高中数学选修4- 2矩阵与变换

M0(x0,y0）且平行于非零向量 v0 的方程为
v1
v2
的直线l
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 -1 0 1 10
的变换过程(先旋转后压缩):
0 -1 1/2 0 1 00 1
的变换过程(先压缩后旋转):
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 01
理
山东 文
不考 不考
海南
宁夏
理
解答题 文
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3．坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2．几何证明选讲
（4）江苏省
2008江苏高考数学科考试说明
附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修 系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何 证wk.baidu.com选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系 与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的 内容（考生只需选考其中两个专题）。
2、教材定位及意图
＊ 只讨论具体的二阶矩阵 ＊ 从几何上理解矩阵的有关知识 ＊ 为进一步学习高等数学奠定基
础
与大学教学相区别： • 大学:代数的运算对象,主要研究运算性
质;线性方程组与线性空间的表示方法.
• 课程标准:通过几何变换对几何图形的 作用体会矩阵的几何作用,从直观上认 识矩阵的意义.
“矩阵与变换”与“线性代数”
方程的曲线的几何性质。
x/ y/
2
2
2
，
2
2 2
x y
2
2
其坐标变换公式为
x
/
2 x 2
2y
2 ，代入
y
/
2 x 2
l1、l2相交
1 m
2
m2 3m m2 (m 2) 0 3m
1 l1 // l2 m 2
m2 0且1
3m
m2
6 0
2m
教材第28页第5题
2
把矩阵
2 2
2
2
2 2
对应的线性变换作用在
2
双曲线 xy 1上，试写出所得曲线的方程，
并画出图形.
2 2
解通：过矩旋阵转 变222 换22可2 对研应究的某线些性变非换标为准
2008年高考江苏数学试题
在平面直角坐标系中，设椭圆 4x 2 y 2 1
在矩阵
A
2 0
10 对应的变换下得到曲线 F，
求 F 的方程.
解：设 P(x0, y 0) 是椭圆上任意一点，点 P(x0, y 0)
在矩阵 A 对应的变换下变为点P'(x0' , y0' )，则有
x0/ y0/
2 0
0 1
√ √ √ √ √ √
二、教学思考
1、知识结构 2、教学定位 3、教学建议
1、知识结构
矩阵与变换
常见的二阶矩阵
恒等变换矩阵 旋转变换矩阵 反射变换矩阵 伸缩变换矩阵 投影变换矩阵 切变变换矩阵
矩阵的乘法 逆矩阵 特征值
常见几何变换
恒等变换 旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换
变换的复合 逆变换 特征向量
10 0 -1
-1 0 01
切变变换
11 01
10 21
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0
10 00
投影变换
00 11
矩阵变换的基本性质——线性
1)A() A
2)A( ) A A
• 也就是，
A( ) A A
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
• 直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
3．严格控制本专题内容的教学 难度
1．研究高考试题，把握考试趋势 2．认真研读课标，吃透教学意见 3．回归课本，抓好基础落实 4、注重规范，重视通性通法 5、了解学生学情，制订复习计划
矩阵---几何变换的代数表示
• 几何代数化----向量
• 平面几何变换 : 二阶矩阵 乘向量
2 1
1 1
10
2 1 1 0 11 (1)
0
2
1
2 1
1 1
10
20 11 10 (1)1
1 1
矩阵就是一个几何变换，它 把平面上 的任一个点 ，变成平面上的另一个点。
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
• 恒等变换 • 旋转变换 • 反射变换 • 伸缩变换 • 投影变换 • 切变变换
伸缩变换
1/2 0 01
10 0 1/2
反射变换
-1 0 01
• 伸缩变换之逆为伸缩变换 • 旋转变换之逆为旋转变换 • 切变变换之逆为切变变换
线性方程组与变换
• 线性方程组的矩阵形式
2x y 1 x 3y 2
12
31
x y
1
2
• 求解线性方程组即为：求一个向量，它 由已知变换变为一个已知向量。
Mx x M 1
• 可以根据变换，讨论可逆解的情况。
x0 y0
，即
，所以 x0' 2x0
y0'
y0
x0
x0' 2
y0 y0'
又因为点 P在椭圆上，所以F的方程是 x2 y2 1
具体考查要求如下：
内容
矩阵的有关概念 二阶矩阵与平面向量
常见的平面变换 矩阵的复合与矩阵的乘法
二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值和特征向量
二阶矩阵的简单应用
要求 A BC √
《矩阵与变换》
教学思考与备考建议
鄞州区正始中学 胡乾彪
一、背景分析
1、浙江省 2、其他省份
（1）广东省 （2）海南、宁夏 （3）山东省
2007、2008年考试内容分析：
省区
文理
理
广东
填空题
文
选修系列4
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3． 坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2． 几何证明选讲
教材P60思考 如果关于变量x, y的二元一次方程组
ax cx
by dy
e f
的系数矩阵A
a c
b d
不可逆，
那么它的解的情况如何？
矩阵表示为 ca
b d
x y
e f
，即A
x y
e f
.
已知两条直线l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,l1与l2 （１）相交；（２）平行；（３）重合。
4、教学建议
（1）重视展现基本概念、重要结论 的发生发展过程
（2）强调把矩阵看作线性变换的本质， 强调几何直观
（3）强调数学思想方法的渗透和运用
具体与抽象 操作与理解
（4）处理好五大关系 基础与拓展
局部与整体 总结与提高
三、备考建议
1．准确把握教学要求，落实基础
2．加强相关知识的联系性，强 调数学思想方法
• 线性代数 突出的是代数，计算及运算规律，内容抽象。 方程组 行列式 矩阵 线性空间
• “矩阵与变换”强调矩阵的几何背景和矩阵 的几何意义，强调通过具体的变换建立和 理解这些抽象的概念.
3、设计思路及特色
突出矩阵的几何意义 从具体到一般，从直观到抽象 用实例展示矩阵应用广泛性 运用信息技术