中考数学分式方程及应用

3．解方程：x－2 1＝x＋3 1. x＝5
4．解方程：2x3－4－x－x 2＝12. x＝53
5．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投 放市场．现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情 况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
经检验：x＝－3 是原方程的根． ∴分式方程的解为 x＝－3. (2)题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个 整式方程的根．
∵mxx－＋11＝－1 有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当 x＝1 时，解得 m＝ －1.
【解答】(1)D (2)C
(1)(2010·眉山)解方程：x＋x 1＋1＝2x＋x 1； (2)(2010·上海)解方程：x－x 1－2x－x 2－1＝0.
(1)(2010·咸宁)分式方程x－x 3＝xx＋ －11的解为(
)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
(2)(2009 中考变式题)若解分式方程mxx－＋11＝－1 时产生增根，则 m 的值是(
)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得 x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得 x＝－3.
【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设 120 m 用的天数＋后来 180 m 新工效所用 的天数＝30.
【答案】12x0＋310＋0－201%20x＝30
13．(2010·成都)甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作， 且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是 x 天，则 x 的值是________．
B．2－1＋x＝1
C．2－1＋x＝2x
D．2－1－x＝2x
【解析】等号两边同乘以 2x，去分母后为 2－1＋x＝2x.
【答案】Cห้องสมุดไป่ตู้
3．(2011 中考预测题)已知方程x－x 5＝3－x－a 5有增根，则 a 的值为(
)
A．5
B．－5
C．6
D．4
【解析】原式去分母后得 x＝3(x－5)－a，把增根 x＝5 代入得 a＝－5.
甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品
考点训练 9 分式方程及应用 训练时间：60分钟 分
考点训练 9
分式方程及应用
分式方程及应用
训练时间：60分钟
训练时间：60分钟 分值：100分
分值：10
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
1．(2010·重庆)方程x＋3 2＝x＋1 1的解为(
【点拨】本组题考查分式方程的解法，一般步骤为：①去分母，转化为整式方程；②解 整式方程，得根；③验根．这三步缺一不可．
【解答】(1)方程两边同时乘以 x(x＋1)，约去分母，得 x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得 x＝－12. 经检验，x＝－12是原方程的根． 所以，原方程的解为 x＝－12. (2)方程两边同时乘以 x(x－1)，约去分母，得 x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0 解得 x＝12或 x＝2. 经检验，x＝12或 x＝2 都是原方程的根． 所以原方程的解为 x＝12或 x＝2.
考点二 与增根有关的问题 1．分式方程的增根必须同时满足两个条件 (1)是由分式方程化成的整式方程的根； (2)使最简公分母为零． 2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代 入变形后的整式方程，求出参数的值．
考点三 列分式方程解应用题 1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样．不同之处是列出的方程是分式方程．
【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值 是否是原方程的根以及是否符合题意．
【解答】(1)设乙单独做 x 天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程，由题意，
得 20(1x＋x＋130)＝1. 整理，得 x2－10x－600＝0. 解得 x1＝30，x2＝－20. 经检验，x1＝30，x2＝－20 都是分式方程的解，但 x2＝－20 不符合题意，舍去． 当 x＝30 时，x＋30＝60. 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要 60 天、30 天． (2)合作(20－a3)天
【解析】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为 x 千米/时，则x＋210＝x－1.210，解得 x ＝40，经检验，x＝40 是原方程的根，即该冲锋舟在静水中的最大航速为 40 千米/时．
【答案】40 千米/时
三、解答题(共 40 分)
16．(20 分)解方程． (1)(2010·无锡)2x＝x＋3 3； (2)(2010·遵义)xx－ －32＋1＝2－3 x； (3)(2010·镇江)1x＝3x－x 2； (4)(2010·苏州)x－x212－x－x 1－2＝0.
A.2x5＝x－3520 B.x－2520＝3x5 C.2x5＝x＋3520 D.x＋2520＝3x5
【解析】由题意知小车的速度为(x＋20)千米/时，根据货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同，得2x5＝x＋3520.
【答案】C
6．(2009 中考变式题)某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技 术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装 多少套．在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为( )
求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验．根．，不要缺少了这一步.
2．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题．(包括日历中的数字规律) ①设个位数字为 c，十位数字为 b，百位数字为 a，则这个三位数是 100a＋10b＋c； ②日历中前后两日差 1，上下两日差 7. (2)体积变化问题． (3)打折销售问题． ①利润＝售价－成本； ②利润率＝利 成润 本×100%. (4)行程问题． (5)教育储蓄问题． ①利息＝本金×利率×期数； ②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)； ③利息税＝利息×利息税率； ④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
11．(2010·温州)当 x＝________时，分式xx＋ －31的值等于 2.
【解析】xx＋ －31＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5，经检验 x＝5 是原方程的根．
【答案】5
12．(2010·青岛)某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道．铺设 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20%，结 果共用 30 天完成这一任务，求原计划每天铺设管理的长度．如果设原计划每天铺设 x m 管 道，那么根据题意，可得方程____________．
【答案】D
8．(2011 中考预测题)解分式方程x2＋x1－xm2＋ ＋1x＝x＋x 1时产生增根，则 m 的值是(
)
A．－1 或－2 B．－1 或 2
C．1 或 2
D．1 或－2
【解析】方程两边同乘以 x(x＋1)得 2x2－(m＋1)＝(x＋1)2.
∵方程有增根，∴x＝0 或－1. 当 x＝0 时，2×02－(m＋1)＝(0＋1)2，∴m＝－2. 当 x＝－1 时，2×(－1)2－(m＋1)＝(－1＋1)2，∴m＝1，故 m＝1 或－2.
(2010·重庆)某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成．甲工程队单 独施工比乙工程队单独施工多用 30 天完成此项工程．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含 a 的代数式表示) 可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元， 甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使 施工费不超过 64 万元？
【答案】B
7．(2011 中考预测题)用换元法解方程 x2－2x＋x2－7 2x＝8，若设 x2－2x＝y，则原方程化 为关于 y 的整式方程是( )
A．y2＋8y－7＝0 B．y2－8y－7＝0 C．y2＋8y＋7＝0 D．y2－8y＋7＝0
【解析】由题意可得，y＋7y＝8，则 y2－8y＋7＝0.
【答案】D
二、填空题(每小题 4 分，共 28 分) 9．(2010·山西)方程x＋2 1－x－1 2＝0 的解为________． 【解析】x＋2 1－x－1 2＝0,2(x－2)－(x＋1)＝0，解得 x＝5，经检验 x＝5 是原方程的根． 【答案】x＝5 10．(2010·宁夏)若分式x－2 1与 1 互为相反数，则 x 的值是________． 【解析】x－2 1＋1＝0,2＋(x－1)＝0，∴x＝－1，经检验 x＝－1 是原方程的根． 【答案】－1
【解析】由题意得x－x 2＋x－x 4＝1，解得 x＝6.
【答案】6 14．(2010·桂林)已知 x＋1x＝3，则代数式 x2＋x12的值为__________．
【解析】x2＋x12＝(x＋1x)2－2＝32－2＝9－2＝7. 【答案】7
15．(2010·绵阳)在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛．当时洪水流速为 10 千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水以最大速度顺流航行 2 千米所用的时间， 与以最大速度逆流航行 1.2 千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速 为__________．
【答案】B
4．(2009 中考变式题)解方程4－8x2＝2－2 x的结果是(
)
A．x＝－2 B．x＝2
C．x＝4 D．无解
【解析】4－8 x2＝2－2 x，8＝2(2＋x)，8＝4＋2x，x＝2 当 x＝2 时，4－x2＝0，∴x＝2 是原方程的增根，∴原方程无解．
【答案】D
5．(2010·益阳)货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同，已知小车每小时比 货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程 正确的是( )
)
A．x＝45
B．x＝－12
C．x＝－2
D．无解
【解析】x＋3 2＝x＋1 1，3(x＋1)＝x＋2,3x＋3＝x＋2，2x＝－1，x＝－12，经检验 x＝－12是 原方程的根．
【答案】B
2．(2009 中考变式题)以下是方程1x－1－ 2xx＝1 去分母后的结果，其中正确的是(
)
A．2－1－x＝1
A.16x0＋1＋42000%x＝18 B.1x60＋410＋0－201%60x＝18 C.1x60＋2400%0x＝18 D.40x0＋40200－%1x60＝18
【解析】采用新技术后的工作效率为(1＋20%)x，前 160 套所用时间为16x0，后来的(400 －160)套，所用时间为410＋0－201%60x，可列方程为1x60＋410＋0－201%60x＝18.
(3)由题意，得 1×a＋(1＋2.5)(20－3a)≤64. 解得 a≥36. 即甲工程队至少单独施工 36 天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能 使施工费不超过 64 万元．
1．方程xx－－42＝x－x 6的解是( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3
D．x＝4
2．关于 x 的方程2xx－＋1a＝1 的解是正数，则 a 的取值范围是 a<－1.
分式方程及应用
考点一 分式方程及解法 1．分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程―去―分→母 整式方程．
转化
3．解分式方程的步骤 ①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根． 4．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．解分式方程 时，有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最 简公分母中，使最简公分母为零的是增根，否则不是)．