n m 113的值是_______;（2） 若r 和s 是方程x 2-px+q=0的两非零根,则以r 2+21s 和221r s +为根的方程是__________;（3） 已知方程x 2-8x+15=0的两根可以写成a 2+b 2与a-b,其中a 与b 是方程x 2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.2.选择题(1)若p,q 都是自然数,方程px 2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程0119851983)1984(2=-⋅-x x 的较大根为r,0198419832=-+x x 的较小根为s,则r-s 等于( ). (A)19851 (B)1985 (C)19851984 (D)19841983- (3)x 2+px+q 2=0(p ≠0)的两个根为相等的实数，则x 2-qx+p 2=0的两个根必为（ ）.(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4） 如果关于方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根个数为(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3．（1983年杭州竞赛）设a 1≠0，方程a 1x 2+b 2x+c 1=0的两个根是1-a 1和1+a 1；a 1x 2+b 1x+c 2=0的两个根是121-a 和111a -；a 1x 2+b 1x+c 1=0的两根相等，求a 1，b 1，c 1，b 2，c 2的值. 4.常数a 是满足1≤a ≤50的自然数.若关于x 的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x 2的两根都是自然数,试求a 的值.5.设x 2、x 2为正系数方程ax 2+bx+c=0的两根，x 1+x 2=m ，x 1·x 2=n 2，且m ，n.求证:(1) 如果m ＜n ，那么方程有不等的实数根；(2) 如果m ＞n ，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足,43312222=+++-βαβαβαβα.2711=+βα 7．（1987年全国初中竞赛题）当a ，b 为何值时，方程x2+（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实根？8．（1985年苏州初中数学竞赛题）试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax 2+bx+c=0的判别式的值.9．（第20届全苏中学生数学竞赛题）方程x 2+ax+1=b 的根是自然数，证明a 2+b 2是合数.10．（1972年加拿大试题）不用辅助工具解答：（1） 证满足19812+=x x 的根在1981和197.99494949…间； （2） 同（1）证2＜1.41421356.练习二十一 1.(1).1419872-+ (2).0)1()2)(1(22222=++-+-q q y q q p q y (3)3.2.C B A.3.,2,42,1,222111-==-==b c b a ,1,22)256(21112-=-=-=b a c 或 ).256(21,2,42221+==-=c b c 4.x=a+2±a 4由于x 为自然数，可知a 为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略6.3x 2-7x+2=0.7.因为方程有实根,所以判别式.21,1.0])2()1[(4,0])2()1[(4.0])2()1[(4)]44()21[(4)]2443(3)1[(4222222222222-===++--∴≤++--≥++--=++++--=+++-+=∆b a b a a b a a b a a b ab a a a b ab a a 故8.设1986=4k+2(其中k 是自然数).令△=b 2-4ac=4k+2,这时b 2能被2整除,因而b 也能被2整除.取b ＝2t,这时b 2=4t 2,且4t 2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证. 10.由19812+=x x ，可得x 2-198x+1=0,其根 .41421356.170999949.19770992.)1(,99494949.1971981198198,99494949.1971981198198.198119812,19811981.1,198.27099,270992=--==--==--=+=+===+-=+=ααββαββαααββαβ又命题得证故又由原方程故a。