换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

1.1不定积分中第一换元法的定理形式

定理1 若f (x )=g(φ(x ))φ′(x )，且∫g (u )du 的原函数容易求出，记

∫g (u )du =G (u )+c ，

则

∫f (x )dx =G(φ(x ))+c .

证明 若f (x )=g(φ(x ))φ′(x )，令u =φ(x )，于是有

∫g(φ(x ))du =G(φ(x ))+c ，du =φ′(x )dx

因而

∫f (x )dx =∫g(φ(x ))φ′(x )dx =∫g(φ(x ))du =G(φ(x ))+c

得证。

1.2定积分中第一换元法的定理形式

定理2 若f (x )连续，φ(x )在[a,b ]上一阶连续可导，且f (x )=g(φ(x ))φ′(x )，g (u )在α和β构成的区间上连续，其中φ(a )=α，φ(b )=β，则

∫f (x )b a dx =∫g (u )βαdu .

证明 令u =φ(x )，由于g (u )在α和β构成的区间上连续，记∫g (u )du =G (u )+c ，则

∫f (x )b a dx =∫g(φ(x ))φ′(x )b a dx

=G(φ(x ))|a b =

G (u )|αβ=∫g (u )βαdu 得证。

1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

区别：第一换元法在定积分中对未知量x 给出了定义范围，要求换元函数φ(x )在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。

联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数f (x )的任意一个原函数F (x )，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。

例1 求∫√1+x 20

.

解 因为 x

√1−x 2=−12d (−x 2)√1−x 2=−12d (1−x 2)√1−x 2 =−12∙2(1−x 2)12+C =−(1−x 2)12+C

即√1−x 2

有一个原函数−(1−x 2)1

2，所以 ∫

x √1−x 210

=−(1−x 2)12|01=1. 例2 计算积分∫cos (3x +5)π

20dx .

解 由于

∫cos (3x +5)dx =13∫cos (3x +5)d (3x +5)=13

sin (3x +5)+C, 于是

∫cos (3x +5)π20dx =13sin (3x +5)|0π2=13sin (3π2+5)−13sin 5.

2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

2.1不定积分中第二换元法的定理形式

定理3 设f (x )连续，x = φ(t )及φ‘(t )都连续，x = φ(t )的反函数t = φ−1(x )存在且连续，并且

∫f(φ(t ))φ‘(t )dt =F (t )+c ，

（1） 则

∫f (x )dx =F(φ−1(x ))+c （2）

证明 将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得

d dx

[F(φ−1(x ))+c]=F ′(t )∙[φ−1(x )]′ =f [φ(t )]φ‘(t )∙1φ‘(t )= f (x )，

这便证明了（2）式。

2.2定积分中第二换元法的定理形式

定理 4 设f (x )在[a,b ]连续，作代换x = φ(t )，其中φ(t )在α和β构成的区间上有连续导数φ‘(t )，且φ(α)=a ，φ(β)=b ，则

∫f (x )b a dx =∫f [φ(t )]φ‘(t )dt βα.

证明 设F (x )是f (x )的一个原函数，则F(φ(t ))是f [φ(t )]φ‘(t )的一个原函数。于是

∫f (x )b

a dx =F (

b )−F (a )，

∫f [φ(t )]φ‘(t )dt βα=F [φ(β)]−F [φ(α)]=F (b )−F (a ).

定理得证。

2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别

区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换x = φ(t )的反函数存在且连续，并且φ‘(t )≠0。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通

过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量t的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。

例3用第二换元法求解∫

√1−x2

解令x=cos t，于是dx=−sin t dt，其中t∈[3π

2

,2π]，则

∫

x

√1−x2

1

0=∫

cos t

√1−(cos t)2

2π

3π

2

−sin t)dt

=∫

cos t (−sin t)

2π3π2(−sin t)dt=∫cos t

2π

3π

2

dt=sin t|3π

2

2π=1.