大学物理第十二章

d
结果表明，P点的磁感 应强度B的大小为一常量，方 向垂直于OO之间的连线d， 即在Y轴方向上，所以空腔中 的磁场为匀强磁场
2 0 B1 y B1 cos jr1 cos 2
jr1 sin
Y B1
B
θ α
0
B2
Bx B1x B2 x
0 j
2
By B1 y B2 y
0 j
2
( r2 sin r1 sin ) 0
( r2 cos r1 cos )
0 j
2
I
I dl
I
Q Idt qnvSdt
电流元Idl内有带电粒子数 dN nSdl 设dB为这些运动粒子所激发的磁场，则 每个粒子所激发的磁场为
dB ˆ ˆ 0 Idl r 0 qv r B ( ) dN 2 2 dN 4π r 4π r
当运动电荷速度 v接近光速时上式不能成立。
d
I
r2
2
B2
B1 1
dl2
L
r1
dl1
B1 dl1 B2 dl2 0 B d l 0
L
结论：不穿过闭合环路的电流尽管在空中产生 了磁场，但对环路积分没有贡献。
B dl ( Bi ) dl Bi dl 0 I i
l MN OP PM
B MN 0 n MN I
B 0 nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 解 1） 对称性分析：环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。 2）选回路 ：
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R 当 2 R d 时，螺绕
B
0 I
2 πr
I r
b
0 I d B BdS bdr 2 r
B d B
a c
c
a
c
0 I 0 Ib a c bdr ln( ) 2 r 2 c
2、安培环路定理
(1)回路环绕电流（L 与I成右螺旋） 对任意形状的回路
B dl Bdl cos
值的人们的注意。在这一重大发现之后，一系列
的新发现接连出现。两个月后安培发现了电流间
的相互作用，阿拉果制成了第一个电磁铁，施魏
格发明电流计等，安培曾写道：“奥斯特先生 ……已经永远把他的名字和一个新纪元联系在一 起了。”
I S
I
S N I
N
磁感应线的特点 1、磁感应线为闭合曲线，或两头伸向无穷远， 相应的磁场称涡旋场。 2、闭合的磁感应线与载流回路相互套连在一起 3、磁感应线的环绕方向与电流方向服从右螺旋 法则。
2
dr
解法二 运动电荷的磁场
R o r
dB0
0 dqv
4π r
2

dr
dq 2π rdr
dB
0
2
2
dr
B
0
2

R
0
dr
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0 R
12-4 磁场的高斯定理 安培环路定理
1、磁通量 磁场的高斯定理
B
S
dS1 1 B1
dS2
2
B2
dΦ B1 dS1 0 1 dΦ2 B2 dS2 0
磁场的高斯定理
B d S 0
S
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等 于零，故磁场是无源场。
例 一长直导线通有电流I，其近旁平行放置一 矩形线框，求穿过矩形线框的磁通量。 解 载流直导线周围的 dr 磁感应强度为
d
0 I 0 I rd d 2 r 2 B dl 0 I
L
I

B
dl
r L
L与I成右螺旋
若回路绕向为顺时针时，则 B d l 0 I
L
(2)电流在回路之外 0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I B1 dl1 d 2π 0 I B2 dl2 d 2π
第 十二 章
稳恒磁场
12-1 电流的磁效应
1819年奥斯特在上 课时做一试验，在一通 电的细铂丝下平行放置 一小磁针，结果发现电
流的磁效应。
I
S
N
Hans Christian Oersted
1777～1851年丹麦物理学家
奥斯特发现的电流磁效应，是科学史上的重
大发现。它立即引起了那些懂得它的重要性和价
d
R
环内可视为“均匀场” 。
B 0 nI
例3 无限长载流圆柱体的磁场。 解 rR B d l 0 I
l
I
R R
B 的方向与 I 成右螺旋。
2π r π r2 0 r R, B d l 0 I 2 l πR 2 0 r 0 Ir 2π rB 2 I B R 2π R 2
2π rB 0 I
B
0 I
L
r
B
dB
I
.
dI
B

I
0 r R, B 0 Ir2 2π R r R, B 0 I 2π r
0 I
2π R
B
R
o R
r
例4 一半径为R的长圆柱形导体，在其中距其轴线为 d处挖去一半径为r(r<R），轴线与大圆柱形导体平 行的小圆柱，形成圆柱形空腔，导体中沿轴均匀通 有电流I，如图（a）。试求空腔内的磁感应强度B。 解 由于空腔的存在，不能直 Y 接用安培环路定理求解。
12-3 毕奥–萨伐尔定律
1、电流的磁场
电流元在空间产生的磁场
0 Idl r ˆ dB 2 4π r
真空磁导率 0 4π 10 N A
7
2
ˆ 0 I dl r B dB 4 π r2
例1 载流长直导线的磁场。
解 dB
0 Idl sin
B0
0 NI

0 NIR 2
3
I I O1 Q1 Q2 O2 P R R
在P点两侧的Q1、Q2两点，磁感应强度为
BQ
0 NIR2
R 2 2[ R ( ) ] 4
2 3 2

0 NIR2
3R 2 2[ R ( ) ] 4
2 3 2
0.712
0 NI
R
可见，P点附近轴线上的磁场基本均匀。
θ α
B
B2
B1
0 jπ r
2π r1
2 1

0 r1
2
j
B 2π r1 2 B1 I 上式中 j θ α B2 2 2 所以 π (R r ) r1 P θ r2 0 Ir1 α B1 θ 2 2 2π ( R r ) O d O X 同理可得 图（b） 0 r2 0 Ir2 B2 j 2 2 2 2π ( R r )
4π r
2
x
B Bx dB sin
Id l
R
r
x
dB

*p
dB

R cos r r 2 R2 x2
o

x
B
0 I cosdl
4π

l
r
2
0 Idl
4π r
2
0 IR 2π R B dl 3 4π r 0
B
dBx
0 I cosdl
r
2
0 IR 2
（x R ）2 2
2 2 3
4π
I
R o
x
*
B
B
0 IR 2
（x R ）2 2
2 2
2 3
x
3
讨论 1）若线圈有 N 匝 B
N 0 IR
2 2
（x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I x B 3） 0 2R 0 IR 2 0 IS 4）x R B ， B 3 3 2x 2π x
B1
0 jπ r12

0 r1
j
Y
B1x B1 sin
0
r1 P θ B2 x B2 cos jr2 sin r2 2 α θ 0 O d O X B2 y B2 sin jr2 cos 图（b） 2 P点的磁感应强度B的两个正交分量为
L
0 B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 ) （I1 I 2）
L
是否回路 L 内无电流穿过？
例1 求长直密绕螺线管内磁场。 解
M N +++ + + + ++++++ L O P
NO
B
B d l B d l B d l B d l B d l
L L i i L i 1
(3)多电流情况
n 安培环路定理 B dl 0 I i L
一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和。
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
i 1
0 乘以该闭合路径
I1 I1
L
I2 I 3
I1
问 1） B是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？
12-2 磁 场
1、磁感强度的定义
方向：磁场中的每一点都有一个特征方向， 当试探电荷q0沿这个方向运动时不受力。这一特 征方向定义为磁场的方向。
大小：当试探电荷q0的 运动速度v垂直于上述B方向 时，磁场力最大，且Fmax与 q0v的比值只取决于该点磁场 的性质，我们把这一特征量 定义为B的大小，即
O1
Q1
P
Q2
O2
2、运动点电荷的磁场
实验指出，在(v<<c)条件下，运动电荷在空间任 意点A产生的磁场为
0 q( v r ) ˆ B 4π r2 μ 0 qv sinθ B 4π r2
A

可从毕奥—萨伐尔定律导出运动电荷的磁 场表达式。 设电荷密度n，每个电荷的带电量q，运动 速度v，电流元Idl，导体的截面S，则
4π r2
M
2

0 M Idl sin B dB 2 N 4π r l r0 cot , r r0 / sin
dl r0d / sin
2
dl l
r
r0 dB P
B
0 I
4π r0

2
1
sin d
I N
1
B
0 I
4π r0

2
1
0 I （cos1 cos 2） sin d 4π r0
采用补偿法求解，即将空 腔部分等效成同时存在着电流 密度为j和(-j)的电流，
I
r1 P(r,θ) o r2 d o X
图（a）
空腔中任意一点的磁场为
B B1 B2
取空腔中任意一点P，OP r1 , OP r2 由于半径为R和半径为r 的长圆柱体产生的磁场具有 轴对称性，故根据安培环路 定理，有 Y B1 r1 P θ r2 α θ O d O X 图（b）
例 半径为 R的带电薄圆盘的电荷面密度 为 ，并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的 轴转动。 求：圆盘中心的磁感强度。 解法一 圆电流的磁场
R o r

dr
dI 2π rdr rdr 2π 0dI 0
dB
0 B 2
2r


R
0
0 R dr 2
M
无限长载流长直导线的磁场
B
（cos1 cos 2） 4π r0
0 I
2

r r0 dB
dl
l
1 0 2 π
B
0 I
2π r0
I N
P
1
例2 圆形载流导线轴线上一点 p 的磁场。
Id l
r
B
dB
p *
o
R

B
I
解 根据对称性分析
dB
0 Idl
例3（亥姆霍兹线圈）设两线圈半径R，间距也为 R，各有N匝，电流为I ，试计算圆心O1、O2处磁 感应强度，轴线上中点P处及O1P的中点Q1、O2P 的中点 Q2的磁感应强度。
I I O1 Q1 Q2 O2 P R R R
解
2R 2( R 2 R 2 ) 2 0 NI 1 (1 ) 2R 2 2 R 0 NI 0.677 R 两线圈轴线上中点P处的磁感应强度 2 0 NIR 0 NI BP 2 0.716 R 2 32 R 2 2[ R ( ) ] 2
单位：T（特斯拉） 1T=1N/(A· ，1T=104Gs m)
几种磁场的强度
种类 脉冲星 超导磁铁 大型电磁铁 磁疗器 核磁共振仪 B/T 种类 B/T 10–4 3×10–5 6×10–5 10–10 10–12
108 太阳磁场 102 地球赤道磁场 2 地球两极磁场 0.1~0.2 动物心脏 4 ×10–4 动物大脑 ~8×10–4