125因式分解PPT教学课件
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因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
125因式分解(运用公式法)
=( x2 + y2 ) ( x + y ) ( x - y )
注意：
（1）如果多项式各项有公因式,那么 先提公因式，再进一步分解 。
（2）因式分解,必须进行到每个多项 式因式不能分解为止.
课堂练习： (1) a2 - 0.25x2 (2) 36 - m2 (3) 4x2 - 9y2 (4) 0.81a2 - 16b2 (5) 36n2 - 1 (6) 25p2 - 49q2 (7)4a2 - ( b + c )2 (8) (3m+2n)2-(m-n)2
所以，原式=[4(a–b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]
=(7a-b)(a-7b)
(3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )2
根据平方差公式可以分解为： 原式=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)] =2a(2b+2c) =4a(b+c)
能否将这两个多项式进行因式 分解。
显然，在以上两个多项式中，不能找 到公因式，因此不能使用提公因式法 进行分解。
(1) x2 - 16
(2) 9m2 - 4n2 但是通过观察我们能够发现，两个多 项式都能够写成平方差的形式，由此 我们可以利用刚才学习的平方差公式 进行分解。
(1) x2 - 16源自例3(1) x5 - x3 (2) x4 - y4
(1) x5 - x3
解： 原式= x3x2 - x3 = x3 ( x 2- 1 )
= x3 ( x + 1 ) ( x – 1 )
(2) x4 - y4
解： 原式= ( x2 )2 - ( y2 )2
注意：
（1）如果多项式各项有公因式,那么 先提公因式，再进一步分解 。
（2）因式分解,必须进行到每个多项 式因式不能分解为止.
课堂练习： (1) a2 - 0.25x2 (2) 36 - m2 (3) 4x2 - 9y2 (4) 0.81a2 - 16b2 (5) 36n2 - 1 (6) 25p2 - 49q2 (7)4a2 - ( b + c )2 (8) (3m+2n)2-(m-n)2
所以，原式=[4(a–b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]
=(7a-b)(a-7b)
(3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )2
根据平方差公式可以分解为： 原式=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)] =2a(2b+2c) =4a(b+c)
能否将这两个多项式进行因式 分解。
显然，在以上两个多项式中，不能找 到公因式，因此不能使用提公因式法 进行分解。
(1) x2 - 16
(2) 9m2 - 4n2 但是通过观察我们能够发现，两个多 项式都能够写成平方差的形式，由此 我们可以利用刚才学习的平方差公式 进行分解。
(1) x2 - 16源自例3(1) x5 - x3 (2) x4 - y4
(1) x5 - x3
解： 原式= x3x2 - x3 = x3 ( x 2- 1 )
= x3 ( x + 1 ) ( x – 1 )
(2) x4 - y4
解： 原式= ( x2 )2 - ( y2 )2
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
12.5因式分解(全)ppt课件
a
b
c
mm
m
9
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？ m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式 中每一个项都含有的因式，叫做 公。因式
这两个整数是____和 ____。
2、计算：12 22 32 42 52 62 2011 2 2012 2 。
2 4 6 8 10 12
4022 4024
3、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出 如下四个结果，其中正确的只可能是( )。
A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158
3、把它与公因式相乘。
11
如何准确地找到多项 式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
12
例题精讲 用提取公因式法因式分解： ①9a2b 15ab2c = 3ab (3a–5bc)
最大a的公b最的因低最数指低为数指3为数1为1
33
a2 2ab b2 a b2
这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(_a_+_3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
125因式分解第2课时公式法(1)1 大赛获奖教学课件
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
新 知 梳 理
► 知识点 利用两数和(差)的平方公式因式分解
两数和(差)的平方公式： (1)字母表达式：a2±2ab＋b2＝(____. a±b)2 (2)语言叙述：两个数的平方和 __ __加上(或减去)这两个数的 积的____ __ 2倍 ，等于这两个数的__ 和(或差 ) 的平方．
13.2.5 边边边
活动2
教材导学
认识“S.S.S.” 先动手操作，然后完成下列填空，想想这两个三角形具备 了哪些相等条件？ 已知△ABC 中， AB＝4， BC＝5， AC＝6.画△A′B′C′， 使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对 BC＝B′C′__，__ AC＝A′C ′， 应相等的条件分别是AB __ ＝A′B′ __，__ __ 可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是 ． 全等 你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？ ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探 究 新 知
活动1 知识准备
如图 13－2－45，点 B 在∠DAC 的平分线 AE 上，请添加 一个适当的条件： AC＝AD(或∠ABC＝∠ABD或∠C＝∠D等， ， 答案不唯一) △ABC≌△ABD.(不再添加辅助线，只填一个即可)
图 13－2－45
13.2.5 边边边
重难互动探究
探究问题一 “S.S.S.”的运用
例 1 [课本例 6 变式题] 如图 13－2－18，判断下面各图中 的△ABD 和△ACD 是否全等． (1)如图(A)，BD＝DC，AB＝AC； (2)如图(B)，AB＝AC，BD＝CD； (3)如图(C)，AC＝DB，CE＝BE，AE＝DE.
《因式分解》ppt课件
因式分解涉及多次运算，强调 计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
因式分解法(教学课件)—2025学年人教版数学九年级上册
即
10x－4.9x2.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0
解： x2 100 x 0， 49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
x
50 49
2
50 49
2
，
x 50 50，
49 49
x1
100 ， 49
x2 0.
【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式， 如 x(x - 1) = x，若约去 x，则会丢失 x = 0这个根．
几种常见的用因式分解法求解的方程：
（1）形如 x2 +bx = 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因
式分解为 x(x+b) = 0，则 x = 0 或 x+b = 0，即 x1= 0， x2 = -b.
A. x 2
B. x 3
C. x1 2 ， x2 3
D. x1 2 ， x2 3
解析：因为 (x 2)(x 3) 0 ，所以 x 2 0 或 x 3 0 ， 解得 x1 2 ， x2 3 .故选 D.
练习 3 已知某一元二次方程的两根分别为 x1 3 ， x2 4 ，则这个
方程可能为( C )
A. (x 3)(x 4) 0 C. (x 3)(x 4) 0
B. (x 3)(x 4) 0 D. (x 3)(x 4) 0
解析：A、 (x 3)(x 4) 0 ，解得： x1 3 ， x2 4 ，符合题意； B、 (x 3)(x 4) 0 ，解得： x1 3， x2 4 ，不符合题意； C、 (x 3)(x 4) 0 ，解得： x1 3， x2 4 ，不符合题意； D、 (x 3)(x 4) 0 ，解得： x1 3， x2 4 ，不符合题意； 故选：A.
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
125因式分解-提公因式法
例3、把(b+c)2-3a(b+c)分解因式.
解：(b+c)2-3a(b+c) =(b+c ) (b+c-3a)
公因式不仅 是单项式， 也可以是多
项式。
练习3：把 2(a-3)+a(3-a)分解因式.
解： 2(a-3)+a(3-a)
= 2(a-3)-a(a-3)
= (a-3)(2-a)
把下列各式因式分解：
解：原式= -(28x3+14x2-+77xx))
= -7x(4x2+2x-1)
口诀：提负号，要变号。
友情提醒：
若多项式的 第一项是负 号，通常要 先提出“-” 号,且括号里
的各项变??号
要.
友情提醒: 提公因式 要提尽！
练习2、把-6ax2+9axy-3a分解因式
解：（1）原式=- (6ax2-9axy+3a) =-3a(2x²-3xy+1)
项数要跟原式一致
第一步：找公因式； 第二步：提公因式；
填空题：
(1)分解因式ax+ay=__a_（__x_+_y_）___
(2)分解因式xy2-x2y=__x_y_（__y_-_x_）__ (3)把3x2-6xy+x分解因式．
解：3x²-6xy+x =x(3x-6y+1)
某项提出 莫漏1．
例2：把-28x3-14x2+7x分解因式
可以看出因式分解和整式乘法是两个相反 方向的变形。
因式分解
ma mb mc
m(a b c)
整式乘法
1、下列由左边到右边的变形中，哪些是 分解因式，哪些不是？
125因式分解第2课时公式法(1)2 大赛获奖教学课件
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探 究 新 知
活动1 知识准备
如图 13－2－45，点 B 在∠DAC 的平分线 AE 上，请添加 一个适当的条件： AC＝AD(或∠ABC＝∠ABD或∠C＝∠D等， ， 答案不唯一) △ABC≌△ABD.(不再添加辅助线，只填一个即可)
图 13－2－45
13.2.5 边边边
证法 2：由证法 1 可得△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ BO＝CO (全等三角形的对应边相等)． 在△ABO 和△ACO 中， ∵ AB＝AC，BO＝CO，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
13.2.5 边边边
探究问题二
灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等
例 2 如图 13－2－19，BE，CD 相交于点 O，且 AD＝ AE，AB＝AC. 求证：∠BAO＝∠CAO.
图 13－2－19
13.2.5 边边边
[解析] 证△AOD≌△AOE 可得到∠BAO＝∠CAO. 证明：证法 1：在△ABE 和△ACD 中， ∵AE＝AD，∠BAE＝∠CAD(公共角)，AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE. 在△BDO 和△CEO 中， ∵∠B＝∠C，∠DOB＝∠EOC(对顶角相等)，BD＝CE， ∴△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ OD＝OE (全等三角形的对应边相等)． 在△AOD 和△AOE 中， ∵AD＝AE，AO＝AO，OD＝OE， ∴△AOD≌△AOE(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
13.2.5 边边边
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(－ 1) ×(－ 6)，所以p有四种情况。
(1)p=2+3=5
(2)p=(－ 2)+(－ 3)=－5
(3)p=1+6=7
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
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例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
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下列因式该如何分解
x2 15x 16 x4 3x3 28x2 3a2 x2 15a2 xy 42a2 y2
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小结：1、形如 x2 px q 的二次三项式 如 a b ab
则可分解为 (x a)(x b)
2、无论用什么方法因式分解，共同 的要求都是要分解到最简为原则。
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公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，
称之为公因式(common factor)。
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积
的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分
(x 4)(x 6) x2 2x 24
(－2)+(－3) (－2)×(－3)
(x 2)(x 3) x2 5x 6
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特点： (1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形 式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。
数学表达式：
解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
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例1把下列多项式分解因式： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2.
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例2 把下列多项式分解因式： （1）4x3y-4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2
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把下列各式分解因式：
①p-q+k(p-q)
②5m(a+b)-a-b ③a2+2ab-ac-2bc ④mn+m-n-1
分组分解法，要注意分组时要选择分组方法， 要保证分组后各组有公因式。
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例２：把x2-y2+ax+ay分解因式
解：x2-y2+ ax+ay ＝（x2-y2）＋（ax+ay） ＝（x+y）（x-y）＋a（x+y） = （x+y） （x-y+a）
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提问：如何将多项式am+an+bm+3;an+bm+bn中既没有公
因式，也不好用公式法。怎么办？
利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解法。
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例1：把a2-ab+ac-bc分解因式 解：a2-ab+ac-bc
=（a2-ab）+（ac-bc） =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c) 还有其他解法吗？
(3) x5 x3
(4) x2 6x 9 (5) 2x2 4x 2
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用我们已经学过的方法你会分解x2 7x 10吗？
口答下列各题。 2+5 2×5
(x 2)(x 5) x2 7x 10
5+(－7) 5×(－7)
(x 5)(x 7) x2 2x 35
(－4)+6 (－4) ×6
变形： x2 11x 10 练习：(1) x2 8x 15 (2) t 2 7t 6
(3) x2 2x 15 (4) a2 4a 21
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探索：在 x2 px 6 中，p ( ) 时，可用以上
方法分解因式？ 分析：6可分解为2×3，(－ 2) ×(－ 3)，1 ×6，
练习: ①4x2 -a2 -6a-9
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1． 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由： （1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1 （2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y） 2． 把下列各式分解因式： （1）a2＋a（2）4ab－2a2b（3）9m2－n2 （4）2am2－8a （5）2a2＋4ab＋2b2 3．
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想一想：下列式子从左边到右边是因式分解吗， 为什么？ A：（x +2）（x–2）= x2–4 B：x4－5x6y = x2（x2－5x4y） C：x2－4＋3x = （x +2）（x–2）＋3x
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判断下列各式可用什么方法进行因式分解？
6a 6c (2) a2 9b2
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练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。
解： ∵ a2 b2 (a b)(a b)
且a=101，b=99
∴ 原式=(101 99) (101 99) 200 2 400
2、分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11。
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因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反。
x2 px q (x a)(x b) 当 a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
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例题
例1、分解因式x2 11x 10
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数。
一、自主探究
填空题：
ma+mb+mc
（1） m（a＋b＋c）= 25a2–b2
（2 ）（5 a ＋b ）（a25+2aa－b+b2）=
反过来（：3）（a＋b）2 =
（1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）；
（2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）；
（3） a2+2ab+b2=（a + b）2
(1)p=2+3=5
(2)p=(－ 2)+(－ 3)=－5
(3)p=1+6=7
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
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例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
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下列因式该如何分解
x2 15x 16 x4 3x3 28x2 3a2 x2 15a2 xy 42a2 y2
第15页/共27页
小结：1、形如 x2 px q 的二次三项式 如 a b ab
则可分解为 (x a)(x b)
2、无论用什么方法因式分解，共同 的要求都是要分解到最简为原则。
第3页/共27页
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，
称之为公因式(common factor)。
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积
的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分
(x 4)(x 6) x2 2x 24
(－2)+(－3) (－2)×(－3)
(x 2)(x 3) x2 5x 6
第10页/共27页
特点： (1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形 式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。
数学表达式：
解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
第4页/共27页
例1把下列多项式分解因式： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2.
第5页/共27页
例2 把下列多项式分解因式： （1）4x3y-4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2
第18页/共27页
把下列各式分解因式：
①p-q+k(p-q)
②5m(a+b)-a-b ③a2+2ab-ac-2bc ④mn+m-n-1
分组分解法，要注意分组时要选择分组方法， 要保证分组后各组有公因式。
第19页/共27页
例２：把x2-y2+ax+ay分解因式
解：x2-y2+ ax+ay ＝（x2-y2）＋（ax+ay） ＝（x+y）（x-y）＋a（x+y） = （x+y） （x-y+a）
第16页/共27页
提问：如何将多项式am+an+bm+3;an+bm+bn中既没有公
因式，也不好用公式法。怎么办？
利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解法。
第17页/共27页
例1：把a2-ab+ac-bc分解因式 解：a2-ab+ac-bc
=（a2-ab）+（ac-bc） =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c) 还有其他解法吗？
(3) x5 x3
(4) x2 6x 9 (5) 2x2 4x 2
第9页/共27页
用我们已经学过的方法你会分解x2 7x 10吗？
口答下列各题。 2+5 2×5
(x 2)(x 5) x2 7x 10
5+(－7) 5×(－7)
(x 5)(x 7) x2 2x 35
(－4)+6 (－4) ×6
变形： x2 11x 10 练习：(1) x2 8x 15 (2) t 2 7t 6
(3) x2 2x 15 (4) a2 4a 21
第12页/共27页
探索：在 x2 px 6 中，p ( ) 时，可用以上
方法分解因式？ 分析：6可分解为2×3，(－ 2) ×(－ 3)，1 ×6，
练习: ①4x2 -a2 -6a-9
第6页/共27页
1． 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由： （1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1 （2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y） 2． 把下列各式分解因式： （1）a2＋a（2）4ab－2a2b（3）9m2－n2 （4）2am2－8a （5）2a2＋4ab＋2b2 3．
第7页/共27页
想一想：下列式子从左边到右边是因式分解吗， 为什么？ A：（x +2）（x–2）= x2–4 B：x4－5x6y = x2（x2－5x4y） C：x2－4＋3x = （x +2）（x–2）＋3x
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判断下列各式可用什么方法进行因式分解？
6a 6c (2) a2 9b2
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练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。
解： ∵ a2 b2 (a b)(a b)
且a=101，b=99
∴ 原式=(101 99) (101 99) 200 2 400
2、分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11。
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因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反。
x2 px q (x a)(x b) 当 a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
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例题
例1、分解因式x2 11x 10
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数。
一、自主探究
填空题：
ma+mb+mc
（1） m（a＋b＋c）= 25a2–b2
（2 ）（5 a ＋b ）（a25+2aa－b+b2）=
反过来（：3）（a＋b）2 =
（1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）；
（2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）；
（3） a2+2ab+b2=（a + b）2