实验数据处理的基本方法

t/℃ 19.1
R/Ω 76.30
t2/℃2 365
R t/ Ω ℃ 1457
2 3
4 5
25.0 30.1
36.0 40.0
77.80 79.50
80.80 82.35
625 906
1296 1600
1945 2400
2909 3294
6
7 n=7
45.1
50.0
83.90
85.10
2034
2500
y2 y1 k x2 x1
非线性关系数据可进行曲线改直后再处理 作图法特点: 简单明了。 缺点:有一定任意性（人为因素），故 不能求不确定度。
3
因变量 终点
R ()
12.700 12.500 12.300 12.100 11.900 11.700 11.500 11.300
标度
11.100
10.900 10.700
起点
自变量
20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0
10.500
t ( C)
4
(4)描点
R ()
12.700 12.500 12.300 12.100
+ + +
(5)连线 (6)注解说明
11.900 11.700 11.500 11.300 11.100 10.900 10.700 10.500
在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程 y=a+bx 的方法叫最小二乘法。
2 v i min
10
假定最佳方程为：y=a0+b0x，其中a0和 b0是最佳系数。残差方程组为：
vi yi yi yi a0 b0 xi L i
2 2
y na b
根据上式计算出最佳系数 a0 和 b0 ，得 到最佳方程为： y=a0+b0x
12
最小二乘法应用举例
为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电 阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R = a + b t。 表一 电阻随温度变化的关系
t/℃
19.0
25.0
30.1
36.0
40.0
45.1
50.0
5实验数据处理基本方法 一、列表法
表1.不同温度下的金属电阻值
n t(C) 1 10.5 2 26.0 3 38.3 4 51.0 5 62.8 6 75.5 7 85.7
R() 10.423 10.892 11.201 11.586 12.025 12.344 12.670
物理量的名称(符号)和单位
i 2 0 0 i i
x 2a y 2b y x 2a b x
2 0 2 i 0 0 0 i
i
11
L L 根据最小二乘原理， 0； 0 a0 b0 na0 b0 xi yi 2 a0 xi b0 xi xi yi yi xi xi yi n xi yi a0 b0 ；b0 2 2 n n x n x i i
是从统计的角度处理数据，并能得到测 量结果不确定度的一种方法。
若
y
X
X1 Xn
y1 yn
y=a+bx
满足线性关系
最简单的情况:
xi , yi为等精度测量 xi的测量误差不考虑
9
由于每次测量均有误差，使
y1 ( a bx1 ) v1 0 yn ( a bxn ) vn 0
有效数字正确
1
二 作图及图解法
注意:[1]根据数据的分布范围，合理选择 单位长度及坐标轴始末端的数值 ，并以有效数字的形式标出。
[2]将实验点的位置用符号X或 等标在图上，用铅笔连成光滑 曲线或一条直线，并标出曲线 的名称。
2
[3]线性关系数据求直线的斜率时,应在 直线上选相距较远的两新点A.B标明 位置及坐标A(X1 Y1), B(X2 Y2) 由此 求得斜率。
+
+
+ +
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
t ( C)
5
R ()
(7)求斜率
12.700 12.500 12.300 12.100
R R0 (1 t )
A(13.0,10.500) B(83.5,12.600)
电阻R随温度 t变化曲线 + B(83.5,12.600) t : 5.0 C/cm R : 0.100Ω /cm +

将其分成两组，进行逐差可求得：
Y 1 Y n1 Y 1
Y n Y 2n Y n
1 y y i n
7
砝码质量(Kg) 弹簧伸长位置(cm)
1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
R/Ω 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10
解： 2 t , R , t 1. 列表算出： i i i , Ri t i 2. 写出a、b的最佳值满足方程
t R t t Rt ab ；a b
2
n
n
n
n
n
13
n 1
1 x ( x 2 x1 ) ( x 3 x 2 ) ( x8 x7 ) 7 1 ( x8 x1 ) 7
1 x [( x5 x1 ) ( x6 x2 ) 44 ( x7 x3 ) ( x8 x4 )]
8
四、最小二乘法
+
11.900 11.700 11.500 11.300 11.100 10.900 10.700 10.500
+
+
+ +
A(13.0,10.500)
20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0
t (6 C)
三、逐差法
当X等间隔变化，且X的误差可以不计 的条件下， 对于 X ：X1 Xn X2n Y ： Y 1 Y n Y 2n
3. 写出待求关系式：
R 70 .79 0.2873 t R－－；t－－℃
15
t
2 i
3784
4255
ti
=245.3
Ri
=566.00
R t
=9ຫໍສະໝຸດ Baidu26
i i
=20044 14
245.3 566.00 a b 7 7 列表据代入方程： 245.3 a 9326 b 20044 7 7 7 a 70.79 解出： b 0.2873 / C