概率论与数理统计1~6章总结

有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
(1.1)，则称 P(A)为事件 A 的概率。
概率的性质：
(1) 有限可加性：设 A1，A2，…An , 是 n 个两两互不相容的事件，即 AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件 AB，则 P(A)≥P(B)
A (BC) (A B)(A C)
摩根律 AB A B A B A B
2.随机事件的概率 ①概率和频率 概率的定义：若对随机试验 E 所对应的样本空间 中的每一事件 A，均赋予一实数 P(A)， 集合函数 P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设 A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即 AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …,
B 的样本点，记作 A B or B A 相等事件 B A且 A B 即 A=B，事件 A 与事件 B 含有相同的样本点
和事件：和事件 A∪B 发生——A 发生或 B 发生；事件 A 与事件 B 至少有一个发生，由事件
A 与事件 B 所有样本点组成
积事件：积事件 AB 发生——事件Ａ和事件Ｂ同时发生；由事件 A 和事件 B 的公共样本点组
第一章随机事件与概率
1.随机事件及其运算
①随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性
的事件叫做随机事件(random Events )，简称事件（Events)．通常用大写英文字母 A、B、C
等表示。
②基本事件及样本空间
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作 。
P(A)具有如下性质 (1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B) 抽球问题 设盒中有 N 个球，其中有 M 个白球，现从中任抽 n 个球，则这 n 个球中恰有 k 个白球的概 率是
p
CM k
C nk N M
CN n
一般地，把 n 个球随机地分成 m 组(n>m),要求第 i 组恰有 ni 个球(i=1,…m)，共有分法：
全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作 Ω。
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基本事件
仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．
含有多个样本点的随机事件称为复合事件．
特例—必然事件—记作Ω
特殊的“随机事件”—不可能事件—记作∅
不包含任何样本点，不可能发生
③事件的关系与运算
子事件：事件的包含
事件Ａ是事件Ｂ的子事件则：事件 A 发生必然导致事件 B 发生，事件 A 的样本点都是事件
30! 10!
10!
3! 27! P( A) 9! 9! 9! 50
N (S) 203
P(B) 3 C277C2100C1100 N(S)
随机取数问题 eg：从 1 到 200 这 200 个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被 6 整除的概率 (2)求取到的数能被 8 整除的概率 (3)求取到的数既能被 6 整除也能被 8 整除的概率 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25，N(3)=[200/24]=8 (1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25 条件概率 已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率称为 A 条件下 B 的条件概率，记作 P(B|A) 若事件 A、B 是古典概型的样本空间 S 中的两个事件，其中 A 含有 nA 个样本点,AB 含有 nAB 个样本点，则
的样本点组成；性质 A B A B,
完备事件组： A1, A2, , An
（1）A1, A2, , An 互不相容
（2）A1 A2
An
A B A AB
④事件之间的运算律
交换律 结合律 分配律
A B B A AB BA
(A B) C A (B C)
A(B C) ( AB) ( AC)
n!
n1!....nm !
eg: 30 名学生中有 3 名运动员，将这 30 名学生平均分成 3 组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3 名运动员集中在一个组的概率。 解:设 A:每组有一名运动员;B: 3 名运动员集中在一组
N (S)
C C C 10 10 10 30 20 10
10!
成
互斥事件（互不相容事件）：事件 A 与事件 B 互斥——AB=Φ；事件 A 与事件 B 不能同时发
生，两个事件没有公共的样本点
对立事件：事件 A 不发生，由所有不属于 A 的样本点组成，记作 A or Ac
差事件：差事件 A-B 发生 ——事件 A 发生且事件 B 不发生；由属于事件 A 但不属于事件 B
(3)事件差 A、B 是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件 A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意 n
个事件 A1，A2，…，An 的情形； (3) 互补性：P(A)＝1－ P(A);
(5) 可分性：对任意两事件 A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
②古典概型
满足下列两个条件的实验称为古典概型也叫等可能概型
1.有限性：样本空间 S＝{e1, e 2 , … , e n }; 2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en). 古典概型中的概率：设事件 A 中所含样本点个数为 N(A) ，以 N()记样本空间 中样本点
总数，则有 P( A) N ( A) N ()
频率：若随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m （
） 次，则量 m/n 称为事件 A 在
n 次试验中发生的频率，记作 fn ，即:
.
必然事件的频率为 1，不可能事件的频率为 0。 频率的性质：
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若 AB＝ ，则 fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B). 试验次数 n 增大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作 P(A)，作为事件 A 的 概率