导数的应用洛必达法则
推导洛必达法则的应用
推导洛必达法则的应用在物理学中，洛必达法则是一项常用的计算方法，用于求解导数与极限的问题。
它由法国数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪首次提出，并被广泛应用于解决各种复杂极限问题。
洛必达法则的应用范围非常广泛，本文将从几个具体的案例出发，介绍洛必达法则的应用。
首先，我们来看一个求极限的例子。
假设我们要计算当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x) = sin(x)/x的极限。
根据洛必达法则，我们需要对函数的分子和分母同时求导。
即f'(x) = cos(x)/1 = cos(x)。
接着，我们令x趋向于无穷大，再次计算极限。
此时，由于cos(x)在整个实数轴上都有定义，且不会发散，因此极限的值为1。
因此，根据洛必达法则，sin(x)/x在x趋向于无穷大时的极限为1。
洛必达法则在求解不定型的极限问题时也非常实用。
例如，我们考虑函数f(x) = (1-cos(x))/x^2的极限问题。
当x趋向于0时，函数的分子和分母都趋于0，无法直接通过代入来计算极限。
然而，我们可以利用洛必达法则，对函数的分子和分母同时求导。
分子的导数为sin(x)，而分母的导数为2x。
再次求导之后，分别得到cos(x)和2。
此时，我们令x趋向于0，求解极限。
由于cos(x)和2在0附近都有定义且不会发散，因此极限的值为1/2。
因此，根据洛必达法则，(1-cos(x))/x^2在x趋向于0时的极限为1/2。
除了求导数和极限外，洛必达法则还可以用于求解两个函数的极限比值。
例如，考虑函数f(x) = x^2和g(x) = x+sin(x)。
我们可以通过求解这两个函数的极限比值来研究它们的增长趋势。
根据洛必达法则，对于函数的分子和分母同时求导，得到f'(x) = 2x和g'(x) = 1+cos(x)。
再次求导之后，得到f''(x) = 2和g''(x) = -sin(x)。
洛必达法则和导数应用
1 cos x cos 3 x 3 x cos 2 x sin x lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x[sin x 3 x cos x sin x ] lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x sin 2 x 3 x cos 2 x sin x lim[ ] 2 2 cos 1 x 0 6x 6x
x x
x
0 型 0
e x e x xe x 1 lim 12 x x 0 12
1 f ( x )在点x 0处可导, 且f (0) . 12
例4
x
lim ln(1 e
2x
2 ) ln(1 ) x
lim
ln(1 e
2x
)
注 本题可以用拉格朗日中值定理来证明
二. 函数的极值,最值
例11 若a1 0, an1 f (an )(n 1,2,3,), 其中函数
f ( x )可导，且 ( x ) 0，f ( x ) 0, f (0) 1，则 f
( A)• {an }单调递增； (B)• {an }单调递减； (C )• {a2n }单调递增 , {a2n1 }单调递减 ; ( D)• {a2n }单调递减 , {a2n1 }单调递增 .
x2 x2
x2 x2
x2
x2
lim (e t e t ) 2
t 0
解法二 lim e
e x 0 sec x cos x
x2 2 x2
x2
x2
e (e 1) lim x 0 sec x (1 cos 2 x )
e 2 x2 lim lim x 0 sec x x 0 sin 2 x
导数的应用2洛必达法则
导数的应用二、洛必达法则 若f(x)与g(x)满足： （1）；（2）在点a 的某个去心邻域内可导，且；（3）；则。
标准型： 例：lim ()lim ()0x ax af xg x →→==()0g x '≠()lim ()()x a f x A g x →'=∞'或()()lim lim ()()()x a x a f x f x A g x g x →→'==∞'或0,0∞∞型型4322164lim lim 3221x x x x x →→-==-2001lim lim 121x xx x e e x x x →→-==---320000sin 1cos sin cos 1lim lim lim lim 3666x x x x x x x x x x x x →→→→--====2001ln(1)1lim lim 2x x x x x x →→++==∞注意：并不是所有的极限都能够用洛必达法则，必须满足应用条件。
例：求极限错解：正解：注意：有些极限由于其中的函数求导不易而不直接使用洛必达法则。
例：11ln 1lim (0)lim (0)lim (0)0n n n x x x x x n n n x nx nx -→+∞→+∞→+∞>=>=>=201sinlimsin x x x x →200111sin 2sin coslimlim sin cos x x x x x x x x x →→-==不存在2200011sin sin1lim lim lim sin 0sin x x x x x x x x x x x →→→===2222tan sin cos3sin cos3sin 3sin3lim lim lim lim 3tan3cos sin3sin3cos sin3sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππ→→→→-====-gg非标准型1：非标准型2：非标准型3：（1）（2）∞g 0型222+21arctan 12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x xx x x x x x ππ→∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-∞±∞型1111121ln 1ln 11ln lim()lim lim lim 111ln (1)ln ln 1ln 11lim 112x x x x x x x x x x xx x x x x x xx xx x x →→→→→-++--===---+-+==+000∞∞K 1型，型，型，111111ln lim lim ln 111111lim lim xx x x x x xxx x xeeee-→→----→→====00020ln lim1lim ln ln 001lim1lim 0lim lim 1x xx x x x x xxx x x x x xxx ee eeee →+→+→+→+→+→+--=======其他方法：如果复合函数中带有分式或根号，则采用换元法转换成标准型之后再采用洛必达法则。
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应
用
一、拉格朗日柯西中值定理
拉格朗日柯西中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是一个
基本的微积分定理，是18世纪意大利数学家拉格朗日发现的，它给出了
可以求解其中一函数在其中一区间内的极大和极小值的方法。
该定理可以用来测量曲线的性质，可以让用户证明曲线在一些点处正
在发生什么变化。
该定理的精辟语言为：如果一个连续函数在一些闭区
间上有定义，那么它在该闭区间上恒等于一些点的导数，这个点也被称作
函数的柯西中值点（Cauchy’s middlepoint）。
拉格朗日柯西中值定理可以证明任意在一个闭区间上有定义的函数都
存在其中一个极值点。
它的简要证明是：设f有定义在区间[a,b]上，这
个区间包含一个极值点在点c上，由于f在[a,b]上是连续的，所以必然
存在一点c，使得f'(c)=0，说明f在点c处取得极值。
而且，拉格朗日
柯西中值定理还能够帮助一般连续函数在任何两点之间存在极值点，也就
是说，它存在一个极值点，使f在这个极值点处取得极值。
拉格朗日柯西中值定理的主要用途在于解决极值问题。
可以通过给定
一个函数f和一个闭区间，利用该定理求函数f在这个闭区间上的极值点。
比如，可以利用拉格朗日柯西中值定理帮助用户确定求解一些操作最优的
参数值。
洛必达法则解高中导数问题
洛必达法则解高中导数问题在高中教学内容中，导数占据着重要的地位，并且通常在数学考试中以压轴题目出现，另外还是学生以后学习微积分的基础。
合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野，可以说导数是解决数学问题的有力工具。
而在运用导数解决问题的时候通过引入洛必达法则可以有效提高解题效率。
本文结合相关教学经验，分析洛必达法则在高中数学导数教学中的应用。
在高中数学教学内容中，有关导数有着较为详细的介绍，并详细论述导数的概念与几何意义，通过函数的变化率刻画函数变化的趋势。
导数教学内容是对函数性质与图像的总结与延伸，是研究函数、几何问题、证明不等式的重要工具，并且，通过导数可以实现生活中最优化问题的解答。
而应用洛必达法则可以对部分导数问题进行进一步的简化。
1应用洛必达法则的注意事项作为高中数学导数学习中的一个重要板块，洛必达法则能够有效减轻学生解决极限问题的压力，帮助他们以较为简便的方法对相关导数问题求解，大大降低了求解导数的难度，这在一定程度上有利于导数应用的广泛性，帮助学生应用导数解答大量的数学问题。
但是应用洛必达也有一些注意事项，教师在开展教学活动的过程中可以对此进行强调，引导学生在正确的情境之中合理应用洛必达法则，提高自己的解题效率。
如果教师不对应用洛必达法则的注意事项进行强调，学生难免会出现滥用洛必达法则而不自知的情况，这对于学生的解题是不利的。
教师可以从以下几个方面对洛必达法则进行强调：1、洛必达法则只能应用于0/0型或者是无穷大比无穷大型的。
在0/0型中，函数可以从正向趋近于0，也可以从负向趋近于0;在无穷大比无穷大型中，函数可以趋近于正无穷大，也可以趋近于负无穷大。
而在其他条件下，洛必达法则是不适用的。
如果学生在应用洛必达法则前没有对函数的情况进行判断，当然，他们能够应用洛必达的解题思路得出一个答案，但是这个答案是错误的，而这个错误常常不能够被学生所发现。
2、若lim（x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）的导数/g（x）的导数不存在，不能够说明若lim （x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）/g（x）不存在，只能说明洛必达法则失效。
导数的应用洛必达法则(11级)
x 0
sin x
(0 )
0
解 x sin x 是幂指函数， x 0 时，它是未定式。 利用恒等变形将其变为复合函数：x sin x e sin x ln x sin x ln x 是（0 ） 类型的未定式。 x 0 时，
ln x lim （ ） x 0 csc x 1x 洛 sin x sin x lim 0. lim x 0 csc x cot x x 0 x cos x
sin x lim (1 ) 1 x x
极限不存在
二、其他未定式
若limu(x)=1, limv(x)=, 则称极限式 limu(x)v(x) 为 1 型未定式, 此外还有 0 型和 00 型等未定式.
若limu(x)= , limv(x)=, 则称极限式 limu(x)-v(x) 为 - 型未定式. 若limu(x)=0, limv(x)=, 则称极限式 limu(x)v(x) 为0· 型未定式.
0 ln x ( ) lim x 1 1 0 1 ln x x
洛
1 lim . x 1 1 1 2 2
1 x
x
x
1 1 例2. 求 lim( ). x 0 sin x x
()
x sin x 洛 1 cos x x2 原式 lim 解： lim lim 0. x 0 x sin x x 0 x 0 4 x 2x
(tan x x ) tan x x tan x x lim lim 2 lim 3 3 x 0 x 0 x sin x x 0 ( x ) x
2 sec2 x 1 1 tan x 1 lim lim 2 . 2 x 0 3x 3 x 0 x 3
洛必达法则和导数应用
验证极限存在性
使用洛必达法则后，需要验证得到的极限是否 与原函数的极限相等，以避免错误结论。
注意计算的复杂性和精度
洛必达法则在计算过程中可能会涉及复杂的运算和近似，需要注意计算的精度 和准确性。
THANKS FOR WATCHING
函数在某点的极值是指该点附近函数值的最小或最大值。
导数与极值的关系
函数的极值点一定是其导数为零的点，但导数为零的点不一定是 极值点。
判断极值的方法
通过求导数并令其为零，然后判断该点附近函数值的符号变化， 确定是否为极值点。
导数在曲线的凹凸性判断中的应用
凹凸性的定义
曲线在某段区间内是凹的或凸的，取决于其切线的斜率变 化。
角速度计算
角速度是描述刚体转动快慢的物理量， 可以通过导数计算刚体在某时刻的角速 度。例如，匀角速度转动的角速度等于 角度对时间的导数。
VS
角加速度计算
角加速度是描述刚体转动角速度变化快慢 的物理量，可以通过导数计算刚体在某时 刻的角加速度。例如，匀角加速转动的角 加速度等于角速度对时间的导数。
导数在电流和电压计算中的应用
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率。
详细描述
在二维坐标系中，函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。导数可以用来 分析函数图像的形状和变化趋势，如单调性、极值点和拐点等。
导数与函数单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。因此，通过 求导并分析导数的符号，可以确定函数的单调性。
导数的应用——洛必达法则求极限之高职教学探讨
０
∞
取 洛 必 达 法 则 求 解 ,而 采 取 其 他 求 极 限 的 方 法 进 行 求 解 .
２．０������∞ 型 处理 方 法:针 对 此 类 函 数 极 限 应 用 洛 必 达 法 则 求 解 时, 我们通常需要选择其中一个因式到分母,将 两 个 式 子 相 乘 变
为 两个式子相除,从而将０������∞ 型变为 ０ 型或 ∞ 型,由于洛
(直接代入法),所以 高 职 学 生 易 于 掌 握,但 对 未 定 式 极 限 的
计算,由于其类型复杂,不同类型的处 理 方 法 有 所 不 同,所 以
求解技巧性强,对于 高 职 学 生 来 说 掌 握 有 一 定 难 度,但 当 运
用洛必达法则解决 未 定 式 极 限 时,其 技 巧 性 稍 弱,学 生 掌 握
∞＝－∞lxi→m３２x－２x－＋９３
＝lim x→３
－１ ２x
１ ＝ －６
(２)有理化:① 分子有理化;② 分母有理化
由于有理化主要针对含有根号的式 子,而 根 号 的 出 现 会
使得求导过程变得复杂,鉴于数学计算的 目 的 是 计 算 变 得 简
单、可行,所有对于含有根号的 ０ 型 或 ∞ 型,我 们 一 般 不 采
起来更容易.
所以,本文对运用洛必达法则求解各 种 未 定 式 极 限 进 行
相应举例说明,并总结了在高职教学中运 用 洛 必 达 法 则 过 程
中需要注意和经常出现的问题,为高职学 生 学 习 洛 必 达 法 则
提供了一定的帮助.
一 、洛 必 达 法 则
若 函 数 f(x)和 g(x)满 足 :
(１)limf(x)＝ limg(x)＝０(或limf(x)＝ limg(x)
洛比达法则
2
2
x→
2
6 cos 6 x = 3. = lim π x → 2 cos 2 x
2
0 二、 ⋅ ∞, ∞ − ∞,0 ,1 , ∞ 型未定式
0 0
∞
关键: 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法
1.决的类型： 或 型. 0 ∞
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ −2 x 例9 求 lim x e . ( 0 ⋅ ∞ )
ln(1 + x ) 例3 . (0) 求 lim 2 x →0 x 0 1 解 1 1 + x = lim 原式 = lim =∞ x →0 2 x x → 0 2(1 + x ) x
f ′( x ) 0 ∞ 如果 仍属 、 型，且 f ′( x )、 g ′( x ) 满 g' ( x ) 0 ∞ 足定理的条件， 续使用洛必达法则， 足定理的条件，可以继 续使用洛必达法则，即
6x 6x lim 注意： 注意： 式 中 的 x →1 6 x − 2 已不是未定式，不能 已不是未定式， 上
再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果． 再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果．
注意:在多次使用洛必塔法则时， 注意 在多次使用洛必塔法则时，一定要注 在多次使用洛必塔法则时 意验证是否满足条件． 意验证是否满足条件
1 tan x 6. lim ( ) ； x → +0 x
5. lim
x → +0
x
sin x
；
7. lim (
x → +∞
2
π
arctan x) x .
练习题答案
1.
1 ； 8
洛必达法则和导数应用
x
xlim(lxn2(122xx))12
2 2
lim x(
x
x2 2x)1
4
解法二 lim ln(1 e2 x )ln(1 2 )
x
x
原 式 lim ln1(e2x)2
x
x
2xl im 12ee22xx
4
例5 计算lx im 0seex2cxecox2xs
ex2 ex2
lxim0 secx cosx
2 3 cos 1
例2 li( m x 2 4 x x 2 6 x 2 x )
x
令t 1 x
原t式 l 0 im (1 ＝ t2 4t1 t2 6t2 t)
＝ lim14t 16t2
t 0
t
1 4 1 6
＝lim2 14t 2 16t 5
t0
1
例3
讨论函 f(x数 )1x1, ex11,
3x2
3
二.不等式的证明
1
例8 设 x0,证(1 明 x)xe
证明：原不等式 ln1(等 x)价 1于 x
即 ln 1(x)x
在[0，x]上对 ln1(x)应用中值定理：
l1 n x )( l1 n x )( l1 n 0 ) (d l1 n x )( (x 0 ) dx x ξ
lim
x0
e x2 1
e cos 2
x2
x
cos x
ex2 ex2
lim x0
x2
coxs
x2t
et
lim
t0
et t
lim(et et) 2 t0
解法二 limex2 ex2
x0secxcosx
xl im0seecxx2(1(e2cx2o2s1x)) xl im 0seexxc2xl im 0s2ixn22x
洛必达法则的用法
洛必达法则是一种求极限的方法，主要用于解决在某些函数在特定条件下，未定式极限的问题。
它是由法国数学家洛必达在研究不定积分时发现的。
在使用洛必达法则时，需要注意满足一定的条件，并且要正确理解其适用范围和限制。
首先，洛必达法则适用于以下两种情况：
1. 当函数在某点处极限为0/0型或∞/∞型时；
2. 当函数在某点处的导数接近于无穷大时。
在使用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限必须是0/0型或者∞/∞型；
2. 被考察的极限的左右极限都必须存在且相等；
3. 被考察的极限中分子分母的导数必须都存在；
4. 在使用洛必达法则之后，必须要再化简，或者再将一些其他次数的函数变为最一次；
5. 最后一步仍需要进行适当的恒等式的变换；
6. 对简单的分数应该求极限进行拆分，对于三角函数、指数函数等复杂函数则需要进一步考虑使用它们各自的方法进行转化。
总的来说，洛必达法则的使用需要考虑函数的极限形式、导数情况以及能否满足洛必达法则的条件等。
使用洛必达法则需要注意它的适用范围和限制，否则可能会导致错误的结果。
此外，在运用洛必达法则时还需要注意等价代换、夹逼定理等技巧的应用。
这些技巧的应用可以简化计算过程，提高解题效率。
另外，除了洛必达法则外，还有其他求极限的方法，如泰勒公式、无穷小替换、夹逼法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
同时，对于一些复杂的极限问题，可能需要结合多种方法来求解。
因此，熟练掌握各种求极限的方法对于解决数学问题来说是非常重要的。
洛必达法则及其应用
洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。
它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。
在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。
一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。
例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。
同济七版NUAA高数课件 第三章 中值定理及导数的应用 第二节 洛必达法则
x0
1
例2
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
解
原式
lim
x1
3
3 x2
x2
3 2x
1
lim 6x x1 6 x 2
3. 2
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
练习：
求 lim e x e x 2x . x0 x sin x
例6 求 lim ln(1 x2 ) . x0 sec x cos x
解
原式
lim
x0
x2 cos 1 cos 2
x x
1 恒 等 变 形 ， 非 零 因 子出分
x2
lim
x0
s
in2
x
定理2 设(1) lim f ( x) lim F ( x) ;
xa
xa
(2) 在 a 点的某邻域内(点 a 可以除外), f ( x)及
.
练习： lim x arctan x
x 2
2. 型 1 1 0 0 . 0 0 00
通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 0 或 不定型。 0
例10 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解 原式 lim x sin x x0 x sin x
lim 1 cos x 0. x0 sin x x cos x
例14 求 lim x cos x .
洛必达变限积分求导
洛必达变限积分求导洛必达法则（L'Hôpital's rule）是微积分中的一个重要定理，用于求解极限问题。
它在计算极限时非常有用，特别是当使用代数方法无法直接得到极限值时。
而在一些情况下，我们需要使用这个法则来求解变限积分的导数。
首先，让我们回顾一下洛必达法则的表述，假设函数f(x)和g(x)在某一点a的邻域内可导，且满足在a点附近g'(x)≠0，如果lim(x→a) f(x)=lim(x→a) g(x)=0或者lim(x→a) f(x)=lim(x→a) g(x)=±∞，那么有lim(x→a) f(x)/g(x)=lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
现在让我们来看一个例子，假设我们要求解下面这个变限积分的导数：d/dx [∫(0 to x) (t^2 + 1)/(t^3 + 1) dt]这里我们需要使用洛必达法则来求解。
首先我们令F(x) =∫(0 to x) (t^2 + 1)/(t^3 + 1) dt，然后我们需要求F'(x)。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们知道F'(x) = f(x), 其中f(x)= (x^2 + 1)/(x^3 + 1)。
现在我们可以应用洛必达法则来求解这个极限：lim(x→0) (x^2 + 1)/(x^3 + 1)。
当x趋向于0时，分子和分母都趋向于1，所以我们得到的极限是1。
因此，我们得到了F'(x) = 1，也就是说原始的变限积分的导数是1。
通过这个例子，我们可以看到洛必达法则在求解变限积分的导数时的应用。
当我们遇到复杂的变限积分求导问题时，可以考虑使用洛必达法则来简化计算过程，得到更快的结果。
导数洛必达法则和例题
导数洛必达法则和例题
洛必达法则：
1. 洛必达法则是由著名的19世纪数学家、物理学家和实验家约瑟夫·洛必达提出的，也叫作不变量定理。
2. 洛必达法则可以用来证明量子力学中的基本定理以及相关的物理定理。
3. 洛必达法则的基本用到的思想：若一个物理量的系统不发生改变，则其状态必定不变。
4. 洛必达法则可以用来证明物理量的变化，如动量、势能、电动势等的变化与时间的关系。
5. 洛必达法则的证明可以通过使用方程的变换、部分导数等方法来实现。
例题：
假定物体有一定量的动能，当它在一个力场中运动时，动能与位置之间关系可以表示为：
V(x,y,z)=V0+kx^2+ky^2+kz^2
其中V0为一定的常数，k是一个可以根据位置改变的常数。
对于上述方程，使用洛必达法则可以得出：
V(x,y,z)在x、y、z位置的偏导数均等于2k。
这说明，位置上每单位变化所引起的动能变化为2k。
洛必达法则和导数应用
c1o1lx s i0m si2x x n 3cxc o3x o s3xs c1o 1 lx is 0s m ix n 2 x x 3 c3 o xlx s i0c m 1 3 o xs
1 cx o c s3 o x s 3 x c2 o x ssixn
lim c1 o x 0 s
6 x 2
例7
计
算 lim esix ns x 0
ixn excoxx scoxs x3
令 f(u)euu f(u)(u1)eu
原式 lx i0m (1)e(x s3x i nxco x )介 s s于 ixn和 xcox之 s
lx i0m (1)elx i0m sixn x3 xco xs
xsinx 1
0 0
型
limexexxex 1
x0 12x
12
f(x )在 x 0 点 处,且 可 f(0 ) 导 1 . 12
例4
lim ln(1 e2x )ln(1 2 )
x
x
lim x
ln(1 ln(1
e2x ) 2x)1
xlim ln21e(2x2x1)e22x(121x22)
x
xlim(lxn2(122xx))12
1
exp 1 e 2
2
解法 :二 1
xlim0
f (x) x2 x
x2
1型
expxl im 0f(xx3)(xx21 ) x
expxl im 0f(x)x3x2x
0 0
型
exx lp i0m f(x3 ) x2 2x1
1
exp x l i0 m f(6xx)2 expxl im 0f6(x) e 2
第五节
洛必达法则 导数的应用
用洛必达法则解决导数问题
用洛必达法则解决导数问题(总3页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2如果当（或）时，两个函数与 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在， 也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。
洛必达（L’Hospital）法则：设（1）当时，函数及都趋于零； （2）在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大）；那么1 用洛必达法则求下列极限 (1)x x x )1ln(lim 0+→ (2)x e e x x x sin lim 0-→-(3)a x ax a x --→sin sin lim(4)x x x 5tan 3sin lim π→ (5)22)2(sin ln limx x x -→ππ(6)n n m m a x a x ax --→lim (7)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→(8)x x x 3tan tan lim2π→(9)x arc x x cot )11ln(lim ++∞→(10)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→(11)x x x 2cot lim 0→ (12)2120lim x x e x → (13)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x(14)xx x a )1(lim +∞→(15)x x x sin 0lim +→ (16)x x x tan 0)1(lim +→例题：设函数2()1x f x e x ax =---.3（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即21x e x ax --≥.①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，21x e x ax --≥等价于21x e x a x --≤. 记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3(2)2'()x x e x g x x -++=. 记()(2)2x h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所以()(2)2x h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，3()'()0h x g x x=>，从而21()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增.由洛必达法则有，20000111lim ()lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---==== 即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12a ≤. 综上所述，当12a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立.练习 已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；4 （Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.。
洛必达法则在高中数学导数教学中的应用
洛必达法则在高中数学导数教学中的应用发布时间：2021-06-11T11:16:06.290Z 来源：《中小学教育》2021年5期2月作者：张小敏[导读] 洛必达法则在高中数学导数教学中发挥着重要作用，能够促进学生更好地掌握数学导数的相关知识张小敏广东省佛山市顺德区容山中学广东省佛山市 528000摘要：洛必达法则在高中数学导数教学中发挥着重要作用，能够促进学生更好地掌握数学导数的相关知识。
本文对洛必达法则在高中数学导数教学中的应用进行了探讨，希望能够更好地促进高中数学教学工作的开展。
关键词：洛必达法则；导数教学；应用探讨一、何为导数导数在高中数学中是非常重要的概念，学生在学习过程中会遇到较大的困难。
学生只有掌握了导数的相关知识，才能够完成对微积分等知识的理解和应用。
导数是局部变化的函数，是局部趋近于无穷的函数变化率，通常情况下可以看做函数在该点的斜率。
二、洛必达法则在高中数学导数教学中的应用随着高考数学改革的进行，数学试题变得更加科学化，在出题上更加创新，同时又能够很好地突出学科的基础，更加注重挖掘学生的数学潜能，从而充分发挥高考中数学学科的特点。
因此，在高考数学试题对数学知识的考察中，经常会有一些同大学数学知识相结合的内容，需要学生能够在数学学习的过程中注意对自身知识的拓展。
很多省市的高考题目都会将导数知识作为高考数学试题的重点内容，其中求参数的取值范围就是其中重要的部分。
在求解参数取值范围的过程中，学生需要在学习的过程中充分掌握分离参数法，对于其他题型学生解决起来更加复杂，学生在学习的过程中需要克服较大的困难，其根本原因在于“”型式子的出现，而有效地解决方式就是洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足：注意使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。
如下例题所示，对洛必达法则的使用进行了探讨。
运用洛必达和导数解2020新课标理三、高中数学导数教学的几点建议（一）从理解高考对导数的要求开始导数一般在今年全国高考中的部分试题出现可能性不大,毕竟函数考试所需要涉及的函数基础知识点太少,一般来说高考的试题是把导数和函数学的知识完全渗透，求解几何图形变化率以及求几何图形切线这种几何数学基础知识点,都非常容易，需要我们掌握的是运用它求导数，从而需要学生掌握函数的数学基础知识,所以导数是学生不得不掌握额基础知识点，不难但是也不容易。
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导数的应用洛必达法则
1.设函数21)(ax x e x f x ---=.
(1) 若0=a ,求)(x f 的单调区间;
(2) 若当0≥x 时,0)(≥x f ,求实数a 的取值范围.
解:(1) 定义域为R ,当0=a 时,有题知x e x f x --=1)(,则1)('-=x
e x
f . 令0)('>x f ,得e x >;令0)('<x f ,得e x <
所以函数)(x f 的增区间为),(+∞e ,减区间为),(e -∞.
(2)①当0=x 时,00001)0(20≥=⨯---=a e f 成立. ②当0>x 时,当210)(x x e a x f x --≤⇔≥时,设)0(,1)(2>--=x x
x e x g x ,则4
42]2)2[(2)1()1()('x x e x x x x x e x e x g x x x ++-=⨯----= 设)0(,2)2()(>++-=x x e x x h x
,显然)(x h 在),0(+∞为增函数,所以 0)0()(=>h x h ,所以0)('>x g ,所以)(x g 在),0(+∞上为增函数 由洛必达法则得
2122
211)(000200lim lim lim lim ===-=--=→→→→e e x e x x e x g x x x x x x x 所以2
1)(>x g 因为)(x g a ≤在),0(+∞恒成立,所以21≤
a . 即实数a 的取值范围为]21,(-∞
2.设函数x e x f --=1)(.
(1) 证明:当1->x 时,1)(+≥
x x x f ; (2) 设当0≥x 时,1
)(+≤ax x x f ,求实数a 的取值范围. 解:(1) 证明: 当1->x 时,011)(≥--⇔+≥
x e x x x f x . 设)1(,1)(->--=x x e x g x ,则1)('-=x e x g .
令0)('>x g ,得0>x ;令0)('<x g ,得01<<-x .
则)(x g 在)0,1(-上为减函数,在),0(+∞为增函数.
则010)0()(0
min =--==e g x g 即0)(≥x g 在),1(+∞-恒成立.所以当1->x 时,1)(+≥
x x x f . (2)①当0=x 时,01)0(0=-=e f ,0100=+⨯a ,1
)(+≤ax x x f 成立. ②当0>x 时 1)若0<a 时,当a x 1->, 则01<+ax x ,则1
)(+≤ax x x f 不成立,不符合题意. 2)当0≥a 时,1
)(+≤ax x x f x xe e xe a x x x -+-≤⇔1时, 设x
xe e xe x g x x x -+-=1)(,则 2
2)1()1)(1()()('--++---=x x x x x x x e x xe e e xe x xe xe x g 0)
1(122222>-+-+-=x x x x e x e e e x 在),0(+∞恒成立 所以)(x g 在),0(+∞上为增函数
由洛必达法则得
x x x
x x x x x x x x x x x xe e xe e xe e xe x xe e xe x g ++=-+=-+-=→→→→211)(lim lim lim lim 0
000 2
10200000=⨯+⨯+=e e e e 因为)(x g a ≤在),0(+∞恒成立,所以21≤
a . 综上,210≤
≤a ,所以实数a 的取值范围为]21,0[。